精品解析：河北省廊坊市安次区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年第一学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4.考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，能构成三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，不能构成三角形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 围棋是中国古代称为“弈”的传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，理解轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，故本选项符合题意； B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 3. 如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高，根据此定义逐项判断即可． 【详解】解：A、表示的是中边上的高，故此选项不符合题意； B、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； C、不能表示的高，故此选项符合题意； D、表示的是中边上的高，故此选项符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的高，解题的关键是掌握三角形的高的定义． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解． 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选A 6. 如图，已知，用“AAS”证，还需（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用全等三角形判定定理分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，， ， 用“”证，还需， 故选：C 7. 要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】分式有意义应满足分母不为0，即， 解得：． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件（分母不等于零），正确把握定义是解题关键． 8. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键． 根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出． 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 9. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，然后利用三角形内角和定理与三角形的外角性质求出，再根据已知条件列式计算即可． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和为与三角形的外角性质是解答此题的关键． 10. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故A不符合； 中，是将多项式化为积的形式， 所以从左到右的变形是因式分解， 故B符合； 中右边不是整式，不是整式的积， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故C不符合； 中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故D不符合． 故选：B． 11. 下列作图中，点M到、两边距离相等的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线和垂线，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得点M在的角平分线上，再根据角平分线的作法判断即可． 【详解】解：点M到、两边距离相等， 点M在的角平分线上， 由作法可知，选项C中为的角平分线，选项A、B、D均为作垂线， 故选：C． 12. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区的环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间差列方程．共享单车先出发6分钟（即小时），同时到达，因此共享单车行驶时间比共享电动车多小时． 【详解】解：设共享单车速度为，则共享电动车速度为， 共享单车行驶时间： 小时， 共享电动车行驶时间： 小时． ∵ 共享单车先出发小时，且同时到达， ∴ ． 故选：B． 卷Ⅱ 非选择题 二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半，利用勾股定理即可求出各边． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°． ∴AB＝2AC． 设AC＝x．则AB＝2x． ∴x2+32＝（2x）2 ∴x＝． ∴． 故答案：2． 【点睛】本题考查勾股定理的知识，利用直角三角形30°的角对的直角边是斜边的一半是关键，属于基础题． 14. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相同，纵坐标互为相反数求解． 【详解】解：∵点与点N关于x轴对称， ∴点N的横坐标与点M的横坐标相同， 即点N的横坐标为2； 点N的纵坐标与点M的纵坐标互为相反数， 即点N的纵坐标为， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 15. 已知，，那么_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的除法逆运算法则先把所求式子变形为，然后把已知的式子代入计算即可． 详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂的性质，属于常考题型，正确变形、熟练掌握幂的乘方和同底数幂的除法逆运算法则是解题的关键． 16. 如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分、解答题应写出文字说明或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． （1）根据单项式乘多项式，去括号即可求解； （2）根据完全平方公式，平方差公式进行计算，然后合并同类项即可； 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式 ． 18. 计算 （1）； （2）解分式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，解分式方程，注意解分式方程必须检验． （1）先因式分解并将除法转化为乘法，再约分即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根． 19. 如图，已知，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明:：在和 中， ， ∴， ． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）连接，，则的面积为_____． （3）在轴上求作一点，使得的值最小，此时点的坐标为_____． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据对称轴的性质得到轴，再由三角形面积公式求解即可； （3）过点作轴的对称点，连接与轴的交点即为点，那么，根据两点之间线段最短即可说理． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由对称可得轴， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，点即为所求，， 故答案为：． 21. 如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．通过证明出，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：，， ． 在和中， ， ， ； 在和中， ， ， ． 22. 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】 两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为： 两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 23. 阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，将变形为，即可求解； （2）设，可得，，，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的变形，理解并掌握完全平方公式的变形，几何图形面积与完全平方公式的计算是解题的关键． 24. 如图1，是等边三角形，点F是边的中点，点D在直线上运动，连接,以为边向右侧作等边三角形,连接,直线与直线交于点M． （1）如图1，当点D在线段上时： ①与的数量关系为___________ ②___________°． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，则___________． 【答案】（1）①； ② （2）成立，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据全等三角形的性质可进行求解； （2）由题意易证，则有，，然后问题可求解； （3）由题意易证，则有，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 ①和是等边三角形， ，，， ，， ， ， ； 故答案为：； ②点是边的中点，是等边三角形， ，， 由①可知， ， ， ； 故答案为：60； 【小问2详解】 （1）中的结论还成立，理由如下： 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， 即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，是的中点， ， ，， ， ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期末学业质量检测 八年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号填在答题卡相应位置上． 3.答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效． 4.考试结束，监考人员将答题卡收回． 卷Ⅰ（选择题，36分） 一、选择题（本题共12道小题，每题3分，共计36分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．） 1. 下列长度（单位：）的根小木棒能搭成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 围棋是中国古代称为“弈”传统棋类，拥有超过四千年的历史．观察下列几位同学模拟“对弈”时排列出的图形，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在中，利用三角板能表示边上的高的为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为估计池塘岸边，两点的距离，小方同学在池塘的一侧选取一点，则得，，则点，间的距离不可能是（ ） A B. C. D. 6. 如图，已知，用“AAS”证，还需（ ） A. B. C. D. 7. 要使分式有意义，x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，D为上一点，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 下列等式中，从左到右变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列作图中，点M到、两边距离相等的是（　　） A. B. C. D. 12. 如今倡导绿色出行，共享单车和共享电动车成为常见出行工具．假设某社区组织居民去距离社区环保主题公园参加环保宣传活动．一部分居民骑共享单车先出发，后其余居民骑共享电动车出发，结果同时到达．已知共享电动车的速度是共享单车速度的倍，设共享单车的速度为，根据题意可列方程（        ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 非选择题 二、填空题（本大题有4个小题，每题3分，共12分，把答案写在答题卡的横线上．） 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝3，则AB＝___． 14. 已知点与点关于轴对称，则点的坐标为______． 15. 已知，，那么_________． 16. 如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为________． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分、解答题应写出文字说明或演算步骤） 17. 计算 （1） （2） 18. 计算 （1）； （2）解分式方程． 19. 如图，已知，，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴的对称图形； （2）连接，，则面积为_____． （3）在轴上求作一点，使得的值最小，此时点的坐标为_____． 21. 如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：． 22. 【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 23. 阅读理解以下材料内容： 完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：∵，， ∴，． ∴． ∴． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若，，求的值；应用以上知识进行思维拓展； （2）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 24. 如图1，是等边三角形，点F是边的中点，点D在直线上运动，连接,以为边向右侧作等边三角形,连接,直线与直线交于点M． （1）如图1，当点D在线段上时： ①与的数量关系为___________ ②___________°． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）如图3，当点D在线段的延长线上时，若，则___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $