17.1　一元二次方程 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第17章　一元二次方程及其应用 17.1　一元二次方程 初中数学沪科版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解一元二次方程的概念及其一般形式，确定各项系数. 2.根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型.(难点) 3.理解并灵活运用一元二次方程的概念解决有关问题.(重点、难点) 课堂引入 1.什么叫作一元一次方程，它有什么特点？ 2.下列式子哪些是方程？ 2＋6＝8；2x＋3；5x＋6＝22； x＋3y＝8；x－5<18；－2＝9. 一、 一元二次方程的概念 问题　(1)某蔬菜队2019年全年无公害蔬菜产量为100 t，计划2021年无公害蔬菜的产量比2019年翻一番(即为200 t)，要实现这一目标，2020和2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？ 解：设这个队2020~2021年无公害蔬菜产量的年平均增长率是x，那么2020年无公害蔬菜产量为100＋100x＝100(1＋x)(t)；2021年无公害蔬菜产量为100(1＋x)＋100(1＋x)·x＝100(1＋x)2(t). 根据题意，2021年无公害蔬菜产量为200 t，得100(1＋x)2＝200，即(1＋x)2＝2. 整理，得x2＋2x－1＝0. (2)如图，在一块宽20 m、长32 m的长方形空地上，修筑宽相等的三条小路(两条纵向，一条横向，纵向与横向互相垂直)，把这块空地分成大小一样的6块，建成小花坛，要使花坛的总面积为570 m2，问小路的宽应为多少？ 解：设小路的宽是x m， 则横向小路的面积是32x m2，纵向小路的面积是2×20x m2，两者重叠部分的面积是2x2 m2. 由于花坛的总面积是570 m2， 则32×20－(32x＋2×20x)＋2x2＝570. 整理，得x2－36x＋35＝0. 以上方程有什么共同点？ 提示　含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2. 知识梳理 一元二次方程的概念 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程，叫作一元二次方程. 一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)，其中ax2叫作 ，a是 ； bx叫作 ，b是 ；c叫作 . 任何一个关于x的一元二次方程，经过整理都可以化为一般形式. 注意点：只要满足a≠0即可，b，c可以为0. 一 2 整式 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 例1　当m＝　　　　时，方程(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程.  3 解析　∵(m＋3)x|m|-1＋3x－2＝0是关于x的一元二次方程， ∴∴ ∴m＝3. 跟踪训练1　(1)下列方程中，是一元二次方程的是 A.2x2＝1 B.x2＋＝1 C.ax2＋2x＋3＝0 D.x2－y－2＝0 解析　A项，2x2＝1，是一元二次方程，符合题意； B项，x2＋＝1，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C项，当a≠0时，ax2＋2x＋3＝0是一元二次方程，a＝0时，ax2＋2x＋3＝0不是一元二次方程，不符合题意； D项，x2－y－2＝0，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意. √ (2)将一元二次方程5x2－4x＝1化成一般形式后(二次项系数为正)，二次项系数和一次项系数分别是 A.5，－1 B.5，－4 C.5，1 D.5，4 √ 解析　∵一元二次方程5x2－4x＝1， ∴5x2－4x－1＝0， ∴二次项为5x2，一次项为－4x， ∴二次项系数和一次项系数分别是5，－4. 二、 一元二次方程的根 例2　(课本P21例题)已知方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋4. (1)把该方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项； (2)判断－1是否为该方程的根. 解　(1)去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋4. 移项、合并同类项，得方程的一般形式：3x2－5x－8＝0. 它的二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－8. (2)把x＝－1代入原方程的左右两边，得左边＝3×(－1)×(－1－1)＝6.右边＝2×(－1＋2)＋4＝6. 因为左边＝右边，所以－1是该方程的根. 反思感悟 判断一个数是不是方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，就是这个方程的根；若不相等，就不是这个方程的根. 跟踪训练2　若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 026－9a＋3b的值为　　　　.  2 020 解析　把x＝3代入方程得9a－3b＝6， 则原式＝2 026－(9a－3b)＝2 026－6＝2 020. 三、 建立一元二次方程模型 例3　某地举行一次乒乓球比赛，在女子单打的第一轮比赛中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，优胜者将参加下一轮比赛. (1)如果第一轮有10名选手参加比赛，则一共要进行多少场比赛？ 解题方案：第1个人分别与其他 　 个人比赛；第2个人分别与其他　 个人比赛，…，依次类推，共10个人，如此共有　　次比赛，但此时每两个人之间都是按比了两次赛进行计算的.因此，10个人每两人之间比一次赛，共比了　　次赛，即　 　　　.  解　9　9　90　45　×10×(10－1)＝45(场) 例3　某地举行一次乒乓球比赛，在女子单打的第一轮比赛中，每一个选手都和其他选手进行一场比赛，优胜者将参加下一轮比赛. (2)如果第一轮有n名选手参加比赛，则一共要进行多少场比赛？ (3)如果第一轮共进行300场比赛，则参加这次乒乓球女子单打比赛的选手共有多少人？(只需设未知数，根据题意列出方程，并化为一般形式) 解　(2)一共要进行n(n－1)场比赛. (3)设参加这次乒乓球女子单打比赛的选手共有x人， 由题意得x(x－1)＝300， 整理得x2－x－600＝0. 跟踪训练3　(课本P23习题17.1第1(5)题)根据题意，列出关 于x的方程，并将其化成一般形式. 某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比 为2∶1，在此温室内，左侧内墙保留3 m宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m宽的通道，设长方形温室的长为x m，要使蔬菜种植区域的面积为288 m2，求x. 解　∵长方形蔬菜温室长与宽的比为2∶1，且长方形温室的长为x m， ∴长方形温室的宽是x m， ∴蔬菜种植区域是长为x－3－1＝(x－4)m，宽为m的长方形. 根据题意得(x－4)＝288. 化为一般形式为x2－4x－280＝0. 课堂小结 1.下列方程中　　 　　是一元二次方程.  (1)3x＋2＝5x－2； (2)x2＝0； (3)(x＋3)(2x－4)＝x2； (4)3y2＝(3y＋1)(y－2)； (5)x2＝x3＋x2－1； (6)3x2＝5x－1. 课堂练习 (2)(3)(6) 2.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0. 当k　　　　　时，是一元二次方程； 当k　　　　　时，是一元一次方程. ≠±1 ＝－1 解析　当原方程是一元二次方程时，二次项系数不为0，即k2－1≠0，解得k≠±1. 当原方程是一元一次方程时，二次项系数为0且一次项系数不为0，即k2－1＝0，2(k－1)≠0，解得k＝－1. 课堂练习 3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 (3x＋1)2－2x＝0         3x2－2x＝x2＋1         解　如表. 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 (3x＋1)2－2x＝0 9x2＋4x＋1＝0 9 4 1 3x2－2x＝x2＋1 2x2－2x－1＝0 2 －2 －1 课堂练习 4.(课本P22练习第3题)将48张桌子排成若干行，且每行的桌子数相同，已知每一行的桌子数比总行数多2，设这些桌子排了x行，列出关于x的方程，并将其化为一般形式. 解　依题意有x(x＋2)＝48，化为一般形式为x2＋2x－48＝0. 课堂练习 5.(课本P23习题17.1第1(3)题)根据题意，列出关于x的方程，并将其化成一般形式. 某小组同学元旦互赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡90张，求这个小组的同学数x. 解　设这个小组的同学数为x.根据题意，得x(x－1)＝90，化为一般形式为x2－x－90＝0. 课堂练习 谢谢观看 $