微专题01 平行线中的拐点模型（专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行线中的拐点模型 猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 铅笔模型及其扩展 平行线中的拐点模型 靴子模型、鹰嘴模型 靴子模型的扩展及蛇形模型 骨折模型 德点鱼戒 题型1猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 方法 模型 猪蹄模型 锯齿模型 猪蹄模型的扩展 B 图例 D 结论 ∠A+LC=∠E ∠B+∠F=∠E+∠C ∠A+∠F+∠C=∠E+∠G 1.(2025七年级上全国专题练习)如图，AB∥CD,点0在AB与CD之间，∠A0C=75°，∠C=28°， 则∠A=() B A.47° B.123° C.51.5° D.30° 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过点O作OE∥AB,可得CD∥OE,根据平行线的性质可得LC=LCOE,即可求出∠AOE,再根据 OE∥AB得出∠A=LAOE,即可求解， 【详解】解：如图，过点O作OE∥AB, D E :OE∥AB,AB∥CD, .CD∥OE, :∠C=28°， .∠C0E=28°， :∠A0C=75°， ∠A0E=75°-28°=47°， :OE∥AB, ∠A=47° 故选：A. 2.(2025·山东东营·中考真题)2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪 比赛的精彩瞬间.抽象为如图所示的图形，己知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的 夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为() B 30° 80以 D E A.80° B.90° C.100° D.110° 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质， 过点C作CM∥AB,得到CM∥DE,推出∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°，即可求出 ∠BCM+∠ECM=110°. 【详解】解：过点C作CM∥AB, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 30° 、4 80° D :AB∥DE, CM∥DE, ∠BCM=∠B=30°，∠ECM=∠E=80°， ∠BCM+∠ECM=30°+80°=110°. 故选：D 3.(2025七年级上·全国专题练习)如图，直线AB∥CD,点P和点Q在两直线之间，且2∠P=3∠Q,则 ∠B,∠C与∠P之间的数量关系为 P C D 【答案】∠B-∠C=P 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，过点P作PM∥AB,过点Q作ON∥AB,则 ABIICDII PM IION,由平行线的性质可得出∠B=∠MPB,∠MPQ=∠PQN,∠C=∠CQN,再得出 ∠B+∠MPQ=∠BPQ,∠C+∠MPQ=∠PQC,用∠B-∠C再结合2∠P=3∠Q即可得出答案. 【详解】解：如图，过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB, B M AB CD N--- C -D .AB∥CD∥PM∥QN, .∠B=∠MPB,∠MPQ=∠PON,∠C=∠CQN, ∴.∠B+∠MPQ=∠MPB+∠MPQ=∠BPQ,∠C+∠MPQ=∠CQN+∠PQN=∠PQC, 2∠P=3∠Q, 0-p ∠B-∠C=∠BPO-∠PQC=}∠BPQ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故答案为：∠B-∠C=)∠P. 3 4.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)如图，AD∥CE,若∠ABC=110°，则∠2-∠1的度数为 A D 【答案】70° 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，准确分析计算是解题的关键， 过点B作BM∥AD,根据已知条件可得BM∥EC,根据平行线的性质求解即可； 【详解】过点B作BM∥AD, :AD∥CE, BM∥EC, ∠1=∠ABM,∠2+∠CBM=180°， ∠CBM=180°-∠2， :∠ABC=110°， .∠ABM+∠CBM=110°， .∠1+180°-∠2=110°， ∠2-∠1=180°-110°=70°. 故答案是70°. B E 5.(25-26八年级上辽宁沈阳期末)数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a,b,再将三角板 MBC(∠MBC=90)放在黑板上，MB与直线a相交于点A,改变三角板得到如图所示的两个不同位置的 图形. 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 意盗 (1)如图1，若点B在直线b上，∠2=24°，求∠1的度数； (2)如图2，若点B在直线a,b之间，求证：∠1-∠2=90°. 【答案】(1)114° (2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键， (1)设三角板与直线b的交点为N,根据平行线的性质得到∠1+(90°-∠2)=180°，进而得到 ∠1=90°+∠2，据此求解即可： (2)过点B作BN∥a,根据平行线的性质得到BN∥a∥b,进而得到∠2=∠CBN,根据 ∠1+(90°-∠2)=180°，得到∠1=90°+∠2，据此求解即可. 【详解】(1)解：设三角板与直线b的交点为N,如图： M .ba B 图1 ∠1+∠ABN=180° :∠2+∠ABN=90 .∠1+90°-∠2)=180° ,∠1=90°+∠2=90°+24°=114°； (2)证明：过点B作BN∥a,如图： 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a .BN a、a∥b 图2 ∴.BNallb :∠ABN+∠CBN=90°、BN∥b :∠2=∠CBW .∠ABN+∠2=90° .∠ABN=90°-∠2 :∠1+∠ABN=180° .∠1+90°-∠2)=180° ∴.∠1=90°+∠2 ∠1-∠2=90°. 6.(25-26七年级上重庆万州月考)如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像“∑”形，称为“∑ 形BAMCD”. B 图1 ☒2 图3 图4 (I)如图2，在“∑形BAMCD”中，若AB∥CD,∠AMC=60°，求出∠A+∠C的度数 (2)如图3，连接BD,若LABD+∠BDC=160°，LAMC=a,试猜想∠BAM与∠MCD之间的数量关系， 并说明理由. (3)如图4，在(2)的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动时，请直接写出∠BAM与 ∠MCD之间所有可能满足的数量关系. 【答案】(1)60° (2)∠BAM+∠MCD=a+20°，理由见解析 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)∠BAM-∠MCD=a+20°或∠MCD-∠BAM=a-20 【分析】本题考查了平行线的性质与判定 (1)过M作MN‖AB,利用平行线的性质计算可求求解； (2)过A点作AP‖CD交BD于点P,利用平行线的性质可求得∠BAP=20°，结合(1)的结论可求解： (3)可分两种情况：当D,C位于AM两侧时，当D,C位于AM同侧时，利用平行线的性质分别计 算求解。 【详解】(1)解：过M作MN‖AB, -B N-- ->M AB CD, D 图1 .AB II MN II CD, :LAMN=∠A,∠MC=∠C, :.∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=∠AMC=60°： (2)∠BAM+∠MCD=a+20°， 理由：过A点作API‖ICD交BD于点P,过B点作BE∥CD B E------- EB∥AP 图2 .∠APB=∠D,∠EBA=∠BAP :∠BAP+∠APB+∠ABP=∠EBA+∠APB+∠ABP=∠EBP+∠APB=180°，∠ABD+∠D=160°， ∠BAP=180°-160°=20°由(1)可得∠AMC=∠PAM+∠MCD, :∠AMC=a, :∠PAM+∠MCD=a, ∴.∠BAM+∠MCD=a+20°： (3)解：如图，当D,C位于AM两侧时，过M作MN∥AB,过点M作MG∥CD / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D… MN∥AB :∠B=∠NMQ,∠A=∠AMN :MG∥CD :∠DCM=∠CMG,∠CDM=∠GMQ :∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°， ∠CDM-∠ABD=20°， .∠AMQ=∠NMQ+∠AMN=∠B+∠BAM,∠CMQ=∠CMG+∠GMQ=∠MCD+∠CDM,LAMC=a, a=∠AMQ-∠CMQ=∠B+∠BAM-（∠MCD+∠CDM）=∠BAM-∠MCD-20°， 即∠BAM-∠MCD=a+20°； 当A,C,M三点共线时，LAMC=a=0°， .∠BAM-∠MCD=20°： 当D,C位于AM同侧时， A D :∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°， 1 图3 LCDM-LABD=20°， 同理可得∠AMQ=∠B+∠BAM,∠CMQ=∠MCD+∠CDM,∠AMC=a, ：a=LCMQ-LAMQ=∠MCD+∠CDM-∠B+∠BAM）=∠MCD-∠BAM+20°， 即∠MCD-∠BAM=a-20°， 综上，∠BAM-∠MCD=a+20°或∠MCD-∠BAM=Q-20°. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型2铅笔头模型及其扩展 嫦方法 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 B B 图例 D D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720° 1.(2025山西临汾·二模)如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行. 抽象成如图所示的几何图形，AB∥EF,若∠A=100°，∠P=130°，则∠E的度数为() A.100° B.110° C.120 D.130° 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作PC∥AB,则AB∥EF∥PC,根据平行线的 性质可得∠E+∠EPC=180°，∠A+∠APC=180°，据此先求出∠APC的度数，再求出∠EPC的度数即 可得到答案. 【详解】解：如图所示，过点P作PC∥AB, :AB∥EF, .AB∥EF∥PC, ∠E+∠EPC=180,∠A+∠APC=180°， 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠A=100°， .∠APC=80°； :∠APE=130°， LEPC=∠APE-∠APC=50°， .∠E=130°， 故选：D 2.(25-26八年级上·广西南宁·月考)泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图)可抽象为如图所示模 型.己知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高， CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中LABC+LBCD的度数始终为 () B A.180 B.250° C.270 D.300 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质及垂线的定义是解题的关键； 过点B作BH∥AE,则有BH∥AE∥CD,然后根据平行线的性质可进行求解. 【详解】解：过点B作BH∥AE,如图所示： D 7777777777777777 :CD与AE始终平行， BH∥AE∥CD, :BA⊥AE, 六.∠BAE=90°， :BH∥AE∥CD, .∠ABH=180°-∠BAE=90°，∠CBH+∠BCD=180°， LABC+∠BCD=LABH+LCBH+∠BCD=270°；品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行线中的拐点模型 猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 铅笔模型及其扩展 平行线中的拐点模型 靴子模型、鹰嘴模型 靴子模型的扩展及蛇形模型 骨折模型 德点鱼戒 题型1猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 啸方法 模型 猪蹄模型 锯齿模型 猪蹄模型的扩展 图例 D 结论 ∠A+LC=∠E ∠B+∠F=∠E+∠C ∠A+∠F+∠C=∠E+∠G 1.(2025七年级上全国专题练习)如图，AB∥CD,点0在AB与CD之间，∠A0C=75°，∠C=28°， 则∠A=() B A.47 B.123° C.51.5° D.30° 2.(2025山东东营.中考真题)2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪 比赛的精彩瞬间.抽象为如图所示的图形，己知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 夹角为30°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为() A 30 C 80° D E A.80° B.90° C.100° D.110° 3.(2025七年级上全国.专题练习)如图，直线AB∥CD,点P和点Q在两直线之间，且2∠P=3∠Q,则 ∠B,∠C与∠P之间的数量关系为 C -D 4.(25-26七年级上·黑龙江绥化月考)如图，AD∥CE,若∠ABC=110°，则∠2-∠1的度数为 0 E 5.(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线Q,b,再将三角板 MBC(LMBC=90)放在黑板上，MB与直线a相交于点A,改变三角板得到如图所示的两个不同位置的 图形. (1)如图1，若点B在直线b上，∠2=24°，求∠1的度数： (2)如图2，若点B在直线a,b之间，求证：∠1-∠2=90°. 6.(25-26七年级上重庆万州月考)如图1，由线段AB,AM,CM,CD组成的图形像“∑”形，称为“∑ 形BAMCD”. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 图3 图4 (I)如图2，在“∑形BAMCD”中，若AB∥CD,∠AMC=60°，求出∠A+∠C的度数 (2)如图3，连接BD,若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=a,试猜想∠BAM与LMCD之间的数量关系， 并说明理由. (3)如图4，在(2)的条件下，当点M在线段BD的延长线上从上向下移动时，请直接写出∠BAM与 ∠MCD之间所有可能满足的数量关系. 题型2铅笔头模型及其扩展 煤方法 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 A B B 图例 C D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720° 1.(2025山西临汾·二模)如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行. 抽象成如图所示的几何图形，AB∥EF,若LA=100°，∠P=130°，则∠E的度数为() A.100° B.110° C.120° D.130° 2.(25-26八年级上·广西南宁·月考)泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图)可抽象为如图所示模 型.己知AB垂直于水平地面AE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高， CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中∠ABC+∠BCD的度数始终为 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 () B 7777 A.180 B.250 C.270° D.300° 3.(25-26七年级上·江苏南京·期末)如图，直线a∥b,点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一 点，那么∠1+∠2+∠3等于 M -a P62 4.(25-26八年级上·甘肃兰州期末)图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，己 知，若AB与BC的夹角为105°，L1=55°，则∠2的度数为一· 图1 图2 5.(25-26八年级上·广东深圳月考)如图1，己知AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点，P为AB,CD之 间的一点，且始终在直线EF的左侧，连接EP,PF. A E B A B D F D 图1 图2 (1)求证：∠AEP+∠CFP=LEPF. (2)如图2，在AB,CD内部另作一条折线E-Q-F,且点Q在直线EF的右侧.若∠BEP=2∠BEQ, ∠DFP=2∠DFQ,∠EQF=130°，求∠EPF的度数. 6.(25-26七年级上·吉林长春期末)【感知】如图①，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是夹在直线AB、CD之间的一点，连接PE、PF.过点P作PQ∥AB,如果∠AEP=45°，∠CFP=60°， 则∠EPF= 【探究】如图②，直线AB∥CD,点E在AB上，点F在CD上，点P是夹在直线AB、CD之间的一点， 连接PE、PF,请判断∠AEP、∠CFP、∠EPF之间的数量关系，并说明理由. 【应用】如图③，点A、B在射线OM上，点C、D在射线ON上，且直线AD∥BC,点P是射线OM上 一动点，且不与点A、B、O重合，若∠ADP=a,∠BCP=B,用含a、的代数式表示∠CPD. (I)当点P在线段OB上时，∠CPD= (2)当点P在线段AB上时，∠CPD= (3)当点P在射线AM上时，∠CPD= A B 题型3靴子模型、鹰嘴模型 煤方法 模型 靴子模型 鹰嘴模型 B 图例 B D C 结论 ∠E=∠A-∠C ∠E=∠C-∠A 1.(25-26七年级上海南海口期末)如图，小明观察“抖空竹时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学 问题：己知AB∥CD,∠BAE=88°，∠DCE=122°，则∠E的度数是 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 2.(25-26八年级上·安徽阜阳·月考)图1是路政部门利用折臂升降机维修路灯时的情景，图2是其平面示 意图.己知路灯AB和折臂的底座CD都与地面MN垂直，同时上折臂AE与下折臂DE的夹角 ∠AED=74°，下折臂DE与底座CD的夹角LCDE=124°，求上折臂AE与路灯AB的夹角∠BAE的度数. M C B 图1 图2 3.(25-26八年级上：内蒙古包头期末)如图，己知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD. ∠ABC=145°. C B A E D E D 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数 4.(25-26七年级上江苏假期作业)如图1所示，MN∥PQ,∠B的两边与MW，P9分别交于A,C两 点 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M M P C 图1 图2 (1)若∠MAB=30°，∠QCB=20°，求∠B的度数； (2)如图2所示，直线AE,CD相交于点D,且满足∠BAM=n∠MAE,∠BCP=n∠DCP: ①当n=2时，若∠ABC=90°，求∠CDA的度数； ②试探究LCDA与∠B的数量关系 5.(25-26七年级上·甘肃天水期末)【问题背景】 已知AB∥CD,点P为平面内一点，连接BP、DP. E 图1 图2 图3 【问题再现】 (1)如图1，当点P在平行线AB、CD之间时，BE平分∠ABP,DE平分LCDP,过点E作EF∥AB,若 LABP=50°，∠CDP=70°，求∠BED的度数； 【问题推广】 (2)如图2，当点P在AB的上方时，若∠ABP=Q,∠CDP=B,∠ABP和LCDP的角平分线交于点 E,过点E作EE∥AB.求∠BE,D的度数；（用含a、B的代数式表示) 【拓展提升】 (3)如图3，当点P在AB的上方时，点M、F分别在AB、CD的延长线上，点H为DP和AB的交点， BQ平分∠ABP,BQ的反向延长线与∠PDF的角平分线交于点E,过点E作EG∥AB.试说明 ∠DEB=90P-∠AHP-∠ABP. 6.(2023七年级下·浙江宁波竞赛)(1)己知直线AB‖CD,点P为平行线AB,CD之间的一点.如图1， 若LABP=50°，∠CDP=70°，BE平分∠ABP,DE平分LCDP,求∠BED的度数. (2)(探究)如图2，当点P在直线AB的上方时，若∠ABP=a,∠CDP=B,∠ABP和∠CDP的角平 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 分线交于点E,求E的度数；若∠ABE,与∠CDE,的角平分线交于点E∠ABE,与∠CDE,的角平分线交 于点E3,.以此类推，求∠En的度数。 (3)(变式)如图3，∠ABP的角平分线的反向延长线和∠CDP的补角的角平分线交于点E,试猜想 ∠P与∠E的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 题型4靴子模型的扩展及蛇形模型 味方法 模型 靴子模型的扩展A 靴子模型的扩展B 蛇形模型 B 图例 B B D C D 结论 ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=180°+∠D-∠A 1.(25-26八年级上·全国.单元测试)如图，已知AB∥DE∥CF,若LABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的 度数. D 2.(25-26八年级上·辽宁沈阳·期末)如图，若CB∥0A,∠CB0=122°，∠B0N=90°，∠A0N=∠E0N, 则∠AOE的度数为() A.22° B.32° C.64 D.122° 3.(25-26八年级上·四川达州开学考试)如图，直线AB∥CD∥EF,点O在直线EF上，下列结论正确 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的是() B E -F A.∠a+∠B-∠y=90° B.∠a-∠β+∠y=180°C.∠y+∠β-∠a=90° D ∠a+∠β+∠y=180° 4.(25-26八年级上·福建漳州月考)如图，AB∥CD,LB0C=110°，BE、CF分别平分∠AB0、∠0CD,则 ∠2-∠1= B 5.(23-24七年级下·江西新余期中)如图，已知直线1∥1，点A、B在直线4上，点C、D在直线马上， 点C在点D的右侧，LADC=8O°，∠ABC=n°，BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,直线BE、DE交于 点E. (1)写出LEDC的度数 (2)试求∠BED的度数（用含n的代数式表示）： (3)将线段BC向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出∠BED的度数（用含n 的代数式表示) 6.(24-25七年级上黑龙江牡丹江期末)已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. H A C D 图1 图2 图3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，已知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数： (2)如图2，猜想∠PAB、LCDP、∠APD之间的数量关系，并说明理由. (3)如图3，在(2)的条件下，点E在射线AB的反向延长线上，过点E作EF∥PC,∠PEG=∠PEF, 点G在直线CD上，作LBEG的平分线EH,交PC于点H.若∠APC=30°，∠PAB=1I0°，∠PEH的度 数为 题型5骨折模型 嫩方法 模型 骨折模型 B 图例 D 结论 ∠E=∠C-∠A 1.(2026新疆阿克苏·模拟预测)如图，AB∥CD,∠A=45°，∠C=20°，则∠E的度数为 B D C 2.(2025七年级下，全国.专题练习)小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B,∠D和∠BOD的关系进 行了探究： 图1 图2 图3 (I)如图1，AB∥CD,点O在AB,CD之间，试探究∠B,∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由： 小华添加了过点O的辅助线OM,并且OM∥CD请帮助他写出解答过程， (2)如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B,∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由：