精品解析：贵州省安顺市关岭布依族苗族自治县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，掌握分式的关键特征是解题关键． 根据分式的定义：分母中含有字母的式子称为分式，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵分式需分母中含有字母， 选项：是整式，分母无字母； 选项：是整式，分母无字母； 选项：分母含字母，是分式； 选项：分母是数字，无字母，是整式． ∴是分式的选项是． 故选：． 2. 下面是贵州省人民政府网关于政务服务的个图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的判定条件是解题关键． 轴对称图形是在平面内，沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此对选项进行判断． 【详解】解：、找不到对称轴，不是轴对称图形； 、右侧线条有缺口，图形左右不对称，不是轴对称图形； 、图形左右不对称，不是轴对称图形； 、沿竖直中线折叠后，左右两边能完全重合，是轴对称图形． 故选：． 3. 柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握科学记数法的定义与表示规则是解题关键． 科学记数法要求将数字表示为的形式，其中，为整数，据此对选项进行判断即可． 【详解】解：科学记数法形式为，其中，为整数， 对于，小数点需向右移动位得到，则，， 故． 故选：． 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，准确匹配对应角是解题关键． 根据，可得，，代入计算即可． 【详解】解：，，， ，， ． 故选：． 5. 如图是贵州省境内的鸭池河大桥，其拉索、主梁和塔柱形成三角形结构，这样设计是利用了（ ） A. 三角形三条中线的交点是重心 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形三线合一 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：这样设计是利用了三角形的稳定性， 故选：D． 6. 如图，在中，为中线，则与的周长之差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的定义．根据三角形中线的定义，可得，进而计算与的周长即可求得答案． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为 ． 故选： B ． 7. 若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的值为的条件，注意分子为，但分母不能为是解题关键． 分式的值为，需满足分子为且分母不为，据此进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴分子且分母， 即应建立的式子是且． 故选：． 8. 如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定条件是解题关键． 由中点得两组对应边相等，由对顶角相等得到一组对应角相等，根据判定定理证出． 【详解】解：为两根木条的中点， ，， ， 在与中， ， ． 故选：． 9. 如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A. 3 B. 6 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为．   故选：B ． 10. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每分钟进站旅客的人数是人，根据300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程． 【详解】解：设原来平均每分钟进站旅客的人数是人． 根据题意，得， 故选：A． 11. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握尺规作图的识别方法是解题关键． 先从图中的作图痕迹判断出是的垂直平分线，是的角平分线，再结合垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质，对每个结论逐一验证． 【详解】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线． 垂直平分， ，，， ①、②、④正确， 平分， ， ， ， ． ③正确． 个结论全部正确． 故选：． 12. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，代数式的恒等变形与大小比较，掌握完全平方公式，平方差公式特征是解题关键． 通过完全平方公式和平方差公式，将和的表达式变形，然后比较两者关系． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查长方形的面积公式，多项式除以单项式的运算法则，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键． 根据长方形面积公式，宽等于面积除以长，将多项式除以单项式即可求解． 【详解】解：长方形的面积为，长为， 长方形的宽为． 故答案为：． 16. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 【答案】62 【解析】 【分析】本题考查了含30度角的直角直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度角的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点作于点，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ，， ，， 两机箱之间的最大宽度为． 故答案为：62． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查幂的运算，整式的混合运算，合并同类项，正确运用幂的运算法则是解题关键． （1）先根据同底数幂的乘法法则计算得到，再根据同底数幂的除法法则计算得到，最后合并同类项； （2）先利用单项式乘多项式法则展开，再利用平方差公式展开，然后合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，是的角平分线． （1）若，，则边的长度的取值范围是 ； （2）若，，求和的度数． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质是解题关键． （1）根据三角形三边关系，直接代入、，即可得到的取值范围； （2）先利用三角形外角性质求出，再通过角平分线定义得到，最后根据三角形内角和定理算出． 【小问1详解】 解：根据三角形三边关系，在中，， ，， ，即． 答：． 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ， ． 答：，． 19. 如图，在四边形中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定、平行线的性质的运用，解题的关键是利用平行线的性质求出，然后由全等三角形的判定方法证明． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． （1）作出； （2）若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图即为． （2） 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征，轴对称图形的作图，坐标变换的应用，掌握坐标变换规律是解题关键． （1）先求出各顶点关于轴对称的点的坐标，再依次连接这些对称点，即可作出； （2）根据关于轴对称的点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标取相反数，直接得出​的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：关于轴对称的点的坐标规律是：纵坐标不变，横坐标变为相反数， 已知点，它关于轴对称的点的坐标为：． 答：． 21. 先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，（当时） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，因式分解，分式有意义的条件，正确进行因式分解是解题关键．先对括号内分式通分合并，将除法转化为乘法并对所有分子分母因式分解后约分，再与后面的分式合并化简，最后选择合适的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 根据题意可知，要使原分式有意义，则，且， 故令，． 22. 如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． （1）求证：为等腰三角形； （2）过点D作于点M，若，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】（1） 解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． （1）由题意可知，每支中性笔的价格为元．根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解； （2）由题意可知，每支中性笔的价格为元，根据题意列出分式方程，解分式方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ． （2）请利用图所得的恒等式，解决问题： ①若，，求的值； ②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何验证与代数变形，代数式的化简与求值，掌握方程思想是解题关键． （1）通过计算大正方形的面积，将其分别表示为边长的平方以及个长方形和个小正方形的面积之和，从而验证完全平方公式； （2）①利用完全平方公式的变形，代入已知条件和 ，直接计算得出；②设两个正方形的边长分别为、，通过计算阴影面积得到，结合的面积求出，进而得到，再通过完全平方公式求出． 【小问1详解】 解：大正方形边长为， 大正方形面积可表示为， 个长方形的长、宽分别为、，小正方形的边长为， 大正方形面积可表示为， ． 答：． 【小问2详解】 ①解：已知，， ， ， ． 答：． ②解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 阴影部分的面积之和为， ， ， 的面积为， ， ， ， ， ， ， 故． 答：． 25. 如图，，与相交于点E，． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，过点B作交的延长线于点F，若； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ，， 在的垂直平分上，， ， 在的垂直平分上， 垂直平分； （2） ①证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1），， ， ， ， ， ， ，即， 则， ， ， 是等边三角形； ②为最小值时，与的数量关系是，理由： 延长至，使， ， 与关于成轴对称，过作于交于，连接， ， ，此时为最小， 由①知：，即， 即， 在中，， ， 为最小值时，与的数量关系是． 【解析】 【分析】（1）根据，可得，再由证明，则，利用中垂线的判定定理即可证明； （2）①设，根据可得，由于，可得，根据是的外角，则，由于，所以，从而，进而，结论得证； ②延长至，使，可得与关于成轴对称，过作于交于，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末教学质量监测 八年级数学 （试卷总分：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5.考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面是贵州省人民政府网关于政务服务的个图标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 柔性玻璃通常是一种厚度介于的超薄玻璃．我国已成功生产出用于高端折叠屏手机的超薄柔性玻璃，其厚度约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是贵州省境内的鸭池河大桥，其拉索、主梁和塔柱形成三角形结构，这样设计是利用了（ ） A. 三角形三条中线的交点是重心 B. 两点之间，线段最短 C. 等腰三角形三线合一 D. 三角形的稳定性 6. 如图，在中，为中线，则与的周长之差为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 若分式的值为，则求的值时应建立的式子是（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 如图是某博物馆中的铺首纹青釉点彩盘口壶，其示意图如图所示，为了测量其底部内径的长，考古学家将两根细木条的中点固定在一起，则有，因此量出的，两点之间的距离即为的长，其中判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A. 3 B. 6 C. 6 D. 7 10. 根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“、”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是人．列出方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 12. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 分解因式：______． 14. 如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 15. 一个长方形的面积为，若它的长为，则它的宽为________． 16. 如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，是的角平分线． （1）若，，则边的长度的取值范围是 ； （2）若，，求和的度数． 19. 如图，在四边形中，，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．已知与关于轴对称． （1）作出； （2）若内有一点的坐标为，则内与点关于轴对称的点的坐标是 ． 21. 先化简：再从，，中选一个合适的数作为的值代入求值． 22. 如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． （1）求证：为等腰三角形； （2）过点D作于点M，若，求的长． 23. 嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． （1）请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． （2）嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 24. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图是由个长、宽分别为，的长方形和个边长为的正方形拼成的一个大正方形，利用这个图形可以验证一个恒等式，这个恒等式是 ． （2）请利用图所得的恒等式，解决问题： ①若，，求的值； ②如图，点在线段上，四边形，都是正方形，连接，，．若阴影部分的面积之和为，的面积为，求的长． 25. 如图，，与相交于点E，． （1）求证：AC垂直平分BD； （2）如图2，过点B作交的延长线于点F，若； ①求证：是等边三角形； ②如果G、H分别是线段、线段上的动点，当的值最小时，写出此时与的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $