二项分布与超几何分布分类透析讲义(二)——2026届高三数学二轮专题复习

二项分布与超几何分布分类透析讲义(二) 二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．下面例举二项分布与超几何分布在实际问题中的应用，二者都可以与其它概率统计知识及函数知识结合在一起进行考查；对于常见的一些题型介绍给大家，以供参考，旨在帮助同学们提高学习与解题的综合素养.因专题内容太多、题型丰富而分为两个讲义介绍，这里呈现的是讲义(二)部分. 类型五、超几何分布与统计抽样 例5.为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动会的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图.(1)从参加培训的学生中随机选取人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；(2)从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人的成绩满足的人数，求随机变量的分布列和数学期望. 【解析】(1)设该名学生考核成绩为优秀的事件记作.由茎叶图中的数据可以知道,名学生中只有名学生成绩考核优秀；故估计该生考核为优秀的概率是. (2)依题意,因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人，从而知的所有可能取值为.则；；；. 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】这是一道将抽样结果用统计茎叶图表示出来的概率统计题，由于采用随机抽样的方法，可以用样本的考核成绩情况来近似反映(估计)总体的考核成绩；先确定成绩的学生人数,再分析得到其中满足的学生人数，只要上面两个问题解决好了，结合超几何分布概率模型公式计算，就能很轻松得到的分布列和数学期望，注意超几何分布的期望可通过公式来计算更方便简洁. 类型六、超几何分布与互斥事件 例6.已知甲、乙两个袋子中各装有大小、形状完全相同的个小球，其中甲袋中有个红球和个黄球，乙袋中有个红球和个黄球.现从甲袋中随机摸取个球装入乙袋中，再从乙袋中随机摸取个球装入甲袋，此时甲袋中红球的个数记为随机变量.(1)求此时乙袋中恰有个红球的概率；(2)求的分布列与数学期望. 【解析】(1)依题意知，只有先从甲袋中摸取个黄球装入乙袋中，再从乙袋中摸取个红球装入甲袋中，才会最后使得乙袋中恰只有个红球.故此时乙袋中恰有个红球的概率为. (2)由题意知，的所有可能取值为.则； ； ； 所以随机变量的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】对于第(1)问根据古典概率与相互独立事件同时发生的概率计算求解；而第(2)问对于中的每一个值所对应情况都有多种，且这些情况对于的同一值是互斥事件，而每个互斥事件又是从两个袋中按顺序各取球一次并各自满足超几何分布，由于要同时进行其事件的概率等于它们发生的概率之积. 类型七、超几何分布与条件概率 例7.在标有“甲”的袋中有个红球和个白球，这些球除颜色外完全相同.(1)若从袋中依次取出个球，求在第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球的概率；(2)现从甲袋中取出个红球，个白球，装入标有“乙”的空袋中.若从甲袋中任取球，乙袋中任取球，记取出的个球中是红球的个数为，求的分布列与数学期望. 【解析】(1)记“第一次取到红球”为事件，“后两次均取到白球”为事件.则,；所以“第一次取到红球的条件下，后两次均取到白球”的概率.(或) (2)依题意，当个红球和个白球分成“甲”和“乙”两个袋子装好后，此时“甲”袋中有个红球和个白球，“乙”袋中有个红球和个白球.现从“甲”、“乙”袋中分别取出个、个球，表示取出的个球中是红球的个数，则的可能值为.于是得；； ；. 所以的分布列为: 故的数学期望为. 【点拨】第(1)问涉及到条件概率问题，操作时严格按照条件概率的计算公式去求解一般不易出错；第(2)问在“甲”、“乙”袋中分别取球各自满足超几何分布，但由于每种情况是同时取球且相互独立，即相互独立事件同时发生的概率等于它们发生的概率之积，这一点要牢记. 类型八、超几何分布与回归分析 例8.水果的价格受到需求量和天气的影响.有一采购员定期向批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的组数据进行研究，发现可采用来作为价格的优惠部分(单位:元/箱)与购买量(单位:箱)之间的回归方程，整理相关数据得到下表(表中): (1)根据参考数据回答下面①②两个问题:①建立关于的回归方程；②若当日该种水果的市场价为元/箱，估算购买箱该种水果所需的金额(精确到). (2)在样本点中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点.已知这个样本点中，高效点有个，现从这个点中任取个点，设取到高效点的个数为，求的分布列与数学期望. 附:对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，.参考数据:. 【解析】(1)①对的两边同时取自然对数得.可令，，进而得.则，，则，则，所以.故关于的回归方程. ②由①知，将代入中，得，故每箱水果大约可以获得优惠元，故购买箱该种水果所需的金额约为(元). (2)由题意知的所有可能取值为.则；；；. 所以的分布列为: 故的数学期望为.(或) 【点拨】对于求解非线性的回归方程，先通过对该式两边同时取自然对数化为，再通过换元化成线性关系求解，进而得到关于的回归方程；利用回归方程求出箱时对应的元,即就是每箱水果所获得的优惠价格，进而计算购买箱水果所需的金额数；根据题中条件得出随机变量的可能取值，并确定服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式求出的分布列与期望. 【跟踪训练题】 3.年以来，党和国家出台政策使山东省成为全国实施“新旧动能转换重大工程”改革的综合试验区.该省某国营企业积极响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，要从设备改造前后生产的大量产品中各随机抽取件产品作为样本,检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.下图是设备改造前的样本的频率分布直方图，下表是设备改造后的样本的频数分布表. 设备改造后样本的频数分布表 质量指 标值 频数 (1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关: 设备改造前 设备改造后 总计 合格品 不合格品 总计 (2)根据题中的频率分布直方图和频数分布表提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较； (3)企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件售价元；其它的合格品定为三等品，每件售价元.根据频数分布表中的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为(单位:元)，求的分布列和数学期望. 附:,且. 4.袋中装有个红球和个黑球,一次取出个.(1)求恰有个红球的概率;(2)取出黑球的个数为,求的分布列和期望;(3)所取个球同色,求全是黑色的概率. 5.有一质地均匀的正四面体，其四个面上分别标有1、2、3、4四个数字.已知一质点M从平面直角坐标系的原点出发，沿轴正方向移动，其移动规则是：若投掷该正四面体时，看不到的面上的数字为，则质点M移动个单位，质点M到达点前将连续投掷正四面体.(1)求质点M恰好到达点的概率；(2)求质点M到达点的所有情况中，用随机变量表示点Ｍ能够到达点时投掷正四面体的次数，求的分布列和期望. 跟踪训练题答案与解析 3.【解析】(1)根据题中的频率分布直方图和频数分布表得到列联表: 设备改造前 设备改造后 总计 合格品 不合格品 总计 将列联表中的数据代入公式计算得:； 因为.所以有的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. (2)根据题中的频率分布直方图和频数分布表知，设备改造前产品是合格品的概率约为 ，设备改造后产品是合格品的概率约为；显然设备改造后产品合格率更高,因此设备改造后性能更优. (3)由频数分布表知:抽到一等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为；抽到二等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为；抽到三等品的频率为,即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为. 由题意知，随机变量的所有可能取值为. 则；；； .则随机变量的分布列为： 故的数学期望为. 4.解:(1). (2)依题意,由超几何分布知，(), ;(3). 5.解：(1)投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的概率均为.依题意有：若投掷一次能到达点，则底面数字应为，其概率为；若投掷二次能到达点，则底面数字为1、3，3、1，2、2三种情况，其概率为；若投掷三次能到达点，则底面数字为1、1、2，1、2、1，2、1、1三种情况，其概率为；若投掷四次能到达点，则底面数字应为1、1、1、1，其概率为，故能到达点的概率为. (2)依题意有.由于质点M恰好到达点的概率,这是一个含条件概率的分布列问题.则;;;.故的分布列为 1 2 3 4 则期望. 学科网（北京）股份有限公司 $