北京市东城区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列交通标志是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成三角形的是(    ) A. 1  3  5 B. 3  3  6 C. 1  2  3 D. 3  4  6 3.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.有些人可能有花粉过敏的现象，其实花粉粒的大小会影响我们的防护方法.花粉粒的大小因植物而异，一般在10到200微米之间.比如，春季常见的柏树花粉，它的粒径大约在20到30微米，而某些热带植物的花粉粒径则小于10微米.医用口罩可以有效阻挡直径大于3微米的花粉粒，在花粉高发季节，外出时佩戴口罩可以减少花粉吸入.若某种植物的花粉粒径为18微米，将18微米用科学记数法表示应为注：1微米米(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.根据以下作图痕迹，能得到的角平分线AD的是(    ) A. B. C. D. 8.图1是一扇古建筑的窗棂，它的窗花格子由许多紧密连接的正三角形构成，图2是它的一部分.有以下三个结论：①和全等；②和的面积相等；③是一个直角三角形，它的面积是面积的倍.其中正确结论的个数是(    ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 9.（本题见校本卷） 10.分解因式：          . 111.下面是“过直线AB外一点C作直线AB的平行线”的尺规作图方法. 如图，过点C作一条直线，与直线AB相交于点E； 在点C处作的同位角，使； 反向延长CD，得到直线CD，则直线 上述方法通过判定≌得到，其中判定≌的依据是        . 12.如图，在中，，是的中线，过点D作，交AC于点若的面积是24，则线段DE的长是        . 13.若关于x的方程的解为负数，则k的取值范围是        . 14.某班计划开展“好书换读”活动，同学们将自己的好书带到班级中，其他同学可以借阅，自愿参加.计划首批征集60本书，首批实际参与人数是原计划人数的2倍，平均每位同学比原计划少带了3本.若设原计划首批参与人数为x人，则所列的方程是        . 15.如图，在中，，点D是的外角的平分线和边BC的垂直平分线的交点，则        用含有的式子表示 16.如图，在中，，，若P是直线BC上的动点，则的最小值是        . 三、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： ； 18.本小题7分 计算： ； 19.本小题5分 如图，在和中，点A，B，C，D在同一条直线上，，，求证： 20.本小题5分 如图，已知直线EF和，点A，B在直线EF上. 尺规作图保留作图痕迹，不写作法； ①过点C作直线EF的垂线，垂足为点G； ②作点C关于直线EF的对称点； 若点C到直线EF的距离为1，，求线段BC的长； 在的条件下，若，求的面积. 21.本小题5分 如图，是等边三角形，D是AC的中点，，，CE交BD于点 求的大小； 判断的形状，并证明. 22.本小题5分 先化简代数式，再在给定的5个数中选取一个合适的数代入求值：，其中x从0，1，2，3，4中选取. 23.本小题5分 如图，在中，，，P为边BC上的一点点P不与点B，C重合，连接AP，的两个内角的差恰好为 求的度数； 若，求BC的长用含有n的式子表示 24.本小题5分 在校园科技节密码设计活动中，某班设计了一种基于因式分解的文件加密方式，操作步骤为：①选取能分解成三个因式的多项式，并因式分解；②对每个字母赋值，使得三个因式的值均为小于100的自然数，记所得的自然数为对应因式的因式码；③将三个因式码按从小到大的顺序排列仅有一位的因式码前面补0变为两位，形成六位数字密码. 例如选取多项式，分解因式得到；取，时，，，，三个因式码分别为89，13，3；将这三个因式码按从小到大的顺序排列并补位后，得到六位数字密码 依据该加密方式，对文件Ⅰ加密时，选取多项式，取，，求形成的六位数字密码； 依据该加密方式，对文件Ⅱ加密时，选取多项式，形成的六位数字密码的前四位为若x，y分别表示文件Ⅱ被加密时的月份和日期，求x，y的值. 25.本小题6分 某物流公司使用A，B两个机械臂完成一批货物的码垛工作，若A，B单独完成该项工作，则B所用时间是A所用时间的2倍.为提高效率，采取协同作业的方式：A，B共同工作1小时后，A经算法优化工作效率提高，再与B共同工作2小时恰好完成全部工作. 求A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间列分式方程解决问题； 若该公司先将A，B的工作效率均提高，再协同作业，能否在2小时内完成该项工作？并说明理由. 26.本小题7分 在中，，是等边三角形，点E在直线CD上，且 如图1，点D在AC的上方. ①来证：； ②用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系，并证明； 点D在AC的下方，在图2中补全图形，直接用等式表示线段AB，AC，CE的数量关系. 27.本小题7分 在平面直角坐标系xOy中，对于点P和垂直于x轴的直线l，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点的横坐标和纵坐标相等，则称点P是直线l的“等变换点”. 已知直线l过点且垂直于x轴.在，，三个点中，直线l的“等变换点”是______； 已知点，，直线过点且与x轴垂直，直线过点且与x轴垂直.以线段BC为边向右侧作正方形，若该正方形上既存在直线的“等变换点”又存在直线的“等变换点”，则k的取值范围是______； 已知直线l过点且垂直于x轴，过点作FG垂直直线l于点若以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形及其内部存在直线l的“等变换点”，则m的取值范围是______. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：A，C，D不是轴对称图形，B是轴对称图形， 故选： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、，不能摆成三角形，故A不符合题意； B、，不能摆成三角形，故B不符合题意； C、，不能摆成三角形，故C不符合题意； D、，能摆成三角形，故D符合题意． 故选： 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 3.【答案】A  【解析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 解：点关于x轴对称点的坐标为 故选： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： 关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； 关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 4.【答案】D  【解析】解：与a不是同类项，无法合并，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选： 利用幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及合并同类项法则逐项判断即可． 本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 5.【答案】C  【解析】解：微米米， 微米米米． 故选： 首先根据1微米米，判断出18微米米；然后根据用科学记数法表示较小的数的方法，将18微米用科学记数法表示即可． 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 6.【答案】D  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选： 根据负整数指数幂法则、同底数幂的除法法则、零指数幂法则、分式的乘方法则分别计算判断即可． 本题考查了负整数指数幂、同底数幂的除法、零指数幂、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：由题意选项B中的线段AD是的角平分线． 故选： 利用作图痕迹判断即可． 本题考查作图-基本作图，三角形的害怕关系，中线和高，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 8.【答案】C  【解析】解：如图，连接AB，AC，AE，AF，AG，EG， 设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为， ①和中， ，，， ≌， 故结论①正确，符合题意； ②， ，的高， ， ， 故结论②正确，符合题意； ③是一个直角三角形，直角边，直角边， ， 由②知面积， 的面积是面积的2倍， 故结论③错误，不符合题意， 综上，正确结论的个数是2个， 故选： 根据题意，设每个小正三角形的边长为1，则小正三角形的高为，利用三角形全等的判定方法，三角形的面积，逐一判断各结论，可得到结果． 本题考查了三角形全等的判定，等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可． 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11.【答案】SSS  【解析】解：在和中， ， ≌ 判定≌的依据是 故答案为： 三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 本题考查全等三角形的判定，作图-基本作图，关键是掌握 12.【答案】3  【解析】解：在中，，，其面积是24， ， ， 是的中线， ， 的边CD上的高与的边BD上的高相同， ， 交AC于点E， ， ， ， ， 线段DE的长是 故答案为： 根据三角形面积公式求出，根据AD是的中线得，再根据得，进而由三角形面积公式，据此即可得出线段DE的长． 此题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，理解等底或同底同高等高的两个三角形的面积相等，熟练掌握三角形的面积公式，平行线的性质是解决问题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 关于x的方程的解为负数， ， ， ， 故答案为： 先根据题意得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 本题考查的是解一元一次不等式，一元一次方程的解，熟知以上知识是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：设原计划首批参与人数为x人，则实际参与人数为2x人， 根据题意得：， 故答案为： 设原计划首批参与人数为x人，则实际参与人数为2x人，根据实际平均每位同学比原计划少带了3本，列出分式方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，过点D作于F，于G， 是的平分线，，， ，， 点D在边BC的垂直平分线上， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为： 过点D作于F，于G，根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 16.【答案】6  【解析】解：如图：延长AC，过点B作于D点， ， ， ， ， 在中，， 是直线BC上的动点， 当P运动到C点处，， 此时A，，D在一条线上， 最小， ， ， ， 故答案为： 根据题意，作于D点，若P运动到C点处，A，，D在一条线上，此时最小，求出AD长，即可得到结果． 本题考查了等腰三角形和直角三角形的应用，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 17.【答案】    【解析】解：原式 ； 原式 先去括号，再合并同类项即可； 分子先去括号，再合并同类项，进而得出答案． 本题主要考查分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 18.【答案】   【解析】解： ； 先根据完全平方公式、多项式乘多项式法则计算，再去括号，然后合并同类项即可； 先变形，再根据同分母分式相加减的运算法则计算即可． 本题考查了整式的混合运算，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19.【答案】点A，B，C，D在同一条直线上，， ， 即， ， ， 在和中， ， ≌   【解析】证明：点A，B，C，D在同一条直线上，， ， 即， ， ， 在和中， ， ≌ 根据得，再根据得，由此可依据“ASA”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 20.【答案】图形如图所示：   2  2  【解析】解：图形如图所示： 根据中作图，可知于点G，， 在中，， ，， ； ， 根据作图，可知≌， 根据要求作出图形； 利用直角三角形30度角的性质求出BC； 利用轴对称变换的性质解决问题即可． 本题考查作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21.【答案】  是等边三角形，证明如下： ， ， ，， 在中，， ， 在和中， ， ≌， ， 是的外角， ， 在中，， 是等边三角形  【解析】解：是等边三角形， ，， 点D是AC的中点， ， ， ； 是等边三角形，证明如下： ， ， ，， 在中，， ， 在和中， ， ≌， ， 是的外角， ， 在中，， 是等边三角形． 根据等边三角形性质得，，根据点D是AC的中点得，再根据得； 根据得，，由此，则，由此可依据“SSS”判定和全等得，再根据三角形外角性质得，进而得，据此得是等边三角形． 此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 22.【答案】，当时，原式；当时，原式  【解析】解： ， ，2，4， ，3， 当时，原式； 当时，原式 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 23.【答案】  3 n  【解析】解：在中，，， ， ， 设， 为边BC上的一点点P不与点B，C重合， ，， 在中，， ， ， 又的两个内角的差恰好为， 有以下两种情况： ①当时， ， 解得：， ， ②当时， 解得：， ， 综上所述：的度数为； 由得：，，， ，是直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ， 即BC的长为 根据等腰三角形性质得，进而得，设，则，，，再分两种情况讨论如下：①当时，则有，由此得，进而得，②当时，则有，由此得，进而得，综上所述即可得出的度数； 由得，，，由此得，是直角三角形，则，在中，根据得，进而得，据此即可得出BC的长． 此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，含有角的直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 24.【答案】051397  10，16  【解析】解： ， 当，时，，，； 生成的密码是 ， 因为x，y都是正整数， 所以，，即的值最大， 当时，解得不符合实际意义，舍去： 当时，解得符合实际意义． 答：x，y的值分别为10， 将多项式进行因式分解，取，，将每个因式的结果按照从小大大的顺序排列，求出六位密码即可； 对4 x^^2 因式分解：已知密码前四位是最小两个因式码是04和即4和设三个因式码为 x，，，尝试让它们包含4和分情况讨论即可． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是应用平方差公式分解因式． 25.【答案】小时  不能在2小时内完成该项工作，理由如下： ， ，B效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作  【解析】解：设A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则B单独完成该项工作所用的时间是2x小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是小时； 不能在2小时内完成该项工作，理由如下： ， ，B效率均提升后协同作业，不能在2小时内完成该项工作． 设A在算法优化前单独完成该项工作所用的时间是x小时，则B单独完成该项工作所用的时间是2x小时，根据A，B共同工作1小时后，A经算法优化工作效率提高，再与B共同工作2小时恰好完成全部工作，列出分式方程，解方程即可； 求出该公司先将A，B的工作效率均提高，再协同作业完成的工作量，然后比较即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 26.【答案】①是等边三角形， ， ， ， ，A，D三点在同一条直线上， ， ，即， ； ②， 过点E作， 则有，，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ≌ ， ，   线段AB，AC，CE的数量关系是， 补图如下，过E作交AB，AD的延长线于F，G， ，是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过E作交AF于J， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ≌， ，   【解析】解：①证明：是等边三角形， ， ， ， ，A，D三点在同一条直线上， ， ，即， ； ②， 证明：过点E作， 则有，，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ≌ ， ， ； 线段AB，AC，CE的数量关系是， 理由：补图如下，过E作交AB，AD的延长线于F，G， ，是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 过E作交AF于J， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ≌， ， ①根据等边三角形的性质得到，求得，得到B，A，D三点在同一条直线上，推出； ②过点E作，则有，，，根据等边三角形的性质得到，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，求得； 过E作交AB，AD的延长线于F，G，根据等边三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等边三角形的性质得到，求得，过E作交AF于J，得到，推出是等边三角形，得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 27.【答案】，    或  【解析】解：直线l过点且垂直于x轴， 直线l的解析式为， 关于直线的对称点为， 不是直线l的“等变换点”； 关于直线的对称点为， 是直线l的“等变换点”； 关于直线的对称点为， 是直线l的“等变换点”． 直线l的“等变换点”是， 故答案为：，； 设“等变换点”的坐标为， 点，， 以线段BC为边向右侧作正方形的边长为2，另外两个顶点为，， “等变换点”的横坐标x的取值范围为，纵坐标y的取值范围为， 直线过点且与x轴垂直， 该正方形关于直线的“等变换点”满足， ， ， ， ； 直线过点且与x轴垂直， 该正方形关于直线的“等变换点”满足， ， ， ， ， 若该正方形上既存在直线的“等变换点”又存在直线的“等变换点”， 的取值范围是： 故答案为：； 设“等变换点”的坐标为， 直线l过点且垂直于x轴， 关于直线的“等变换点”满足， ①当时， 点，FG垂直直线l于点G，以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形， 长方形及其内部的坐标满足，， ， ， ， ②当时， 点，FG垂直直线l于点G，以线段FG为公共边的两个正方形组成的长方形， 长方形及其内部的坐标满足，， ， ， ， 综上，m的取值范围是：或 故答案为：或 利用关于直线l的“等变换点”的定义逐一判断即可； 设“等变换点”的坐标为，利用正方形的性质得到“等变换点”的横坐标x的取值范围为，纵坐标y的取值范围为，利用关于直线l的“等变换点”的定义得到该正方形关于直线的“等变换点”满足，则，由题意列不等式解答即可；利用关于直线l的“等变换点”的定义得到正方形关于直线的“等变换点”满足，则，由题意列不等式解答即可； 设“等变换点”的坐标为，，利用关于直线l的“等变换点”的定义得到关于直线的“等变换点”满足，则，利用分类讨论是思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用长方形的性质得到长方形及其内部的坐标满足，，由题意列不等式解答即可；②当时，利用长方形的性质得到长方形及其内部的坐标满足，，由题意列不等式解答即可． 本题主要考查了正方形的性质，平面直角坐标系，点的坐标的特征，轴对称的性质，不等式的性质，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $