第8章四边形能力提升自测卷-2025-2026学年苏科版八年级数学下册《知识解读·题型专练》

第8章 四边形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 6．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 7．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 8．如图，在正方形中，对角线与相交于点，E为上一点，为的中点．若2，，则正方形边长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．2 9．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 12．如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则 ． 13．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 14．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 15．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 16．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，菱形中的两条对角线，相交于点O，其中，，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 18．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 19．（8分）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 21．（8分）如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 22．（8分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 23．（8分）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长均为4，如图①摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是 (1)如图②，正方形绕点O顺时针旋转一定角度后，与相交于点E，与相交于点此时两个正方形的重叠面积为______； (2)在正方形绕点O旋转的过程中，连接，试探究线段之间的数量关系．并证明你的结论； (3)如图③，在中，，，点D是边的中点，E是线段上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接（2）中之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 四边形能力提升自测卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】当AB=AC时，不能说明是矩形，所以A不符合题意； 当AC⊥BD时，是菱形，所以B不符合题意； 当AB=AD时，是菱形，所以C不符合题意； 当AC=BD时，是矩形，所以D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键．有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形． 2．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，，则的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到是等边三角形，结合，得到，解得即可． 本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】根据矩形的性质，得， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 解得． 故选C． 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点的坐标分别为，顶点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，平面直角坐标系的特点，掌握菱形的性质，勾股定理是关键． 根据点的坐标得到，由勾股定理得到，结合菱形的性质即可求解． 【详解】解：顶点的坐标分别为， ∴，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴顶点的坐标为， 故选：B ． 4．如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 5．如图，平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点．若，的周长是，则的长为（     ） A．12 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．根据，可得出，继而求出，判断是的中位线即可得出的长度． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴ ． 故选 6．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 7．如图，在中，D是边的中点，是的平分线，于点E，连接．若，则等于（    ） A．7 B．6.5 C．6 D．5.5 【答案】A 【分析】此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键． 延长交于点F，通过证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理得出，即可得出结果． 【详解】解：延长交于点F， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵D是中点， ∴， ∴是的中位线， ∴ ∴， 故选：A． 8．如图，在正方形中，对角线与相交于点，E为上一点，为的中点．若2，，则正方形边长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及勾股定理，利用数形结合的思想是解题的关键． 先依据三角形的中位线定理求出的长，然后依据直角三角形斜边上的中线的性质求得的长，设，则，在中，依据勾股定理列方程，计算即可． 【详解】解：在正方形中， ，O是的中点，， 为的中点， 为的中位线， ， 设，则， 在中， ， 即， 解得：或（舍去）， 故选：C． 9．数学家贾宪提出，从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等（如图所示）．根据这一推论，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解决此题的关键． 由题意可得四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形，矩形的对角线将矩形平分为两个面积相等的三角形，由此逐项论证即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形均是矩形． ∵是对角线，且点在上， ∴，，，故A，B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； 只有当时，， ∴当点位置变化时，和不一定相等，故D选项符合题意． 故选：D． 10．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 11．如图，在平行四边形中，按以下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于P、Q两点；（2）连接分别交于F、E两点；（3）连接，若，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行四边形的性质．利用基本作图得到，再根据平行四边形的性质得到，然后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：由作图得垂直平分， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴的面积． 故答案为：30． 12．如图，在矩形中，，，E，F分别是的中点，则 ． 【答案】5 【分析】连接，根据矩形的性质可得，，再根据勾股定理得，最后利用三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别是的中点， ， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 13．如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，，再根据△中，，即可得到的长． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 四边形是正方形， ，， 由旋转可得，， ， 为的中点， 垂直平分， ， 设，则，，， ， 在△中，， ， 解得； 即； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 14．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边、上的动点，其中点H不与点C重合，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接，由题意易得是的中位线，即，当取最小值时，则也为最小，则当时，取最小，然后根据含30度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点E为的中点，点F为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最小值时，则也为最小， ∴当时，取最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为． 15．如图，菱形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理．直接利用菱形的性质得出的长，再利用勾股定理得出菱形的边长，进而利用等面积法得出答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于点O，且，， ∴， ∴， 在中，由等积法得：， ∴， 故答案为：． 16．如图，在中，是边的中点，过点作直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，连接，．当 时，四边形是正方形． 【答案】90° 【分析】要确定的度数使四边形为正方形，需先分析四边形的形状，利用角平分线、平行线的性质及正方形的判定条件推导． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理，平分，． ∴． ∵是边的中点， ∴． ∴． ∴四边形是矩形． 当时，平分， 可得：． ∵， ∴． 又∵， ∴是等腰直角三角形，． ∴矩形是正方形． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定，角平分线与平行线的性质，解题关键是先利用“对角线互相平分且相等”证明矩形，再通过“邻边相等的矩形是正方形”推导角度． 三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）如图，菱形中的两条对角线，相交于点O，其中，，延长至点E，使，连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了利用平行四边形的判定与性质求解，利用菱形的性质求线段长，根据平行线的性质求角的度数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先根据菱形的性质得出，，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可求解； （2）先根据菱形的性质得出，即，从而可求得，再根据平行四边形的性质得出，从而可求得． 【详解】（1）解：∵菱形， ∴，． ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴的长度为8； （2）∵菱形， ∴， 即． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 18．（8分）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【详解】（1）证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； （2）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 19．（8分）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可． 【详解】证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 20．（8分）如图，在四边形中，，，对角线交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，进而即可求证； （）利用菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，直角三角形的性质等，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．（8分）如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E．交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)点O在中点时，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定，掌握等腰三角形和矩形的判定方法是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质，得到相等角，利用等角对等边得到线段的相等关系即可； （2）一个四边形是矩形的前提是该四边形是平行四边形，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，确定点O的位置，再通过角平分线的性质得到直角即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∴， 同理，可得， ∴； （2）解：当点O为的中点时，四边形是矩形， 理由：当点O为的中点时，， 又由（1），得， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 22．（8分）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（如图1）    (1)概念理解：在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定是垂美四边形的是 ； (2)性质证明：如图1，四边形是垂美四边形，请写出其两组对边，与，之间的数量关系 ；并给出证明． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论和勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形， 故答案为：菱形、正方形； （2）解：，理由如下， 如图所示，设与交于点O，   四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得：，，，， ∴，， ； （3）解：如图，连接，．   ， ， 即． 又∵，， ， ， 又， ． 又， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知， ∵，， 由勾股定理，得，，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 23．（8分）正方形的对角线相交于点O，正方形与正方形的边长均为4，如图①摆放时，易得重叠部分的面积与正方形的面积的比值是 (1)如图②，正方形绕点O顺时针旋转一定角度后，与相交于点E，与相交于点此时两个正方形的重叠面积为______； (2)在正方形绕点O旋转的过程中，连接，试探究线段之间的数量关系．并证明你的结论； (3)如图③，在中，，，点D是边的中点，E是线段上的动点，过点D作的垂线交直线于点F，连接（2）中之间的数量关系是否仍然成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析； (3)成立，理由见解析， 【分析】（1）证明，得出，则可得出答案； （2）证明，得出，利用中，，则可得出答案； （3）作矩形，证出，得出、、，在中，根据则可得出答案； 【详解】（1）解：四边形是正方形，四边形是正方形， ，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 证明：四边形、都是正方形， ，，，， ， ， ， ，连接， 在中，， ； （3）解：之间的数量关系成立，理由如下， 理由：作矩形，延长交于点G，连接，如图： ∵点D是的中点， ， 在矩形中，，， ∴，， ； ，， 又， ， 在矩形中，， 在中，， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $