山西省太原市小店区部分学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（1月份）

2025-2026学年山西省太原市小店区部分学校九年级（上）月考数学试卷（1月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的值等于(    ) A. 0 B. 1 C. D. 2.已知点在反比例函数的图象上，则k的值为(    ) A. B. 3 C. D. 6 3.如图，，，，，则EF的长为(    ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为(    ) A. B. C. D. 5.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为(    ) A. B. C. D. 7.2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度AL为(    ) A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 8.在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中卯的俯视图是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点若，则EF的长为(    ) A. B. 1 C. D. 2 10.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使DA边落在DC边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为若矩形HEFG与原矩形ABCD相似，，则CD的长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.反比例函数的图象在第        象限. 12.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点，如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为           13.小凯沿着坡比：的斜坡，从坡底向上步行了26米，那么他上升的高度是      . 14.露营越来越受大众喜爱，如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，OF交AB于点G，，在同一时刻，附近一根长为1m的标杆在地面的影长为2m，则FG为        15.如图，在中，，，，于点D，BF平分交AC于点F，交AD于点E，则线段AE的长为      . 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 16.解方程： ； 四、解答题：本题共7小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 三根底部都在同一直线上的竹竿直立在地面上，它们在同一灯光下的影子如图所示图中的粗线段 根据竹竿和灯光下的影子，确定光源G的位置； 画出影子为AB的竹竿用线段表示； 若将光源G竖直向上移动，则影子AB的长度______单选题 A.变长 B.不变 C.变短 D.无法确定 18.本小题7分 如图，在中. 【实践与操作】请利用尺规作图完成以下操作： 作的角平分线AD，交边BC于点D； 作线段AD的垂直平分线，分别交边AB，AC于点E，F； 连接DE，连接 要求：不写作法，标明字母； 【猜想与证明】试猜想四边形AEDF的形状，并加以证明. 19.本小题7分 问题情境： 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段测速区间上平均速度的方法.小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如下表.建立模型： 根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数，求与之间的函数关系式； 小型车辆 行驶时间 平均速度 A 60 B 100 C 50 D 75 问题解决： 若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为，求它的平均速度； 已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ 20.本小题5分 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹. 在图①中以线段AD为边画一个格点，使它与相似，面积之比是1： 在图②中画一条格点线段CD，交AB于点P，使 21.本小题5分 2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个.若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 22.本小题7分 圭表如图是我国古代度量日影长度的天文仪器，它包括一根直立的杆称为“表”和一把南北方向水平放置且与杆垂直的标尺称为“圭”当正午的阳光照射在“表”上时，“表”的影子便会投射在“圭”上.我国古代历法将一年中白昼最短的那一天当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最长定为冬至；白昼最长的那一天当日正午“表”在“圭”上的影子长度为全年最短定为夏至.某地发现一个圭表遗迹如图，但由于“表”已损坏，仅能测得“圭”上记录的夏至线与冬至线间的距离即AB的长为米.某地质小组制定方案，通过测量获得相关数据，并利用数据推测损坏的“表”原来的高度即CD的长方案如下： 课题 推测损坏的“表”原来的高度即CD的长 工具 测量仪器等 示意图 说明 现已知该地冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，结果保留整数. 参考数据 ，，，，， 23.本小题10分 综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，同学们用两个全等的矩形纸片ABCD和AEFG探究旋转的性质，将矩形纸片AEFG绕点A逆时针旋转，其中， 初步探究： 如图1，连结BE，DG，在矩形纸片AEFG旋转的过程中的值为______. 问题解决： 如图2，连结BD，当点E恰好落在BD上不与点B重合时，EF与边AD交于点M，延长FE交边BC于点N，求MN的长. 连结CE，CF，当时，请直接写出的面积. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解： ， 故选： 先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 2.【答案】C  【解析】解：点在反比例函数的图象上，    故选： 根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的横纵坐标之积是定值k是解答本题的关键． 3.【答案】B  【解析】解：， ，即， 解得：， 故选： 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键． 4.【答案】D  【解析】解：将三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C   共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， 两次抽取的卡片正面相同的概率为 故选： 列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小， 点，，都在反比例函数的图象上，， ，在反比例函数的图象上， ， 故选： 根据反比例函数性质即可判断． 本题主要考查了比较反比例函数值的大小，正确进行计算是解题关键． 6.【答案】A  【解析】解：与是位似图形，点的对应点为， 与的位似比为2， 点的对应点的坐标为，即， 故选： 根据点A、的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解． 本题考查了位似变换，掌握位似变换的性质是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：在中，，， ， 千米 答：火箭距海平面的高度AL为千米， 故选： 根据三角函数的定义即可得到结论． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握三角函数的定义是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：从上面看，可得俯视图：. 故选： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 9.【答案】B  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ， 点E为OC的中点， ， ， ∽， ，即， ， 故选： 利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明∽，利用相似三角形的性质求解即可． 本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：设， 四边形ABCD是矩形， ，， 由折叠得：，，， 四边形ADHE是矩形， ， 四边形ADHE是正方形， ， 矩形HEFG与原矩形ABCD相似， ， ， 解得：或， 经检验：或都是原方程的根， ， ， ， 故选： 设，根据矩形的性质可得，，再根据折叠的性质可得：，，，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的性质可得，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答． 本题考查了相似多边形的性质，解一元二次方程-公式法，矩形的性质，翻折变换折叠问题，正方形的判定与性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 11.【答案】一、三  【解析】解：， 函数图象在一、三象限． 故答案为一、三． 反比例函数的图象时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 本题考查了反比例函数图象的性质．较为简单，容易掌握． 12.【答案】  【解析】解：为AB的黄金分割点， 故答案为： 利用黄金分割的定义计算出AP即可． 此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和，且使AC是AB和BC的比例中项即AB：：，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 13.【答案】10米  【解析】解：设小凯上升的高度是x米， 斜坡的坡比：， 小凯行走的水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：负值舍去， 小凯上升的高度是10米， 故答案为：10米． 设小凯上升的高度是x米，根据坡度的概念得到小凯行走的水平距离为米，再根据勾股定理计算即可． 本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 14.【答案】3  【解析】解：由题意得：OE：：2， ， ， ， 故答案为： 相似三角形的对应边成比例得到OE：：2，求出，即可得到FG的长． 本题考查相似三角形的应用，平行投影，关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 15.【答案】3  【解析】解：如图，作于点M， 由题得，，，， ，， ， ， ， ， ，， ∽ ， 即， ， ， 故答案为： 通过作辅助线，利用相似三角形的性质和角平分线的性质，找到线段AE的长度． 本题主要考查直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质．正确作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】解：， ， ， ， ， 所以，； ， ， ， 或， 所以，  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】  如图所示  C  【解析】解：如图所示，作射线NE与射线MD，交点G为光源的位置； 如图所示，AC为所求； 由图可知，影子AB的长度变短． 故答案为： 作射线NE与射线MD，交点G即为所求； 作射线BG，作交BG于点C，AC即为所求； 画出升高后的光源，再作出AC的影子即可得出答案． 本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． 18.【答案】解：[实践与操作] 如图，即为所求； [猜想与证明] 四边形AEDF为菱形，理由如下： 垂直平分AD，交点为O， ，，， 平分， ， ， ≌， ， ， 四边形AEDF是菱形．   【解析】[实践与操作]根据角平分线，垂直平分线的作法作图即可； [猜想与证明]根据垂直平分线的性质得到，，，证明≌，得到，再根据四边相等的四边形是菱形证明即可． 本题考查了尺规作图，角平分线和垂直平分线的作法，垂直平分线的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握基本尺规作图的方法，菱形的判定方法． 19.【答案】  小汽车的平均速度是  行驶时间应不少于分钟  【解析】解：根据表格中变量的变化规律可知： ， 与t之间的函数表达式为 当时， 故小汽车的平均速度是 根据题意得， 解得， 小时分钟．故行驶时间应不少于分钟． 根据表格中变量的变化规律解答即可； 将50分钟换算成小时并代入v与t之间的函数关系式，求出对应v的值即可； 将v与t之间的函数关系式代入，列关于t的一元一次不等式并求解即可． 本题考查反比例函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意写出v与t之间的函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 20.【答案】如图1中，即为所求；  如图2中，点P即为所求  【解析】解：如图1中，即为所求； 如图2中，点P即为所求． 取AC都是中点E，连接DE即可； 取格点C，D，连接CD交AB于点P，点P即为所求． 本题考查作图-复杂作图，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 21.【答案】40元．  【解析】解：设售价应定为x元， 根据题意列一元二次方程可得：， 整理得，， 解得，， 更大优惠让利消费者， ， 即售价应定为40元， 答：更大优惠让利消费者，售价应定为40元． 设售价应定为x元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程，然后解方程并检验即可． 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】损坏的“表”原来的高度即CD的长约为9米．  【解析】解：设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：损坏的“表”原来的高度即CD的长约为9米． 设，根据三角函数求出x的值，再得出CD的长． 本题考查了解直角三角形的应用，掌握解直角三角形是解题的关键． 23.【答案】；  ；   16或64  【解析】四边形ABCD，AEFG是矩形， ， ， ，， ， ∽， 故答案为：； 连接AN，交BD于点H， 在矩形ABCD和矩形AEFG中，， ， ， ， ， ，， ， ， 在矩形ABCD中，，，， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 在矩形ABCD中，， ∽， ，即， ， 分两种情况讨论： ①如图，若， ， ， 点A，E，C在同一直线上， ，， ， 在矩形AEFG中，， ②如图，若， 在矩形AEFG中，， 与CE重合， ， 综上所述，当时，的面积为16或 根据矩形的性质，从而有，又，得到∽，根据相似三角形的性质即可解答； 连接AN，交BD于点H，证明，得到，根据“三线合一”得到，，进而根据，，得到，通过解直角三角形得到，，，进而，，因此在中，，在中，，因此有，，根据∽，即可求出，从而即可解答； 分两种情况讨论，均证明点A，E，C在同一直线上，得到或，根据三角形的面积即可求解． 本题是相似形的综合题，考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，锐角三角形函数解直角三角形，相似三角形的判定及性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线，掌握分类讨论思想是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $