广东省广州大学附属中学　2025-2026学年八年级上学期月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年广东省广州大学附中八年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若使分式有意义，则x的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列图形是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即，测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中与全等的依据是(    ) A. SSS B. SAS C. ASA D. HL 4.下列长度单位：的3根小木棒能搭成三角形的是(    ) A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 5.如图，在中，，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，则的周长为(    ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6.下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点.若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在四边形ABCD中，，，，对角线BD平分，则的面积为(    ) A. B. 8 C. 15 D. 无法确定 9.若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 10.南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的规律： 则的展开式中所有项的系数和是(    ) A. 64 B. 128 C. 256 D. 512 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.计算：        12.如图，点P是内部的一点，点P到三边AB，AC，BC的距离，若，则的度数为      . 13.已知的三边a，b，c，则化简的值是______. 14.已知，则        . 15.如图，在中，，，，，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则的最小值是        . 三、解答题：本题共10小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题3分 已知，，求的值. 17.本小题6分 计算： ； 18.本小题4分 如图，，，，垂足分别为E，F，求证： 19.本小题6分 先化简，再求值：，从中选出合适的x的整数值代入求值. 20.本小题6分 如图，中，用直尺和圆规完成下列作图不写作法，保留作图痕迹 作AB的垂直平分线ED，与AB交于点E，与BC交于点D； 在直线ED上求作点F，使得点F到线段BC和线段BA的距离相等. 21.本小题8分 材料：多项式：因式分解后的结果是，当取，时，各个因式的值是，，，根据每个因式运算结果从小到大排序就可以把“018162”作为一个六位数密码. 任务一： 分解因式： 任务二： 当取，时，请确定产生的六位数密码？ 22.本小题8分 为推动社区共建共治，幸福家园小区开展“居民巧手扮家园”的活动，计划将小区内一块长为米、宽为米的长方形闲置空地进行改造.居民代表们共同设计了如图所示的“T”型花圃阴影部分，打算在花圃里种植太阳花、郁金香等花草，花圃外的区域则铺设鹅卵石小径，方便居民日常休憩漫步. 求“T”型花圃的面积，并将结果化到最简用含x，y的式子表示 当，时，求“T”型花圃的面积. 23.本小题10分 综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干； 步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水. 浓度关系式：，其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量单位： 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 【动手操作】请按要求完成下列任务： 策略一：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？ 策略二：如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？ 比较和的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，应选择策略______更优. 24.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，点是第二象限内一点. 若a、b满足等式，求点B的坐标； 如图1，在的条件下，动点C以每秒2个单位长度的速度从O点出发，沿x轴的负半轴方向运动，同时动点A以每秒1个单位长度的速度从O点出发，沿y轴的正半轴方向运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，是AB为斜边的等腰直角三角形； 如图2，C、A分别是x轴负半轴和y轴上正半轴上一点，且是以AB为斜边的等腰直角三角形，若E是线段OC上一点，连接BE交AC于点D，连接AE，当，，①求证：BE平分；②设 BD的长为a，的面积为请用含a的式子表示 25.本小题12分 已知：为等边三角形，点D、E分别为AB、BC边上一点，AE、CD相交于点F， 如图1，求的度数； 如图2，连接BF并延长，与AC相交于点G，点M为BF延长线上一点，，点N为CD延长线上一点，，，求证：； 在的条件下可使用备用图，若的面积为2，，请求出点A到BC的距离与点N到AB的距离之和. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：根据题意得，，  解得  故选： 根据分式有意义，分母不等于0列式进行计算即可得解． 从以下三个方面透彻理解分式的概念：  分式无意义分母为零；  分式有意义分母不为零；  分式值为零分子为零且分母不为零． 2.【答案】C  【解析】解：A，B，D不是轴对称图形，C是轴对称图形， 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：在与中， ， ≌， 故选： 根据SAS可证明结论． 本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4.【答案】B  【解析】【分析】 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析判断即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【解答】 解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意. 故选： 5.【答案】C  【解析】【分析】 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【解答】 解：的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G， ，， 的周长 故选： 6.【答案】C  【解析】解：A、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，不是因式分解，不符合题意； C、，是因式分解，符合题意； D、，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意．故选： 根据因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式积的形式，判断各选项即可． 本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的意义是关键． 7.【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ， 故选： 由平行线的性质求出，由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数． 本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，关键是由平行线的性质求出的度数，由对顶角的性质得到的度数，由三角形外角的性质即可解决问题． 8.【答案】A  【解析】解：如图，过点D作于点 ， ， 平分， ， 又， 故选： 如图，过点D作于点利用角平分线的性质得到，然后由三角形的面积公式来求的面积． 本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 9.【答案】C  【解析】解：等式两边同时乘以，去分母得， 整理得， 分式方程的解为非负数， 且， 且， 解得且， 故选： 根据解分式方程的方法得到，根据分式方程的解为非负数，得到，且，由此即可求解． 本题主要考查解分式方程，分式方程有意义的条件，掌握以上知识是关键． 10.【答案】B  【解析】解：杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了为非负整数的展开式的项数及各项系数的规律： ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ，所有项的系数和是， ⋮ 所有项的系数和是， 的展开式中所有项的系数和是 故选： 根据已知总结规律，可得所有项的系数和是，即可得的展开式中所有项的系数和． 本题考查数字类规律探索，正确进行计算是解题关键． 11.【答案】1  【解析】解：根据题意可知， 故答案为： 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂等于1，作答即可． 本题考查了零指数幂，掌握零指数幂的运算法则是关键． 12.【答案】  【解析】解：点P到三边AB，AC，BC的距离， 、CP是、的角平分线， ，， ， ， ， 故答案为： 先根据点P到三边AB，AC，BC的距离，得到BP、CP是、的角平分线，利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线性质从而利用角平分线的定义可得，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 本题考查了角平分线的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线判定定理是解题的关键． 13.【答案】  【解析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断绝对值里面式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再合并同类项即可． 本题主要考查了三角形的三边关系，绝对值及整式的加减，根据三角形的三边关系判断绝对值里面式子的符号是解题关键． 解：根据三角形的三边关系得，， 故答案为： 14.【答案】2026  【解析】解：， ，， ， 故答案为： 由已知条件得出，，再将要求的式子变形为，代入计算，再计算得出，再代入计算即可． 本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN， ， 由条件可知， 、C、N共线， 由条件可知， 当F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，DN，DM，EN，FM，推出，可得M、C、N共线，由，，可知F、E、M、N共线时，且时，的值最小，最小值 本题考查了轴对称-路径最短问题，求出CD的值即可解决问题理解转化思想是解题的关键． 16.【答案】解：，，   【解析】利用积的乘方，将变形为，再代值计算即可求解． 考查了积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 17.【答案】解： ；   【解析】先根据单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可； 根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18.【答案】，， ， 又，， ，   【解析】证明：，， ， 又，， ， 证明≌，即可得出结论． 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 19.【答案】；当，原式  【解析】解： ， 根据分式有意义的条件可知，， 当x取范围内的整数时，只有 当时，原式 根据分式化简求值的步骤和方法进行即可． 本题考查了分式的化简求值的知识点，熟知分式化简求值的步骤和方法是解题的基础，掌握分式有意义的条件正确取x的值是解题的关键． 20.【答案】如图，DE即为所求；  如图，点F即为所求．   【解析】解：如图，DE即为所求； 如图，点F即为所求． 分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，作图即可； 根据点F到线段BC和线段BA的距离相等，得到点F在的角平分线上，利用尺规作的角平分线，即可． 本题考查尺规作图-作垂线，作角平分线，熟练掌握作图方法是解题的关键． 21.【答案】；   101525  【解析】解：原式 ； 当取，时， ， ， 又因为， 所以这六位数密码为 先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； 代入，到中的各个因式，即可得出答案． 本题考查了因式分解、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 22.【答案】平方米  232平方米  【解析】解：根据题意可知，“T”型花圃的面积为： 平方米， 答：“T”型花圃的面积为平方米； 当，时， 面积为： 平方米， 答：“T”型花圃的面积为232平方米． 用割补法列出“T”型花圃的面积表达式； 把x，y的值代入中结果计算即得． 本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键． 23.【答案】需要清水  能达到洗衣目标  二  【解析】解：把，，代入得， ， 解得：，经检验，符合题意， 答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水； 如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标． 第一次漂洗：把，代入得， ； 第二次漂洗：把，代入得， ； ， 如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标； 由和的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗衣用水策略方面，应选择策略二更优． 故答案为：二． 直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量； 先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比； 对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案． 本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件进行计算，通过对比结果确定最优方案． 24.【答案】解：且，， ，， ，， ； 解：过B作轴于点H， ， ， 由题意得，， 是以AB斜边的等腰直角三角形， ，， ， 轴， ， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， ， 当时，是以AB为斜边的等腰直角三角形； ①证明：过点E作于M，交BC延长线于N，过点B作轴于F，如图2， ， 由可知，， ， ， 是以AB为斜边的等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， ， 在和中， ， ≌， ， 平分； ②解：如图3，延长AE、BC相交于点P， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，   【解析】根据绝对值和偶次方的性质得出，，进而求出a、b的值，即可解答； 过B作轴于点H，设，，证明≌，得，即可解答； ①过点E作于M，交BC延长线于N，过点B作轴于F，先证≌得，利用角平分线定理即可解答； ②延长AE、BC相交于点P，证明，，再证≌，得，利用三角形面积公式即可解答． 本题主要考查了绝对值的性质，平面直角坐标系，等腰三角形的性质和判定，三线合一，角平分线定理，全等三角形的判定与性质，所涉知识点较多，难度较大，属于压轴题，掌握“一线三垂直”模型，作出辅助线是解题的关键． 25.【答案】  延长AE到H，使，连接BH，如图， 又，， ≌， ， 又，， ， ， ， ， 设，则， ， 由知， ， 又， ≌，    【解析】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ≌ ， 又， ， ； 证明：延长AE到H，使，连接BH，如图， 又，， ≌， ， 又，， ， ， ， ， 设，则， ， 由知， ， 又， ≌， ； 解：如图，过点A作交BC于点，过点C作交AB于点，过点N作交AB于点， 设，，， 为等边三角形， ，即， 由≌， ， 的面积为2， ， ≌， ， ， ， ，， ， ， 则， 由， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 则点A到BC的距离与点N到AB的距离之和 由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出 延长AE到H，使，先证明≌，由全等三角形的性质得出，再证明≌，由全等三角形的性质得出即可； 过点A作交BC于点，过点C作交AB于点，过点N作交AB于点，设，和，根据等边三角形得，即，由≌得，即有，则有，进一步证得，则，由，有，即可求得，结合，进行求解即可． 本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $