江苏省淮安市2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷

( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·淮安） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1．下列说法正确的是（ ） A．经过三点可以做一个圆 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三边的距离相等 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可． 【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A错误； B、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B错误； C、等弧所对的圆心角相等，C正确； D、三角形的外心到各顶点的距离相等，D错误； 故选：C． 2．若，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据可设，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设， 则， 故选：B． 3．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄(单位：岁)进行统计，结果如表： 年龄 12 13 14 15 16 人数 2 3 2 5 1 则这些学生年龄的众数和中位数分别是(　　) A．15，14 B．15，13 C．14，14 D．13，14 【答案】A 【分析】根据众数的定义，结合表格得出众数，然后根据中位数的定义，从左往右排序，即可得出答案. 【详解】15出现的次数最多，15是众数． 一共13个学生，按照顺序排列第7个学生年龄是14，所以中位数为14． 故选：A． 4．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．根据特殊锐角三角函数值代入计算验证即可． 【详解】解：A．，而，因此选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意． 故选：A． 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 利用方程根的性质，将原表达式化简，并利用已知条件求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ∴， ∴， ∴， ∴． ． 由方程两边除以a得， ∴． 故选A． 6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．2.5 【答案】A 【分析】连接格点，．根据题图和勾股定理先判断的形状，再求出的正切，利用平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接格点，． 由网格和勾股定理可求得； ，，， ∴， ∴是直角三角形． 在中，． ∵， ∴ ∴ 故选． 7．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等，在旋转过程中根据旋转的性质确定相等的角和相等的线段是关键．在中根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求得的度数，在中，根据三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解∵旋转， ∴，，， ∴，， ∴， 故选：A． 8．已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先求出对称轴为，根据和关于对称，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为：，点到对称轴的距离为：，点关于对称， ①当时，则点关于对称轴对称， ∴， ∴； ②当时，则：， ∴， ∴， ∴； ③当时，则：， ∴， ∴， ∴； 综上：； 故选A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则 ． 【答案】 【分析】 由已知分式变形得，代入计算即可，本题主要考查分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：已知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 10．数据8、9、8、10、8、8、10、7、9、8的中位数是 ，众数是 ． 【答案】 8 8 【分析】根据中位数的定义：一组数据中处在最中间的数或处在最中间的两个数的平均数；众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，进行求解即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为：7，8，8，8，8，8，9，9，10，10， ∵处在最中间的两个数分别为8，8， ∴中位数， ∵8出现了四次，出现的次数最多， ∴众数为8， 故答案为：8，8． 11．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为 ． 【答案】3π 【分析】设扇形的半径为R．利用扇形的面积公式求出R，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为R． 由题意：＝6π， 解得R＝4， ∴扇形的弧长＝＝3π， 故答案为3π． 12．将半径为的圆（如图）剪去一个圆心角为的扇形后围成如图所示的圆锥，则的值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可得圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可得到关于n的方程，然后求解即可. 【详解】解：圆锥底面周长为：2π×3=6π， 则=6π， 解得：n=144. 故答案为144. 13．菱形中，周长为24，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，关键是掌握菱形的性质． 【详解】解：∵四边形是菱形，周长为24， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积， 故答案为：． 14．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移 cm．    【答案】60 【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可． 【详解】解：过点C作延长线于点E，    cm 以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系， 则 设此时抛物线解析式为： 代入点得， ， 整理得， 解得 设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为： 将代入解析式得， 即小刚应把升降器向上平移60cm 故答案为：60 15．如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．下列结论：①；②平分；③以点，，，为顶点构成的四边形是平行四边形；④．