11.1平方根（题型专练）数学北京版2024八年级上册

11.1 平方根 题型一 平方根概念理解 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有互为相反数的两个平方根 B．零的立方根是零 C．的平方根就是 D．无理数就是带根号的数 【答案】B 【分析】本题考查了平方根的概念，立方根的概念，实数的概念，熟悉理解概念是解题的关键．根据平方根的概念，立方根的概念，实数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A：负数没有平方根，故此说法错误，不符合题意； B：零的立方根是零，故此说法正确，符合题意； C：的平方根就是，故此说法错误，不符合题意； D：无理数是无限不循环小数，故此说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（22-23七年级下·北京海淀·期中）关于式子（为实数），下列结论中错误的是（    ） A．式子一定有平方根 B．当时，式子有最小值 C．无论为何值，式子的值一定是有理数 D．式子的算术平方根一定大于等于1 【答案】C 【分析】分别根据平方根有意义的条件，最小值，无理数的意义及算术平方根的意义判断求解． 【详解】解：∵（为实数）， ∴A、式子一定有平方根，说法正确，不符合题意； B、当时，式子有最小值，最小值为1，说法正确，不符合题意； C、当时，是无理数，原说法错误，符合题意； D、的算术平方根大于等于1，说法正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根，掌握偶次幂及平方根的意义是解题的关键． 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）下列各数中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根可得这个数不论m取何值，都是非负数，逐一判断各选项即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∴一定有平方根，故A选项符合题意， 当时，， ∴不一定平方根，故B选项不符合题意， 当时，， ∴不一定有平方根，故C选项不符合题意， ∵， ∴， ∴一定没有平方根，故D选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查对平方根的理解，熟练掌握正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根是解题关键． 4．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根，如果一个数x的平方等于a，那么x叫做a的平方根；根据平方根的定义和表示方法解答即可. 【详解】解：用式子表示“9的平方根等于”为； 故选：D. 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各数在实数范围内不存在平方根的是（   ） A． B．0 C． D．0.9 【答案】C 【分析】本题考查的是平方根的含义，根据负数没有平方根作答即可． 【详解】解：由负数没有平方根可得没有平方根的是． 故选C． 题型二 求一个数的(算术)平方根 6．（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根及平方根．根据算术平方根及平方根的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，所以本选项不符合题意； B、，所以本选项符合题意； C、，所以本选项不符合题意； D、，所以本选项不符合题意； 故选：B． 8．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根和平方根，正确理解题意是解题的关键． 先求出，再求9的平方根即可． 【详解】解：， 则9的平方根为， 故选：D． 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键． 根据平方根的定义解决此题． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了平方根．利用了开方运算，注意一个正数的平方根有两个． 【详解】解：若一个数的平方根等于它的本身，则这个数是0， 故选：A． 题型三 求代数式的(算术)平方根 11．（2020·湖北荆州·一模）若单项式－3x2y2m+n与2xm+ny4是同类项，则m2＋2mn的算术平方根为(   ) A．0 B．2 C．－2 D．±2 【答案】B 【分析】直接利用同类项的定义得出m，n的值，进而求得m2＋2mn的值，再求其算术平方根即可． 【详解】∵单项式－3x2y2m+n与2xm+ny4是同类项， ∴ ， ∴， ∴m2＋2mn=4， ∴m2＋2mn的算术平方根为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组、算术平方根和同类项的概念，解题关键是根据同类项的概念得到关于m、n的二元一次方程组，并正确求解． 12．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知，则的立方的算术平方根是 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查非负数的性质，二次根式的性质，计算算术平方根．掌握平方和绝对值的非负性和二次根式的性质是解题关键．根据平方和绝对值的非负性可求出，，结合二次根式的性质可求出，再计算算术平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方的算术平方根是． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是掌握平方根的定义进行解题． 根据平方根的定义，先求出，然后求出，最后根据平方根的定义即可得到答案． 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据题意得：，， 解得：，， ， 的平方根是． 故答案为： 【点睛】本题考查了非负数的性质与求代数式的平方根，即几个非负数的和为0，则每个非负数都是0．现阶段学习的非负数的形式主要有三种：，，（为正整数）． 题型四 由算术平方根的非负性求值 16．（21-22八年级下·山东济宁·期末）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，关键是掌握：非负数之和等于时，各项都等于． 【详解】解：由题意得， ∴， ∴； 故选：B ． 17．（22-23七年级下·北京西城·期中）若，则a的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据非负数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0是解题的关键． 18．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知x，y满足，则在直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由非负数性质可知，平方项和算术平方根均为非负数，它们的和为零时，各自必为零，由此可解出和的值，进而确定点所在的象限． 【详解】解： ，，， 且 ， ，， ， ， 点位于第三象限． 故选：C． 19．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 20．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了实数的非负数的性质，熟练掌握非负性是解题的关键． 根据非负数的性质，确定a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得： ， ∴， ∴的平方根为． 题型五 估算算术平方根的取值范围 21．（2022·北京海淀·模拟预测）一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 正方形的面积是22.73， ， ， ，即， 它的边长大小在4与5之间， 故选：C． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 22．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 【答案】D 【分析】根据每个选项所述分别计算出结果，并判断对错即可． 【详解】解：A、面积为15的正方形的边长为，故正确，不符合题意； B、15的算术平方根为，故正确，不符合题意； C、，故在整数3和4之间，故正确，不符合题意； D、，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方根，算术平方根的计算，算术平方根的取值范围，能够数量掌握算术平方根的运算是解决本题的关键． 23．（22-23七年级下·北京东城·期中）请写出与间的一个整数 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】估算出与的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴与间的一个整数为2或3， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算，估算出与的取值范围是解题的关键． 24．（22-23八年级上·北京昌平·期末）若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 【答案】 3 4 【分析】根据，可得：的值，进而即可求解． 【详解】， 又为两个连续整数，， 故答案为：3；4． 【点睛】本题主要考查算术平方根的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键． 25．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为， 所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 【答案】（1）；（2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由见解析 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）设，其中，则仿照题意可得，比较小，将忽略不计，则，据此可得，则； （2）可求出，据此可得结论． 【详解】解：（1）设，其中， ∴， ∴， ∵比较小，将忽略不计， ∴， ∴， ∴； （2）用①的形式得出的的近似值的精确度更高，理由如下； ∵，， ∴， ∴用①的形式得出的的近似值的精确度更高． 题型六 由(算术)平方根求式子的值 26．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的特点、算术平方根的非负性、求算术平方根等知识． 根据关于原点对称的点的特点，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，得到，得到，的值，代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， ∴， ∴ ， 故答案为：． 27．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式的值． 【详解】解：，是4的算术平方根， ， ， 故答案为：11． 28．（23-24八年级上·北京昌平·期中）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，根据算术平方根的非负性求得的值是解题的关键． 29．（21-22七年级下·北京东城·期末）若一个正数的平方根为和，则的值为 ，代数式的值为 . 【答案】 -2 -1 【分析】首先根据一个正数的两个平方根的关系，即可列出一元一次方程，解方程即可求得x的值，再把x的值代入代数式，即可求得其值． 【详解】解：一个正数的平方根为和， ， 解得x=-2， 故， 故答案为：-2，-1． 【点睛】本题考查了一个正数的两个平方根的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一个正数的两个平方根的关系是解决本题的关键． 30．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知实数a满足，那么的值为多少？ 【答案】2026 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，先由算术平方根的非负性得出，根据绝对值的意义得出，从而得出，进而求解即可，得出是解决此题的关键． 【详解】解：实数满足， ， 解得：， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 31．（23-24七年级上·北京西城·期中）已知，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值、平方的非负性及绝对值的非负性，利用平方的非负性及绝对值的非负性得，，再利用整式的加减混合运算法则化简，再将，代入原式即可求解，熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ，即：， ，即：， 原式 ， 将，代入原式得：． 32．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根据平方根求原数，平方根的概念，熟知平方根的相关知识是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，据此求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，则，即，再根据，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和，且， ∴； （2）解：∵一个正实数a的两个平方根分别是x和， ∴，即， ∴． 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 33．（24-25七年级下·北京·期中）一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 【答案】81 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，且它们互为相反数得出，即可求出a的值，从而求出这个数． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴这个数是， 故答案为：81． 34．（24-25七年级下·北京·期中）若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 【答案】 5 225 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个正数的平方根互为相反数，可得出的值，再代入即可得出这个数．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得， 把代入， ， 故这个数为225， 故答案为：5，225． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了解二元一次方程及平方根，解题时需要熟练掌握并理解． （1）根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，结合，即可求出m的值； （2）由题意得出，即可求出m的值，从而求出这个正数． 【详解】（1）由题意得，即， 当时，， 解得． （2）由题意，得， ， 解得 ∴． 36．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)5，2 (2)3 【分析】（1）由平方根和算术平方根的定义分别列出关于、的方程，解之即可求出答案． （2）根据、的值求出的值，然后再按照算术平方根的定义即可求出其值． 【详解】（1）解：由题意得，，， 解得：，； （2）∵，， ∴， ∴的算术平方根为3． 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根的定义．熟练掌握平方根定义（如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，表示为和算术平方根定义（如果一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数叫做的算术平方根）是解题的关键． 题型八 由平方根的概念解方程 37．（23-24八年级下·北京通州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程，根据平方根的意义可得，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 开平方得，， 则或， 解得或． 38．（23-24七年级下·北京大兴·期中）已知，求的值 【答案】或 【分析】本题考查了根据平方根的定义解方程，可得，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 或． 39．（22-23八年级上·北京海淀·期末）求出下列等式中x的值： 【答案】或 【分析】利用平方根的定义解方程即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∴或 ∴或 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 题型九 (算术)平方根的实际应用 40．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）木工李师傅现有一块面积为144的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料， 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且其长、宽之比为． 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行裁出一边为12米，一边为10米的长方形．方案二不可行． 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用和估算无理数的大小，先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】∵面积为144的正方形胶合板， ∴正方形的边长为， 方案一：长方形装饰材料的长为，则宽为，此方案可行； 方案二：∵长方形纸片的长、宽之比为， ∴设长方形纸片的长为，则宽为； 则， ∴ 解得：或（舍）， ∴长方形纸片的长为， ∵， ∴，即长方形的长比正方形的边长大， ∴方案二不可行． 41．（24-25七年级下·北京·期中）在手工课上，小华想用一张面积为的正方形彩纸，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，用来制作一张精美的贺卡，并且希望这张长方形纸片的长与宽之比为．他正在发愁能否裁出来，就在这时，同桌小明自信满满地说：“面积大的纸肯定能裁出面积小的纸！”那么，你同意小明的这种说法吗？如果同意请通过计算设计一种可行的裁剪方案，如果不同意请说明理由． 【答案】不同意，见解析 【分析】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小的应用，熟练掌握无理数大小比较的方法是解题的关键． 设长方形纸片的长为，宽为，依题意得出方程，求出长方形的边长，求出正方形边长，再比较即可． 【详解】解：正方形彩纸的边长为：， 设裁出的长方形纸片的长为 根据边长与面积的关系，得， ． 由边长的实际意义得， 因此长方形纸片长为， ， ， ． 不同意小明的说法，小华不能成功裁出他想要的长方形纸片． 42．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 43．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 44．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 题型一 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义由得到，则，，然后计算． 【详解】∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 4．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根，求算术平方根的整数的大小，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的前提． （1）根据平方根与立方根的定义可求出a、b的值，代入计算的值，再求其算术平方根即可； （2）估算7的算术平方根的整数的大小，确定c的值，进而求出的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴ 解得：， ∵的立方根为3 ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴的算术平方根 ∴的算术平方根为． （2）解：∵， ∴， ∵是的整数部分， ∴， ∵，， ∴， ∴的平方根， ∴的平方根是． 题型二 算术平方根的规律探究 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数大小，根据表中的数据可得1269的平方根在35到36之间，进而可得12.69的平方根在3.5到3.6之间． 【详解】解：根据表中数据可得1269的平方根在35到36之间， ∵， ∴在之间， 故选：B． 2．（23-24八年级上·北京石景山·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 【答案】D 【分析】此题考查了乘方运算，算术平方根，平方差公式；根据表格中的信息可知和其对应的算术平方根的值，然后依次判断各题即可． 【详解】解：根据表格中的信息知： ，故①正确； 根据表格中的信息知：， ∴正整数或或， ∴一定有个整数的算术平方根在之间，故②正确； ∵由题意设且， 由，， ∴对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于，故③正确； ∵，，，故④正确； ∴合理推断的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 3．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键； 根据算术平方根，平方根的定义和性质进行判定即可求解； 【详解】解：的平方根是，故①正确； 的算术平方根位于和这两个连续的整数之间；故②正确； 对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于，故③正确； ，， 之间有，， 一定有个整数的算术平方根在之间；故④正确； 综上所述：正确的序号是①②③④； 故选：D 题型三 平方根与数轴的综合 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是_________； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查实数与数轴，非负性，求一个数的平方根： （1）根据数轴上点的移动规则，左减右加，求出的值即可； （2）根据点的位置，确定式子的符号，进而化简即可； （3）根据非负性求出的值，进而求出代数式的值，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：； （2）由图可知：， ∴， ∴； （3）由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是__________； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，并且，是相邻的整数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，求一个数的平方根，熟知相关知识是解题的关键． （1）用点A表示的数加上移动的距离即可得到答案； （2）根据无理数的估算方法得到，则，再求出的结果，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示， ∴点B表示的数为，即； （2）解；∵， ∴， ∵，是相邻的整数， ∴， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)的长度为，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了实数与数轴，利用平方根求解方程，三角形的面积公式等． （1）根据正方形的面积公式和三角形的面积公式，即可求出正方形的面积，根据求一个数的平方根的方法即可求解； （2）根据题意可得，即可得出点表示的数； （3）根据题意得出，结合图形和三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：的长度为． 理由：根据题意，得， ． （2）解：∵， ∴， 故点表示的实数是． 故答案为：． （3）解：，三角形中边上的高为， ． 4．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了运用数轴上的点表示无理数，平方根，代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先由题意得该半圆的半径为，再运用数轴知识进行求解即可； （2）先求出大正方形的面积为，再减去两个长方形的面积求得中心小正方形的面积，最后运用平方根知识进行求解即可； （3）先利用平方根的以及二次根式的性质等知识求得、、，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，小正方形的面积为， 小正方形的对角线为， ， 点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由题意得，大正方形面积为，两个小长方形面积为， 小正方形的面积为， 小正方形的边长为，即小长方形的对角线的长度为； （3）解：，，均为实数，且满足，， ，， 为图中拼成的正方形的边长的小数部分， ， 当，，时，； 当，，时，； 综上所述，的值为或． 1．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料．两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点、，那么A、B两点的距离，则． 例如：若点、，则． 根据上面材料完成下列各题： (1)若点、，则A、B两点间的距离是_____． (2)若点，点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点的坐标． 【答案】(1) (2)B点的坐标为或． 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，利用平方根解方程，实数的混合运算，正确理解题意是解题关键． （1）根据题目所给两点间的距离公式求解即可． （2）设．根据点B的位置和题目所给点的两点间距离公式列出方程，再根据开方运算求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 故答案为：； （2）解：设． ∵点B在x轴上， ∴． ∴． ∵，且A、B两点间的距离是5， ∴． 整理得． ∵， ∴或． ∴或． ∴B点的坐标为或． 2．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 3．（24-25七年级下·北京·期中）数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2) 【分析】本题考查算术平方根，理解并掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，进行判断即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“完美数组” ∵，不是整数， ∴不是“完美数组”； （2）∵为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20， ∴为正整数， 当时：，解得：， 此时：，符合题意； 当时：，解得：（不符合题意，舍去）； 故． 4．（24-25八年级上·北京·期中）阅读材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或． 若，则_______； (2)已知（为整数），．若，求（用含的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查了列代数式的变化． （1）根据示例，可以得到，从而得到m的值； （2）由题意，得到，化简整理可得到，从而得到结果； （3）由题意，得到，从而得到m，n的式子． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，（c，d为整数），， ， ∵，， ∴， ∴或； （3）解： ， ∴，． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2024年8月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减． 例如：，，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数 ． 【答案】(1)15 (2)见解析 (3)11 【分析】此题考查了列代数式，整式的混合运算，平方差公式． （1）两式计算得到结果，归纳总结即可得到结果； （2）设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为，，，，根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，即可证明； （3）中间位置上的数为a，则最小的数为，最大的数为，根据题意列出关系式，即可求解． 【详解】（1）解：，，不难发现，结果都是：15； 故答案为：15； （2）证明：设“Z”字型框架中位置C上的数为x，则A，B，D，E四个数依次为，，，， 由题意得， ； （3）解：中间位置上的数为a，则最小的数为，最大的数为， 由题意得，， ， ， 或（负值舍去）， ∴， 故答案为：11． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 平方根 题型一 平方根概念理解 1．（24-25八年级上·北京顺义·期中）下列说法正确的是（   ） A．任何实数都有互为相反数的两个平方根 B．零的立方根是零 C．的平方根就是 D．无理数就是带根号的数 2．（22-23七年级下·北京海淀·期中）关于式子（为实数），下列结论中错误的是（    ） A．式子一定有平方根 B．当时，式子有最小值 C．无论为何值，式子的值一定是有理数 D．式子的算术平方根一定大于等于1 3．（22-23七年级下·北京海淀·期中）下列各数中，一定有平方根的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·贵州黔南·期中）用式子表示“9的平方根等于”正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列各数在实数范围内不存在平方根的是（   ） A． B．0 C． D．0.9 题型二 求一个数的(算术)平方根 6．（24-25七年级下·北京·期中）的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2021·四川凉山·中考真题）的平方根是（    ） A．9 B．9和 C．3 D．3和 9．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）的平方根是 ． 10．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一个数的平方根与它本身相等，这个数是（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 题型三 求代数式的(算术)平方根 11．（2020·湖北荆州·一模）若单项式－3x2y2m+n与2xm+ny4是同类项，则m2＋2mn的算术平方根为(   ) A．0 B．2 C．－2 D．±2 12．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）已知，则的立方的算术平方根是 ． 13．（24-25七年级下·全国·期中）已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为 ． 14．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为 ． 15．（22-23八年级上·四川巴中·阶段练习）若，求的平方根是 ． 题型四 由算术平方根的非负性求值 16．（21-22八年级下·山东济宁·期末）已知，那么的值为（   ） A． B． C． D． 17．（22-23七年级下·北京西城·期中）若，则a的值是（    ） A． B．2 C．4 D． 18．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知x，y满足，则在直角坐标系中，点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）若，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 20．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）已知，求的平方根． 题型五 估算算术平方根的取值范围 21．（2022·北京海淀·模拟预测）一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 22．（22-23八年级上·河北保定·期末）下列关于的描述错误的是（    ） A．面积为15的正方形的边长 B．15的算术平方根 C．在整数3和4之间 D．方程中未知数x的值 23．（22-23七年级下·北京东城·期中）请写出与间的一个整数 ． 24．（22-23八年级上·北京昌平·期末）若a和b为两个连续整数，且，那么 ， ． 25．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】 同学们，我们来学习利用完全平方公式： 近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小明以①的形式求的近似值的过程如图． 因为， 所以， 即． 因为比较小， 将忽略不计， 所以， 即， 得， 故． 【尝试探究】 （1）请用②的形式求的近似值（结果保留2位小数）． 【比较分析】 （2）你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高，请说明理由． 题型六 由(算术)平方根求式子的值 26．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）已知点与点关于原点对称，则的值为 ． 27．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 28．（23-24八年级上·北京昌平·期中）如果，则的值为 ． 29．（21-22七年级下·北京东城·期末）若一个正数的平方根为和，则的值为 ，代数式的值为 . 30．（24-25八年级上·北京顺义·期中）已知实数a满足，那么的值为多少？ 31．（23-24七年级上·北京西城·期中）已知，求代数式的值． 32．（23-24七年级下·北京密云·期末）已知一个正实数a的两个平方根分别是x和． (1)若，求a的值． (2)求代数式的值． 题型七 已知一个数的平方根，求这个数 33．（24-25七年级下·北京·期中）一个正数的两个平方根分别是和，那么这个数是 ． 34．（24-25七年级下·北京·期中）若一个数的平方根为和，则a的值为 ，这个数为 ． 35．（24-25七年级下·北京·期中）已知正实数x的两个平方根分别是和． (1)若，求的值； (2)若，求x的值． 36．（23-24八年级上·辽宁丹东·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是4． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 题型八 由平方根的概念解方程 37．（23-24八年级下·北京通州·期末）解方程：． 38．（23-24七年级下·北京大兴·期中）已知，求的值 39．（22-23八年级上·北京海淀·期末）求出下列等式中x的值： 题型九 (算术)平方根的实际应用 40．（23-24七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）木工李师傅现有一块面积为144的正方形胶合板，准备做装饰材料用，他设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料， 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且其长、宽之比为． 李师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 41．（24-25七年级下·北京·期中）在手工课上，小华想用一张面积为的正方形彩纸，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，用来制作一张精美的贺卡，并且希望这张长方形纸片的长与宽之比为．他正在发愁能否裁出来，就在这时，同桌小明自信满满地说：“面积大的纸肯定能裁出面积小的纸！”那么，你同意小明的这种说法吗？如果同意请通过计算设计一种可行的裁剪方案，如果不同意请说明理由． 42．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 43．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 44．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 题型一 求算术平方根的整数部分和小数部分 1．（23-24七年级下·安徽黄山·期中）已知是的整数部分，，则的平方根是 ． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）若的整数部分是，小数部分为，则 ． 4．（24-25八年级上·广东清远·期中）已知的平方根为，的立方根为3， (1)求的算术平方根； (2)若是的整数部分，求的平方根． 题型二 算术平方根的规律探究 1．（24-25八年级上·山西太原·期中）观察表格中的数据： 32 33 34 35 36 37 38 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 由表格中的数据可知（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 2．（23-24八年级上·北京石景山·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表. 下面有四个推断： ① ②一定有个整数的算术平方根在之间 ③对于小于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差小于 ④比大 所有合理推断的序号是 . 3．（24-25七年级下·北京·期中）小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表． 下面有四个推断： ①的平方根是 ②的算术平方根位于和这两个连续的整数之间； ③对于大于的两个正数，若它们的差等于，则它们的平方的差大于 ④一定有个整数的算术平方根在之间 其中正确的序号是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 题型三 平方根与数轴的综合 1．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点表示，设点所表示的数为． (1)的值是_________； (2)求的值； (3)在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 2．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是__________； (2)在数轴上还有两点分别表示实数和，并且，是相邻的整数，求的平方根． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）（新考向）一个工人师傅在测量如图所示的正方形零件边（）时，测量了好几遍都没有测出一个较为准确的数，取近似值又会影响到零件的使用，十分发愁．小迪过去看了看，发现该零件是由边长为2的正方形沿各边中点连线切去四角得到的，以原点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，．请根据图形解答： (1)想到数学课上刚学的实数，小迪很快就知道的长度了，聪明的你知道吗？并说明理由； (2)点表示的实数是______； (3)求三角形的面积． 4．（24-25七年级下·四川自贡·阶段练习）如图，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为，由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点． (1)图中点表示的数为________，点表示的数为________． (2)某同学把长为，宽为的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度，此长度为 ． (3)若，，均为实数，且满足，，为图中拼成的正方形的边长的小数部分，请计算的值． 1．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料．两点间的距离公式：如果平面直角坐标系内有两点、，那么A、B两点的距离，则． 例如：若点、，则． 根据上面材料完成下列各题： (1)若点、，则A、B两点间的距离是_____． (2)若点，点B在x轴上，且A、B两点间的距离是5，求B点的坐标． 2．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 3．（24-25七年级下·北京·期中）数组中，a，b，c为三个互不相等的正整数，若一个数组中任意两个数的乘积的算术平方根都为整数，则称这个数组为“完美数组”．例如，数组，经过计算可知，，，所以数组为“完美数组”． (1)请你判断______“完美数组”，______“完美数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“完美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，求m的值． 4．（24-25八年级上·北京·期中）阅读材料： 如果整数满足，其中都是整数，那么一定存在整数，使得． 例如，或． 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知或． 若，则_______； (2)已知（为整数），．若，求（用含的式子表示）； (3)一般地，上述材料中的可以用含的式子表示，请直接写出一组满足条件的（用含的式子表示）． 5．（24-25八年级上·北京·期中）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律． (1)图①是2024年8月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减． 例如：，，不难发现，结果都等于 ．（请完成填空） (2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明． (3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$