专题6.5 空间向量的坐标表示（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦空间向量的坐标表示核心知识点，从平面向量坐标表示类比推广，系统构建空间直角坐标系建立、向量坐标运算（加减、数乘、数量积）、模长、夹角及距离公式，形成从概念到运算再到应用的学习支架。 该资料以类比猜想思想为引领，通过“即学即练”和8类题型（如空间点坐标、数量积应用）培养数学思维的推理能力，结合正方体等实例提升空间观念（数学眼光），典例与变式设计辅助教师授课，课后练习题助力学生查漏补缺，强化数学语言表达与应用意识。

专题6.5 空间向量的坐标表示 教学目标 1.能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；会根据向量的坐标判断两个空间向量平行并解决相关问题； 2.掌握空间向量数量积的坐标形式.，空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用； 3.运用类比猜想的数学思想方法，经历平面向量坐标表示到空间向量坐标表示的过程，将平面向量的数量积的坐标形式推广到空间向量数量积的坐标形式，体会数学知识发生和发展过程；运用公式求解，提升了数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的坐标表示；空间向量数量积的坐标形式，空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式． 2.难点 空间向量的坐标运算；能够用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题；会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 知识点01 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 ①若空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，通常用{i，j，k}表示； ②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫作坐标原点，向量i，j，k都叫作坐标向量．三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面． ③作空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°； ④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2. 探究空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量a，i，j，k作为基向量，则存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z). 在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间内任意一点A(x，y，z)，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，所以向量的坐标为＝(x，y，z)，我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点A的坐标，记作A(x，y，z)，x叫作横坐标，y叫作纵坐标，z叫作竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点坐标特征可直接得到结果. 【解析】由对称点坐标特征可知：点关于平面对称点的坐标为. 故选：C. 2．在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性即可求解. 【解析】关于轴对称点的坐标, 故选：A. 知识点02 空间向量的坐标运算法则 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算法则 (1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). (2) 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 【即学即练】 1．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，根据向量的坐标表示求出坐标，进而确定E，F坐标，最后求的坐标即可. 【解析】令，则， 所以， 所以. 故选：D 2．设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（  ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算以及向量相等，即可求得答案. 【解析】由题意可分别以，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 则可得， 即得，解得， 故选：B 知识点03 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【即学即练】 1．已知点关于轴的对称点为，则等于（  ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据点对称的性质可得，进而可得 【解析】由题意，点关于轴的对称点为， 故. 故选：D 2．已知空间向量，.若，则（  ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【解析】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 题型01 求空间点的坐标 【典例1】（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【分析】根据已知条件及对称性，结合中点坐标公式即可求解. 【解析】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 空间中点的对称点的坐标： 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【变式1】若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（  ）． A．关于xOz平面对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标原点对称 【答案】D 【分析】运用空间向量坐标表示以及对称中的坐标特点可解. 【解析】点关于xOy的对称点为A，则A坐标； 点关于z轴的对称点为B，则B坐标； 则根据坐标特点知道A、B两点关于原点对称. 故选：D． 【变式2】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标平面内投影点坐标的特点可得结果. 【解析】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为. 故选：D. 【变式3】如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 【答案】. 【分析】连接，求出的大小，结合三角函数的定义可求得点的坐标. 【解析】连接，如下图所示： 因为，，则， 因为为的中点，则，故为等边三角形， 故，且， 故点，即点. 故答案为：. 题型02 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】在空间直角坐标系中，已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量坐标运算计算即可. 【解析】解：因为向量，， 则 故选：C 空间向量坐标运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加法、减法、数量积和数乘等运算的坐标公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆. 【变式1】若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量坐标运算得出结果. 【解析】若，则. 故选：B. 【变式2】已知向量，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的坐标运算计算． 【解析】由已知， 故选：C． 【变式3】在空间四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量加减法的坐标运算直接求解即可. 【解析】由题知，. 故选：A 【变式4】已知向量，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】直接利用向量的运算法则计算即可. 【解析】向量，，，则. 故答案为：. 题型03 空间向量数量积运算的坐标表示及其应用 【典例1】已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值. 【解析】因点在直线上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得 则当时，，此时，点 故选：A 空间向量数量积运算的方法： 根据已知向量的坐标,代入空间向量的数量积运算的坐标公式：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 进行计算. 【变式1】若向量，，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用空间向量的坐标运算律计算即得. 【解析】由，，得，而， 所以. 故选：B 【变式2】已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知求出，进而即可根据投影向量求出答案. 【解析】由已知可得，，， 所以，向量在向量上的投影向量是. 故选：B. 【变式3】如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解； 【解析】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 题型04 利用空间向量的坐标运算求参数 【典例1】已知，，，若、、共面，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量共面的充要条件以及坐标运算即可求解. 【解析】若、、共面，则， 即， 则，解得. 故答案为： 【变式1】已知向量，，若，则实数等于（  ） A． B． C．0 D．1 【分析】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案. 【解析】由题意知向量，，， 故， 故选：D. 【变式2】已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【解析】若三向量不能构成空间向量的一组基底， 所以共面， 则存在使得， 则，解得， 所以实数的值为1． 故选：A． 【变式3】已知向量且共面，则 ． 【答案】3 【分析】根据共面，确定的值，再根据向量的运算和模的概念求值. 【解析】因为共面，所以存在，使， 即. 所以， 所以. 故答案为：3 题型05 空间向量模长的坐标表示及其应用 【典例1】(多选)已知向量，，，则的值为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】BC 【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值. 【解析】∵，，∴. ∵， ∴.∴，解得或. 故选：BC. 空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即 【变式1】已知空间向量满足，则（  ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值. 【解析】由题设，， 所以. 故选：D 【变式2】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【解析】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 【变式3】已知向量，则 . 【答案】3或 【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可. 【解析】， 所以，解得或， 故答案为：3或 题型06 空间向量平行、共线的坐标表示及其应用 【典例1】已知向量，，，若，则实数（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据空间向量线性坐标公式求解，再根据空间向量平行的坐标表示列式求解即可. 【解析】因为，，所以， 又，且， 则，解得. 故选：A. 空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 【变式1】已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（  ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【答案】D 【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可. 【解析】因为，，， 所以，， 因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使， 所以， 所以，解得. 故选：D 【变式2】已知向量，，若与平行，则实数k的值为（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据已知条件结合向量共线定理求解即可. 【解析】因为， 所以， ， 因为与平行，所以存在唯一实数，使， 所以，则，解得， 故选：B. 【变式3】已知，向量，，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解. 【解析】因为向量， ，， 由，则，解得， 由，则，解得，则． 故选：A． 题型07 空间向量垂直的坐标表示及其应用 【典例1】如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 【答案】 【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出. 【解析】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则， 则， 则 ， 得， 因，则，解得． 故答案为： 判断空间向量垂直的步骤： (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；(4)由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可． 【变式1】已知空间向量，若 ，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解析】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 【变式2】已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解. 【解析】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 【变式3】在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果 【解析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（） 则， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 因为t >0 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 题型08 空间向量夹角（余弦）的坐标表示 【典例1】（多选）若，，与的夹角为120°，则的值为（  ） A．17 B． C． D．1 【答案】AC 【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或. 【解析】由题意得，即， 化简得，解得或 故选：AC 空间向量夹角的坐标计算公式： 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则 【变式1】已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与夹角为，利用空间向量数量积坐标表示从而求解. 【解析】由题意得是空间的一个单位正交基底， 所以=，， 设与的夹角为，， 所以，故D项错误. 故选：D. 【变式2】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解. 【解析】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于， 所以， 所以，结合得 则向量夹角的余弦值为. 故选：D. 【变式3】已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】夹角为锐角，则，排除平行的情况即可. 【解析】因为向量的夹角为锐角， 则，得， 当时，，得， ∴的取值范围为． 故选：B. 【变式4】已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关于谁对称、谁不变的原则得解，即关于平面对称，横、纵坐标不变，竖坐标变为它的相反数. 【解析】根据关于坐标平面的对称点的坐标的特点，可得点关于坐标平面的对称点的坐标为， 故选：B. 2．已知向量，，，则（  ） A． B． C． D． 