第11讲 一次函数的应用（复习讲义，考点11题型3重难）（湖南专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“一次函数的应用”，覆盖建模、性质应用、分段函数、方案选择等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析及11类题型分类，形成“考点梳理-方法指导-真题训练”的系统复习流程，助力学生突破实际问题转化难点。 亮点在于“题型精准分类+分层突破”策略，如通过最大利润问题典例讲解建模步骤，结合新情境问题培养模型意识与应用意识。设基础巩固到全国新趋势三级练习，配合重难突破模块，确保高效提升学生解题能力，为教师提供清晰复习路径。

第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 5 命题点一 一次函数与实际问题 题型01 最大利润问题 题型02 分配方案问题 题型03 行程问题 题型04 阶梯收费问题 题型05 工程问题 题型06 分配问题 题型07 跨学科问题 题型08 计时问题 题型09 调运问题 题型10 几何问题 题型11 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 新情境问题 突破二 与现实有关的问题 突破三 中考新考法 06·优题精选·练能提分 29 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一次函数的实际建模（列表达式） / / 能从实际问题中识别两个变量间的线性关系，建立一次函数模型，明确自变量与因变量。 一次函数的性质应用 / / 能利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值问题，理解k的符号决定变化趋势。 分段一次函数应用 / / 能理解分段函数在实际情境中的意义，如阶梯计价、分段计费等，并解决相关问题。 一次函数的方案选择 / / 能根据不同的条件或约束，建立多个一次函数模型，通过比较函数值或解不等式选择最优方案 一次函数的实际验证（结果合理性检验） 长沙市卷T24 / 能根据实际意义对函数结果进行检验，如数量取整、费用非负、范围限制等，确保答案合理。 命题预测 2026年湖南中考数学中，一次函数的应用将继续作为考查数学建模和解决实际问题能力的重要载体，题型以解答题为主，具有以下趋势： 建模能力考查深化：背景更贴近生活、生产实际，如智慧农业、商品销售、资源加工等，要求从文字中提取变量关系。 性质应用更灵活：不仅考查增减性判断，更注重在最优方案、最大利润等实际最值问题中的应用。 分段函数可能引入：虽近年未直接考查，但阶梯水价、出租车计费等分段一次函数模型值得关注。 方案选择类成热点：常以“两种方案比较”“如何购买最省钱”“怎样加工利润最大”等形式出现，考查函数与不等式的综合运用。 实际验证强调规范：要求对结果进行合理性说明，如“∵x为整数，∴取x=…”或“∵费用不能为负，∴舍去…”，体现数学严谨性。 备考建议 1.强化实际建模训练:多从实际问题中练习提取变量、建立y=kx+b模型。注意区分“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”等基本关系，并理解k和b的实际意义。 2.掌握性质应用场景 牢记k>0时y随x增大而增大，k<0时减小。 在最值问题中，根据k的符号和x的取值范围确定最大值或最小值出现在端点处。 3.了解分段函数模型 熟悉“阶梯计价”“分段计费”等模型，理解不同区间对应不同的一次函数。 练习根据自变量所在区间选择对应函数解析式进行计算。 4.熟练方案选择解题步骤 设未知数 → 分别列出两种方案的一次函数表达式 → 建立不等式或方程比较大小 → 结合取值范围确定最优解。 注意有时需分情况讨论（如购买数量不同区间）。 5.养成结果验证习惯 解出答案后，务必代入原题验证是否满足“整数”、“非负”、“不超过”等实际约束。 对于最值问题，检查是否在自变量取值范围内。 考点一 一次函数的实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1.（2025·湖南长沙·三模）“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． (1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 2.（2025·湖南永州·二模）2025年4月23日是第30个世界读书日．主题为“通往未来的桥梁”，为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》10套和《平凡的世界》8套，总费用为900元；八年级订购《骆驼祥子》14套和《平凡的世界》6套，总费用为870元． (1)求《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《平凡的世界》共32套，购买《骆驼祥子》的数量不超过《平凡的世界》的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 3.（2025·湖南常德·二模）如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． (1)小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？ (2)若出发时间是上午，则小华什么时间到达市？ (3)求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1-1-1】（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【变式1-1-2】（2025·湖南郴州·二模）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A、B两款吉祥物的销售单价； (2)A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式1-1-3】（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ ►题型02 分配方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以下信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【变式1-2-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【变式1-2-2】（2025·湖南长沙·一模）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 【变式1-2-3】（2025·湖南衡阳·模拟）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． ►题型03 行程问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ． 【变式1-3-1】（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3-2】（2025·湖南长沙·模拟）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小轩减速前的速度为 米/分钟； (2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式； (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 【变式1-3-3】（2025·湖南常德·模拟）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． ►题型04 阶梯收费问题 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：    (1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？ (2)写出y与x的函数解析式． (3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？ 【变式1-4-1】（2025·湖南长沙·模拟）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-4-2】（2025·湖南永州·模拟）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． (1)月用电量为50度时，应交电费______元． (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)月用电量为150度时，应交电费______元． 【变式1-4-3】（2025·湖南邵阳·模拟）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式． (1)请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式． (2)某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量． ►题型05 工程问题 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长（米）与时间（时）的函数图象为线段，乙队铺设完的路面长（米）与时间（时）的函数图象为折线，如图所示，从甲队开始工作时计时． (1)求线段的函数关系式； (2)当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？ 【变式1-5-1】（2025·湖南湘潭·模拟）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【变式1-5-2】（2025·湖南常德·模拟）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【变式1-5-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）我市计划对1000m2的区域进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；当两队分别各完成200m2的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积； (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工n天，试用含n的代数式表示乙队施工的天数； (3)若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.25万元，且要求两队施工的天数之和不超过15天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用 ►题型06 分配问题 【典例】（2024·湖南·二模）为了保护学生的视力，学校的课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌和椅子高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌和椅子的高度，且课桌高度与对应的椅子高度（不含靠背）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌和椅子对应的四档高度，数据如下表： 档次 第一档 第二档 第三档 第四档 椅子高度 课桌高度 (1)求课桌高度与椅子高度之间的函数关系式； (2)小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套． 【变式1-6-1】（2025·湖南娄底·二模）中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． (1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； (2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 【变式1-6-2】（2025·湖南长沙·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 【变式1-6-3】（2025·湖南·模拟预测）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． ►题型07 跨学科问题 【典例】（2024·湖南长沙·三模）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32 根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-7-1】（2025·湖南·模拟预测）铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为，当时， ． 【变式1-7-2】（2025·湖南·模拟预测）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【变式1-7-3】（2025·湖南长沙·模拟）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底 ． 【变式1-7-4】（2025·湖南浏阳·二模）【综合与实践】 【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据． 【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示： 任务一：求出函数表达式 （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长? 任务三：探究化学试剂对人体的影响情况 （3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少? ►题型08 计时问题 【典例】（2024·湖南长沙·模拟）如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 【变式1-8-1】（2024·湖南郴州·模拟）甲、乙两地相距，一辆汽车上午从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（    ）    A． B． C． D． 【变式1-8-2】（2024·湖南·模拟预测）小优和小秀家住同一小区，两人同时从小区门口出发到吉林省图书馆查阅资料，小区与图书馆的路程是3600米，小优骑自行车，小秀步行，当小优从小区到图书馆并原路原速返回到小区门口时，小秀刚好到达图书馆，图中折线和线段OD分别表示两人距离小区门口的路程与所经过的时间之间的函数关系． (1)小优在图书馆查阅资料的时间为______分钟，小秀的速度为______米/分钟； (2)求线段对应的函数表达式； (3)当小优与小秀相距不超过时，称为小优与小秀“互相可见”，则小优与小秀“互相可见”持续的时长为______分钟． 【变式1-8-3】（2024·湖南·模拟）“十一黄金周”的某一天，小刚全家上午时自驾小汽车从家里出发，到距离千米的某著名旅游景点游玩，该小汽车离家的路程千米与时间时的关系可以用右图的折线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：    (1)小刚全家在旅游景点游玩了多少小时？ (2)求出整个旅程中千米与时间时的函数关系式，并求出相应自变量的取值范围． (3)小刚全家在什么时候离家㎞？什么时候到家？ 【变式1-8-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． (1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 水面高度的变化量 (2)小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．试利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． ①计算任务2得到的函数解析式的值； ②请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小； ►题型09 调运问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨） （1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值． 