2025 年 2 月“丁一杯”世界少年奥林匹克亚洲精英赛七年级试题（A 卷）

七年级参考答案 一、填空题（每小题8分，共64分） 1、10、3026123504、24、645、5、26、-171858、a+a 二、计算题（共2题，每题10分，共20分） 9、 当x≤0时，原方程化为0+|(0+5)-1999=2012，无解； 当0<x≤10时，原方程化为0+|(x+5)-1999=2012,无解： 当10<x≤1994时，原方程化为(x-10)+1994-x=2012,无解； 当x>1994时，原方程化为(x-10)+x-1994=2012,解得x=2008,综上所述，x的值为2008。 10、 当x<0, 方程化为：x=ax+1,x(a+1)=-1, -1 X=- <0, a+1) .a+1>0, ∴.a>-l, 当x>0,方程化为：x=ax+1,x=1>0, 1-a .∴.a-1<0, .a<1, 没有正根 ∴.a≥1 三、解答题（共5题。第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分） 11、 (1)|3-(-2)1=5,故答案为：5。 (2)x-5=1或-1，∴x=6或4，故答案为：6或4。 (3).x-1=x+3|, ∴.x-1=x-(-3)|, .x=-1,故答案为：-1。 (4)当-2≤x≤1时，x-1+x+2=3, ∴.所有符合条件的整数x为：-2，-1,0,1；故答案为：最小值为3，整数x的值为-2，-1,0,1。 (⑤)x+1012+|x+504+|x-1011|有最小值， ,|x+1012+|x+504|+x-1011有最小值， .|x+1012+|x+504|+x-1011|=|x-(-1012)1+|x-(-504)1+|x-1011|, ∴.当x=-504时，1x+1012+|x+504+x-1011有最小值， 最小值为：-1012-1011=2023。 故答案为：2023。 12、 设正方形的边长为a,则有AB=BC=CD=AD=a, SMDN+SADCN=]BNxa+]CNxa-d,SAMDc-d, .SAABN+SADCN-SAMDC, ∴.SAPM+SAMPO+S四边形BMON+SADRC+SARCN =SAMPO十S四边形PDRQ十SADRC, ,SA4PM十S四边形BMON十SARCN=S四边形PDRO, ~SA4PF15,SARC=12,S四边形PDRO广51， 15+S四边形BMON+12=51, ∴.S四边形B1MON=24 则四边形BMQN的面积是24. 13、(1)由题意可得，幻和=6x3=18,故答案为18： (2)由(1)知幻和为18， ,b=2,c=5, .第三行第二列的数字为：18-b-c=18-2-5-11, ,∴.11+6+a=18, a=1: (3)①，A=a,B=2a-1,C=9a+7, ∴.幻和为：a+2a-1+9a+7=12a+6, ∴.中心数E=(12a+6)-3=4a+2, ,A=a,E=4a+2, ∴.l=(12a+6)-a-(4a+2)=7a+4, ,C=9a+7,C+F+l=12a+6, F=(12a+6)-C-=12a+6-(9a+7）-(7a+4)=-4a-5; ②存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，设E=x,则幻和为3x, ,A=2at1,B=a-2, ,C=3x-(2a+1-(a-2)=3x-3a+1, ,C+E+G=3x, .∴.G=3x-C-E=3x-(3x-3a+1)-x=-x+3a-1， .'A+D+G=3x,D=-ka-1, .∴.(2a+1)+(-ka-1)+(-x+3a-1)=3x, ∴.4x=(-k+5)a-1, .-k+5=0,-1=4x, k=5,X= “当k5时，九个整式的和为9x=子 “存在k的值，使得三阶幻方中九个整式的和为定值，其中k=5,定值为。 14、 (1)依题意，180°-∠C0B=90°， 解得∠COB=90, ∴.LAOC=∠AOB+∠COB =30°+90°=120° (2)由(1)知，∠A0C=120°，∠B0C=90°， ①0P逆时针运动时，即0<t≤12时， Q B A 图2(1) 由0P,OQ的运动可知，∠A0P=10t, ∠BOQ=6t, 0P,OQ相遇前，如图2(1)， ∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ,即 10t+10°=30°+6t,解得t=5, 0P,0Q相遇后，如图2(2)， P B A 图2(2) ∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ,即 10t=30°+6t+10°，解得t=10; ②0P顺时针旋转时，∠C0P=10t-120°， ∠BOQ=6t, OP,OQ相遇前，如图(3)， C B 0 A 图2(3) ∠BOC=LCOP+∠BOQ+∠POQ,即 90°=10°t-120°+6t+10°，解得t=12.5, OP,OQ相遇后，如图(4)， A 图2(4) ∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ,即 90°=10t-120°+6t-10°，解得t=13.75, 综上，当t的值为5,10,12.5或13.75时， ∠P0Q=10° (3)由(1)知∠A0C=120°， 根据射线OP的运动，需要分四种情况， ①当射线OP与OA重合前，如图3(1)， OM平分∠AOP,ON平分∠COP, ∴∠P0N∠A0P,∠PONC0P, .∠MON=∠PoM+∠PON≠A0P∠CoP-A0C=60°： ②当射线0P与OA重合后，∠A0P=180°前，如图3(2) ,OM平分∠AOP,ON平分∠COP, ∴.∠POM∠AOR,∠PON子∠COP, ·.∠M0I=∠P0M-∠P0NA0p-3∠0P-∠a0C-60°： 图3(1) 图3(2) ③∠C0N=180°前，如图3(3)， ·OM平分∠AOP,ON平分∠COP, ∠POM=2∠A0R,∠PON∠CoP, ∴.∠MON=∠POMH∠PON2∠A0P+2∠C0P-3(360°-∠AOC)=120°；A ④0P与0Q重合前，如图3(4)， 图33 图3(4) ,OM平分∠AOP,ON平分∠COP, ∴∠POM=2∠A0P,∠PON2∠0oP, ·.∠NON=∠PON-∠PON-3∠C0P+∠A0P-∠A0C=60°： 综上，∠M0N的度数为60°或者120°。 15、 证明设十=g,则a2+=gb+1) (2.4.3)因而(a,b)是不定方程x2+y2=q(xy+ 1)(2.4.4)的一组（整数）解.如果q不是完全平 方，那么(2.4.4)的整数解中×，y均不为0， 因而q(xy+1)=x2+y2>0→xy>-1→xy ≥0→x,y同号.现在设ao,bo是(2.4.4)的正整 数解中使ao+bo为最小的一组解，且a≥bo 那么ao是方程x2-qbx+(哈-q)=0(2.4.5) 的解.由韦达定理，方程(2.4.5)的另一个解α1 =qb-a0.a1是整数，而且(a1,b0)也是(2.4.4)的 解，所以a1与bo同为正，但由韦达定理a1= %-9<6≤o,这与a+b0为最小矛盾，这说 ao 明q一定是完全平方 证明：令+=k,k为正数。式中a,b是对树称，不妨设a之6 ab+1 (1若a=b,则2a =k→(2-k)a2=k→k=1。本题获证。 a2+1 (2)若a>b,由带余除法定理，可设a=bs-ts≥2,0≤t<b,s,是整数)，则 a2+b2 b2s2-2bst+12+b2 ab+1 b's-bt+1 易证式(1)大于s-1且小于s十1（可用放缩法证）所以必有 b2s2-2bst+12+b2 -=S b2s-bt+1 化简得： b2+t2 =S bt+1 于是： a2+b2b2+t2 =8 ab+1 bt+1 其中t<b<a,此时t=0,则k=b2,本题获证。 若t>0,可继续=ts,-t(s,≥2,0≤t1<t,s,t是整数)，仿上可推得 a+b-b+r+4=8, ab+1 bt+1+1 此时若t=0,则k=t,本题获证。 若>0，可按上面方法做下去，因为t>t>t,>.≥0且均为均为，所以总以总能得个t=0, 使k=t是完全平方数。 综上所述，本题获证。绝密责启用前 2024年冬季“丁一杯”/世界少年奥林匹克亚洲精英赛 (2025年2月) 选手须知： 1、本卷共三部分，第一部分：填空题，共计64分； 第二部分：计算题，共计20分；第三部分： 解答题，共计66分。 2、答题前请将自己的姓名、年级、教室编号、活动证号写在规定的位置。 國 3、答题时不能使用计算工具。 4、答题时间结束时试卷和草稿纸将被收回。 题号 二 三 总分 核查人 铷 得分 螂 七年级试题(A卷) 得分 评卷人 (本试卷满分150分，考试时间90分钟) 长 一、 填空题（每题8分，共计64分） 1、某工厂向建设银行申请甲、乙两种商业贷款共40万元，每年需要支付5万元的利息，甲种贷款的年 利率为14%，乙种贷款的年利率为12%，那么，甲贷款有 万元，乙贷款有 万元。 区 2、小宁家离学校2400米。她每天骑自行车去上学，自行车前齿轮有40个齿，前齿轮和后齿轮齿数比 为5：3，车轮直径是75厘米。小宁从家到学校至少要蹬 圈（得数保留整数）。 3、牙膏管口处直径为5m,乐乐每次刷牙都挤出1cm长的牙膏，一支牙膏可用72次。现牙膏厂为促进 销售，将新包装的管口直径扩大了1m,其它不变。如果乐乐刷牙时还是每次挤出1cm长的牙膏，那么 一支新包装的牙膏能用 次。 杯 4、孙悟空有仙桃、机器猫有甜饼、米老鼠有泡泡糖，他们按下面比例互换：仙桃与甜饼为3：5，仙桃与 泡泡糖为3：8，甜饼与泡泡糖为5：8。现在孙悟空共拿出39个仙桃分别与其他两位互换，机器猫共拿出 甜饼90个与其它两位互换，米老共拿出88个泡泡糖与其他两位互换。试回答：米老鼠与孙悟空和机器 解 猫做交换，孙悟空获得 泡泡糖，机器猫获得 泡泡糖。 5、爱华小学和曙光小学的学生参加小学数学竞赛。去年的比赛中，爱华小学得一等奖的人数是曙光小 学的2.5倍；今年的比赛中，爱华小学得一等奖的学生减少了1名，曙光小学增加了6名，这时曙光小 学得一等奖的学生是爱华小学的2倍。爱华小学去年得一等奖的学生有 名，曙光小学去年 得一等奖的学生有 名。 6、如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都 七年级 第1页 相等，则第2018个格子的数为 7、从A市到B市共有三段路，第一段路长是第三段路长的2倍。甲、乙两汽车分别从A、B两市同时出 发，相向而行，甲车在第一段公路上以每小时40千米的速度行进，在第二段公路上速度提高了125%。 乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度前进，在第二段公路上把速度提高了80%，两车出发1 小时20分钟后，甲汽车走到第二段公路的处与乙汽车相遇。那么A、B两市之间的公路总长是 千米。 8、“洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型， 由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为米，则该门洞的通过面积为 平方米。 3 a b c-1 2 (第8题图) (第6题图) 得分 二、计算题（每题10分，共计20分） 评卷人 9、定义一个运算x= x>0如果×满足方程x-10+16x+5)-1999上2012，求x的值。 0(x≤0) 10、己知方程x=ax+1有一个负根而且没有正根，求a的取值范围。 七年级 第2页 得分 评卷人 三、解答题（第11-13题各12分，第1415题各15分，共计66分） 11、阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a,b,则A、B两点之间的距离可以表示为a6|。 根据阅读材料与你的理解回答下列问题 (1)数轴上表示3与-2的两，点之间的距离是 (直接写出计算结果)： (2)若|x-5=1,则x= → (3)若|x-1=|x3,则x= (第11题图) (4)利用数轴求出|x+2+x-1的最小值为？且此时整数x的值为？ (⑤)利用数轴可求出：x+1012+|x+504+x-1011|的最小值为？ 12、四边形ACD是一个正方形，其中几块阴影部分的面积如图所示，则四边形BMQN的面积是多少？ 15 (第12题图) 13、相传，大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数 字翻译出来，就是三阶幻方。三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横、行、纵向的数字之和均 相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍。如图1，是由1、2、3、4、 5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5。 (1)如图2所示，则幻和= (2)如图2所示，在(1)的条件下，若b=2,c=5,求a的值： (3)如图3所示：①若A=a,B=2a1,C-9a+7,求整式F;②若A=2at1,B=a-2,D=ka-1,是否存在k的值使得 三阶幻方中九个整式的和为定值，若存在，求出k的值及定值，若不存在，说明理由。 图1 图2 图3 (第13题图) 七年级 第3页 14、已知：如图1，∠A0B=30°，∠C0B的补角是∠A0B的3倍， (1)求∠A0C的度数： (2)如图2，若射线0P从0A开始绕点0以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线0Q从0B开始绕点0 圜 以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线0P到达0C后立即改变运动方向，以相同速度绕0点顺时针旋转， 当射线0Q到达0C时，射线0P,0Q同时停止运动。设旋转的时间为t秒，当∠POQ=10°时，试求t的值： (3)如图3，若射线OP从OA开始绕0点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP,ON平分∠COP,试求在运动过 如 程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果） 邮 777 图3 备用图 舒 长 (第14题图) OO K 舒 霸 15设a,b为正整数，ab+1整除a+b,证明：a+b是完全平方数。 ab+1 相 七年级 第4页