精品解析：陕西省咸阳市兴平市西郊高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

西郊中学2024-2025学年度第一学期第一次月考试题 高二年级 数学试题 满分120分，时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 在四棱锥中，，，，，M是AC的中点,若平面平面BCDE，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 8. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，，PA⊥平面ABCD，动点M、N分别在线段BD和PC上，则线段MN长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）. 9. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（ ） A. 的中点坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点关于面对称的点的坐标为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 11. 如图，在平行六面体中，已知，，，，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 两个非零向量，，定义．若，，则___________． 13. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 四、解答题:（本大题共47分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 15. 在直三棱柱ABC-中，A=2，AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是A的中点， （1）求直线MN与B所成角的余弦值 （2）求N到平面BM的距离 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求长的最小值； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西郊中学2024-2025学年度第一学期第一次月考试题 高二年级 数学试题 满分120分，时间90分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的数量积、模长、夹角公式可判断ACD；设，代入解方程即可判断B. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，则，则无解，故B错误； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 2. 对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 3. 已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算与基本定理可得，结合消元法与二次函数的性质计算即可得. 【详解】因为， 所以，又点D在确定的平面内，是平面外任意一点， 所以，即， 则. 故选：A. 4. 满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线的判定、空间共线向量定理的推论及应用逐一考查所给的说法是否正确即可. 【详解】对于空间中的任意三点，都有 ，说法A错误； 若，则，而， 据此可知，即两点重合，选项B错误； ，则A、B、C三点共线，选项C正确； ，则线段的长度与线段的长度相等， 不一定有A、B、C三点共线，选项D错误； 故选：C. 5. 已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可. 【详解】由，解得 当共线时，由，即解得， 所以当夹角为钝角时， 故选：B 6. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 7. 在四棱锥中，，，，，M是AC的中点,若平面平面BCDE，则下列三个结论：①；②；③中，正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，再求出相关向量的坐标，利用数量积是否为零作出判断. 【详解】如图：取线段BE的中点H,连接AH, 因为，所以 , 又平面平面BCDE，平面平面BCDE=BE，平面, 所以平面BCDE， 又，，故, 因此以B为坐标原点，以BE,BC为x,y轴，以过B作AH的平行线为z轴，建立空间直角坐标系， 则 , 故 ,所以，故， 所以，故①正确； ,则， 故，即，故②正确； ,, 故，即，故③正确， 故选：D 8. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，，PA⊥平面ABCD，动点M、N分别在线段BD和PC上，则线段MN长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，再求长度最小值即得． 【详解】 如图建立空间直角坐标系，底面ABCD是正方形，， 设， 当时，， 故选：A. 二.多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分）. 9. 关于空间直角坐标系中的一点，下列说法正确的是（ ） A. 的中点坐标为 B. 点关于轴对称的点的坐标为 C. 点关于原点对称的点的坐标为 D. 点关于面对称的点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合中点坐标公式可判断A正确；结合空间点对称特点依次判断BCD的正确性即可 【详解】利用中点公式可得的中点坐标为，A对； 点关于轴对称的点的坐标为，B错； 点关于原点对称的点的坐标为，C对； 点关于面对称的点的坐标为，D对； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：本题考查空间中中点坐标公式的应用，空间中对称点的判断，可熟记以下结论： （1）若空间中的点为，则的中点坐标为； （2）若空间中的点为，则点关于轴对称的点的坐标为， 关于轴对称的点的坐标为，关于轴对称的点的坐标为； （3）若空间中的点为，点关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为，关于面对称的点的坐标为； （4）若空间中的点为，点关于原点对称的点的坐标为 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 11. 如图，在平行六面体中，已知，，，，则下列说法正确的是 （ ） A. B. C. D. 为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接由向量的数量积计算得出即可判断A；由向量的运算得出，再通过计算得出值来判断B；由向量运算得，再通过向量运算与模长运算得出来判断C；由向量夹角的计算公式结合向量运算计算来判断D. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B： , , , ,故B正确； 对于选项C：, 则， ， ， ，故C错误； 对于选项D： ， ， , 故为钝角，故为钝角三角形，故D正确； 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 两个非零向量，，定义．若，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义及向量夹角公式计算即可. 【详解】因为，， 所以， 故， 所以， 故答案为： 13. 已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点， 则， 所以 . 故答案为： 14. 已知向量，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线运算得解. 【详解】由，得，解得， 又，得，解得， 所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且. 故答案为：. 四、解答题:（本大题共47分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 15. 在直三棱柱ABC-中，A=2，AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是A的中点， （1）求直线MN与B所成角的余弦值 （2）求N到平面BM的距离 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先求出的坐标，套用线线角的夹角公式求解即可； （2）先求出平面的法向量，再用点到平面的距离公式即可算出答案. 【小问1详解】 因为在直三棱柱ABC-中，A=2，AB=AC=1，AB⊥AC， 所以两两垂直，以分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则 因为M，N分别是A的中点，所以， ,, 所以， 直线MN与 所成角的余弦值为 【小问2详解】 因为，， 设平面的法向量为，则 即 ， 解得 取平面的一个法向量为 所以N到平面的距离 16. 如图，三棱锥中，平面，是棱上一点，且. （1）证明：平面； （2）若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为，所以， 又因为，可得为边上的高， 所以因为平面且平面 所以又因为且平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据的面积相等，得到再由平面证得结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面且， 以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为，可得， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为. 17. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记. （1）求长的最小值； （2）当的长最小时，求二面角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出，，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果； （2）根据（1）结果，得到，再求出平面和的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果. 【小问1详解】 因为面面，又面面，，面，所以面，又， 如图，以为原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系， 因为两个正方形的边长为1，则， 又，则，得到， 同理可得， 所以， 又，所以当时，的长最小，最小值为. 【小问2详解】 由（1）知，的长最小时，分别为正方形对角线和的中点，可得， 设平面的一个法向量为，又， 由，取，可得， 设平面的一个法向量为，又，， 由，取，可得， 则，所以， 因此，二面角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为. （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取中点，连接， ∵分别为的中点， ，， ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， ，， ，， 故四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面， ∴平面. （2）存在点，位于的中点处，证明如下： 假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 平面，则是四棱锥的高. 设，则，矩形的面积 ，所以. 以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， AI        故. 设， ， 设平面的一个法向量为， 则，令得，， . 由题意可得， 整理得，解得或，又因为，所以， 故存在点，位于的中点处满足题意. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形是平行四边形，所以，从而得到线面平行； （2）先根据面面垂直得到线面垂直，是四棱锥的高，设，根据体积求出，建立空间直角坐标系，设，由线面角得到方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 存在点，位于的中点处满足题意，证明略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $