2025 年 2 月“丁一杯”世界少年奥林匹克亚洲精英赛八年级试题（A 卷）

绝密贵启用前 2024年冬季“丁一杯”/世界少年奥林匹克亚洲精英赛 (2025年2月) 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分；第二部分：计算题，共计20分；第三部分： / 解答题，共计66分。 2、答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置。 龄 3、答题时不能使用计算工具。 4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 铷 得分 707 邮 得分 八年级试题(A卷) 评卷人 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 长 一、填空题（每题8分，共计64分） O 1、在平面直角坐标系中，设点P到原点的距离为p(希腊字母读作“柔”)，OP看作由x轴的正半 轴逆时针旋转而成的夹角α，则用[p,α]表示点P的雷达坐标，则点P(-7,7)的雷达坐标为 区 ax+by=2 x=-2 2、解关于x、y的二元一次方程组 而正确的 Cx-7y=8 ,小虎同学把c看错从而得到 y=2 x=3 解为 试求a+b+c的值 y=-2' 3、若关于x的不等式，a≥|x+1+2x+2+3x+3+4|x+4+5|x+5引有解，则a的取值范围是」 4、如图，在△ABC中∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF(平 杯 移后点A,B,C的对应点分别是点D,E,F),连接CD,若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数 之间存在2倍关系，则∠ACD=_ 5、学习完《三角形》章节，某数学小组小花同学给出如下定义：对任意的一个三位数n,如果n 靠 满足各个数位上的数字均不为零，且该数任意两个数位上的数字之和大于余下数位上的数字，那么我们 翻 就把该数称为“稳定数”。把“稳定数”的十位数字作个位，百位数字作十位，得到的两位数，再加 上n的个位数字的和记作F(n),把“稳定数”n的十位数字作十位，百位数字作个位，得到的两位数， 再加上n的个位数字的和记作Q(n),例如：675，是一个“稳定数”，由定义得F(675)=67+5=72, Q(675)=76+5=81。若一个“稳定数”s=100a+101b+30(1≤a≤5,1≤b≤4，a,b为整数)，当5F(s)+2Q(s) 能被11整除时，则满足条件的“稳定数”s的值为 6、已知三角形的两边长分别为2和4，设第三边长为x,若x为整数，则适合的x值为 7已知abc=l,a+b+c=2,a2+b2+c2=16,求，1 1 1 十 ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3 的值 八年级 第1页 8、用[x]表示不大于数x的最大整数。已知正整数n的平方的十位数字是7，那么，n-100[0。]的 所有可能值的和等于 B (第4题图) 二、计算题（每题10分，共计20分） 得分 9、计算：己知x=2012,y=2013,求(x+y)× x+少的值。 评卷人 x4-y4 10、己知， bc=2, abc 、-l,abc b+2c 2bc-ca+ab"bc+ca+ab =b求a+b3+c. 八年级 第2页 得分 评卷人 三、解答题（第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11、一个四位正整数N,各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与 个位上的数字之和，且和的为9，则称N为“风鸣数”，此时，规定K)句例如2475中，2+74+59.2475 是“凤鸣数”，K2475)2g525:又如，2375中，3+5≠9,2375不是“风鸣数”。 (1)K(5841)= (2)对于一个“凤鸣数”N,且N为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到 一个新的“凤鸣数”'，若3KN)+2K(')是9的倍数，且N的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有 “凤鸣数”N为多少？ 12、如图，在平面直角坐标系x0y中，己知点A(-5,4),点B(-1,2),将线段AB平移，得到线段CD(点A 的对应点为点C,点B的对应点为点D),线段AB上任一点(x,y)在平移后的对应点为(x+s,y-t),其中s≥O,t ≥0 (1)若点C与点B恰好重合，则s= (2)若s+t=6,且平移后三角形BCD的面积最大，则此时s和t分别是多少？ y 5 4 -3 -6-5-4-3=29 .2.3.4.5.6x 3 4 45 6 (第12题图) 13、近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准(2025年版)，将劳动从原来的综合实践活动课程 中独立出来，某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动。据了解， 八年级 第3页 市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地佇倍，用300元在市场上购买的A种菜苗，比在菜苗基地购买的少3 捆。 (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元，学校决定在菜苗基地购买A,B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的 捆数不超过B种菜苗的捆数。菜苗基地为支持该校活动，对A,B两种菜苗均提供九折优惠。求本次购买最少 花费多少钱： 1111110/1111 觳 14、如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC-30°，点D是△ABC内一点，DBDC,∠DCB=30°，点E是BD延长 铷 线上一点，AE=AB。 (1)求证：△ABD≌△ACD: 鄜 (2)求∠ADE的度数： (3)试猜想线段DE,AD,DC之间的数量关系，并证明你的结论： 长 OO K (第14题图) 射 缴 杯 15、求证：817-27-913能被45整除。 解 八年级 第4页八年级参考答案 一、填空题（每小题8分，共64分） 1、[7√2,135°]2、73、a≥154、15°或30°或90°5、432或5346、3 二、计算题（共2题。每题10分，共20分） 9、 x2+y2 1 原式=(x+y)× (x2+y2)x+)(x-)x-y 1 当x=2012,y=2013时，原式= 2012-2013=-1 10、 abc =1 bc+ca+ab ∴.bc≠0，a4,b,c都不等于0，将题目中的分式化成整式可得 bc=2b+4c① abc=2bc-ca+ab② abc=bc+ca+ab③ 联立②和③得： 2bc-ca+ab=bc+ca+ab解得： bc=2ac, 即b=2④ 将④式代入①和③得： ac=2a+2c⑤ 2ac=3c+2a⑥ 联立⑤和⑥得： c=-2a⑦， 将⑦和⑤得： a×(-2a=2a+2×(-2a)-2a2=-2a, a=1, ∴.b=2a=2,c=-2a=-2, a3+b3+c3=12+(-2)3+(2)3=1 三、解答题（共5题。第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11、 或4或5不品 8、200 (1)由5841根据题意可得：5+4=9,1+8=9， .5481是凤鸣数， 故K(5841D= 5841 =59, 99 故答案为：59 (2)设“凤鸣数”N的千数位为x,百位数字为y,则十位数字为(9-x),个位数字为(9-y), ∴.N=1000x+100y+10(9-x)+9-y=990x+99y+99, N'=1000(9-x)+100(9-y)+10x+y=9900-990x-99y, :K(N)=90x+99y+99-10x+y+1, 99 K0N)=900-90x+9y=100-10x-y, 99 ∴.3K(N)+2K(N)=3(10x+y+1D+2(100-10x-y)=10x+y+203, :3K0N9+2K0N9-x+20++y+23 9 .3KN)+2K(N)是9的倍数， :x+y+23也是9的倍数， 9 N为偶数，个数位上的数字互不相等且均不为零， .9-y可取2、4、6、89-x≥1,9-y≥1， 1≤x≤8,1≤y≤8 ∴.y可取1、3、5、7， 的千位数字不小于百位数字，且各个数位上的数字互不相等， .x>y, :当y=1时，x=3,则X+y+23=3是整数，N=3186: 9 当y=3时，x分别取45678则x+y+23-3均不是整数： 当y=5附，x=8,则x+y+23-4是整数，N=8514: 9 当y=7时，x=8,则X+y+23 =4不是整数 9 .综上所述：N=8514或3186，故答案为8514或3186。 6 12、由题意得 C(-5+s,4-t),D(-1+s,2-t), B (1),点C与点B恰好重合， -5+s=-1,4-t=2,解得：s=4,t=2,故答案为：4,2： 6-5=4-3=2= (2),AB∥CD,AB=CD, ∴.三角形BCD的面积等于三角形ABC的面积， 过C作EF⊥下轴，过A、B作AE⊥EF,BF⊥EF, 则S△ABC=St梯形ABFE-S△ACE-S△BCR s+s-4x2t-t)s4④ =s-2t =6-3t .t≥0， ∴.当t=0时，面积最大，为6，此时s=6, 当点C在A的正下方时， S -x4t=2t, ∴.当t=6时，S最大，值为12， .12>6, ∴.S的最大值为12，此时t=6,s=0, 故答案为：0,6。 13、 (1)设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元， 根据题据题： 300300 +3, 5 解得x=20, 经检验，x=20是原方程的解， 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元： (2)设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗(100-m)捆， .'A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数， ∴.m≤100-m, 解得m≤50， 设本次购买花费w元， ∴.w=20×0.9m+30×0.9(100-1m)=-9m+2700, .9<0, ∴.w随的大而减小， ∴.m=50时，w取最小值最小值，最小值为：-9×50+2700 答：本次购买最少花费2250元。 14、 (1)证明：在△ABD和△ACD中，AB=AC且DB=DC且AD=AD ∴.△ABD≌△ACD(SSS); (2).'AB=AC,∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=180°-30°)=75°， 2250(元， .DB=DC,∠DCB=30°， ∴.∠DBC=∠DCB=30°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ,△ABD≌△ACD .∠BAD=∠CAD号∠BAC=15°， 2 ∴.∠ADE=∠ABD+∠BAD=6O°： (3)DE=AD+CD, 理由如下： 在线段DE上截取DM=AD,连接AM, ∠ADE=60°，DM=AD, ∴.△ADM是等边三角形， 8 ∴.∠ADB=∠AME=120°， .AE=AB, ∴.∠ABD=∠E, 在△ABD和△AEM中： ∠ABD=∠E且∠ADB=∠AME且AB=AE, .△ABD≌△AEM(AAS) .'BD=ME, .'BD CD, ..CD=ME, .'DE=DM+ME, .∴.DE=AD+CD: 15、 证明： 原式=94-99×39-93 =328-327-326 =326(32-3-1) =326×5 =324×32×5 =45×324 所以能被45整除。