精品解析：四川省绵阳市涪城区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年秋八年级期末教学质量监测试卷 (八年级数学) 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不符合题意. 2. 长度单位1纳米米，一种病毒直径为纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：纳米米， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂相乘分别计算即可作出判断． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项正确，符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂相乘等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， ∴A、B之间的距离不可能是， 故选：D． 5. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 【答案】C 【解析】 【详解】由图形可知，甲有一边一角，不能判断两三角形全等， 乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等， 丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等， 根据全等三角形的判定得，乙丙正确. 故选C. 6. 已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为，代入方程判断②，利用配方法将方程转换为：，得到当时，方程成立，判断③和④． 【详解】解：把，，，，代入方程，得：， 方程的左边等于右边；故①正确； 设四个连续的奇数为，代入方程得： 方程左边等于， 方程右边 左边不等于右边；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，方程成立， 且m，n，p，q为正整数时： 当时，，为别为：或或或或共5组方程的解； 当时，，为别为：或或或共4组方程的解； 当时，，为别为：或或共3组方程的解； 当时，，为别为：或共2组方程的解； 当时，，为别为：共1组方程的解； 综上：当时，共有组方程的解；故③正确； 由③可知：当时，方程成立， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组， 又∵， ∴这一组数不是方程的解， ∴共有503组解；故④错误； 综上：正确的是①③，共2个； 故选B． 【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 7. 下列说法错误的是（　　） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查角平分线和线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据角平分线和线段垂直平分线的性质与判定逐一判断即可． 【详解】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等（角平分线的性质），故A正确； B、到角两边距离相等的点一定在角的平分线上（角平分线的判定定理），选项中是“不一定”，故B不正确； C、到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定），故C正确； D、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（线段垂直平分线的性质），故D正确． 故选：B． 8. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，审题找到等量关系是解题的关键． 设每个A型包装箱装书x本，则每个B型包装箱装书本，根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个”列出方程即可． 【详解】解：设每个A型包装箱装书x本，则每个B型包装箱装书本， 根据题意可得，． 故选：C． 9. 已知关于的分式方程－＝1无解，则＝（ ） A. －3 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先化成整式方程，把x=2代入整式方程，确定k值即可． 【详解】∵－＝1， ∴k+3=x-2， ∵关于的分式方程－＝1无解， ∴x-2=0， ∴k= -3， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的无解，熟练掌握分式方程的无解的意义是解题的关键． 10. 如图，在中，，，面积是10， 的垂直平分线分别交 ，于点E，F．若点D为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短． 连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线，且时，的值最小，最小值为的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵是 的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，且时，的值最小，最小值为的长， ∵在中，，面积是10， ∴此时， ∴， 即的最小值是5. 故选：B． 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式的应用，先根据完全平方公式进行变形，计算，进而可得答案． 【详解】解：因为 所以， 故选A． 12. 如图，在中，是斜边上的高，角平分线 交于，于，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和同角的余角相等可判断选项A；根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定可判断选项C；证明可判断选项B、D，进而可得答案． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高，， ∴， ∴， ∴，故选项A结论正确，不符合题意； ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项C结论正确，不符合题意； ∵， ∴，又， ∴， ∴，，故选项D结论正确，不符合题意； 由图得， ∴，故选项B结论错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、余角性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案填写在题中横线上． 13. 使式子有意义的的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据零次幂和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】∵式子有意义， ∴且． ∴且． 故答案是且． 【点睛】本题主要考查了零次幂和分式有意义的条件，解题的关键是熟知成立的条件是，分式成立的条件是分母不等于零． 14. 现有下列多项式:①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有____．（只需填上题序号即可） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据因式分解的方法和平方差公式的结构特征逐个判断即可． 【详解】解：∵①，用到平方差公式； ②，未用到平方差公式； ③，用到平方差公式； ④，用到平方差公式； ∴在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查因式分解、平方差公式，熟记平方差公式的结构特征是解答的关键． 15. 如图，五边形是正五边形，过点A作，则的度数为______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和，三角形外角性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．利用多边形的内角和得到，利用平行线的性质得到，再利用三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解： 五边形是正五边形， ， 延长，交于点， ， ， ； 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，平分交 于点，过点作于点，且，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 根据等边三角形的性质得到，，再根据角所对直角边是斜边的一半得到，即可得到，计算即可得解； 【详解】 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； 故答案为：． 17. 如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是________（用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质． 先证明，得出，再根据平角的定义求解即可． 【详解】解： ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ． 故答案是：． 18. 如图，，且，D，E分别为射线 和射线上两动点，且，则的最小值为___________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 延长 到P，使得，连接，，证明 得到，由，当点B、E、P共线时取等号，此时的最小值为的长，然后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：延长 到P，使得，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，当点B、E、P共线时取等号，此时的最小值为的长度，即的最小值为的长， 在中，，， ∴， 即的最小值为80， 故答案为：80． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，平方差公式，分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则计算即可； （2）根据完全平方公式，平方差公式展开，即可求解， （3）将分式方程去分母转化为一般的一元一次方程，再解一元一次方程，求出的解代入检验即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 【小问3详解】 解：， 去分母得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式加减乘除混合运算，解题关键是掌握正确化简分式． 先将括号里面的通分，再作除法，化简分式后，再将代入求值． 【详解】解： 当时， 原式． 21. 如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质先证明，进而证明，则可证明． 【详解】略 22. 某自行车行经营两种型号的自行车． （1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？ （2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为6万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低300元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求A型自行车今年每辆售价多少元？ 【答案】（1）20辆 （2）1200元 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式． （1）设A型车进货辆，根据B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，列出不等式，解之即可； （2）设去年A型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由该型车的销售数量与去年相同可得方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设A型车进货x辆， 由题意可得， 解得， 答：A型车最少进货20辆． 【小问2详解】 解：设A型自行车去年每辆售价y元，由题意可得， ＝， 解得， 经检验，是分式方程的根， ∴今年的售价为 (元)． 答：A型自行车今年每辆售价为1200元． 23. 如图，在四边形中，和的角平分线的交点恰好落在边上，，求证：． 【答案】 证明：如图，在上截取，使，连接， ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 如图，在上截取，使，连接，证明，则，由，可得，同理，则，由，可得，进而可证． 【详解】略 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，是轴上的动点，连接作，其中． （1）如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由； （2）如图②，交x轴于点，过点作轴于点，，求证：平分 ； （3）如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交轴于点，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 【答案】（1），理由见解析 （2）见解析 （3）的长度不变， 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等得出答案； （2）延长交的延长线于点，再证明，可得，进而得出，即可知垂直平分，可得答案； （3）过点作轴于点，先证明，可得，再得出，进而得出，根据等腰直角三角形的性质和判定即可得出答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴平分 ； 【小问3详解】 解：的长度不变，，理由如下： 如图3，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质和判定等，构造辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋八年级期末教学质量监测试卷 (八年级数学) 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 长度单位1纳米米，一种病毒直径为纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，小华在池塘一侧选取一点P，测得，，那么，之间的距离不可能是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) A. 甲、乙 B. 甲、丙 C. 乙、丙 D. 甲、乙、丙 6. 已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列说法错误的是（　　） A. 角平分线上的点到角两边的距离相等 B. 到角两边的距离相等的点不一定在角的平分线上 C. 到线段两端点的距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 8. 某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列出方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于 的分式方程－＝1无解，则＝（ ） A. －3 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，在中，，，面积是10，的垂直平分线分别交，于点E，F．若点D为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，是斜边上的高，角平分线交于，于，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．将答案填写在题中横线上． 13. 使式子有意义的 的取值范围是___________． 14. 现有下列多项式:①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有____．（只需填上题序号即可） 15. 如图，五边形是正五边形，过点A作，则的度数为______． 16. 如图，在等边三角形中，平分交于点，过点作于点，且，则 _____． 17. 如图，在中，，是边延长线上一点，连接，过作，且，连接交于点．若，则的大小是________（用含的代数式表示）． 18. 如图，，且，D，E分别为射线和射线上两动点，且，则的最小值为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）； （2）； （3）解方程． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，，点D在延长线上，点E是外一点，连接．若，，求证：． 22. 某自行车行经营两种型号的自行车． （1）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，求A型车最少进货多少辆？ （2）若该车行经营的A型自行车去年销售总额为6万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低300元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求A型自行车今年每辆售价多少元？ 23. 如图，在四边形中，和的角平分线的交点恰好落在边上，，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点在 轴上，是轴上的动点，连接作，其中． （1）如图①，请找出图中与相等的角，并说明理由； （2）如图②，交x轴于点，过点作轴于点，，求证：平分； （3）如图③，若，点在轴正半轴移动，且，取，连交 轴于点，的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $