精品解析：四川省绵阳市涪城区2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024秋绵阳市涪城区八年级期末教育教学质量监测试卷 （八年级数学） 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 6. 如图，过点D分别作，垂足分别为点E，F，且，连接与相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线m是中边垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 9. 若是完全平方式，则a值（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 5 10. 某体育用品商店购进一批足球和篮球，已知篮球的单价为足球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球的用了1000元，且购买篮球的个数比足球少了5个．若设足球的单价为元/个，依据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 12. 如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共18分） 13 若点与点关于x轴对称，则________． 14 分解因式：____________． 15. 已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是____． 16. 已知，，其中m、n均为正整数，则___________． 17. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则_____． 18. 若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________． 三．解答题（共46分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 20. 先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数． 21. 在中，三个内角的平分线交于点，过作，交边于点，如图． （1）若，则　　，　　； （2）猜想与的关系，并说明理由． 22. 如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． （1）求证：； （2）若．求证：是等边三角形． 23. 为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？ 24. 已知，在等边中，点是射线上一点，连接． （1）如图1，，请求解线段的长； （2）如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024秋绵阳市涪城区八年级期末教育教学质量监测试卷 （八年级数学） 一、选择题（36分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的判断，根据将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形是轴对称图形直接判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A选项图形不轴对称图形，符合题意， B选项图形是轴对称图形，不符合题意， C选项图形是轴对称图形，不符合题意， D选项图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：A． 2. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数数，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 详解】解：． 故选：A． 3. 下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的意义和方法，即提公因式法、公式法等方法进行分解判断即可. 【详解】，此选项为单项式的变形，非因式分解，故本选项错误； ，此选项是整式乘法运算，非因式分解，故本选项错误； 此选项为公式法因式分解，属于因式分解，故本选项正确； 此选项未将一个多项式化成几个整式乘积的形式，故本选项错误； 故本题选项为：C. 【点睛】本题考查了因式分解的意义和方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法，区分因式分解与整式乘法运算的不同. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 5. 一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解． 【详解】设多边形的边数是n，则180（n﹣2）=3×360，解得：n=8． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是关键． 6. 如图，过点D分别作，垂足分别为点E，F，且，连接与相交于点O．则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的判定得到平分，可判断D、也可证明，则，再由三线合一即可证明A． 【详解】解：∵，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故A、B、D均正确，不符合题意， 现有条件证明不出C选项，故符合题意， 故选：C． 7. 分式的值为0，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为零的条件，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件为分母不为零，分子为零． 8. 如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，线段垂直平分线的性质，根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 【详解】解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∴周长的最小值是． 故选：A． 9. 若是完全平方式，则a的值（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故选：C． 【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 10. 某体育用品商店购进一批足球和篮球，已知篮球的单价为足球单价的1.5倍，购买篮球用了1200元，购买足球的用了1000元，且购买篮球的个数比足球少了5个．若设足球的单价为元/个，依据题意可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设足球的单价为元/个，则篮球单价为1.5元/个，根据购买篮球的个数比足球少了5个，列出方程式即可． 【详解】设足球的单价为元/个，则篮球单价为1.5元/个，由题意得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，掌握分式方程的应用是解题的关键． 11. 如图，在等边中，点D是的中点，于点E，于点F.若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形性质可得，，再根据直角三角形的性质可得，从而求得，再根据直角三角形的性质求得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D是的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 12. 如图，已知四边形中，，，平分，点E在边上且，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，然后根据得，得，再根据，得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 即， ，得：， ∴． 故选：B． 二、填空题（共18分） 13. 若点与点关于x轴对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用关于x轴对称“横坐标不变，纵坐标互为相反数”求得m、n的值，再进行有理数的加法运算得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴m=-3，2+n=0， ∴n=-2， ∴m+n=-5． 故答案为：-5． 【点睛】本题考查了关于x轴对称点的坐标变化，掌握关于轴对称坐标变化法则是解题关键． 14. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分解因式-提公因式法，能找出多项式的公因式是解此题的关键．先找出多项式的公因式是a，再分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是____． 【答案】36° 【解析】 【分析】设底角为x，根据等腰三角形的性质利用三角形内角和定理列出方程即可求解． 【详解】设底角为x，则顶角的度数为3x. ∵等腰三角形两个底角相等， ∴x+x+3x=180°， 解得：x=36°. 故答案为36° 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的内角和定理是正确解答本题的关键． 16. 已知，，其中m、n均为正整数，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键． 根据同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用将变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 17. 如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为，，，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．连接，，易证，得，继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， ∵， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ，， ． 故答案为：5． 18. 若整数使关于的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组有个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式方程，根据分式方程的解为非负数，所以，得出，根据分式有意义的条件得出，然后解不等式组，根据不等式组有个整数解，得出，继而求得整数，求其和即可求解． 【详解】解：分式方程可得：，因为分式方程的解为非负数，所以， 解得：， 由于方式方程分母为， 所以，即， 所以， 解关于y的不等式组得： ， 因不等式组有个整数解，即，，三个整数解， 故， 解得：， 综上所得：且，则的整数值为：，，，， 因为， 故答案为： 【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等式组，掌握由解集倒推参数范围是解本题关键． 三．解答题（共46分） 19. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，解分式方程，正确计算是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验． （1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去中括号里面的小括号，然后合并同类项，最后计算多项式除以单项式即可； （2）先把分式方程化为整式方程，然后检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是原方程的解， 原方程的解为． 20. 先化简，再求值：，其中a，2，4为的三边长，且a为整数． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原式因式分解，再将除法变为乘法，最后通分，即可得出化简后的分式，结合使分式有意义的条件、三角形三条边的关系求出a的取值范围，，代入化简后的分式即可． 【详解】解：原式 且、、、 即 又因为a，2，4为的三边长， ， 当 所以： 原式 【点睛】本题考查分式的混合运算和求值，三角形三条边的关系以及一元一次不等式组的整数解的问题；正确的化简原分式是解答本题的关键． 21. 在中，三个内角的平分线交于点，过作，交边于点，如图． （1）若，则　　，　　； （2）猜想与的关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2）相等，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，根据三角形的内角和即可得到结论； （2）设，根据三角形的内角和和角平分线的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解：①， ， 中，三个内角的平分线交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：，， 【小问2详解】 解：相等，理由设， ， 中，三个内角的平分线交于点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，点E、F是线段上的两个点，与交于点M．已知，，． （1）求证：； （2）若．求证：是等边三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1)证明即可． (2)根据得到，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判断和性质，等边三角形的判定是解题的关键． 23. 为创建和谐文明校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？ 【答案】（1）种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元 （2）最多可以购买种垃圾桶组 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意列出一元一次不等式，解不等式，根据题意取最大整数解即可求解． 【小问1详解】 解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意得： ， 解得：， 又 为正整数， 的最大值为． 答：最多可以购买种垃圾桶组． 24. 已知，在等边中，点是射线上一点，连接． （1）如图1，，请求解线段的长； （2）如图2，点在线段上，若点为延长线上一点，满足，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； （3）在（2）条件下，点是线段延长线上一点，若为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，根据等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理依次计算即可解题； （2）过点作平行线交于点，连接，得到为等边三角形，进而得到，即可得到，然后过点N作于点M，利用勾股定理解题即可； （3）过点D作交于点N，连，设，，由（2）可得为等边三角形，，即可得到，，过点P作于点H，利用角的直角三角形计算，长，然后在中利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作平行线交于点，连接， 由题意得， ∵， ， ∴， 又∵， 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴ 过点N作于点M， 则，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题可知，， 过点D作交于点N，连，设，， 则， 又∵为等腰三角形， ∴， 由（2）可得：为等边三角形，， ∴，，， ∴， 过点P作于点H， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 即， 解得：或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，能构造直角三角形进行计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$