【变式1-9-1】（2024·湖南株洲·模拟）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800 1600 B地区 1600 1200 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议． 【变式1-9-2】（2024·湖南岳阳·模拟）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元． (1)设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【变式1-9-3】（2025·湖南株洲·自主招生）某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生后，灾区A、B两地急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷，总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了和，恰好按时完成了这项任务． (1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ (2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到地震灾区A、B两地，由于甲、乙两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不相同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷所需车辆数（辆） 甲市 4 7 乙市 3 5 急需帐篷数（千顶） 9 11 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数量最少，并求出最少车辆总数． ►题型10 几何问题 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 【变式1-10-1】（2024·湖南株洲·模拟）如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-10-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【变式1-10-3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? ►题型11 其它问题 【典例】（2024·湖南常德·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【变式1-11-1】（2024·湖南益阳·模拟预测）杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式1-11-2】（2025·湖南岳阳·模拟）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固岳阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【变式1-11-3】（2024·湖南·模拟预测）如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图．小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系．她将50个同样的纸杯叠放在一起，则这50个纸杯的总高度约为（    ） A． B． C． D． 【变式1-11-4】（2024·湖南·模拟）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距厘米 20 21 22 23 身高厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米． 突破一 新情境问题 【典例】2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ (3)设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【变式1】健康中国，营养先行．学校的“烹饪与营养”社团的学生为即将到来的研学活动设计了食品营养方案，现有A，B两种食品作为研学当天的午餐选择，经查询它们的营养成分每包含量如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共4包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量最低，应如何选用这两种食品？ 【变式2】“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 【变式3】区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)a的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 突破二 与现实有关的问题 【典例】某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【变式1】甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 【变式2】一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 突破三 中考新考法 【典例】新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【变式1】新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【变式2】［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【变式3】跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 1.（2025·湖南郴州·模拟）已知一种商品的成本价是7元/件，当利润不低于2元且不高于11元时，该商品的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系：．那么最能反映这个函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 2.（2025·湖南娄底·模拟）把一个长，宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖南长沙·模拟）春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约的铜仁旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 4.（2026九年级上·湖南岳阳·月考）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 5.（2025·湖南长沙·模拟）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 6.（2025·湖南怀化·模拟预测）DeepSeek训练模型时，记录温度与运行时间（小时）的关系如图所示，当运行到第10小时，的温度是 ． 7.（2025·湖南衡阳·模拟）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用y（元）与超出流量的部分数据如表：已知总费用y（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出 ． 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用y（元） 18 21 24 27 30 … 8.（2025·湖南·模拟）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是 ． 9（2025·湖南株洲·三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 10.（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 11.（2025·湖南永州·模拟预测）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元． (1)甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价5元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 12.（2025·湖南长沙·模拟）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 东区 西区 合计 南区 北区 合计 1.（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 2.（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 3.(2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 4.（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 5.（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 6.（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第11讲 一次函数的应用 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 1 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 8 命题点一 一次函数与实际问题 题型01 最大利润问题 题型02 分配方案问题 题型03 行程问题 题型04 阶梯收费问题 题型05 工程问题 题型06 分配问题 题型07 跨学科问题 题型08 计时问题 题型09 调运问题 题型10 几何问题 题型11 其它问题 05·重难突破·思维进阶难 61 突破一 新情境问题 突破二 与现实有关的问题 突破三 中考新考法 06·优题精选·练能提分 76 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 课标要求 一次函数的实际建模（列表达式） / / 能从实际问题中识别两个变量间的线性关系，建立一次函数模型，明确自变量与因变量。 一次函数的性质应用 / / 能利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值问题，理解k的符号决定变化趋势。 分段一次函数应用 / / 能理解分段函数在实际情境中的意义，如阶梯计价、分段计费等，并解决相关问题。 一次函数的方案选择 / / 能根据不同的条件或约束，建立多个一次函数模型，通过比较函数值或解不等式选择最优方案 一次函数的实际验证（结果合理性检验） 长沙市卷T24 / 能根据实际意义对函数结果进行检验，如数量取整、费用非负、范围限制等，确保答案合理。 命题预测 2026年湖南中考数学中，一次函数的应用将继续作为考查数学建模和解决实际问题能力的重要载体，题型以解答题为主，具有以下趋势： 建模能力考查深化：背景更贴近生活、生产实际，如智慧农业、商品销售、资源加工等，要求从文字中提取变量关系。 性质应用更灵活：不仅考查增减性判断，更注重在最优方案、最大利润等实际最值问题中的应用。 分段函数可能引入：虽近年未直接考查，但阶梯水价、出租车计费等分段一次函数模型值得关注。 方案选择类成热点：常以“两种方案比较”“如何购买最省钱”“怎样加工利润最大”等形式出现，考查函数与不等式的综合运用。 实际验证强调规范：要求对结果进行合理性说明，如“∵x为整数，∴取x=…”或“∵费用不能为负，∴舍去…”，体现数学严谨性。 备考建议 1.强化实际建模训练:多从实际问题中练习提取变量、建立y=kx+b模型。注意区分“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”等基本关系，并理解k和b的实际意义。 2.掌握性质应用场景 牢记k>0时y随x增大而增大，k<0时减小。 在最值问题中，根据k的符号和x的取值范围确定最大值或最小值出现在端点处。 3.了解分段函数模型 熟悉“阶梯计价”“分段计费”等模型，理解不同区间对应不同的一次函数。 练习根据自变量所在区间选择对应函数解析式进行计算。 4.熟练方案选择解题步骤 设未知数 → 分别列出两种方案的一次函数表达式 → 建立不等式或方程比较大小 → 结合取值范围确定最优解。 注意有时需分情况讨论（如购买数量不同区间）。 5.养成结果验证习惯 解出答案后，务必代入原题验证是否满足“整数”、“非负”、“不超过”等实际约束。 对于最值问题，检查是否在自变量取值范围内。 考点一 一次函数的实际应用 1.判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 1）通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 2）建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 3）观察图像特征，判断函数的类型. 2.建立一次函数解析式的常用方法 1）根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 2）若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 用一次函数解决问题的关键是建立数学模型，数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 3.一次函数应用问题的求解思路： 1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； 2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点； 3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 4.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 1）观察图像，获取有效信息； 2）对获取的信息进行加工、处理，理清各数量之间的关系； 3）选择适当的数学工具(如函数、方程、不等式等)，通过建模解决问题. 【提示】时刻注意根据实际情况确定变量的取值范围. 5.求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 1.（2025·湖南长沙·三模）“茶颜悦色”是长沙网红奶茶品牌，以其独特的口味和精美的包装吸引无数游客．某门店销售两种口味的奶茶饮品，若购买3杯种口味奶茶饮品和4杯种口味奶茶饮品共需125元；若购买1杯A种口味奶茶饮品和3杯B种口味奶茶饮品共需75元． (1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是多少元一杯？ (2)若旅游团队需要购买两种口味奶茶饮品共30杯，其中种口味的数量至少比种口味的数量多5杯，怎样购买才能使总费用最少?并求出最少费用． 【答案】(1)A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． (2)购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，以及根据一次函数增减性求最值．正确列出方程组和一次函数的关系式是解题的关键． （1）A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯，根据题意建立方程组，解方程组即可得解； （2）设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元，根据题意列不等式，求出m的取值范围，再根据题意列出w与m之间的函数关系式，根据一次函数的增减性即可求出w的最小值． 【详解】（1）解：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是x元和y元一杯， 由题意得：，     解得 ．      答：A种口味奶茶饮品和B种口味奶茶饮品价格分别是15元和20元一杯． （2）解：设购买A种口味奶茶饮品m杯，则购买B种口味奶茶饮品杯，总费用为w元， 由题意得：， 解得，    ，         ， 随m的增大而减小． 当时，w取得最小值，     ．       答：购买A种口味奶茶饮品12杯，则购买B种口味奶茶饮品18杯，费用最少，最少为540元． 2.（2025·湖南永州·二模）2025年4月23日是第30个世界读书日．主题为“通往未来的桥梁”，为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》10套和《平凡的世界》8套，总费用为900元；八年级订购《骆驼祥子》14套和《平凡的世界》6套，总费用为870元． (1)求《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《平凡的世界》共32套，购买《骆驼祥子》的数量不超过《平凡的世界》的2倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是30元，75元 (2)学校购买购买《骆驼祥子》21套，则购买《平凡的世界》11套，所需费用最小为1455元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买《骆驼祥子》套，则购买《平凡的世界》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是元， 由题意可得： 解得 答：《骆驼祥子》和《平凡的世界》每套价格分别是30元，75元； （2）设购买《骆驼祥子》套，则购买《平凡的世界》套 由题意可知：， 解得： 设所需费用为元，则， 随的增大而减小， 当时， 有最小值为： 此时，（套） 答：学校购买购买《骆驼祥子》21套，则购买《平凡的世界》11套，所需费用最小为1455元． 3.（2025·湖南常德·二模）如图1是三个城市的位置图（三个城市在同一直线上），小华由市驾车驶向市，小明由市驾车驶向市，两车同时出发，行驶过程中车速保持不变，小华、小明的车速分别是75千米/小时和100千米/小时．图2是小华、小明分别与C市的距离（千米），（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． (1)小明、小华两人驾车到达C市时各用了几小时？ (2)若出发时间是上午，则小华什么时间到达市？ (3)求点的横坐标，并说明点的横坐标的实际意义． 【答案】(1)小明驾车到达市时用了7.5小时，小华驾车到达C市时用了2小时 (2)小华到达B市的时间为晚上 (3)点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）直接从图象中获取信息作答即可； （2）根据路程等于速度乘以时间，求出市与市的距离，用总路程除以速度，再加上小华中途休息时间，即可求出结果； （3）求出的解析式，线段的解析式，联立求出点的横坐标，根据交点表示相遇，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意，折线为小华与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． 线段是小明与市的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系图象． 由题图2知，小明驾车到达市时用了7.5小时， 小华驾车到达C市时用了2小时． （2）A市与B市之间的距离为（千米）． 由题图2可知小华由市到市中间休息了1小时， （小时），（小时）． 若出发时间是上午，则小华到达市的时间为晚上． （3）由图可知：的坐标分别为， 设， 则， 解得， ． 由图可知：的坐标为， 当时，小华与市的距离为（千米）， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得， ． 当时，， 解得（小时）， 故点的横坐标为，其表示的实际意义是行驶小时后，小明与小华相遇． 命题点一 一次函数的应用 ►题型01 最大利润问题 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值． 【典例】（2025·湖南长沙·模拟预测）某礼品店经销，两种礼品盒，第一次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元；第二次购进种礼品盒盒，种礼品盒盒，共花费元． (1)求购进，两种礼品盒的单价分别是多少元； (2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共盒，总费用不超过元，那么至少购进种礼品盒多少盒？ (3)在（2）的条件下，若每个礼品盒的利润为元，每个礼品盒的利润为元，如何进货才能使销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； (2)至少购进种礼品盒盒； (3)购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用， （1）设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元，根据题意列二元一次方程组解决； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒，根据总费用不超过元列不等式解决； （3）设销售利润为元，得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：购进种礼品盒的单价是元，种礼品盒的单价是元； （2）设购进种礼品盒盒，则购进种礼品盒盒， 由题意得：， 解得：， 答：至少购进种礼品盒盒； （3）设销售利润为元， 由题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值， 此时，， 答：购进种礼品盒盒，种礼品盒盒才能使销售利润最大，最大利润是元． 【变式1-1-1】（2025·湖南长沙·二模）近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动做好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． (1)每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ (2)根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，请设计出总利润最大的购进方案，并说明理由． 【答案】(1)每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 (2)总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元，根据每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；购进16个甲种文创产品和10个乙种文创产品共花费220元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每个甲种文创的进价是x元，每个乙种文创的进价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； （2）解：设购进甲种文创a个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设总利润为w元，由题意得： ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值， 此时，， 答：总利润最大的购进方案为购进甲文创150个，乙文创250个． 【变式1-1-2】（2025·湖南郴州·二模）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同． (1)求A、B两款吉祥物的销售单价； (2)A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； (2)当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验． （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款吉祥物的销售单价，注意分式方程要检验； （2）根据题意可以得到利润与购买A款吉祥物数量的函数关系，然后根据B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，可以求得A款吉祥物数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元， 根据题意得：， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元； （2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元， ， ∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍， ∴， 解得，， ∵，w随x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，此时， 120-x=40， 答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元． 【变式1-1-3】（2025·湖南·一模）湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表： 种类 君山银针A规格 古丈毛尖B规格 进价（元/斤） 160 500 售价（元/斤） 200 600 该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤． (1)若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？ (2)根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤； (2)该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答 （1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元-次方程组，从而可以求得该茶庄购进4，B两种规格的茶各多少斤； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到利润和购进A规格茶叶数量的函数关系式，然后根据A规格的进货量不低于B规格的3倍，可以得到购进A规格茶叶数量的取值范围，再根据最后根据一次函数的性质确定最大值． 【详解】（1）解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得． 根据题意，得 解得 答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤． （2）设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤． 因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍， 所以， 解得． 设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元． 根据题意，得． 因为， 所以w随m的增大而减小． 又， 所以当时，w取得最大值，最大值为． 此时． 答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元． ►题型02 分配方案问题 方案的选取就是在自变量的不同取值范围内比较多个函数值的大小，同时也是利用一次函数解决实际问题的典型题目，它的实质是将比较函数值大小的问题转化为解方程或解不等式的问题. 【典例】（2025·湖南怀化·模拟）六月是离别的季节，三年的初中时光就将告一段落，为了给大家的青春留下纪念，各班家委决定为同学们采购特色钢笔和笔记本两种商品，具体信息如表： 根据以下信息解答下列问题： 班级 购买数量（件） 购买总费用（元） 钢笔 笔记本 九（1）班 40 20 1100 九（2）班 20 60 1300 (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由． 【答案】(1)钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元； (2)最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合表格信息，列出二元一次方程组，再求解，即可作答． （2）根据九（3）班购买这两种商品共60件，且钢笔的数量不少于笔记本数量的2倍，列出不等式，再解得，然后结合设九（3）班购买这两种商品共花费元，则，运用一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设钢笔的单价是元，笔记本的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：钢笔的单价是20元，笔记本的单价是15元； （2）解：（2）最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本，理由如下： 设九（3）班购买支钢笔，则购买本笔记本， 根据题意得：， 解得：， 设九（3）班购买这两种商品共花费元， 则， 即， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时， 最省钱的购买方案为：购买40支钢笔，20本笔记本． 【变式1-2-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示： 甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元） (1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？ (2)该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案． 【答案】(1)每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元； (2)购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组和函数关系式． （）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，由题意得，再解方程组即可； （）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，求得，然后根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”求出的范围即可求解． 【详解】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元， ∴由题意得：，解得：， 答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元； （2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元， 则， ∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍， ∴， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时，， 答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大． 【变式1-2-2】（2025·湖南长沙·一模）某移动公司推出A，B两种电话计费方式． 计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/（元/min） 被叫 A 免费 B 免费 (1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式； (2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由； (3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式． 【答案】(1)见解析； (2)选方式B计费，理由见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为、，分别计算 三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可； （2）令，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可； （3）令，求出此时的值，当主叫时间时，方式A省钱；当主叫时间时，方式A和B一样；当主叫时间时，方式B省钱； 【详解】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为、 当时，方式A的计费金额为元，方式B的计费金额为108元； 方式A的计费金额，方式B的计费金额为108元； 当时，方式A的计费金额为，方式B的计费金额为 总结如下表： 主叫时间/分钟 方式A计费() 方式B计费() 78 108 108 （2）解：当时， ，故选方式B计费． （3）解：令，有解得 ∴当时，方式A更省钱； 当时，方式A和B金额一样； 当时，方式B更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键． 【变式1-2-3】（2025·湖南衡阳·模拟）某公司每月生产甲、乙两种型号的果汁共20万瓶，且所有果汁当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 12元/瓶 4元/瓶 售价 18元/瓶 6元/瓶 (1)设甲种型号的果汁有x万瓶，公司所获利润为W元，如果该公司四月份投入成本不超过216万元，应该怎样安排甲、乙两种型号果汁的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润． (2)“五一”黄金周期间，为扩大销量，该公司对乙种型号果汁进行优惠，优惠方案如下： 方案一：购买乙种型号果汁一律打9折； 方案二：购买168元会员卡后，乙种型号果汁一律8折． 某超市到该公司购买乙种型号果汁，请帮该超市设计出合适的购买方案． 【答案】(1)当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； (2)当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． 【分析】（1）根据该公司四月份投入成本不超过216万元，可列出关于x的一元一次不等式，解之导出x的取值范围，利用总利润每瓶甲种号的果汁的销售利润生产甲种型号的果汁量每瓶乙种型号的果汁的销售利润生种型号的果汁的数量，可找出W关于x的关系式，再利用一次函数的性质，即可解值问题； （2）设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，选择方案一所需费用为元；选择方案而需费用为元，分及 三种情况，可求出y的直范围或y的值，进而可得出结论． 本题考查了一次函数的应用、一元一次不等式应用以及一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该公司每月生产甲、乙两种型号的果汁20万瓶，且甲种型号的果汁生产了x万瓶，乙种型号的果汁生产了万瓶， 据题意得： 解得：， ∵公司所获利润为W元， ∴ ∴ ∵ ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W取得最大值，最大值为，此时， ∴当甲种型号的果汁生产了17万瓶，乙种的果汁生产了3万瓶时，该月公司所获利润最大，最大利润为108万元； （2）解：设该超市到该公司购买乙种型号果汁y瓶，则选择方案一所需费用为：元，选择方案二所需费用为：元， 若，则， 当时，选择方案一购买更合算； 若，则， 当时，选择两优惠方案所需费用相同； 若，则，   当时，选择方案二购买更合算． ∴当时，选择方案一购买更合算；当时，选择两优惠方案所需费用相同；当时，选择方案二购买更合算． ►题型03 行程问题 【典例】（2025·湖南邵阳·三模）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海七日至北海，雁起北海九日至南海，今凫、雁俱起，问何日相逢？如图是凫、雁起飞后，凫、雁距离南海的路程关于飞行时间的函数图象，则两函数图象的交点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数的图象，正确理解题意、从图象中得出解题所需信息是解题的关键； 根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是，则凫、雁相遇时，距离南海的路程，据此建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得：凫的飞行速度是、雁的飞行速度是， 则凫、雁相遇时，距离南海的路程， ∴， 解得：， 即点M的横坐标是； 故答案为：． 【变式1-3-1】（2025·湖南长沙·一模）年月日，以“走起来就青春”为主题的第一届全国全民健身大赛“湖南（秋季）百公里”从洋湖湿地公园开启，数千名毅行者沿湘江大堤徒步跨越长株潭三城，活动全程近．第一天上午，学生小毅跟随大部队从白鹭广场出发，匀速徒步至巴溪洲广场，休整后再从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代．他徒步的路程与其所用时间之间的图象如图所示，则当他徒步小时后（含中途休整时间），他离终点目标的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，由函数图象可得毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为，即可求出他徒步小时后（含中途休整时间）的路程，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，小毅从巴溪洲广场匀速徒步至湘江保利时代的速度为， ∴他徒步小时后（含中途休整时间）的路程为， ∴他离终点目标的路程为， 故选：． 【变式1-3-2】（2025·湖南长沙·模拟）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小轩减速前的速度为 米/分钟； (2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式； (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 【答案】(1)20 (2) (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米 【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式成为解题的关键． （1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式即可； （3）将代入（2）所得函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为米/分钟． 故答案为：20． （2）解：设小轩减速后与之间的函数表达式为， 将和代入得： ， 解得：． 小轩减速后与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米． 【变式1-3-3】（2025·湖南常德·模拟）杭州西溪国家湿地公园是中国首个国家级景区的湿地公园，湿地跑步道也逐渐成为跑友们的打卡圣地．某天，明明和爸爸约定从同一地点出发，沿同一路线环湿地匀速跑步一圈（跑步道一圈的总路程为）．爸爸跑得慢，先出发，半小时后明明再出发，两人离开出发点的路程与爸爸离开出发点的时间的函数图象如图所示． (1)求爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式． (2)求明明的跑步速度． (3)在爸爸跑步过程中，直接写出爸爸和明明相距时t的值． 【答案】(1)； (2)明明的跑步速度为； (3)t的值为2.25或1.75或或． 【分析】（1）设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：，把代入可得k的值，即可求解； （2）求得当时，，除以明明跑步的时间即可求得明明的跑步速度； （3）求得明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式，爸爸和明明相距，两个函数值的差的绝对值=0.5，求解即可得到的两个值：明明未出发时，以及明明到达目的地后，都可能与爸爸相距求得另两个的值即可． 本题考查一次函数的应用，得到爸爸和明明离开出发点的路程与时间的函数表达式是解决本题的关键，易错点是要分情况探讨明明和爸爸相距0.5千米时爸爸所用时间的不同情况． 【详解】（1）解：设爸爸离开出发点的路程与时间的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴； 答：爸爸离开出发点的路程与时间的函数表达式为：； （2）当时，． ∴明明的跑步速度＝ ． 答：明明的跑步速度为； （3）设明明跑步离开出发点的路程与时间的函数表达式为：． ∵经过点． ∴． 解得：． ∴． ∵爸爸和明明相距， ∴． ∴． ∴或． 解得：或． 明明还未出发时，和爸爸相距0.5千米． ． 解得：t＝． 明明到达目的地后，和爸爸相距0.5千米． ． ． 解得：t＝． 综上：t的值为2.25或1.75或或． ►题型04 阶梯收费问题 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0﹣15吨为基本段，15﹣22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示：    (1)求出基本段每吨水费，若某用户该月用水5吨，问应交水费多少元？ (2)写出y与x的函数解析式． (3)若某月一用户交水量48元，则该用户用水多少吨？ 【答案】(1)10元 (2) (3)21吨 【分析】（1）根据图象可知，用水15吨交水费30元，依此求出基本段每吨水费，再用基本段每吨水费乘以5吨，可得应交水费； （2）分，，三种情况，利用待定系数法即可求出y与x的函数解析式； （3）根据图象可知，用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元，由于，所以该用户用水大于15吨且小于22吨，将代入（2）中对应的函数解析式，得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵用水15吨交水费30元， ∴基本段每吨水费元， ∴若某用户该月用水5吨，问应交水费元； （2）解：分三种情况： ①当时，设， ∵，在直线上， ∴，解得， ∴； ②当时，设， ∵，在直线上， ∴，解得， ∴； ③当时，同理求得． 综上所述，y与x的函数解析式为； （3）解：若某月一用户交水量48元，设该用户用水x吨． ∵用水15吨交水费30元，用水22吨交水费51元， 而， ∴． 由题意，得， 解得． 答：若某月一用户交水量48元，设该用户用水21吨． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，函数图象的读图能力．从函数图象中得到有用的信息以及利用分类讨论思想是解题的关键． 【变式1-4-1】（2025·湖南长沙·模拟）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分段函数的图象，熟练掌握根据不同收费标准确定函数关系式进而分析图象是解题的关键．根据不同通话时长区间的收费标准，分情况分析费用与时间的函数关系，进而判断图象． 【详解】解：∵ 有月租费10元， ∴ 当时，． ∵ 每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元， ∴ 当时，，且当时，， 此时函数图象是从出发，到点的一条线段． ∵ 超过120分钟的每分钟收费0.1元， ∴ 当时，，此时函数图象是比时的倾斜度缓的线段． 观察各选项，只有B选项符合． 故选：B． 【变式1-4-2】（2025·湖南永州·模拟）某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示． (1)月用电量为50度时，应交电费______元． (2)当时，求y与x之间的函数关系式； (3)月用电量为150度时，应交电费______元． 【答案】(1)30 (2) (3)130 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求出当时的函数解析式，再将代入即可得解； （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式即可； （3）将代入（2）的结果中即可得解． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入可得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， ∴月用电量为50度时，应交电费元， 故答案为：30； （2）当时，设， 将，代入可得：， 解得：， ∴当时，y与x之间的函数关系式为； （3）解：当时，， 即月用电量为度时，应交电费元， 故答案为：130． 【变式1-4-3】（2025·湖南邵阳·模拟）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式． (1)请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式． (2)某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量． 【答案】(1)x在100度以内，；x超过100度，元 (2)这户居民6月份的用电量为度 【分析】本题考查列函数关系式，已知函数值求自变量的值． （1）根据题意分两种情况列出函数关系式即可； （2）由题意可知用电量超过100度，列方程解题即可． 【详解】（1）设用电量为x度，收费为y元， 当时，收费为元； 当时，收费为元； （2）解：∵， ∴用电量超过100度， 则， 解得， 答：这户居民6月份的用电量为度． ►题型05 工程问题 【典例】（2025·湖南郴州·模拟）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长（米）与时间（时）的函数图象为线段，乙队铺设完的路面长（米）与时间（时）的函数图象为折线，如图所示，从甲队开始工作时计时． (1)求线段的函数关系式； (2)当甲队清理完路面时，乙队还有多少米的路面没有铺设完？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，解答时求出函数的解析式是关键． （1）先求出乙队铺设路面的工作效率，计算出乙队完成需要的时间，求出E的坐标，再由待定系数法即可求解； （2）由（1）的结论求出甲队完成的时间，把时间代入乙的解析式即可求解． 【详解】（1）解：设线段所在直线对应的函数关系式为 乙队按停工前的工作效率为：（米/时）， 乙队剩下的需要的时间为：（小时）， ， 代入，得， 解得： 线段的函数关系式为； （2）解：甲队每小时清理路面的长为 （米）， 甲队清理完路面的时间为（小时）， 把代入，得， 当甲队清理完路面时，乙队铺设完的路面长为米， 乙队还有米的路面没有铺设完， 答：当甲队清理完路面时，乙队还有米的路面没有铺设完． 【变式1-5-1】（2025·湖南湘潭·模拟）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等． (1)求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； (2)为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？ 【答案】(1)甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； (2)15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可； （2）设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米，求得关于的一次函数，再利用“甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍”求得的范围，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲队平均每天修复公路千米，则乙队平均每天修复公路千米， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米； （2）解：设甲队的工作时间为天，则乙队的工作时间为天，15天的工期，两队能修复公路千米， 由题意得， ， 解得， ∵， ∴随的增加而减少， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：15天的工期，两队最多能修复公路千米． 【变式1-5-2】（2025·湖南常德·模拟）根据如下素材，完成探索社务． 背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣． 素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元． 素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件 素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台． 解决问题 任务 求、两种型号智能机器人的单价； 任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】任务：万元、万元 任务: 型号智能机器人台，型号智能机器人台 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，不等式的实际应用，熟练根据题意正确列出等式、式子、不等式是解题的关键． 任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”列式求解即可； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，最后利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元， 根据题意得：， 解得：， 答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元； 任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台， 则购买型号智能机器人台， 根据题意得：， ∵， 解得：， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值（万件）， （台）， 即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多． 【变式1-5-3】（2025·湖南益阳·模拟预测）我市计划对1000m2的区域进行绿化，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；当两队分别各完成200m2的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积； (2)两队合作完成此项工程，若甲队参与施工n天，试用含n的代数式表示乙队施工的天数； (3)若甲队每天施工费用是0.6万元，乙队每天为0.25万元，且要求两队施工的天数之和不超过15天，应如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； (2)天 (3)安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元． 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据两队独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天，列方程求解； （2）用总工作量减去甲队的工作量，然后除以乙队的工作效率即可求解； （3）设甲队施工天，由（2）知乙队施工天，令施工总费用为万元，求出与的函数解析式，根据的取值范围以及一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙工程队每天能完成绿化的面积是，则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）解：甲队完成的绿化面积：， 剩余的绿化面积：， 乙队施工的天数：天； （3）解：设甲队施工天，由（2）知乙队施工天，令施工总费用为万元， 则． 两队施工的天数之和不超过15天， ， ， 当时，有最小值5.5万元，此时甲队施工5天，乙队施工10天． 答：安排甲队施工5天，乙队施工10天，可使施工总费用最低，最低费用为5.5万元． 【点睛】本题考查了分式方程，一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． ►题型06 分配问题 【典例】（2024·湖南·二模）为了保护学生的视力，学校的课桌和椅子的高度都是按一定的关系配套设计的．为了了解学校新添置的一批课桌和椅子高度的配套设计情况，小明所在的综合实践小组进行了调查研究，他们发现可以根据人的身高调节课桌和椅子的高度，且课桌高度与对应的椅子高度（不含靠背）符合一次函数关系，他们测量了一套符合条件的课桌和椅子对应的四档高度，数据如下表： 档次 第一档 第二档 第三档 第四档 椅子高度 课桌高度 (1)求课桌高度与椅子高度之间的函数关系式； (2)小丽测量了自己新更换的课桌椅，桌子的高度为，椅子的高度为，请你判断它们是否配套？如果配套，请说明理由；如果不配套，请你帮助小丽调整桌子或椅子的高度使得它们配套． 【答案】(1) (2)不配套，理由见解析 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握待定系数法求解析式，根据自变量求函数值的方法是解题的关键． （1）设与的函数关系式为，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数的性质，把桌子的高度为代入计算再与椅子的高度比较即可；或把椅子的高度为代入，再与桌子的高度比较即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为，把和代入， 得， 解得， 课桌高度与椅子高度之间的函数关系式为． （2）解：不配套，理由如下： 方法一：在中，当时，， ， 把小丽的桌子高度降低3cm就可以配套了． 方法二：在中，当时，， 解得， ． 把小丽的椅子高度升高1.5cm就可以配套了． 【变式1-6-1】（2025·湖南娄底·二模）中考在即，为了缓减学生的学习压力，某中学组织九年级450名师生前往曾国藩故居开展研学活动，如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位． (1)求每辆A型巴士和每辆B型巴士的座位数； (2)学校决定租用两种型号的巴士共20辆，且B型巴士最多租8辆，已知每辆A型巴士和每辆B型巴士的租金分别为750元和900元，若要使参加活动的师生均有座位，则共有多少种租车方案？最低租车费用是多少？ 【答案】(1)每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个 (2)共有4种租车方案，最低租车费用为15750元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是： （1）设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个，根据“如果租用10辆A型巴士和8辆B型巴士，则有10人没有座位，如果租用8辆A型巴士和10辆B型巴士，则还有10个空座位”列方程组求解即可； （2）设租用A型巴士x辆，则租用B型巴士辆，以此可列出一元一次不等式，求得m的范围，设租车的总费用为w（元），因此，根据一次函数的性质，结合m的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：设每辆A型巴士的座位数为m个，每辆B型巴士的座位数为n个， 根据题意，得， 解得， 答：每辆A型巴士的座位数为20个，每辆B型巴士的座位数为30个； （2）解：设租用A型巴士x辆，租用B型巴士辆， 根据题意，得， 解得， ∵x为整数， ∴x的取值为12、13、14、15， ∴共有4种租车方案， 设租车总费用为w元， 则， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取最小值，最小值为， 答：共有4种租车方案，最低租车费用为15750元． 【变式1-6-2】（2025·湖南长沙·二模）春节前夕，老张去市场为自己旗下的A，B两个水果超市备货，他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，已知芒果的批发价为80元/箱，车厘子的批发价为100元/箱． (1)求老张批发的车厘子和芒果的箱数； (2)老张分配给A，B两个水果超市各50箱，如表为两超市的水果销售价格．设分配给A水果超市车厘子m箱． 车厘子销售价（元/箱） 芒果销售价（元/箱） A水果超市 160 100 B水果超市 150 120 若确保销售完这批水果后，B水果超市的利润不低于2400元，如何分配能使两超市获得最大利润，并求出这个最大利润； (3)老张仍然分配给A，B两个水果超市各50箱，若仅考虑获得最大利润，如何分配能使两超市获得最大利润，请直接写出分配方案及最大利润． 【答案】(1)老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱 (2)A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱，最大的总利润是4200元 (3)A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，最大的总利润是5100元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，根据他花费9200元批发了车厘子和芒果共100箱，列出方程组进行求解即可； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，根据B水果超市的利润不低于2400元，列出不等式，求出的范围，根据总利润等于两个超市的利润之和，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质，求最值即可； （3）根据利润最大化，以及总利润等于车厘子的总利润加上芒果的总利润，只要两种水果都实现利润最大化即可，比较两个超市每种水果的单价，进行判断即可． 【详解】（1）解：设老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为箱和箱，由题意，得： ，解得：； 答：老张批发的车厘子和芒果的箱数分别为60箱和40箱； （2）由题意，得，分配给A水果超市车厘子m箱，则分配给A水果超市芒果箱，分配给水果超市车厘子箱，分配给水果超市芒果箱，设总利润为，则： ， 解得：； ， 整理，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最大为； ∴， 故分配给A超市车厘子20箱，芒果30箱，B超市车厘子40箱，芒果10箱时，利润最大，最大的总利润是4200元； （3）由题意，可知，超市的车厘子的售价高于超市，超市芒果的售价高于超市，要实现总利润最大，则超市的车厘子数量越多，超市芒果的数量越多，总利润越大，故分配给A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为：（元）； 答：A超市车厘子50箱，芒果0箱，B超市车厘子10箱，芒果40箱，时，利润最大为元． 【变式1-6-3】（2025·湖南·模拟预测）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． (2)购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． ►题型07 跨学科问题 【典例】（2024·湖南长沙·三模）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表： t（） 0 10 20 30 40 R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32 根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据求出，然后将代入即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解决此题的关键． 【详解】∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系， ∴设, 将表中数值代入得， ∴, ∴， ∴， ∴当时，, 故选：C． 【变式1-7-1】（2025·湖南·模拟预测）铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为，当时， ． 【答案】158 【分析】本题主要考查一次函数的的应用；此题可把代入函数关系式进行求解即可． 【详解】解：由题意把代入得：， 解得：； 故答案为158． 【变式1-7-2】（2025·湖南·模拟预测）一个弹簧不挂重物时长6 cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数图象如图所示，则图中a的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得：， ， 把代入， 得． 故答案为：3． 【变式1-7-3】（2025·湖南长沙·模拟）在学习物理《浮力》一章后，小明为测量一长方体铁块所受浮力大小的情况，在一个高的水杯里装一些水，然后将铁块从杯口高度由上而下缓慢浸入水里，在这过程中，弹簧测力计的示数与铁块下降的高度之间的关系如图所示．则当弹簧测力计的示数为时，此时铁块底面距离杯底 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，先利用待定系数法求出的解析式，然后把代入函数解析式，求出此时铁块下降的高度，再求出铁块底面距离杯底的距离即可． 【详解】解：设所在直线的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴所在直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ． 【变式1-7-4】（2025·湖南浏阳·二模）【综合与实践】 【实践任务】研究小组进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况，某研究小组在两种不同的场景下做对比实验，并收集该试剂挥发过程中剩余质量随时间变化的数据． 【实验数据】该试剂挥发过程中剩余质量y(克)随时间x(分钟)变化的数据，并分别绘制在平面直角坐标系中，如图所示： 任务一：求出函数表达式 （1）经过描点构造函数模型来模拟两种场景下随变化的函数关系，发现场景的图象是抛物线的一部分，场景的图象是直线的一部分，分别求出场景A、B相应的函数表达式； 任务二：探究该化学试剂的挥发情况 （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克，在上述实验中，该化学试剂在哪种场影下发挥作用的时间更长? 任务三：探究化学试剂对人体的影响情况 （3）因化学试剂对人体是有一定的影响的，若试剂挥发过程中剩余质量不大于1克对人体影响最小，则哪个场景影响时间最少? 【答案】（1）；（2）在A场景下发挥作用时间更长；理由见解析；（3）B场景影响时间最少 【分析】本题考查二次函数与一次函数的实际应用，理解题意及图形的意义是解题的关键． （1）将点分别代入中，解方程组，即可求得二次函数解析式；将点分别代入中，解方程组，即可求得一次函数解析式； （2）观察A、B两个场景下点，由这两点表示的意义即可判断； （3）与（2）分析相同． 【详解】解：（1）将分别代入中得 ， ， 将分别代入中得 ，解得：， ； （2）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克， 又因为该化学试剂发挥作用的最低质量为3克， 所以在A场景下发挥作用时间更长． （3）因为A场景当剩余质量为3克时，需要20分钟，而B场景20分钟时剩余质量为1克， 所以B场景影响时间最少． ►题型08 计时问题 【典例】（2024·湖南长沙·模拟）如图，某游客为爬上千米的山顶看日出，先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶，游客爬山所用时间（小时）与山高（千米）间的函数关系用图象表示是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解题意，图示中函数图形的横坐标、纵坐标表示的含义分析即可求解． 【详解】解：先用小时爬了千米，休息小时后，再用小时爬上山顶， ∴符合题意的函数图象是D选项， 故选：D ． 【变式1-8-1】（2024·湖南郴州·模拟）甲、乙两地相距，一辆汽车上午从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据路程、速度和时间的关系结合函数图像解答即可. 【详解】解：∵汽车匀速行驶了一半的路程后将速度提高了，甲、乙两地相距， ∴汽车1小时行驶了60km，汽车的速度为， ∴1小时以后的速度为， 汽车行驶完后面的路程需要的时间为分钟， 故该车到达乙地的时间是当天上午； 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的图像，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键. 【变式1-8-2】（2024·湖南·模拟预测）小优和小秀家住同一小区，两人同时从小区门口出发到吉林省图书馆查阅资料，小区与图书馆的路程是3600米，小优骑自行车，小秀步行，当小优从小区到图书馆并原路原速返回到小区门口时，小秀刚好到达图书馆，图中折线和线段OD分别表示两人距离小区门口的路程与所经过的时间之间的函数关系． (1)小优在图书馆查阅资料的时间为______分钟，小秀的速度为______米/分钟； (2)求线段对应的函数表达式； (3)当小优与小秀相距不超过时，称为小优与小秀“互相可见”，则小优与小秀“互相可见”持续的时长为______分钟． 【答案】(1)16，75 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，熟练地运用待定系数法求函数解析式和用方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据图象上所给的数据的实际意义，线段表示小优在图书馆查阅资料，可得答案，根据速度路程时间即可求解； （2）根据，利用待定系数法求解即可； （3）由题意可知线段的解析式为，线段的解析式为，分三种情况：当小优从小区到图书馆时，当小优在图书馆查阅资料时，当小优从图书馆回小区时，分别讨论进行求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，小优在图书馆查阅资料的时间为分钟， 小秀的速度为米/分钟， 故答案为：16，75； （2）设的解析式为， 将，，代入， 可得：，解得：， ∴线段对应的函数表达式为； （3）由题意可知，小优的速度为米/分钟， 线段的解析式为， 线段的解析式为， 当小优从小区到图书馆时，即：时，，解得：， 即：小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟； 当小优在图书馆查阅资料时，即：时，当时，两人相距米，当时，两人相距米，故此时不符合题意； 当小优从图书馆回小区时，即：时，，解得：， 即：小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟； 则 综上，小优与小秀“互相可见”持续的时长为分钟， 故答案为：． 【变式1-8-3】（2024·湖南·模拟）“十一黄金周”的某一天，小刚全家上午时自驾小汽车从家里出发，到距离千米的某著名旅游景点游玩，该小汽车离家的路程千米与时间时的关系可以用右图的折线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：    (1)小刚全家在旅游景点游玩了多少小时？ (2)求出整个旅程中千米与时间时的函数关系式，并求出相应自变量的取值范围． (3)小刚全家在什么时候离家㎞？什么时候到家？ 【答案】(1)4； (2)，，； (3)时分或时，． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式以及求自变量的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）根据图示，在旅游景点停留的时间可以知道游玩的时间． （）根据图象信息可以得出整个旅程中千米与时间时的函数关系式，讨论实际情况得到的取值范围． （）从图中信息可知当时，，当时，，可算出去时距离时的时间，由图可知回来时当时，．根据回来时的函数可得到家的时间． 【详解】（1）解：由图示信息可知，在距离千米的某著名旅游景点游玩，停留了小时，所以游玩了小时； （2）当时 设过点， ∴， 解得， ∴． 当时 当时， ∵过点，， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴，，； （3）解：当时， 解得即时分 得． 当时 得． 答：时分或时离家㎞，时到家． 【变式1-8-4】（2024·湖南长沙·模拟预测）“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． (1)综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表所示，请分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 水面高度的变化量 (2)小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．试利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (3)经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． ①计算任务2得到的函数解析式的值； ②请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小； 【答案】(1)，，，. (2)； (3)①；② 【分析】（1）依表计算即可； （2）根据待定系法确定关系式即可； （3）（1）根据题意计算即可；（2）设，代入w计算化简，利用一二次函数性质求w的最小值即可. 【详解】（1）解：变化量分别为：；；；， ∴每隔水面高度观察值的变化量为：，，，. 故答案为：，，，． （2）解：设水面高度h与流水时间t的函数解析式为， ∵时，；时，； ∴， 解得：， ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． （3）解：①. ②解：， ∴当时，w的最小值为. ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． ►题型09 调运问题 【典例】（2025·湖南·模拟预测）为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：吨） （1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值． 【答案】（1）200吨，300吨；（2），甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）10． 【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨； 则 解得： 答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨； （2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下： 当x=240时运费最小 所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨． (3)由（2）知： 当x=240时， ， 所以m的最小值为10． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 【变式1-9-1】（2024·湖南株洲·模拟）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台，先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区．两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见表： 每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金 A地区 1800 1600 B地区 1600 1200 （1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79 600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来； （3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议． 【答案】（1）y=200x+74000（10≤x≤30） （2）有三种分配方案， 方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区； 方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区； 方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区； （3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高． 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以得到y关于x的函数关系式； （2）根据题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题； （3）根据（1）中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，则派往B地区x台乙型联合收割机为（30﹣x）台，派往A、B地区的甲型联合收割机分别为（30﹣x）台和（x﹣10）台， ∴y=1600x+1200（30﹣x）+1800（30﹣x）+1600（x﹣10）=200x+74000（10≤x≤30）； （2）由题意可得， 200x+74000≥79600，得x≥28， ∴28≤x≤30，x为整数， ∴x=28、29、30， ∴有三种分配方案， 方案一：派往A地区的甲型联合收割机2台，乙型联合收割机28台，其余的全派往B地区； 方案二：派往A地区的甲型联合收割机1台，乙型联合收割机29台，其余的全派往B地区； 方案三：派往A地区的甲型联合收割机0台，乙型联合收割机30台，其余的全派往B地区； （3）派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高， 理由：∵y=200x+74000中y随x的增大而增大， ∴当x=30时，y取得最大值，此时y=80000， ∴派往A地区30台乙型联合收割机，20台甲型联合收割机全部派往B地区，使该公司50台收割机每天获得租金最高． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数和不等式的性质解答． 【变式1-9-2】（2024·湖南岳阳·模拟）A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元． (1)设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？ 【答案】(1)； (2)3种； (3)=0时，总运费最低，=8600元，调运方案为：A市往C村、D村分别支援10台、2台，B市往D村支援6台 【分析】（1）从B市运往C市x台，则运费为300x元，还需从A市往C市运送（10﹣x）台，运费为400×（10﹣x）元，那么从B市运往D市（6﹣x）台，运费为500×（6﹣x）元，从A市运往D市[12﹣（10﹣x）]台，运费为800×（2+x）元，从而得到总运费W关于x的函数关系式； （2）根据运费单价列出函数关系式，根据每次运出台数为非负数，列不等式组求x的范围． （3）因为所求一次函数解析式中，一次项系数200＞0，x越小，W越小，为使总运费最低，x应取最小值． 【详解】（1）解：由题意可知：W＝300x+400×（10﹣x）+500×（6﹣x）+800×（2+x） 由此W＝200x+8600； （2）由题意得200x+8600≤9000， ∴x≤2． 又∵B市可支援外地6台， ∴0≤x≤6． 综上0≤x≤2， ∴x可取0，1，2， ∴有3种调运方案． 第一种：A市往C村、D村分别支援10台、2台，B市往C村、D村分别支援0台、6台； 第二种：A市往C村、D村分别支援9台、3台，B市往C村、D村分别支援1台、5台； 第三种：A市往C村、D村分别支援8台、4台，B市往C村、D村分别支援2台、4台． （3）， ∵0≤x≤6，且W随x的值增大而增大， 当x＝0时，W的值最小，最小值是8600元． 此时的调运方案是： B市运往C市0台，运往D市6台；A市运往C市10台，运往D市2台． 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 【变式1-9-3】（2025·湖南株洲·自主招生）某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生后，灾区A、B两地急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷，总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了和，恰好按时完成了这项任务． (1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？ (2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到地震灾区A、B两地，由于甲、乙两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不相同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和急需的帐篷数如下表： A地 B地 每千顶帐篷所需车辆数（辆） 甲市 4 7 乙市 3 5 急需帐篷数（千顶） 9 11 请设计一种运送方案，使所需的车辆总数量最少，并求出最少车辆总数． 【答案】(1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶 (2)从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用： （1）设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶．根据两厂原每周生产量与赶制时一周的生产量列方程组，解方程组即可； （2）设从甲市调配千顶帐篷到灾区的地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆，列出n关于m的一次函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶． 由题意得：， 解得：， （千顶），（千顶）． 在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶； （2）解：设从甲市调配千顶帐篷到灾区的地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆， 由题意得：， 即：． ，所以随的增大而减小． 当时，有最小值101． 从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆． ►题型10 几何问题 【典例】（2025·湖南衡阳·模拟）如图1， 在中，于点D， ，，动点 E 从点B出发，沿射线以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为 的面积随时间的变化图像． (1)填写图2中数据： ， ， ， ； (2)当 时，； (3)求整个运动过程中 S 与 t的函数关系式． (4)当动点 E从点 B出发时，动点 F 同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点 F 到达终点B后，点 E 也随之停止运动．直接写出 t取何值时，． 【答案】(1)，，，； (2)或 (3) (4)当或时， 【分析】此题考查从函数图象获取信息、求函数解析式、一元一次方程的应用等知识分类讨论是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出 ，由图2可求出 ，由三角形的面积公式可求出 ，由的长度与点 运动的速度以及到达 时停留1s以原速度继续运动即可求出 ； （2）由面积关系先求出，得出 ，再由点的速度即可得出结果； （3）根据时间分情况讨论即可求出函数解析式； （4）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）解：由（1）得：，， ， ， ， ， ， 当在上时， （s） 当在延长线时， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， （s） 综上所述，当s或s时， ， 故答案为：或； （3）由题意可知，， ∴， 当时， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴ （4）解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时， 【变式1-10-1】（2024·湖南株洲·模拟）如图，在边长为4的菱形中，．点从点出发，沿路线运动．设点经过的路程为，以点，，为顶点的三角形的面积为，则下列图象能反映与的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是AP的一半，即h=,再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断；当点P运动到B点时，过点B作BE⊥AD于点E，由题意易得，当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变，当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h，可得含30°角的直角三角形，根据含30°角直角三角形的性质可得AD边上的高h是等于，即h=, 再根据三角形面积公式列出面积表达式即可判断． 【详解】解：当点P在AB上运动时，过点P作AD上的高记作h， 由30°角所对直角边等于斜边一半,可推导h=, 所以; 过点B作BE⊥AD于点E，如图所示： ∵边长为4的菱形中，， ∴， ∴∠ABE=30°， ∴， ∴， 点P与点B重合时，△ADP的面积最大，最大为； 当点P在线段BC上时，△ADP的面积保持不变， 当点P在CD上时，过点P作AD上的高记作h， 根据含30°角直角三角形的性质，可得AD边上的高h是等于，即h=, 所以; ∴综上可得只有A选项符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象及菱形的性质、勾股定理，熟练掌握函数图象及菱形的性质、勾股定理是解题的关键． 【变式1-10-2】（2024·湖南·模拟预测）如图，某小区有一块菱形绿地，其中．计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，使点M，N，P，Q分别在边，，，上．记，，图中阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（    ）    A．一次函数关系，反比例函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系 C．一次函数关系，二次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，关键是对这些知识的掌握和运用． 设，根据菱形和矩形的性质，求出与、S与x的函数解析式，从而得出结论． 【详解】连接对角线，，交于点，如图：    根据菱形和矩形都是中心对称图形可得： ， ， ，， 是等边三角形， ， 设，则， 四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ， 与满足一次函数关系； ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 与满足二次函数关系； 故选：C． 【变式1-10-3】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个? (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，那么至少需要多少张正方形硬纸片? 【答案】(1)恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个 (2)至少需要134张正方形硬纸片 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个．结合题意列出方程组，再解得，即可作答． （2）先设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片．根据题意列出，结合，得，其中最小整数解为34．运用一次函数的图象性质进行分析作答即可． 【详解】（1）解：制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，甲种需要1个正方形，4个长方形，乙种需要2个正方形，3个长方形， 设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个． 根据题意，得， 得， 答：恰好能制作甲种纸盒40个，乙种纸盒80个． （2）解：设制作乙种纸盒m个，需要w张正方形硬纸片． 则． 由，知w随m的增大而增大， ∴当m最小时，w有最小值． 根据题意，得， 解得， 其中最小整数解为34． 即当时，． 答：至少需要134张正方形硬纸片． ►题型11 其它问题 【典例】（2024·湖南常德·一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． （2）解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 【变式1-11-1】（2024·湖南益阳·模拟预测）杆称是一种传统的称重工具，称盘里没有物体时，提起称纽保持平衡后，称砣拉线位于零刻度位置（如图1）；当把物体放到称盘里称重时，提起称纽，向右移动称砣保持平衡，称砣拉线所在的刻度对应物体的重量．设称盘里物体重量为时，平衡后称砣拉线位置距称纽的距离为 （如图2），则下图能反映y与x之间的函数关系的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的应用，一次函数的应用．根据题意结合图象判断即可． 【详解】解：设称盘里物体重量为时，平衡后秤砣拉线位置距称纽的距离为（如图， 提起称纽保持平衡后，秤砣拉线位于零刻度位置， 则是的一次函数， 能反映与之间的函数关系的大致图象是B选项， 故选：B． 【变式1-11-2】（2025·湖南岳阳·模拟）为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，继续巩固岳阳市生态文明建设的成果，贵阳市某工厂自今年1月开始限产进行技术升级，降低污染物排放，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图像的一部分，下列选项正确的是（    ） A．月份的利润为万元 B．月份该厂利润达到万元 C．技术升级完成前后共有个月的利润低于万元 D．技术升级完成后每月利润比前一个月增加万元 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，根据题意，分别求出一次函数、反比例函数解析式，结合图示中的信息代入求值比较即可求解． 【详解】解：∵技术升级完成前是反比例函数图象的一部分，设反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，，即， ∵完成后是一次函数图像的一部分，设一次函数解析式为，且点、在一次函数图象上， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴A、月份的利润为万元，原选项错误，不符合题意； B、当时，（万元）万元，原选项错误，不符合题意； C、∵完成后是一次函数图像的一部分， ∴， 解得，，且， ∴5月的利润低于万元； 技术升级完成前利用为100万元时，，则当时，这两个月的利润低于100万元； ∴技术升级完成前后有3月、4月、5月共3个月的利润低于 万元，故原选项错误，不符合题意； D、技术升级完成后的利润为， ∴（万元）， ∴技术升级完成后每月利润比前一个月增加 万元，故原选项正确，符合题意； 故选：D ． 【变式1-11-3】（2024·湖南·模拟预测）如图是1个纸杯和6个纸杯叠放在一起的示意图．小红想探究叠放在一起的杯子的总高度随杯子数量的变化关系．她将50个同样的纸杯叠放在一起，则这50个纸杯的总高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设总高度与纸杯的个数n之间的关系式为，用待定系数法可得解析式，代入计算即可．本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能用待定系数法列出函数关系式． 【详解】设总高度与纸杯的个数n之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， ， 当时， ， 故纸杯的高度约为， 故选C． 【变式1-11-4】（2024·湖南·模拟）如图所示，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的函数．下表是测得的指距与身高的一组数据： 指距厘米 20 21 22 23 身高厘米 160 169 178 187 某人身高为196厘米，一般情况下他的指距应是 厘米． 【答案】24 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先根据表格数据得到d与h是一次函数关系，然后可设此函数解析式为，利用待定系数法即可求出此函数解析式． 【详解】解：由表格可知随着指距的增加，身高增加相同的长度， 故设此函数解析式为， 依题意有， 解得， 故h与d之间的关系式为：， 把代入可得：， 解得：， 故答案为：24． 突破一 新情境问题 【典例】2025年10月，湖南省足球超级联赛(湘超联赛)正掀起全民观赛热潮，联赛吉祥物是一对极具湖湘特色的卡通形象，分别取名“湘湘”和“超超”．“湘湘”以湖南省鸟红嘴相思鸟为设计原型，张开的翅膀寓意湖南足球的腾飞，体现足球运动在湖南的深厚群众基础；“超超”则以超级水稻为核心元素，设计成留着冲天稻穗头的阳光少年足球小将形象，呼应湖南稻作文化根基，传递“超越自我”的体育精神．某工厂生产了一批“湘湘”、“超超”联名毛绒玩偶，每件成本为20元，投放“湘超购”线上小程序销售．在销售过程中发现，每天的销售量(单位：件)与每件售价(单位：元)之间存在一次函数关系(其中且为整数)．当每件售价55元时，每天的销售量为75件；当每件售价50元时，每天的销售量为90件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若销售这种玩偶每天获得2025元的利润，则每件玩偶的售价为多少元？ (3)设销售这种玩偶每天获利元，当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)每件玩偶的销售价为35元 (3)当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和二次函数解析式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量列出二次函数关系式，求最值即可。 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， ∵当每件售价为55元时，每天的销售量为75件；当每件售价为50元时，每天的销售量为90件， ∴， 解得， 即y与x之间的函数关系式为，且x为整数）． （2）根据题意得，， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：每件玩偶的销售价为35元． （3）由题意可得，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，且x为整数， ∴当时，w取得最大值，此时． 答：当每件玩偶的售价为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是2700元． 【变式1】健康中国，营养先行．学校的“烹饪与营养”社团的学生为即将到来的研学活动设计了食品营养方案，现有A，B两种食品作为研学当天的午餐选择，经查询它们的营养成分每包含量如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (2)若每份午餐选用这两种食品共4包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)应选用A种食品3包，B种食品2包； (2)应选取A种食品2包，B种食品2包． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，根据要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设每份午餐的总热量为，利用每份午餐的总热量每包A种食品的热量选用A种食品的数量每包B种食品的热量选用B种食品的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包； （2）解：设选用A种食品m包，则选用B种食品包， 根据题意得：， 解得：． 设每份午餐的总热量为，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：应选取A种食品2包，B种食品2包． 【变式2】“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． (1)求A、B型设备单价分别是多少元； (2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案． 【答案】(1)A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元 (2)当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为a元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台，列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半，列出不等式求出x的取值范围，再列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B型设备的单价为a元，则A型设备的单价为元， 根据题意得： 解得． 经检验∶ 是原方程的解且符合题意． 此时 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元． （2）解：根据题意得， 解得， 由题意得： ∵， ∴w随x的增大而增大 ∴当时，w取得最小值，最小值为12800， 答：当A型买20台，B型买40台时购买费用最少为12800元． 【变式3】区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为90千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y（千米）与在此路段行驶的时间x（时）之间的函数图象如图所示． (1)a的值为________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)该辆汽车减速前超速了，见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为90千米/时行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：，解得：． 故答案为：； （2）解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴； （3）解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：（千米时）， ∵， ∴该辆汽车减速前超速了． 突破二 与现实有关的问题 【典例】某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【变式1】甲车从A地出发匀速行驶，它行驶的路程y（单位：km）与行驶的时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．甲车出发20min后，乙车从A地出发沿同一路线匀速行驶．若乙车经过20min～30min追上甲车，则乙车的速度v（单位：km/min）的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象求出甲车的速度是本题的关键．根据图象，求出甲车的速度，设甲车出发t min后乙车追上甲车，根据两车与A地距离相等列等式，用t将v表示出来，根据t的取值范围，求出v的最小值即可． 【详解】解：由函数图象可知甲的速度为（km/min）， 追及的路程为（km）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 时，甲乙两车速度差为（km/min），此时乙车速度为（km/min）， 所以乙车的速度v的取值范围是． 故答案为：． 【变式2】一款纯电家用汽车电池容量为，电池的剩余电量与行驶路程之间满足一次函数关系．已知该汽车行驶时，电池的剩余电量为，行驶时，电池的剩余电量为．若该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式， 首先利用待定系数法求出，然后将代入求解即可． 【详解】设电池的剩余电量与行驶路程之间的关系式为 根据题意得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴该纯电家用汽车充满电，能行驶的最远路程为． 故选：B． 【变式3】中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． (1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？ (2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． (2)当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式和二元一次方程的应用，正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设大号中国结编了个，小号中国结编了个，编织这种中国结恰用绳25米，据此列出二元一次方程，求出整数解即可； （2）设大号编织个，则小号编织个，根据用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结列不等式，解得的取值范围，设总利润为元，得到关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设大号中国结编了个，小号中国结编了个， 由题意列方程得：， ∴， ∵，均是正整数， ∴当时，， 当时，， 答：大号中国结编了4个，则小号中国结编了3个或大号中国结编了1个，则小号中国结编了7个． （2）解：设大号编织个，则小号编织个， 则， 解得， ∵为正整数， ∴， 设总利润为元，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：当大号编织个时总利润最大，最大利润是元． 突破三 中考新考法 【典例】新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 【变式1】新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 【变式2】［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【详解】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 【变式3】跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 运动快慢 12 10 8 6 4 2 … 运动路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例） 【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为 【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键： 猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可； 检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可； 应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可． 【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下： 猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示； 故答案为：一次，二次； 【检验】：设，把代入，得， 解得：， ∴， 验证：当时，，符合题意； 设，把点，代入，得， 解得， ∴， 验证：当时，，符合题意； 【应用】：∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，最大为； 故最大为． 1.（2025·湖南郴州·模拟）已知一种商品的成本价是7元/件，当利润不低于2元且不高于11元时，该商品的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数关系：．那么最能反映这个函数关系的图象是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据利润售价成本价求出自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 2.（2025·湖南娄底·模拟）把一个长，宽的长方形的长减少，宽不变，长方形的面积为，则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，长方形的面积，得出与的函数关系式是解题关键．根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】， 整理，得， 故选：B 3.（2025·湖南长沙·模拟）春节假期小明一家自驾车从长沙到离家约的铜仁旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶耗油 C．当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油 D．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用，观察表格即可判断AB，根据该车每行驶耗油列式计算即可判断C，根据油箱剩余油量最开始油箱的油量消耗的油量即可判断D． 【详解】解：由表格可得，该车的油箱容量为，故A正确，不符合题意； 由表格可得，该车每行驶耗油，故B正确，不符合题意； ，故当小明一家到达铜仁时，油箱中剩余油，故C错误，符合题意； 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为，故D正确，不符合题意； 故选：C． 4.（2026九年级上·湖南岳阳·月考）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 5.（2025·湖南长沙·模拟）某文具商店销售某种文具时，顾客一次购买10件以内的（含10件）按原价付款，超过10件的，超出部分按原价的8折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为 元． 【答案】4 【分析】设这件商品每件的原价为a元，当购买的件数x超过10件时，所付的款数，再根据点在一次函数的图象上得，由此解出a即可得出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，理解题意，正确的列出，当购买的件数x超过10件时，所付的款数元与件之间的函数关系，读懂函数的图象，并从函数的图象中获取准确的解题信息是解决问题的关键． 【详解】解：设这件商品每件的原价为a元， 当购买的件数x超过10件时，所付的款数， 整理得：， 根据元与件之间的函数关系可知：点在一次函数的图象上， ， 解得： 答：这件商品每件的原价为4元． 故答案为4． 6.（2025·湖南怀化·模拟预测）DeepSeek训练模型时，记录温度与运行时间（小时）的关系如图所示，当运行到第10小时，的温度是 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查一次函数的应用．先利用待定系数法求得时函数的解析式，再求的函数值即可． 【详解】解：设函数的解析式为，由图象过点，， 则， 解得：， 所以函数的解析式为， 当时，，即此时的温度是． 故答案为：45． 7.（2025·湖南衡阳·模拟）某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用y（元）与超出流量的部分数据如表：已知总费用y（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出 ． 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用y（元） 18 21 24 27 30 … 【答案】15 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是求出总费用（元）是超出流量的函数关系式． 求出总费用（元）是超出流量的函数关系式，在令算出的值即可． 【详解】解：由总费用y（ 元）是超出流量的一次函数， 设， 根据表格可得：， 解得， ∴， 令得，解得， ∴他使用的流量共超出； 故答案为：15． 8.（2025·湖南·模拟）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路s关于行走的时间t和函数图象，则两图象交点P的坐标是 ． 【答案】（32，4800） 【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决． 【详解】由题意可得，150t＝240（t﹣12）， 解得，t＝32， 则150t＝150×32＝4800， ∴点P的坐标为（32，4800）， 故答案为（32，4800）． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意列出方程150t＝240（t﹣12）是解决问题的关键． 9（2025·湖南株洲·三模）为落实《健康中国行动（2019—2030）》等文件精神，某学校准备购进一批排球和足球促进校园体育活动，请你根据以下素材，探索完成任务： 如何确定排球和足球购买方案？ 素材1 某体育器材店每个排球的价格比足球的价格少20元，用400元购买的排球数量与500元购买的足球数量相等． 素材2 该学校决定购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不少于排球的数量的，同时该体育器材店为支持该学校体育活动，对排球提供7.5折优惠，足球提供8折优惠． 问题解决 任务1 请运用适当的方法求出每个排球和足球的价格． 任务2 运用数学知识，确定该学校本次购买排球和足球所需费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】任务一：每个排球80元，每个足球100元．任务二：购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，熟练掌握解分式方程，不等式是解题的关键． （1）设排球的单价为x元，则足球的单价是元，根据用400 元购买的排球数量与500 元购买的足球数量相等，列方程解答即可． （2）设排球购买m个，则足球购买了个，根据，设总费用为w元，根据题意，根据一次函数的性质，解答即可． 【详解】解：任务1：设排球的单价为x元，则足球的单价是元， 根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 答：每个排球80元，每个足球100元． 任务2：设排球购买m个，则足球购买了个，根据题意，得， 解得， 设总费用为w元，根据题意， 故y随x的增大而减小， ∴时，w最小，最小为4000元， 故方案为购买40个排球，20个足球，费用最小，最小为4000元． 10.（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同． (1)求两种设备每台各多少万元？ (2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； (2)购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元 【分析】此题考查的是分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键． （1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，然后根据题意列一元一次不等式组和一次函数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（万元）； 答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元； （2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台， 根据题意得：， 解得：； 设总费用为w，则， ∵， ∴当时，； 答：购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元． 11.（2025·湖南永州·模拟预测）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元． (1)甲、乙两种头盔的单价分别是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价5元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】(1)甲种头盔单价是55元，乙种头盔单价是40元 (2)购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1526元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． （1）设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元，根据购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2300元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高15元，列出二元一次方程组，即可求解； （2）设设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元，则，解得，故最小整数解为，根据一次函数增减性，即可解答． 【详解】（1）解：设甲种头盔的单价为x元，乙种头盔的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲种头盔单价是55元，乙种头盔单价是40元； （2）设再次购进甲种头盔m只，总费用为w元， 根据题意，得， 解得， ， ∵， ∴w随着m增大而增大， 当时，w取得最小值， 即购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为（元）， 答：购买14只甲种头盔时，总费用最小，最小费用为1526元． 12.（2025·湖南长沙·模拟）理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】(1)；；； (2) (3)，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【详解】（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； （2）解：根据题意得： ， 解得：； 故答案为：； （3）解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 1.（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 2.（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）根据y与x的函数关系式以及已知条件列关于x的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 3.(2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 4.（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 5.（2025·四川眉山·中考真题）国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1)若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ (2)若每份午餐选用这两种食品共，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 【答案】(1)选用A、B两种食品分别为份和2份； (2)应选用A、B两种食品分别为2份和份； 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设选用A、B两种食品分别为份和份，结合选用A、B两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用B种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【详解】（1）解：设选用A、B两种食品分别为份和份， ∵这两种食品中摄入能量和蛋白质， ∴， ∴， ∴选用A、B两种食品分别为份和2份； （2）解：设选用A种食品份， 依题意，， 即选用B种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时能量最低， 即， ∴应选用A、B两种食品分别为2份和份． 6.（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $