17.2　一元二次方程的解法第1课时 课件2025-2026学年沪科版 数学八年级下册

17.2　一元二次方程的解法 第1课时　直接开平方法 第17章　一元二次方程及其应用 初中数学沪科版（2024）八年级下册 学习目标 1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点) 2.运用开平方法解形如x2＝p或(nx＋m)2＝q(p，q≥0)的方程.(重点) 情境引入 要给一个正方形花圃围上栅栏，栅栏总长为16米，求花圃的边长.若设边长为x米，根据正方形周长公式可得4x＝16，解得x＝4.如果把问题改为：正方形花圃的面积为25平方米，求边长x，则可列方程x2＝25，如何求解这个方程呢？ 一、 直接开平方法 问题　(1)用直接开平方法解一元二次方程时，将一元二次方程的左边和右边化为怎样的形式？ 提示　左边化为一个完全平方式，右边化为非负数. (2)能用直接开平方法解一元二次方程4x2＋8＝0吗？ 提示　4x2＋8＝0， ∴4x2＝－8<0， ∴原方程无实数根. 知识梳理 我们知道，若x2＝a(a≥0)，根据平方根的定义，x是a的平方根，所以x＝±. 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程求解，可以把x＋m看成一个整体，利用直接开平方法求解： (1)对等式两边直接开平方，得x＋m＝±； (2)分别求解两个一元一次方程，得x1＝－m＋. 例1　用直接开平方法解一元二次方程： (1)9x2＝1；(2)(x－2)2＝2； 解　 (1)由9x2＝1，得x2＝， 直接开平方，得x＝±， ∴x1＝，x2＝－. (2)(x－2)2＝2， 直接开平方，得x－2＝±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. 例1　用直接开平方法解一元二次方程： (3)(x＋3)2＝5. 解　(x＋3)2＝5， 直接开平方，得x＋3＝±， x＝±－3， ∴x1＝－3，x2＝－－3. 反思感悟 用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，实质上是通过直接开平方，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 跟踪训练1　利用直接开平方法解下列方程： (1)2x2＝12；(2)x2－900＝0； 解　(1)2x2＝12，x2＝6， 直接开平方，得x＝±， ∴x1＝，x2＝－. (2)x2－900＝0， 移项，得x2＝900， 直接开平方，得x＝±30， ∴x1＝30，x2＝－30. 跟踪训练1　利用直接开平方法解下列方程： (3)(2x－1)2＝(－1)2. 解　(2x－1)2＝(－1)2，直接开平方， 得2x－1＝±(－1)， ∴x1＝，x2＝. 二、 直接开平方法的应用 例2　解关于x的方程：ax2＋1＝2(a≠0). 解　ax2＋1＝2， ax2＝1， x2＝， 当a>0时，x＝±＝±， 当a<0时，方程无实数根. 跟踪训练2　解方程：100(1－x)2＝81. (1)你选用的解法是　　　　； (2)直接写出该方程的解是　　　　； (3)请你结合生活经验，设计一个问题，使它能利用建立方程模型“100(1－x)2＝81”来解决. 解　(1)我选用的解法是直接开平方法. (2)100(1－x)2＝81， (1－x)2＝0.81， 1－x＝±0.9， 1－x＝0.9或1－x＝－0.9， x1＝0.1，x2＝1.9. (3)我设计的问题是某种药品的原价是100元，经过两次降价后的价格是81元，那么平均每次降价的百分率是多少？ 课堂小结 1.下列解方程的过程中，正确的是 A.x2＝－2，解方程，得x＝± B.(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4 C.4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝，x2＝ D.(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4 课堂练习 √ 2.填空： (1)方程x2＝0.25的根是　　　　　　　 　； (2)方程2x2＝18的根是　　　　　　　 ； (3)方程(2x－1)2＝9的根是　　　　　 　　. x1＝0.5，x2＝－0.5 x1＝3，x2＝－3 x1＝2，x2＝－1 课堂练习 3.解下列方程： (1)2x2＝50； 解　∵2x2＝50，x2＝25， ∴x1＝5，x2＝－5. 课堂练习 3.解下列方程： (2)(x＋3)2＝49； 解　∵(x＋3)2＝49，x＋3＝±7， ∴x1＝4，x2＝－10. 课堂练习 3.解下列方程： (3)x2＋4x＋4＝3. 解　∵x2＋4x＋4＝(x＋2)2＝3， ∴x＋2＝±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. 课堂练习 4.解关于x的方程：b2x2－2＝2－x2. 解　b2x2－2＝2－x2，b2x2＋x2＝4，(b2＋1)x2＝4， ∴x2＝， ∴x＝±， ∴x1＝， x2＝－. 课堂练习 谢谢观看 $