山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末数学模拟卷5

山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第一册（第一至第三章）、选择性必修第二册（第四章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是 A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2 C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3 2．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 5．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 6．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 7．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 8.已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点， 满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知直线和圆，则（    ） A．若直线和圆相切，则 B．若直线被圆所截得弦长为2，则 C．若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D．若，圆上存在四个点到直线的距离为1 11．记数列的前项和为，，，当时，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的通项 ． 13．如图，在三棱锥中，，则 ． 14．已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 16（15分）．已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 17（15分）．如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. (1)求证：； (2)若为棱上一点，满足，求二面角的正弦值. 18（17分）.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2， 且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于两点，求证: . 19（17分）．已知椭圆：的离心率为，且在椭圆上，直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)求直线l的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二上学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第一册（第一至第三章）、选择性必修第二册（第四章） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是 A．－3＜m＜0 B．－3＜m＜2 C．－3＜m＜4 D．－1＜m＜3 【答案】A 【详解】由题意知，，则C，D均不正确，而B为充要条件，不合题意， 故选A. 2．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【详解】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 3．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足，所以数列的通项公式为. 故选：C 4．在平面直角坐标系中，已知点，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，分析的几何意义，将问题转化为“单位圆上的点到点的距离的最大值” ，由此可求解出结果. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1， 设圆上的点，则， 所以， 则， 上式表示圆上的点P到的距离的倍， P到的距离的最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 5．已知的三个顶点分别是，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意得，，再根据点到直线的距离的向量公式即可求解. 【详解】点A的位置向量, ,所以直线BC的单位方向向量. 则点到直线的距离. 故选：A. 6．已知等差数列 和 的前 项和分别为 、 ，若 ，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得. 【详解】依题意得. 故选：A 7．已知等边三角形的一个顶点是抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】假设等边三角形的边长，然后利用抛物线的定义进行计算即可. 【详解】由题可知：抛物线的焦点为，准线方程为， 假设等边三角形的边长为，如图： 由于，根据抛物线关于轴对称可知：与也关于轴对称，且满足垂直于轴. 设，所以，即， 又或， 得：或，解得：或. 故选：A 8.已知椭圆的左、右焦点分别是，其中．椭圆上存在一点， 满足，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出点，然后由向量数量积得到的轨迹，应用在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心率即可. 【详解】设点，则， 即，所以点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为点在椭圆上，所以圆与椭圆有交点， 根据对称性可知，即，则，则 则，, 即椭圆离心率， 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知平面，的一个法向量分别为，，直线的一个方向向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明逐项分析计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，即，A正确； 对于B，由，得，则，，即，解得，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C错误； 对于D，由，得，则，，即，，解得，D正确. 故选：ABD 10．已知直线和圆，则（    ） A．若直线和圆相切，则 B．若直线被圆所截得弦长为2，则 C．若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则 D．若，圆上存在四个点到直线的距离为1 【答案】ACD 【分析】根据圆心到直线的距离，结合相切即可求解A，根据弦长公式即可求解B，根据圆的几何性质即可求解CD. 【详解】圆，所以圆心，半径为，则圆心到直线的距离． 对A，若直线和圆相切，则，所以，所以A正确； 对B，若直线被圆所截得弦长为2，则，所以，所以B错误； 对C，若圆上的点到直线的距离的最小值为1，则直线与圆相离，所以，所以，所以C正确； 对D，若上存在四个点到直线的距离为1，则有，即，所以选项D正确． 故选:ACD． 11．记数列的前项和为，，，当时，，则（    ） A．数列是等比数列 B． C．数列是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】根据已知及的关系得到，结合等比数列的定义判断A，进而得到，再依次判断B、C，再由，应用等比数列的前n项和求和，结合单调性判断D. 【详解】因为，则， 所以，则，又满足上式， 所以数列是等比数列，数列不是等比数列，A错； 所以，，所以，B对； 所以，数列是以4为首项，2为公差的等差数列，C对； 因为，数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 因为函数为增函数，所以，D对. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则的通项 ． 【答案】 【分析】设等比数列公比，由等差中项建立方程，解得公比即可求得通项公式. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴， ∵，∴，即， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：. 13．如图，在三棱锥中，，则 ． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为，所以， 则．即 所以，即． 故答案为： 14．已知为坐标原点，过双曲线的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，过作轴的垂线，垂足为，若为的中点，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线焦点到渐近线距离为，再利用等腰三角形性质可知，可得离心率为. 【详解】依题意可知，不妨取渐近线为，如下图所示：    可知，又垂直于轴，且在渐近线上，所以； 因此，即，可得； 即离心率为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知数列的首项，且． (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. 16．已知圆与直线相切于点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设直线与圆相交于两点，是坐标原点.求的面积最大值，并求取得最大值时直线的方程. 【分析】（1）根据圆心在直线上可设圆心为，结合圆与直线相切于点可得，再利用圆心到直线的距离等于半径，求解方程组即可；（2）根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合得到的弦长，然后得到的面积有关式子，配方后利用二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）依题意，设圆心为，半径为， 因为圆与直线相切于点，所以， 解得，所以圆心为； 所以圆的方程为：. （2）方法1：    因为直线，即，所以圆心到直线的距离为， 所以； 所以的面积为； 易知，即，解得且； 设，则，即，所以； 所以当，即时，的面积取得最大值； 此时，直线，即或. 方法2：      依题意，的面积为，当，即时等号成立； 此时，为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为；所以，解得， 所以直线，即或； 综上，的面积的最大值为，取得最大值时直线的方程为或. 17．如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点. (1)求证：； (2)若为棱上一点，满足，求二面角的正弦值. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积为零证明线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，通过两个法向量夹角余弦求二面角的余弦值. 【详解】（1）依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，，，，， 由E为棱PC的中点，得， 所以，， 故，所以. （2）由（1）知，，，， 由点F在棱PC上，设， 故， 由，得，解得，即. 设为平面FAB的法向量， 则，令，则,可得， 易知向量为平面ABP的一个法向量， 则， 所以二面角的正弦值为. 18.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，焦点为，抛物线上一点的横坐标为2， 且. (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于两点，求证: . 【分析】(1)利用待定系数法设抛物线方程为，结合向量数量积的坐标运算可求解； (2)设直线方程，然后联立抛物线方程和直线方程，运用韦达定理，结合向量数量积的坐标运算来求解. 【详解】(1)由题设抛物线的方程为：， 则点的坐标为，点的一个坐标为， ，， 整理得，解得， 所以抛物线的方程为. (2)设两点坐标分别为，， 因为直线当的斜率不为0，设直线当的方程为 联立，整理得，由韦达定理得 因为 所以 ， 所以. 19．已知椭圆：的离心率为，且在椭圆上，直线与椭圆在第一象限交于，两点，与轴，轴分别交于，两点，且，. (1)求椭圆C的方程； (2)求直线l的方程. 【分析】（1）根据离心率、点在椭圆上建立方程组，结合求出、、值，即可得到椭圆的标准方程. （2）取中点，利用点差法得到的值，结合直线的点斜式方程（解法一）或截距式方程（解法二）及求解即可. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以. 又在椭圆上，所以. 又，联立解得，，所以. 所以椭圆方程为：. （2）解法一：设的中点为，因为，所以.      设，，则，， 两式相减得，即 所以即. 设直线：，，， 令得，令，得，即，， 所以，即，解得或（舍去）. 又，即，解得或（舍去）， 所以直线：，即. 解法二：，，设的中点为，则， 设，，则，， 两式相减得，即 所以即 所以. 由，得，两式联立解得，， 所以直线方程为，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $