17.2　一元二次方程的解法第4课时（教学课件）-2025--2026学年沪科版八年级数学下册

　17.2　一元二次方程的解法 第4课时　因式分解法 第17章　一元二次方程及其应用 初中数学沪科版（2024）八年级下册 学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.(重点) 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.(难点) 情境引入 小明家的矩形花园长比宽多2 m，面积为15 m2，设宽为x m，则长为(x＋2)m，可得方程x(x＋2)＝15，即x2＋2x－15＝0.如何快速求解这个方程呢？ 一、 因式分解法的原理 问题　解方程x2＝9，除了用直接开平方法求解外，还可以把它变形为x2－9＝0，将方程左边分解因式，得(x＋3)(x－3)＝0.根据“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0”. 提示　由题意得x＋3＝0或x－3＝0，解得x1＝3，x2＝－3. 知识梳理 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若能将其左边分解为两个一次因式的乘积，即(x－m)(x－n)＝0，根据“如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0”，可得x－m＝0或x－n＝0.这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个 来求解的方法叫作因式分解法. 一元一次方程 例1　(1)(课本P29例5)解方程：x2－2x＝0； 解　提取公因式，得x(x－2)＝0. 因此，有x＝0或x－2＝0. 所以原方程的根是x1＝0，x2＝2. (2)(课本P29例6)解方程：(x＋4)(x－1)＝6； 解　将原方程化为一般形式， 得x2＋3x－10＝0. 把方程左边分解因式，得(x＋5)(x－2)＝0. 因此，有x＋5＝0或x－2＝0. 所以原方程的根是x1＝－5，x2＝2. (3)(课本P29例7)解方程：x2＝x. 解　移项、提取公因式，得x(x－1)＝0. 因此，有x＝0或x－1＝0. 所以原方程的根是x1＝0，x2＝1. 反思感悟 因式分解法的一般步骤： (1)移项：将方程化为右边为0的形式，即ax2＋bx＋c＝0； (2)因式分解：将左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； (3)降次求解：令每个一次因式等于0，解两个一元一次方程，得到原方程的解. 跟踪训练1　用因式分解法解下列方程： (1)x2－9＝4(x－3)； 解　x2－9＝4(x－3)， (x＋3)(x－3)－4(x－3)＝0， (x－3)(x＋3－4)＝0， (x－3)(x－1)＝0， ∴x－3＝0或x－1＝0， ∴x1＝3，x2＝1. 跟踪训练1　用因式分解法解下列方程： (2)(x＋8)(x＋1)＝－12. 解　(x＋8)(x＋1)＝－12， 由原方程，得x2＋9x＋8＝－12， 即(x＋4)(x＋5)＝0， ∴x＋4＝0或x＋5＝0， ∴x1＝－4，x2＝－5. 二、 用适当的方法解一元二次方程 例2　解下列方程： (1)3(2x－1)2－12＝0； 解　3(2x－1)2－12＝0， 移项，得 3(2x－1)2＝12， 两边都除以3，得(2x－1)2＝4， 两边开平方，得2x－1＝±2， 移项，得2x＝1±2， 解得x1＝，x2＝－. 例2　解下列方程： (2)2x2－4x－7＝0； 解　2x2－4x－7＝0， 两边都除以2，得x2－2x－＝0， 移项，得x2－2x＝， 配方，得x2－2x＋1＝，即(x－1)2＝， 解得x－1＝±， 即x1＝1＋，x2＝1－. 例2　解下列方程： (3)x2＋x－1＝0； 解　x2＋x－1＝0， a＝1，b＝1，c＝－1， ∵b2－4ac＝12－4×1×(－1)＝5>0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝. 例2　解下列方程： (4)(2x－1)2－x2＝0. 解　(2x－1)2－x2＝0， 方程左边因式分解，得(2x－1＋x)(2x－1－x)＝0， 即(3x－1)(x－1)＝0， ∴3x－1＝0或x－1＝0， 解得x1＝，x2＝1. 反思感悟 解法 适合类型 直接开平方法 (x±m)2＝n 配方法 x2＋px＋q＝0 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 因式分解法 方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积 跟踪训练2　(1)解方程(x＋1)2＝2最适当的方法是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 √ (2)解下列方程： ①2x2－18＝0；②(x＋2)2＝2x＋4. 解　①方程化为x2＝9， ∴x＝±3， ∴x1＝3，x2＝－3. ②(x＋2)2＝2x＋4， (x＋2)2－2(x＋2)＝0， (x＋2)(x＋2－2)＝0， ∴x＋2＝0或x＋2－2＝0， ∴x1＝－2，x2＝0. 课堂小结 1.方程x2＝4x的解是 A.x＝0 B.x1＝4，x2＝0 C.x＝4 D.x＝2 课堂练习 √ 解析　 x2＝4x，x2－4x＝0，x(x－4)＝0， ∴x－4＝0，x＝0， ∴x1＝4，x2＝0. 2.方程(x－2)(x＋3)＝6的根是 A.x1＝2，x2＝－3 B.x1＝－2，x2＝3 C.x1＝－4，x2＝3 D.x1＝4，x2＝－3 √ 解析　原方程可化为x2＋x－12＝0， (x＋4)(x－3)＝0， ∴x＋4＝0或x－3＝0， ∴x1＝－4，x2＝3. 课堂练习 3.已知等腰三角形的底和腰是方程x2－8x＋15＝0的两个根，则该三角形的周长是　　　　.  11或13 解析　∵x2－8x＋15＝0，即(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝3，x2＝5. ∵3＋3＝6>5，∴当底边为5，腰为3时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是3＋3＋5＝11； ∵3＋5＝8>5， ∴当底边为3，腰为5时，此时能组成三角形， ∴该三角形的周长是3＋5＋5＝13. 综上所述，该三角形的周长是11或13. 课堂练习 4.解关于x或y的方程： (1)x2－x－12＝0； 解　x2－x－12＝0， (x－4)(x＋3)＝0， 解得x1＝4，x2＝－3. 课堂练习 4.解关于x或y的方程： (2)2y(2＋y)＝－(y＋2). 解　2y(2＋y)＝－(y＋2)， 移项得2y(2＋y)＋(y＋2)＝0， (2y＋1)(2＋y)＝0， ∴2y＋1＝0或2＋y＝0， 解得y1＝－，y2＝－2. 课堂练习 谢谢观看 $