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③/③① 【分析】由平行四边形的性质可得点O为AC的中点，再证明可证得点G为CD的中点，故可得OG为的中位线，从而可判断①正确；无法得到AC=CE，从而可判断②错误；连接ED，可证明AD=CE，AD//CE，从而判断③正确；证明，得，进一步得出，故可判断④错误． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，ADBE， ∴， 又BC=CE， ∴AD=CE， 在和中， ， ∴， ∴DG=CG， ∴G为CD的中点， ∵的对角线与相交于点， ∴，即点O为AC的中点， ∴OG为的中位线， ∴，故①正确； ∵无法得到AC=CE， ∴， ∵， ∴， ∴AE不能平分，故②错误； 连接ED，如图， ∵， ∴四边形ACED是平行四边形，故③正确； ∵OG是的中位线， ∴OGAD， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误， ∴正确的结论是①③， 故答案为①③． 16．如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】y=x． 【详解】如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E， ∵ABCD为矩形，∴∠C=90°． ∵OF⊥BC，OE⊥CD，∴∠EOF=90°．∴∠EON+∠FON=90°． ∵ON⊥OM，∴∠EON=∠FOM．∴△OEN∽△OFM． ∴． ∵O为矩形ABCD的中心，∴．∴ ，即y=x． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），，（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了特殊角三角函数的混合运算． （1）先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （2）先根据特殊角的三角函数值得到原式，然后进行二次根式的混合运算． 【详解】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】；2 【分析】先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 19. 在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题： 平均数（分） 中位数（分） 方差 8（1）班 m 90 49 8（2）班 91 90 29 (1)求各班参赛人数，并补全条形统计图； (2)此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为 ___________人； (3)小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩． 【答案】(1)10人，2人，见解析 (2)1 (3)91，见解析 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率频数总数，是正确解答的关键． （1）从两个统计图可知八（2）班成绩为A等级的学生有2人，占调查人数的，由频率频数总数，可求出八（2）班调查人数，进而求出八（1）班成绩为C等级的人数，补全条形统计图； （2）根据频率频数总数，进行计算即可； （3）根据平均数的计算方法进行计算即可求出m的值，再根据优秀率的大小和方差的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：八（2）班调查人数为（人），即八（1）班调查人数也是10人， 所以样本中八（1）班成绩在C等级的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）解：8（2）班成绩为C级的人数为（人）， 故答案为：1； （3）解：八（1）班学生成绩的平均数为（分），即， 八（1）班学生成绩的优秀率为， 八（2）班学生成绩的优秀率为， 从优秀率看，，所以八（2）班的成绩较好， 从方差来看，，所以八（2）班的成绩较稳定． 20. 2026年福州市中考抽选考项目已确定，抽选结果如下：引体向上（男）/斜身引体（女），双手头上前掷实心球，1分钟仰卧起坐．三个项目中自选两项． (1)若小明随机选两项，选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是_____． (2)若小华（男）与小刚（男）随机抽选两项，求他们选的两个项目都相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为，小明随机选两项，所有可能的情况有、、，共种，其中选中“仰卧起坐”和“掷实心球”的情况有种，再由概率公式计算即可得出结果； （2）先分别确定小华和小刚所有可能的选法，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为， 小明随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种，其中选中“仰卧起坐”和“掷实心球”的情况有种， 故选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是； （2）解：设引体向上（男）为，双手头上前掷实心球为，1分钟仰卧起坐为， 小刚随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种， 小华随机选两项，所有可能的情况有：、、，共种， 那么小华和小刚选项目的所有可能组合情况有：、、、、、、、、，共9种， 两人选的项目相同的情况有：、、，共3种， 他们选的两个项目都相同的概率为． 21. 如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，， ． (1)画出关于原点对称的； (2)在y轴左侧画出的位似图形；与关于坐标原点O位似，且相似比为2：（点A、B、C的对应点分别为点、、） (3)在（2）中，点A的对应点的坐标为______；点 B的对应点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2得到点、、的坐标，然后描点即可； （3）由（2）可得点、的坐标． 本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或也考查了旋转变换． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点的坐标为；点的坐标为 故答案为：， 22. 如图1，已知二次函数y＝ax2x+c的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、点B，点B坐标为（8，0）． （1）请直接写出二次函数的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积为16？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数解析式，（2）存在，点P（4，6）；（3）存在，点M的坐标为（-1，）或（-3，）或（9，）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象经过C（0，4），点B（8，0）．代入解析式得出方程组，解方程组即可； （2）存在，过点P作PG平行y轴，交BC于G，先求出BC解析式为：，设点P（m, ）,点G（m，），求出PG=，根据三角形面积得出，解方程即可； （3）存在：设点，，先求出对称轴,点，点E（4，2），点A（-2，0），分三种情况，当AE为对角线，四边形MANE为平行四边形，四点横坐标应满足：，当ME为对角线，四边形AMNE为平行四边形，四点横坐标应满足：，当EN为对角线，四边形ANME为平行四边形，四点横坐标应满足：，正确纵坐标即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过C（0，4），点B（8，0）．代入解析式得：， 解得 ∴二次函数解析式， （2）存在， 过点P作PG平行y轴，交BC于G， 设BC解析式为：，将B、C两点坐标代入解析式得： ， 解得：， ∴BC解析式为：， 设点P（m, ）,点G（m，）， ∴PG=， ∴S△PBC=， 整理得， △=64-64=0， ∴， ∴， 点P（4，6） （3）存在：分三种情况，设点， 抛物线的对称轴为, 点 当m=4时，， ∴点E（4，2）， 当y=0时，， 解得 ∴点A（-2，0） 当AE为对角线，四边形MANE为平行四边形，四点横坐标应满足： ， 解得， 点M（-1，）， 当ME为对角线，四边形AMNE为平行四边形，四点横坐标应满足： 解得，， ∴点M（-3，），     当EN为对角线，四边形ANME为平行四边形，四点横坐标应满足： 解得，， ∴点M（9，）， 综合点M的坐标为（-1，）或（-3，）或（9，）． 23. 如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证： 【答案】详见解析 【分析】由平行线性质可得到，，则． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 【答案】任务1：；任务2：8000元；任务3：7或8 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用： （1）根据图中数据利用待定系数法求解； （2）设端午节前商家每周的利润为W元，结合（1）中结论可知端午节前每周销量为盒，每盒利润为元，由此列出W关于x的二次函数关系式，化为顶点式可求最值； （3）设端午节后利润为元，列出W关于a的二次函数关系式，化为顶点式可得答案． 【详解】解：任务1：设每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为． 由图可知点和在函数图象上， 将和代入，得：， 解得， 每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式为； 任务2：设端午节前商家每周的利润为W元， 由题意知， ， 当时，W取最大值，最大值为8000， 即端午节前商家每周的最大利润为8000元． 任务3：设端午节后利润为元， 由题意知 ， ， 时，取最大值， 又a取整数值， 或8． 25．已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交于F，根据圆心角定理的推论及线段垂直平分线的判定定理可得，即； （2）连接并延长交于F，易得，进而可得，再证明，根据全等三角形的性质得到，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1，延长交于F，连接，，， ∵点D为优弧的中点， ∴， ， ∴点D在线段的垂直平分线上， ， ∴点O在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ，即； （2）解：连接并延长交于F， 设的半径为x， ∵点D为优弧的中点，，， ∴， 由（1）得，， ∴， ， ， ，， ， ， ， 即， 解得， 的半径为． 26．如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）要证是的切线，通过切线性质得，结合角平分线证，从而得，完成证明； （2）先证得，结合切线长定理得，再用勾股定理表示，最后在中列方程求解半径． 【详解】（1）证明：与相切， ． ． 平分线， ． 在和中 ． ． 是的切线． （2）解：在和中， ． ． ． ，是的切线， ． ． ． 设，则，． ， ． 解得． 的半径长为． 27．如图，抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图（1），为抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)，是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线，分别交轴于，，如图（2）若，直线经过定点，求出点的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）令，解一元二次方程求出点A和点B的坐标，令， 求出点C的坐标； （2）过点C作于点H，先证，再求出所在直线的解析式，与抛物线的解析式联立即可求出点D的坐标； （3）设，，由已知条件可推出，分别求出点E和点F的坐标，表示出所在直线的解析式为，直线经过的定点即为P点． 【详解】（1）解：令， 解得，， A点坐标为，B点坐标为； 令，则， C点坐标为； （2）解：如图，过点C作于点H， ∵平分， ， 在和中， ， ， ，； 设， 则，， 解得，， ， 设所在直线的解析式为， 将点，代入可得， ， 解得，， 所在直线的解析式为， 将与联立， 解得，， 当时， ， D点的坐标为． （3）解：设，， 将点的坐标为代入可得，，， ，， ，， ， ， ， 将所在直线的解析式与抛物线的解析式联立， 可得， 解得，， 当时，， ， 同理可得， 设所在直线的解析式为， 将点，代入可得， ， 解得，， 所在直线的解析式为： ， 所在直线过定点，此点到原点的距离为定值， 定点P的坐标为． 28．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当点A恰好落在y轴上时，求的面积； (3)当该二次函数的图象在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当点O恰好落在内部时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) (4)或 【分析】（1）直接化为顶点式求解即可； （2）根据A横坐标为0得到，，再计算即可； （3）当该二次函数的图象在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，可得，再建立不等式求解即可； （4）当时，则，如图，过作轴的平行线，过作这条平行线的垂线，垂直分别为，则，，证明，求解，结合，，求解直线为，当直线过时，可得：，当在上时，可得：，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴顶点为； （2）解：∵点A恰好落在y轴上， ∴根据A横坐标为0，点B横坐标为1 ∴， 如图所示， ∴ ∴， ∴； （3）解：当该二次函数的图象在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时， ∴， ∴， 解得，， ∴m的取俏范围是． （4）解：当时，则，如图，过作轴的平行线，过作这条平行线的垂线，垂直分别为，则，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴， ∴设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为， 当直线过时， ∴， 解得：， 当在上时， ∴， 解得：， ∴当时，当点O恰好落在内部时， 此时， 当时，如图， 同理可得：当点O恰好落在内部时，； 综上：或 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025—2026学年九年级上学期期末数学模拟优选卷（江苏·淮安） （共28小题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共16分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1．下列说法正确的是（ ） A．经过三点可以做一个圆 B．平分弦的直径垂直于这条弦 C．等弧所对的圆心角相等 D．三角形的外心到三边的距离相等 2．若，则的值等于（   ） A． B． C． D． 3．某校对部分参加研学旅行社会实践活动的中学生的年龄(单位：岁)进行统计，结果如表： 年龄 12 13 14 15 16 人数 2 3 2 5 1 则这些学生年龄的众数和中位数分别是(　　) A．15，14 B．15，13 C．14，14 D．13，14 4．下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 5．设a是方程的一个根，则（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．无法确定 6．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，、相交于点P．则的值是（    ） A．2 B．1 C．0.5 D．2.5 7．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转旋转后的对应点分别是和，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象经过两点，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则 ． 10．数据8、9、8、10、8、8、10、7、9、8的中位数是 ，众数是 ． 11．一个扇形的圆心角为135°，面积为6π，则此扇形的弧长为 ． 12．将半径为的圆（如图）剪去一个圆心角为的扇形后围成如图所示的圆锥，则的值等于 ． 13．菱形中，周长为24，，则菱形的面积为 ． 14．小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移 cm．    15．如图，在中，对角线与相交于点，延长至点，使得，连接交于点，连接．下列结论：①；②平分；③以点，，，为顶点构成的四边形是平行四边形；④．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）． 16．如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB＝6，AD＝4，设OM＝x，ON＝y，则y与x的函数关系式为 ． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）解方程：； （2）计算：． 18. 先化简，再求值：，其中x满足． 19. 在学校组织的“文明出行”知识竞赛中，8（1）和8（2）班参赛人数相同，成绩分为A、B、C三个等级，其中相应等级的得分依次记为A级100分、B级90分、C级80分，达到B级以上（含B级）为优秀，其中8（2）班有2人达到A级，将两个班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请解答下列问题： 平均数（分） 中位数（分） 方差 8（1）班 m 90 49 8（2）班 91 90 29 (1)求各班参赛人数，并补全条形统计图； (2)此次竞赛中8（2）班成绩为C级的人数为 ___________人； (3)小明同学根据以上信息制作了如下统计表：求出m的值，并从优秀率和稳定性方面比较两个班的成绩． 20. 2026年福州市中考抽选考项目已确定，抽选结果如下：引体向上（男）/斜身引体（女），双手头上前掷实心球，1分钟仰卧起坐．三个项目中自选两项． (1)若小明随机选两项，选中“仰卧起坐”和“掷实心球”概率是_____． (2)若小华（男）与小刚（男）随机抽选两项，求他们选的两个项目都相同的概率． 21. 如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，， ． (1)画出关于原点对称的； (2)在y轴左侧画出的位似图形；与关于坐标原点O位似，且相似比为2：（点A、B、C的对应点分别为点、、） (3)在（2）中，点A的对应点的坐标为______；点 B的对应点的坐标为______． 22. 如图1，已知二次函数y＝ax2x+c的图象与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、点B，点B坐标为（8，0）． （1）请直接写出二次函数的解析式； （2）在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积为16？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接AE，点N是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M，使得以M、N、A、E为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由． 23. 如图，在中，点，，分别在，，边上，，．求证： 24．如何确定销售价格? 素材1 某商家在端午前以每盒60元的价格购进一批粽子，根据调查，发现每周销售量y（盒）与销售价格x（元）满足如图的函数关系． 素材2 端午节后，销售量大幅下降，当每盒价格定为75元时，每周才售出100盒．商家决定降价销售，发现每降价1元，每周多卖20盒． 素材3 节后商家还有1000盒的粽子待售，降价a元连续销售2周后，因临近保质期将剩余的粽子直接由厨余公司以55元/盒的价格回收． 问题解决 任务1 求出素材1中每周销售量y（盒）关于销售价格x的函数解析式． 任务2 结合上述素材帮助商家计算利润情况． 计算端午节前商家每周的最大利润． 任务3 直接写出端午节后利润最大时a的值（a取整数值）． 25．已知，内接于，为的直径，点D为优弧的中点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，过点D作，垂足为E．若，，求的半径． 26．如图，在中，点是边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，平分． (1)求证：是的切线； (2)点为边上一点，且，若，，求的半径长． 27．如图，抛物线与轴交于，两点（点在的左侧），交轴于点． (1)直接写出，，三点的坐标； (2)如图（1），为抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； (3)，是对称轴右侧第一象限抛物线上的两动点，直线，分别交轴于，，如图（2）若，直线经过定点，求出点的坐标． 28．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接．将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接． (1)求该二次函数图象的顶点坐标； (2)当点A恰好落在y轴上时，求的面积； (3)当该二次函数的图象在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (4)当点O恰好落在内部时，直接写出m的取值范围． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $