17.2　一元二次方程的解法第2课时（教学课件）-2025--2026学年沪科版八年级数学下册

　17.2　一元二次方程的解法 第2课时　配方法 初中数学沪科版（2024）八年级下册 第17章　一元二次方程及其应用 学习目标 1.理解配方法的概念，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤，能熟练运用配方法求解一元二次方程.(重点) 2.理解配方法的推导过程，体会转化思想在解方程中的应用，提升逻辑推理能力.(难点) 课堂引入 还记得完全平方公式吗？填一填： (1)①a2＋2ab＋b2＝(　　　　)2；  ②a2－2ab＋b2＝(　　　　)2；  (2)①x2－2x＋　　　　＝(x－　　　　)2；  ②x2＋6x＋　　　　＝(x＋　　　　)2.  一、 配方法解一元二次方程 问题　解下列方程： (1)x2＝16； 提示　x2＝16，由平方根的定义，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4. (2)x2＋8x＋16＝9； 提示　x2＋8x＋16＝9，左边是完全平方式，即 (x＋4)2＝9 ， 由平方根的定义，得 x＋4＝±3， 所以x＋4＝3或x＋4＝－3， 解得x1＝－1，x2＝－7. (3)x2－2x－3＝0. 提示　x2－2x－3＝0，移项得x2－2x＝3， 两边加一次项系数一半的平方，即(－2÷2)2＝1， 得x2－2x＋1＝3＋1，即 (x－1)2＝4， 直接开平方，得 x－1＝±2， 所以x－1＝2 或 x－1＝－2， 解得x1＝3，x2＝－1. 知识梳理 1.通过配成 来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2.用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的一般步骤： 一移 移项(把常数项移到方程的右边) 二化 把二次项系数化为1(方程两边同时除以二次项系数) 三配 配方(方程两边都加上一次项系数一半的平方) 四开 开平方(根据平方根的定义，方程两边开平方) 五解 求解(解一元一次方程) 完全平方形式 例1　(课本P25例2)用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； 解　移项，得x2－4x＝1. 配方，得x2－2×x×2＋4＝1＋4. 则(x－2)2＝5. 开平方，得x－2＝±. 所以原方程的根是x1＝2＋，x2＝2－. 例1　(课本P25例2)用配方法解下列方程： (2)2x2－3x－1＝0. 解　先把x2的系数变为1，即把原方程的两边同除以2，得x2－x－＝0， 移项，得x2－x＝， 配方，得x2－x＋， 即， 开平方，得x－＝±， 所以x1＝，x2＝. 反思感悟 配方法的核心是“配方”，即通过添加一次项系数一半的平方，将一元二次方程的左边转化为完全平方式.配方时需注意等式两边同时操作，保证方程的等价性. 跟踪训练1　(1)小丽同学解方程8x2－x－2＝0的简要步骤如下： 解：8x2－x－2＝0， 第一步：两边同除以8，得x2－x－＝0，第二步：移项，得x2－x＝， 第三步：配方，得，第四步：开平方，得x－＝±， 第五步：移项，得x1＝，x2＝， 上述过程，发生第一次错误是在第　　　　步，改正这一步，并将之后的过程完整写出来.  解　发生第一次错误是在第三步，改正如下： 第三步：配方，得， 第四步：开平方，得x－＝±， 第五步：移项，得x1＝，x2＝. (2)用配方法解方程： ①x2＋2x＋2＝8x＋4； 解　x2＋2x＋2＝8x＋4， x2＋2x－8x＝－2＋4， x2－6x＝2， 配方得x2－6x＋9＝2＋9， (x－3)2＝11， 开方得x－3＝±， 解得x1＝3＋，x2＝3－. (2)用配方法解方程： ②3x2＝5x＋2. 解　3x2＝5x＋2， x2－x＋， ， 开方得x－＝±， 解得x1＝2，x2＝－. 二、 配方法的应用 例2　阅读材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0，求m，n的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0， ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)＝0， ∴(m－n)2＋(n－2)2＝0， ∴(m－n)2＝0，(n－2)2＝0， ∴n＝2，m＝2. (1)a2＋b2－6a＋9＝0，则a＝　　　　　，b＝　　　　；  解　由a2＋b2－6a＋9＝0， 得(a－3)2＋b2＝0， ∵(a－3)2≥0，b2≥0， ∴a－3＝0，b＝0， ∴a＝3，b＝0. 例2　阅读材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0，求m，n的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0， ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)＝0， ∴(m－n)2＋(n－2)2＝0， ∴(m－n)2＝0，(n－2)2＝0， ∴n＝2，m＝2. (2)已知x2＋2y2－2xy－8y＋16＝0，求x·y的值； 解　由x2＋2y2－2xy－8y＋16＝0， 得(x－y)2＋(y－4)2＝0， ∴x－y＝0，y－4＝0， ∴x＝y＝4， ∴x·y＝16. 例2　阅读材料：若m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0，求m，n的值. 解：∵m2－2mn＋2n2－4n＋4＝0， ∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－4n＋4)＝0， ∴(m－n)2＋(n－2)2＝0， ∴(m－n)2＝0，(n－2)2＝0， ∴n＝2，m＝2. (3)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a＋b＝8，ab－c2＋10c＝41，求△ABC的周长. 解　∵a＋b＝8，∴b＝8－a， ∵ab－c2＋10c＝41， ∴a2－8a＋16＋c2－10c＋25＝0， ∴(a－4)2＋(c－5)2＝0，∴a－4＝0，c－5＝0， ∴a＝4，c＝5，∴b＝4， ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋4＋5＝13. 跟踪训练2　试用配方法说明2x2－4x＋5的值不小于3. 解　2x2－4x＋5＝2 ＝2(x－1)2＋3， ∵无论x取何值，(x－1)2≥0， ∴2(x－1)2＋3≥3， 即2x2－4x＋5的值不小于3. 课堂小结 1.用配方法解方程x2－x－1＝0时，配方结果正确的是 A.(x－1)2＝2 B. C.＝1 D. 课堂练习 √ 解析　x2－x－1＝0，移项得x2－x＝1， 配方得x2－x＋＝1＋， . 2.已知方程x2－6x＋q＝0可以配方成(x－p)2＝7的形式，那么p＋q的值为 A.5 B.－1 C.2 D.1 √ 解析　∵x2－6x＋q＝0， ∴x2－6x＝－q， 则x2－6x＋9＝9－q，即(x－3)2＝9－q， 根据题意知p＝3，9－q＝7，即q＝2， ∴p＋q＝3＋2＝5. 课堂练习 3.填空，将左边的多项式配成完全平方式： (1)x2＋x＋　　　＝(x＋　　　)2；  解析　x2＋x＋＝x2＋x＋. 课堂练习 3.填空，将左边的多项式配成完全平方式： (2)4x2－6x＋　　　　＝4(x－　　　　)2＝(2x－　　　　)2.  解析　4x2－6x＋＝4 ＝4. 课堂练习 4.按照指定方法解下列方程： (1)(2x－1)2＝9(用直接开平方法)； 解　(2x－1)2＝9， 开方，得2x－1＝±3， 即2x－1＝3或2x－1＝－3， ∴x1＝2，x2＝－1. 课堂练习 4.按照指定方法解下列方程： (2)x2－6x＋2＝0(用配方法). 解　x2－6x＋2＝0， 移项，得x2－6x＝－2， 配方，得x2－6x＋9＝－2＋9， 即(x－3)2＝7， 开方，得x－3＝±， ∴x1＝3＋，x2＝3－. 课堂练习 谢谢观看 $