17.5.2一元二次方程的应用(2) 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心内容包括增长率、降低率、几何及传播问题的解决。课堂导入以元元身高增长实例切入，联系生活实际，衔接方程解法前知，通过具体问题搭建从概念理解到列方程的学习支架。 其亮点是生活化情境与分层例题结合，如用身高增长、药品降价实例培养数学眼光，通过金属片截角围方盒等几何问题训练数学思维，归纳小结明确增长率公式助于数学语言表达。学生提升应用能力，教师教学更高效。

17.5 一元二次方程的应用 (2) 第十七章 一元二次方程 沪科版 · 新教材 · 八年级下册 学习目标 1. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. (重点) 2. 掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性. (重、难点) 新课导入 初中生正处于青春期，身体发育快，已知元元去年四月份身高是 160 cm，截至今年四月，身高增长了5%. 1. 你知道其中的 5% 是什么意思吗？ 这一年增长的身高是去年身高的 5% 不会 2. 如果从今年四月到明年四月，身高又增长了 5%，那她身高将是多少？ 3. 她的身高一直会以 5% 的速度增长下去吗？ 今年：160×(1 + 5%) = 168 (cm) 明年：168×(1 + 5%) = 176.4 (cm) 探究新知 题型一： 利用一元二次方程解决 增长率(或降低率)问题 例1　(1)如图，在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上， 修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直)，把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛. 要使花坛的总面积为570 m2 ，问小路的宽应是多少？ 解　设小路宽x m.根据题意，得 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2＝570， 整理得x2－36x＋35＝0， 即(x－1)(x－35)＝0， 解得x1＝1，x2＝35(不符合题意，舍去)， 所以所求小路的宽应为1 m. (2)对于(1)题，你还有其他列方程的方法吗？ 解　利用平移(拼接)的方法，列方程为(20－x)(32－2x)＝570. 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 例 1 【教材P40 例2】 知识点一 变化率问题 推进新课 降价率是什么意思？它与原价之间有什么数量关系？ 降价率是降低的价格与原价的比值： 降价率 = ×100% 原价 – 现价 原价 原来每盒 27 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，该药品两次降价的平均降价率是多少？（精确到 1%） 例 1 【教材P40 例2】 分析：现价 = 原价(1 – 降价率) 设该药品两次降价的平均降价率是 x. 原价 27 第一次降价后的价格 27(1 – x) 降价率x 第二次降价后的价格 27(1 – x)2 降价率x 解 设该种药品两次降价的平均降价率是 x，根据题意，得 27(1 – x)2 = 9 解方程，得 x1 ≈ 1.58，x2 ≈ 0.42. x1 = 1.58 不合题意，所以 x = 0.42 = 42%. 答：该药品两次降价的平均降价率是 42%. 整理，得 根据问题的实际意义，平均降价率应是小于 1 的正数. 例 2 原来每盒 25 元的一种药品，经两次降价后每盒售价为 9 元，求该药品两次降价的平均降价率是多少. 根据题意，得 解： 设该种药品两次平均降价率是 x . 25(1-x)2＝9 整理，得 (1-x)2＝ 解得 x1=1.6， x2=0.4 ∵ x1=1.6不符题意 ∴ x=0.4 答：该药品两次降价的平均降价率约是 40%. 探究新知 对应练习 1、家家乐专卖店今年 3 月份售出玩具 3600 个，5 月份售出 4900 个，设每月平均增长率为 x，根据题意，列出关于 x 的方程为 ． 3600(1+x)2＝4900 2、某超市 1 月份的营业额为 200 万元，1 月、2 月、3 月的营业额共 1000 万元，如果平均每月的增长率为 x，则根据题意列出的方程为：_____________________________. 200[1+(1+x)+(1+x)2]＝1000 例3　(课本P41例4)如图，将一块正方形金属片的四个角 各截去一个相同大小的小正方形，围成高为20 cm、容积 为2 880 cm3的开口方盒.原金属片的边长是多少？ 解　设原金属片的边长为x cm，则方盒的底边长是(x－40)cm. 根据题意，得20(x－40)2＝2 880. 整理，得(x－40)2＝144. 解方程，得x1＝52，x2＝28. x2＝28不合题意，所以x＝52. 故原金属片的边长是52 cm. 跟踪训练1　如图，有一块长为a米，宽为b米的矩形场地， 计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路(阴 影部分)，余下的四块矩形场地建成草坪. (1)已知a＝26，b＝15，且四块草坪的面积和为312平方米，则每条道路的宽为多少米？ 解　四块矩形场地可拼合成一个长为(26－x)米，宽为(15－x)米的矩形. 依题意得(26－x)(15－x)＝312， 整理得x2－41x＋78＝0， 解得x1＝2，x2＝39(舍去). ∴每条道路的宽为2米. 跟踪训练1　如图，有一块长为a米，宽为b米的矩形场地， 计划在该场地上修建宽均为x米的两条互相垂直的道路(阴 影部分)，余下的四块矩形场地建成草坪. (2)若a∶b＝2∶1，x＝2，且四块草坪的面积和为312平方米，则原来矩形场地的长和宽各为多少米？ 解　四块矩形场地可拼合成一个长为(2b－2)米，宽为(b－2)米的矩形. 依题意得(2b－2)(b－2)＝312， 整理得b2－3b－154＝0， 解得b1＝14，b2＝－11(舍去)，则a＝2b＝28， ∴原来矩形场地的长为28米，宽为14米. 3、在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是多少？ 解：设该医疗器械这两年的平均降价率是 x , 根据题意，得 (1-x)2=(1-20%)×(1-80%) 解得 x1=0.6，x2=1.4（舍去） 答：该医疗器械这两年的平均降价率是 60%． 对应练习 练一练 两年前生产 1 t 甲药品的成本是 5000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 6000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲药品的成本是 3000 元，生产 1 t 乙药品的成本是 3600 元. 哪种药品成本的年平均下降率较大？ 解：设甲、乙药品成本的年平均下降率分别是 x，y， 根据题意，得 5000(1 – x)2 = 3000，6000(1 – y)2 = 3600 解方程，得 不合题意，所以 答：甲、乙药品成本的年平均下降率一样大. 成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况. 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 4、如图，一农户原来种植的花生，每公顷产量为 3000 kg，出油率为 50% (即每100kg花生可加工花生油50kg)，现在种植新品种花生后，每公顷收获的花生可加工出花生油 1980 kg，已知花生出油率的增长率是产量增长率的 ，求新品种花生生产量的增长率. 新品种花生每公顷产量 × 新品种花生出油率＝1980 对应练习 解：设新品种花生产量的增长率为x， 根据题意，得 x2＝-3.2 答：新品种花生生产量的增长率为20%. 3000(1+x)[50%(1+ x)]＝1980 整理，得 x2+3x-0.64=0 解得 x1＝0.2， ∵ x2＝-3.2 不符题意 ∴ x＝0.2 对应练习 题型二： 利用一元二次方程解决 销售与利润问题 探究新知 例3　如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成 一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米(其中AB<BC).  (1)请你用含x的代数式表示BC的长； 解　∵篱笆的全长为20米，花圃的宽AB为x米， ∴BC的长为(20－2x)米. 例3　如图，有一段长为20米的篱笆，利用一面墙，围成 一个长方形花圃ABCD，设花圃的宽AB为x米(其中AB<BC).  (2)若此时花圃的面积刚好为42平方米，求此时花圃的宽AB的长度. 解　根据题意得x(20－2x)＝42， 整理得x2－10x＋21＝0， 解得x1＝3，x2＝7， 当x＝3时，20－2x＝20－2×3＝14>3，符合题意； 当x＝7时，20－2x＝20－2×7＝6<7，不符合题意，舍去. ∴此时花圃的宽AB的长度是3米. 练一练 【教材P41练习T2】 某磷肥厂 4 月份生产磷肥 500 t，因管理不善，5 月份的磷肥产量减少了 10%；从 6 月份起，工厂强化了管理，产量逐月上升，7 月份产量达到 648 t. 求该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率. 解：设该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 x， 根据题意，得 500(1 – 10%)·(1 + x)2 = 648 解方程，得 x1 = 0.2 = 20%，x2 = – 2.2. x2 = – 2.2 不合题意，所以 x = 20%. 答：该厂 6 月份、7 月份产量的月平均增长率是 20%. 平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2 ……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n 平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2 ……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 探究新知 例 4 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元. 为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施. 经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低 1 元，商场平均每天可多售出2 件. (1) 若商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元? 分析：设每件衬衫应降价 x 元， 则把题中信息整理成下表: 盈利/件 数量 总盈利 原 来 现 在 40 40-x 20 20+2x 800 1200 探究新知 题型三： 利用一元二次方程解决 传播问题 跟踪训练2　(1)如图，一农户准备围建一个矩形猪舍，其中一边靠墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，已知墙长为12 m，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m2？ 解　设垂直于墙的一边长为x m， 则平行于墙的一边长为(25＋1－2x)m，依题意得x(25＋1－2x)＝80， 整理得x2－13x＋40＝0，解得x1＝5，x2＝8， 当x＝5时，25＋1－2x＝25＋1－2×5＝16>12，不符合题意，舍去； 当x＝8时，25＋1－2x＝25＋1－2×8＝10<12，符合题意. 故所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为80 m2. (2)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始，沿 BC边向点C以2 cm/s的速度移动，点Q到达点C后，点P停止运动. ①经过t s后(t>0)，△PBQ的面积等于4 cm2，求t的值； 解　∵5÷1＝5(s)，7÷2＝(s)，5>，∴0<t≤. 当运动时间为t s时，BP＝(5－t)cm，BQ＝2t cm. 根据题意得BP·BQ＝4，即(5－t)×2t＝4， 整理得t2－5t＋4＝0，解得t1＝1，t2＝4(不符合题意，舍去). ∴t的值为1. 探究新知 例 5 如果不防范，病毒的传播速度往往很快，有一种病毒 1 人感染后，经过两轮传播，共有 361 人感染． （1）平均每人每轮感染多少人？ （2）第二轮传播后，人们加强防范，使病毒的传播力度减少到原来的 a%，这样第三轮传播后感染的人数只是第二轮传播后感染人数的 10 倍，求 a 的值． 解：(1) 设平均每人每轮感染 x 人，根据题意，得 1+x+x(x+1)=361 解得 x1=18，x2=-20（舍去） 答：平均每人每轮感染18人； (2) 根据题意，得 361+361×18×a%=10×361 解得 a=50 答：a 的值为50． 探究新知 题型四： 利用一元二次方程解决 循环问题 知识点二 传播问题 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？ 如何理解“两轮传染”？ 通过特值理解——如果每轮每人传染2人： 第1轮传染后患病人数__________人； 第2轮传染后患病人数_____________人. 注意：不要忽视初始人数的二次传染. (1 + 2) = 3 (1 + 2) + 2×3 解：设每轮传染中平均每人传染了 x 人. 根据题意，得 x + 1 + x(x + 1) = 121 解方程，得 x1 = 10，x2 = – 12. 答：每轮传染中平均每人传染了 10 人. 所以 x2 = – 12 不合题意，所以 x = 10. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几人？ 课堂小结 变化率问题 传播与循环问题 平均增长率 若基础量为 a，设平均增长率为 x，则一次增长后的量为 a(1 + x)，两次增长后的量为 a(1 + x)2 ……依此类推， n 次增长后的量为 a(1 + x)n 平均降低率 若基础量为 a，设平均降低率为 x，则一次降低后的量为 a(1 – x)，两次降低后的量为 a(1 – x)2 ……依此类推，n 次降低后的量为 a(1 – x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% $