【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解析】因为向量，，， 则， 因此，. 故选：A. 3．设，向量，，且，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【解析】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 4．已知，，三点在同一条直线上，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先利用空间向量的坐标运算求出与的坐标，再利用列方程求解即可. 【解析】因为，， 所以，， 又因为，，三点共线， 所以，， 解得，，所以， 故选：C 5．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（  ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【解析】因为向量在面上的投影向量为， 则. 因为在向量上的投影向量为， 则. 所以. 所以向量的夹角为. 故选：A. 6．已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【解析】由题意可知：，∴， 又∵时，即时，共线，∴， ∴. 故选：A 7．（多选）已知，.若，则与的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果. 【解析】根据题意，有且，得，解得，； 即可得，解得或； 因此与的值可以是或. 故选：AB 8．（多选）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据空间向量坐标表示及线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【解析】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， ，故D错误. 故选：BC. 9.（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【答案】ABC 【分析】利用空间向量共线的坐标表示可判断A选项；由题意得出，结合空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；分析可得且，结合空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用投影向量的定义以及空间向量数量积的坐标运算可判断D选项. 【解析】因为向量，， 对于A选项，若，则，解得，A错； 对于B选项，若，则，解得，B错； 对于C选项，若为钝角，则且， 解得且，C错； 对于D选项，若在上的投影向量为， 即，则，解得，D对. 故选：ABC. 10．已知，，若，则实数λ= ． 【答案】 【分析】根据可得，可求的值. 【解析】因为， 由， 所以. 故答案为： 11．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 【答案】0 【分析】根据给定条件，可得，，由此可以求出，再由求得答案. 【解析】两个单位向量，与向量的夹角都等于， 则，又，， ，而，， 由，得，若，则，此时，点重合，不符合题意， 因此，，，所以. 故答案为：0 12．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可. 【解析】， 由题可得： ，可得， 则在上的投影向量为. 故答案为：. 13．已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 【答案】(1)，；(2) 【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果； （2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果. 【解析】（1）∵，，，，， ∴，， 于是，， ， . （2）∵， ， 且与互相垂直， ∴， 即， ∴，解得：. 14．已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）按照投影向量定义计算即可；（2）先根据算出，然后计算； （3）先根据算出，然后计算. 【解析】（1）由投影向量的定义， 在上的投影向量为. （2）若，则，所以， 所以 （3）若，则，所以，进而. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.5 空间向量的坐标表示 教学目标 1.能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算；会根据向量的坐标判断两个空间向量平行并解决相关问题； 2.掌握空间向量数量积的坐标形式.，空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用； 3.运用类比猜想的数学思想方法，经历平面向量坐标表示到空间向量坐标表示的过程，将平面向量的数量积的坐标形式推广到空间向量数量积的坐标形式，体会数学知识发生和发展过程；运用公式求解，提升了数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量的坐标表示；空间向量数量积的坐标形式，空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式． 2.难点 空间向量的坐标运算；能够用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题；会根据向量的坐标判断两个向量共线或垂直. 知识点01 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 ①若空间的一个基底的三个基向量两两互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，通常用{i，j，k}表示； ②在空间内选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴．这时我们称建立了一个空间直角坐标系Oxyz，点O叫作坐标原点，向量i，j，k都叫作坐标向量．三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面． ③作空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°； ④在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2. 探究空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量a，i，j，k作为基向量，则存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z). 在空间直角坐标系Oxyz中，对于空间内任意一点A(x，y，z)，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，所以向量的坐标为＝(x，y，z)，我们把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点A的坐标，记作A(x，y，z)，x叫作横坐标，y叫作纵坐标，z叫作竖坐标． 3．空间中点的对称点的坐标 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 【即学即练】 1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．在空间直角坐标系中有一点，则该点关于轴对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 知识点02 空间向量的坐标运算法则 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算法则 (1) 若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)， a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)， λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b(b≠0)⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R). (2) 若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1). 一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 【即学即练】 1．在空间四边形ABCD中，若向量，，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　 ） A． B． C． D． 2．设，，，，其中，，是两两垂直的单位向量，若，则实数，，的值分别是（  ） A．1，，3 B．，1， C．，1，3 D．，2，3 知识点03 用空间向量的坐标运算解决相关的几何问题 1．空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 2．空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即. 3．空间向量夹角的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则. 4．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 【即学即练】 1．已知点关于轴的对称点为，则等于（  ） A． B． C．2 D． 2．已知空间向量，.若，则（  ） A．12 B．10 C． D． 题型01 求空间点的坐标 【典例1】（多选）在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（ ） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 空间中点的对称点的坐标： 设点P(x，y，z)为空间直角坐标系中的一点，则 (1)与点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)； (2)与点P关于x轴对称的点是P2(x，-y，-z)； (3)与点P关于y轴对称的点是P3(-x，y，-z)； (4)与点P关于z轴对称的点是P4(-x，-y，z)； (5)与点P关于Oxy平面对称的点是P5(x，y，-z)； (6)与点P关于Ozx平面对称的点是P6(x，-y，z)； (7)与点P关于Oyz平面对称的点是P5(-x，y，z). 注：点的对称问题常常采用“关于谁对称，谁不变，其余坐标相反”这个结论. 【变式1】若点关于xOy的对称点为A，关于z轴的对称点为B，则A、B两点的对称是（  ）． A．关于xOz平面对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于坐标原点对称 【变式2】在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影的坐标为（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为 ． 题型02 空间向量线性运算的坐标表示 【典例1】在空间直角坐标系中，已知，，则（  ） A． B． C． D． 空间向量坐标运算的方法 (1)根据已知向量的坐标,代入空间向量的加法、减法、数量积和数乘等运算的坐标公式进行计算. (2)熟练应用有关的公式: ①(a+b)2=a2+2a·b+b2; ②(a-b)2=a2-2a·b+b2; ③(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似,可类比记忆. 【变式1】若，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】在空间四边形中，，则（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知向量，，，则的坐标为 . 题型03 空间向量数量积运算的坐标表示及其应用 【典例1】已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（  ） A． B． C． D． 空间向量数量积运算的方法： 根据已知向量的坐标,代入空间向量的数量积运算的坐标公式：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 进行计算. 【变式1】若向量，，，则的值为（  ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【变式3】如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型04 利用空间向量的坐标运算求参数 【典例1】已知，，，若、、共面，则 . 【变式1】已知向量，，若，则实数等于（  ） A． B． C．0 D．1 【变式2】已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】已知向量且共面，则 ． 题型05 空间向量模长的坐标表示及其应用 【典例1】(多选)已知向量，，，则的值为（  ） A．2 B． C．3 D． 空间向量的模长的坐标计算公式 设(a1，a2，a3)，则，即 【变式1】已知空间向量满足，则（  ） A． B．1 C．0 D． 【变式2】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ）    A． B． C． D． 【变式3】已知向量，则 . 题型06 空间向量平行、共线的坐标表示及其应用 【典例1】已知向量，，，若，则实数（  ） A． B． C． D． 空间向量的平行、垂直 关系 (a1，a2，a3)，(b1，b2，b3) 平行（） 垂直（） （均为非零向量） 注：特别提醒：在中，应特别注意，只有在(b1，b2，b3)与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面xOy平行，则b3=0，这样就没有意义了. 【变式1】已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（  ） A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2 【变式2】已知向量，，若与平行，则实数k的值为（  ） A． B． C． D．2 【变式3】已知，向量，，，且，，则的值为（  ） A． B． C． D． 题型07 空间向量垂直的坐标表示及其应用 【典例1】如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则 ． 判断空间向量垂直的步骤： (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是否为0判断两向量是否垂直；(4)由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可． 【变式1】已知空间向量，若 ，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（  ） A． B． C． D． 【变式3】在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是 ． 题型08 空间向量夹角（余弦）的坐标表示 【典例1】（多选）若，，与的夹角为120°，则的值为（  ） A．17 B． C． D．1 空间向量夹角的坐标计算公式： 设(a1，a2，a3)，(b1，b2，b3)，则 【变式1】已知是空间的一个单位正交基底，且，，则与夹角的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【变式2】设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量，且向量的夹角为锐角则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（  ） A． B． C． D． 1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为（  ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则（  ） A． B． C． D． 3．设，向量，，且，，则（  ） A． B． C． D． 4．已知，，三点在同一条直线上，则（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（  ） A． B． C． D．与t有关 6．已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7．（多选）已知，.若，则与的值可以是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）在空间直角坐标系中，向量，，下列结论不正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 10．已知，，若，则实数λ= ． 11．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则等于 （，不重合）. 12．已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为 . 13．已知空间中三点，，.设，. (1)求和； (2)若与互相垂直，求实数k的值. 14．已知空间向量. (1)求在上的投影向量； (2)若，求； (3)若，求的值. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $