精品解析：青海省海东市2025-2026学年高二上学期期末数学试题

高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，.若，则（ ） A. B. C. 4 D. 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长（单位：尺）依次成等差数列，小寒的日影长为13.5尺，雨水的日影长为10.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 6.5尺 B. 3.5尺 C. 4.5尺 D. 5.5尺 5. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 6. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示不超过的最大整数，数列满足，，则（ ） A. 36 B. 34 C. 38 D. 32 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的焦距为8，且其短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，则（ ） A. B. C. 的方程为 D. 的方程为 10. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 11. 已知点，，曲线上任意一点满足，则（ ） A. 当时，曲线经过坐标原点 B. 对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C. 当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D. 当时，的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为等比数列的前项积，若，则______. 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 14. 已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱的中点，点，在棱上，且. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求的方程. （2）已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 18. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，其实轴长为，焦距为8. （1）求的标准方程. （2）过点的直线与的右支交于，两点，与的两条渐近线交于，两点，，均在第一象限. （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线化为斜截式，结合斜率与倾斜角关系及倾斜角范围确定倾斜角大小. 【详解】由题设，直线方程化为，其斜率为1， 根据斜率与倾斜角关系及倾斜角范围知，直线的倾斜角为. 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线方程的焦点在y轴正半轴，结合抛物线方程即可求得. 【详解】抛物线，，焦点在y轴正半轴， 所以抛物线的焦点坐标是. 故选：A. 3. 已知直线，.若，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直的判定列方程求参数值. 【详解】由得，可得. 故选：C 4. 《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长（单位：尺）依次成等差数列，小寒的日影长为13.5尺，雨水的日影长为10.5尺，则立夏的日影长为（ ） A. 6.5尺 B. 3.5尺 C. 4.5尺 D. 5.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，然后利用等差数列的通项公式求出立夏的日影长. 【详解】根据题意，将冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影长 记作. 由题意知，，那么该等差数列的公差为. 所以立夏的日影长为尺. 故选：D. 5. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，得到圆心坐标和半径，再利用直线和圆相切时圆心到直线的距离等于半径来求解. 【详解】因为圆：，圆的标准方程为：， 则圆的圆心坐标为，半径， 又因为直线：与圆相切， 所以圆心到直线的距离等于半径，即， 又因为，所以， 对两边完全平方可得：， 即，化简得：，所以. 故选：B. 6. 已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 7. 已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，且，，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，得到，再利用余弦定理求解即可． 【详解】根据题意得， 解得， 又， ， 即， ， ， ，即， 则的渐近线方程为，即． 故选：A． 8. 已知表示不超过的最大整数，数列满足，，则（ ） A. 36 B. 34 C. 38 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由递推关系及等比数列的定义得到，结合题设新定义求目标式的值. 【详解】由，则，而， 所以是常数列，即，则， 所以，，，， ，， ，， 故，，， ，， 所以. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的焦距为8，且其短轴长、焦距、长轴长依次成等差数列，则（ ） A. B. C. 的方程为 D. 的方程为 【答案】ABD 【解析】 【分析】焦距为，短轴长、焦距、长轴长成等差数列得，联立，计算，. 【详解】椭圆焦距为，因此，短轴长、焦距、长轴长成等差数列，所以 代入得 ， 将和代入 得 展开，化简得，解得，选项B正确. 又因为 得，选项A正确. 椭圆方程为代入得 ，选项D正确. 故选：ABD 10. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A，利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，即可判断B，利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即可判断C，利用空间向量法来求数量积，即可判断D． 【详解】 如图，由正方形的边长为4，，，可得： ，故A正确； 由底面，底面，则， 因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，由正方形的边长为4，，，可得： ， 则 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当点在侧面内（含边界）运动时，可设，则 所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知点，，曲线上任意一点满足，则（ ） A. 当时，曲线经过坐标原点 B. 对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称 C. 当时，直线与曲线的所有交点的横坐标之积为 D. 当时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：代入检验即可判断；对于B：可得，根据方程判断对称性即可；对于C：令可得，解方程即可；对于D：可得，根据几何性质可得，换元令，结合对勾函数性质求值域即可. 【详解】因为，且点，， 设点，则. 对于选项A：当时，则， 若点为坐标原点，则，可得， 所以曲线不经过坐标原点，故A错误； 对于选项B：用替换，替换， 可得， 即点在曲线上，所以对于不同的值，曲线总是关于坐标原点对称，故B正确； 对于选项C：当时，令，可得， 即，显然， 若，则， 整理可得，解得或（舍去）； 若，则，整理可得，解得； 若，则， 整理可得，解得（舍去）或； 所以所有交点的横坐标之积为，故C正确； 对于选项D：当时，则， 可得，且，解得， 因为，即，解得， 又因为， 令，则， 由对勾函数可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，可得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设为等比数列的前项积，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质有，即可求. 【详解】由题设，则. 故答案为： 13. 已知直线经过椭圆的一个焦点，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，代入直线中，可得的值，利用离心率的计算方法可得答案. 【详解】由椭圆方程可知，长轴在  轴上， 且 ，即焦点为 ， 直线  经过一个焦点，代入焦点坐标： 若焦点为 ，则 ， 解得 ，即 ； 若焦点为 ，则 ，无解； 故 ，此时 ，长半轴长为， 离心率 . 因此，椭圆  的离心率为 . 故答案为： 14. 已知正六棱柱的棱长均为4，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，则在运动的过程中，质点与之间距离的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】运用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的运算性质、二次函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，质点从顶点出发沿着线段做匀速直线运动，当质点到达顶点时，质点恰好到达顶点，而且， 所以， 设， 因为， 所以 ， 因为棱柱是正六棱柱， 所以， 因此， 所以 ， 二次函数的开口向上，对称轴为， 因为， 所以当时，二次函数有最小值， 所以当时，质点与之间距离的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知正项等比数列满足，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式列式求解即可； （2）利用裂项相消法和分组求和法即可求解. 【小问1详解】 因为数列是正项等比数列，则，设公比为， 由可得，即， 解得或（舍去）， 又因为，所以，解得， 所以的通项公式； 【小问2详解】 由（1）得，所以， 所以， 所以 . 16. 如图，正三棱柱的各棱长均为8，D为棱的中点，点，在棱上，且. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为正三棱柱的各棱长均为8，D为棱BC的中点， 所以，， 又，故，所以， 又，故，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，故，应用线面平行的判定证明结论； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，并求出平面的法向量，利用线面角的正弦夹角公式求出正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，，则⊥平面， 因为为等边三角形，所以⊥，且， 以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 设直线CB与平面所成角的大小为， 则 . 17. 已知抛物线的焦点为，的准线与轴交于点，. （1）求的方程. （2）已知为坐标原点，直线交于，两点. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，证明：过定点. 【答案】（1）； （2） （i）直线，代入， 消去，可得，则， 由韦达定理，则，得证； （ii）， 则， 即，因，则， 此时直线的方程为，故直线必过定点，得证. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质求出的表示式，结合条件即可求得抛物线的方程； （2）（i）直线与抛物线方程联立，由韦达定理可得，即可证；（ii）由向量数量积的坐标表示，结合，求出的值，代入直线方程即可求得定点坐标. 【小问1详解】 依题意，抛物线的焦点为，准线方程为， 准线与x轴的交点，则，解得（舍）， 故抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 已知数列的前项和为，，且. （1）求的通项公式. （2）设，记数列的前项和为. （ⅰ）求； （ⅱ）若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解析】 【分析】（1）利用来变形，可得数列是常数列，即可求得通项； （2）（ⅰ）利用错位相减法即可求得； （ⅱ）利用分离参变量，来求，即可求得参数范围. 【小问1详解】 由可得， ， 所以数列是常数列，又因为，所以， 即的通项公式为； 【小问2详解】 （ⅰ）由， 则， 两边乘以可得：， 上两式相减得：， ， 即； （ⅱ）由可得：， 由对任意恒成立，则， 令，则函数在上单调递减， 即当时，，所以， 即的取值范围是. 19. 已知双曲线：的左、右焦点分别是，，其实轴长为，焦距为8. （1）求的标准方程. （2）过点的直线与的右支交于，两点，与的两条渐近线交于，两点，，均在第一象限. （ⅰ）若，求直线的方程； （ⅱ）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，进而可求出，从而得到双曲线的方程. （2）（i）分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线渐近线方程求得坐标，然后根据已知条件列出等式求出直线的斜率，进而得到直线的方程；（ii）分别考虑直线的斜率不存在和存在时，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理将面积的表达式列出来并进行化简，然后根据基本不等式的性质求出范围即可. 【小问1详解】 由于双曲线：的实轴长为，焦距为8. 所以，所以， 那么. 所以的标准方程为. 【小问2详解】 （i）当直线的斜率不存在时，其方程为， 因为双曲线的渐近线方程为，联立直线与渐近线方程得. 所以，因为双曲线的焦点坐标为， 所以，此时不满足题意，所以直线的斜率存在. 设直线的方程为，与双曲线的渐近线方程联立得和， 解得和，所以. 因为，所以即，解得. 所以直线的方程为，即. （ii）当直线的斜率不存在时，其方程为，代入双曲线方程中得. 所以，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 与双曲线方程联立得. 判别式，. 设，则. 由于，所以或. 所以令，由于，所以. 所以， 所以. 综上，所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $