四川省成都市青羊区石室联中2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷（一）

2025-2026学年四川省成都市青羊区石室联中九年级(上)期末数学模拟试卷(一) 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2.(4分)目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米,居世界前列在5G时代赢得了一席地,已知1纳米=0.00&nbsp;000&nbsp;0001米( ) A.0.7 10﹣8米 B.7 10﹣9米 C.0.7 10﹣10米 D.7 10﹣10米 3.(4分)关于x的不等式组的解集为﹣1<x<2,则a﹣b的值为( ) A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1 4.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,DE,AC与DE相交于点F,若,则=( ) A. B. C. D. 5.(4分)下列说法正确的是( ) A.有一组邻角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 6.(4分)若分式的值为0,则x的值是( ) A.0 B.1 C.1或0 D.0或﹣1 7.(4分)若点M(﹣10,m)、N(8,n)都在一次函数y=﹣3x+b的图象上( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.不能确定 8.(4分)如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( ) A.﹣≤k<1且k≠0 B.k<1且k≠0 C.﹣≤k<1 D.k<1 二、填空题(每小题4分,共20分) 9.(4分)若,则= . 10.(4分)如图,点A是反比例函数的图象上一点,C,D在x轴上,AD∥BC . 11.(4分)一个直四棱柱的三视图如图所示,俯视图是一个菱形,则这个直四棱柱的体积 cm3. 12.(4分)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+1与双曲线y2=交于A(﹣2,3)、B(m,﹣2),则关于x的不等式k1x+1的解集为 . 13.(4分)如图,EB为驾驶员的盲区,驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米,且满3FD=2FA,盲区EB的长度是6米 米. 三、解答题(共48分) 14.(15分)计算题: (1)解不等式组; (2)解方程:3x(1﹣x)=2x﹣2; (3)解方程. 15.(6分)在平面直角坐标系中, ABC的三个顶点坐标分别为A(1,﹣2),B(2,﹣1),C(4,﹣3). (1)画出 ABC关于x轴对称的 A1B1C1; (2)以点O为位似中心,在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2,使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为2:1; (3)设点P(a,b)为 ABC内一点,则依上述两次变换后点P在 A2B2C2内的对应点P2的坐标是 . 16.(8分)如图,小红正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=4m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD=5m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角 (1)求BC的长; (2)求灯泡到地面的高度AG. 17.(9分)如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,过点O作OE⊥AC,交AB于点E,与BO的延长线交于点D,连接CD、DE. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若BC=6,∠BAC=30 ,求DE的长. 18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+m的图象分别与x轴、y轴相交于点A(3,0),B的图象相交于点C,D,连接OC (1)求一次函数的表达式及AB的长; (2)若S AOB=3S AOD,求 COD的面积; (3)过点C作直线l1⊥AB,过点O作l2⊥OD,直线l1交y轴的正半轴于点P,交直线l2于点M.试探究是否存在点M,使得∠POM+∠PCO=90 .若存在,求出k的值,请说明理由. 四、填空题(每小题4分,共20分) 19.(4分)已知a=7﹣3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 . 20.(4分)如图,在Rt ACB中,∠ACB=90 AC,以点B为圆心,交AB于点D,再以点A为圆心,交AC于点E,则= . 21.(4分)从2、3、4、5四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则a、c的取值使得关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c=0有实数解的概率为 . 22.(4分)如图,直线l1:y=交反比例函数y=(x>0)的图象于点A,将直线l1向下平移个单位后得到直线l2,l2交反比例函数y=(x>0)的图象于点C.若 ABC的面积为,则k的值为 . 23.(4分)如图,正方形ABCD的边长为,动点E,C同时出发,都以0.5cm/s的速度分别沿AB,D移动,当点E到达点B时,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为G,则AG的最小值为 cm. 五、解答题(共30分) 24.(8分)平安路上,多“盔”有你,在“交通安全宣传月”期间,进价为每顶40元,售价为每顶68元,每顶售价不高于58元,经调查发现:每降价2元,平均每周的销售量为y顶. (1)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是 ; (2)若售价为每顶50元,求每周的销售利润; (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润,则每顶头盔应降价多少? 25.(10分)【定义】在 ABC内有一点P,连结PA,PB, ABP, BCP中,则称点P为 ABC的相似心. 【应用】 (1)如图1,在5 5的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点P为 ABC内一点,请判断点P是否为 ABC的相似心P.若是;若不是,请说明理由. (2)如图2,在平面直角坐标系中,点A与点B分别为x轴负半轴,连结AB,设 OAB的外角平分线AM,延长MB,MA分别交x轴于点G,连结GH. ①∠BMA的度数是 . ②求证:点O为 MHG的相似心. (3)如图3,在(2)的条件下,若点M在反比例函数,G(2,0),若点E为 OHG的相似心,连结OE 26.(12分)探究完成以下问题. 【初步认识】如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,BD,过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E.可得到∠E=∠ACD. 【特例研究】(1)如图2,若四边形ABCD中,(1)中的其它条件不变,取BD,F,连接MF. ①求证:BE=2MF; ②N为EC的中点,连接MN,猜想MN与AE的位置关系 【拓展应用】 (2)如图3,在矩形ABCD中,对角线AC,E是射线BC上一动点,过点O作OF⊥OE交射线CD于点F,当,AB=6时,请直接写出CF的长. 一、选择题(每小题4分,共32分) 1.(4分)下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的定义:旋转180 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形;轴对称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,即可判断出答案. 【解答】解:A、此图形是轴对称图形,故此选项错误; B、此图形是中心对称图形,故此选项正确; C、此图形是中心对称图形,故此选项错误; D、此图形是中心对称图形,故此选项错误. 故选:B. 2.(4分)目前我国能制造芯片的最小工艺水平已经达到7纳米,居世界前列在5G时代赢得了一席地,已知1纳米=0.00&nbsp;000&nbsp;0001米( ) A.0.7 10﹣8米 B.7 10﹣9米 C.0.7 10﹣10米 D.7 10﹣10米 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a 10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:7纳米=0.000 000 007米=7 10﹣9米, 故选:B. 3.(4分)关于x的不等式组的解集为﹣1<x<2,则a﹣b的值为( ) A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1 【分析】首先计算出两个不等式的解集,再根据不等式的解集是﹣1<x<2,可得=﹣1,a=2,再解一元一次方程可得答案. 【解答】解:, 由①得:x<a, 由②得:x>, ∵关于x的不等式组的解集为﹣7<x<2, ∴=﹣1, 解得:a=2,b=6, 则a﹣b=2﹣3=﹣2, 故选:C. 4.(4分)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,DE,AC与DE相交于点F,若,则=( ) A. B. C. D. 【分析】利用 AFE∽ CFD,推出EF:DF=AE:CD=2:5,然后求解 SADF:SAFE. 【解答】解:∵ABCD是平行四边形, ∴AB=DC, ∵AE:EB=2:3, ∴AE:AB=AE:CD=8:5, ∵AE∥CD, ∴ AEF∽ CDF, ∴== ∵ ADF与 AFE的高相等, ∴S ADF:S AEF=DF:FE=5:2. 故选:C. 5.(4分)下列说法正确的是( ) A.有一组邻角相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D.有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】根据矩形、菱形及正方形的判定定理进行排除. 【解答】解:A、有一组邻角相等的平行四边形是矩形; B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形; C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形; D、有一组邻边相等的矩形是正方形; 故选:D. 6.(4分)若分式的值为0,则x的值是( ) A.0 B.1 C.1或0 D.0或﹣1 【分析】根据分式的值为0,分式的分子为0,分母不能为0即可求解. 【解答】解:根据题意得x2﹣x=0且x3﹣1≠0,, 解得x=6. 故选:A. 7.(4分)若点M(﹣10,m)、N(8,n)都在一次函数y=﹣3x+b的图象上( ) A.m>n B.m<n C.m=n D.不能确定 【分析】再根据一次函数的变化趋势即可判断m与n的大小. 【解答】解:∵﹣3<0, ∴该函数是y随着x的增大而减小. ∵3>﹣10, ∴m>n. 故选:A. 8.(4分)如果关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是( ) A.﹣≤k<1且k≠0 B.k<1且k≠0 C.﹣≤k<1 D.k<1 【分析】根据一元二次方程的定义和 的意义得到k≠0,3k+1≥0且 >0,即3k+1﹣4k>0,然后解不等式即可得到k的取值范围. 【解答】解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1=0有两个不相等的实数根, ∴k≠3,3k+1≥2且 >0, 解得:k≥﹣,k<1且k≠0. ∴k的取值范围为﹣≤k<1且k≠5. 故选:A. 二、填空题(每小题4分,共20分) 9.(4分)若,则= . 【分析】利用设k法来解答是解题的关键. 【解答】解:∵, ∴设a=7k,b=7k, ∴==, 故答案为:. 10.(4分)如图,点A是反比例函数的图象上一点,C,D在x轴上,AD∥BC 6 . 【分析】由于点A是反比例函数图象上一点,可以直接得到点A的坐标,由此可以计算出平行四边形的面积. 【解答】解:设A点坐标为(x,y), ∵点A在反比例函数的图象上, ∴A点坐标为,且B点坐标为, ∴AB=0﹣x=﹣x, ∴, 故答案为:6. 11.(4分)一个直四棱柱的三视图如图所示,俯视图是一个菱形,则这个直四棱柱的体积 48 cm3. 【分析】根据三视图得到底面是菱形,且对角线的长分别为3cm、4cm,由此利用四棱柱体积计算公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,该四棱柱的底面是一个菱形、4cm, ∴这个直四棱柱的体积为, 故答案为:48. 12.(4分)如图,在平面直角坐标系中,直线y1=k1x+1与双曲线y2=交于A(﹣2,3)、B(m,﹣2),则关于x的不等式k1x+1的解集为 0<x<3或x<﹣2 . 【分析】根据A点坐标得到反比例函数解析式,再由解析式得到点B的坐标,由A、B两点坐标和图象位置可写出不等式的解集. 【解答】解:∵A(﹣2,3)在双曲线, ∴k2=﹣2, 反比例函数解析式为:y2=﹣, ∵B(m,﹣7)在双曲线, ∴m=2,B(3. 由图象可知: 不等式的解集为:﹣2>x或5<x<3. 故答案为:﹣2>x或5<x<3. 13.(4分)如图,EB为驾驶员的盲区,驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米,且满3FD=2FA,盲区EB的长度是6米 米. 【分析】根据相似三角形的判定和性质以及3DF=2AF,设辅助未知数可求出答案. 【解答】解:如图,过点P作PM⊥BE于点M, ∵FA∥BE, ∴∠PAF=∠PBE,∠PFA=∠PEB, ∴ PAF∽ PBE, ∴=, 设DF=2k,则AF=3k, ∴=, 解得k=, ∴DF=,AF=, 故答案为:. 三、解答题(共48分) 14.(15分)计算题: (1)解不等式组; (2)解方程:3x(1﹣x)=2x﹣2; (3)解方程. 【分析】(1)分别求出不等式组中两个不等式的解集,即可得出不等式组的解集; (2)方程利用因式分解法求解即可; (3)方程两边同时乘以(x+2)(x﹣2),把分式方程化成整式方程,解整式方程检验后,即可得出分式方程的解. 【解答】解:(1), 解不等式①得x≥﹣1, 解不等式②得x<3, ∴不等式组的解集为﹣4≤x<3; (2)3x(5﹣x)=2x﹣2, 8x(1﹣x)=﹣2(5﹣x), 3x(1﹣x)+6(1﹣x)=0, (4x+2)(1﹣x)=3, 3x+2=6或1﹣x=0, 解得,x7=1; (3)方程两边同时乘以(x+2)(x﹣5)得16+(x+2)(x﹣2)=(7+x)(x+2), 解得x=2, 检验,当x=8时, ∴原分式方程无解. 15.(6分)在平面直角坐标系中, ABC的三个顶点坐标分别为A(1,﹣2),B(2,﹣1),C(4,﹣3). (1)画出 ABC关于x轴对称的 A1B1C1; (2)以点O为位似中心,在网格中画出 A1B1C1的位似图形 A2B2C2,使 A2B2C2与 A1B1C1的相似比为2:1; (3)设点P(a,b)为 ABC内一点,则依上述两次变换后点P在 A2B2C2内的对应点P2的坐标是 (2a,﹣2b) . 【分析】(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可; (2)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系,把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标,然后描点即可; (3)利用(2)中的坐标变换规律求解. 【解答】解:(1)如图, A1B1C4为所作; (2)如图, A2B2C5为所作; (3)点P的对应点P2的坐标是(2a,﹣7b). 故答案为(2a,﹣2b). 16.(8分)如图,小红正在使用手电筒进行物理光学实验,地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜.手电筒的灯泡位于点G处,恰好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处.点E到地面的高度ED=4m,灯泡到木板的水平距离AC=5.4m,墙到木板的水平距离为CD=5m.已知光在镜面反射中的入射角等于反射角 (1)求BC的长; (2)求灯泡到地面的高度AG. 【分析】(1)直接利用相似三角形的判定与性质得出BC的长; (2)根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长. 【解答】解:(1)FC∥DE, 则 BFC∽ BED, 则, 即, ∴BC=3; (2)∵AC=2.4m, ∴AB=5.8﹣3=2.5(m), ∵∠FBC=∠GBA, 又∵∠FCB=∠GAB, ∴ BGA∽ BFC, ∴, ∴, 解得:AG=8.2(m), 答:灯泡到地面的高度AG为1.3m. 17.(9分)如图,在 ABC中,∠ABC=90 ,过点O作OE⊥AC,交AB于点E,与BO的延长线交于点D,连接CD、DE. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若BC=6,∠BAC=30 ,求DE的长. 【分析】(1)根据题意证明 OAD≌ OCB得出AD=BC,结合AD∥BC,即可证明四边形ABCD是平行四边形,根据∠ABC=90 即可得证; (2)根据矩形的性质得出AD=BC=6,根据含30度角的直角三角形的性质得出AE=2OE,勾股定理求得OE,进而得出AE,再根据勾股定理求得DE,即可求解. 【解答】(1)证明:∵点O是AC的中点, ∴OA=OC, ∵AD∥BC, ∴∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO, 在 OAD与 OCB中, , ∴ OAD≌ OCB(AAS), ∴AD=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90 , ∴平行四边形ABCD是矩形; (2)解:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC=6, ∵∠ABC=90 ,∠BAC=30 , ∴AC=2BC=12, ∴OA=3, ∵OE⊥AC, ∴∠AOE=90 , ∵∠BAC=30 , ∴AE=2OE ∵AO2+OE4=AE2 ∴, ∴, ∴. 18.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+m的图象分别与x轴、y轴相交于点A(3,0),B的图象相交于点C,D,连接OC (1)求一次函数的表达式及AB的长; (2)若S AOB=3S AOD,求 COD的面积; (3)过点C作直线l1⊥AB,过点O作l2⊥OD,直线l1交y轴的正半轴于点P,交直线l2于点M.试探究是否存在点M,使得∠POM+∠PCO=90 .若存在,求出k的值,请说明理由. 【分析】(1)将点A坐标代入直线表达式可得m值,进而求出点B坐标,再利用勾股定理求出AB的长; (2)利用面积关系可得D(2,2),进而求出反比例函数解析式,再求出点C坐标,最后用 AOC的面积减去 AOD的面积即可得解; (3)连接MD,设MD与OB交于点E,利用圆的有关性质得到点O,M,C,D在以MD为直径的圆上,作出该圆,利用圆周角定理,直角三角形的性质和等腰三角形的判定与性质得到EO=EM=ED,则点E为圆心,即EO为半径,了医院的切线的判定定理和切割线定理得到OA2=AD•AC;利用函数的解析式求得D(,),C(,),利用点的坐标求得AD2•AC2=,则AD•AC=k=9,则结论可求. 【解答】解:(1)将点A(3,0)代入y=﹣2x+m, ∴直线AB表达式为y=﹣2x+6, 令x=2,得y=6, ∴B(0,3), ∵A(3,0), ∴OA=7, 在Rt AOB中,AB=; (2)∵S AOB=3S AOD, ∴OA•OB=3 D, ∴yD=OB=8, ∴xD=2, ∴D(2,2), 则k=2 2=5, ∴反比例函数解析式为y=, 联立, 解得(与点D重合, ∴C(6,4), ∴S COD=S AOC﹣S AOD=OA•(yC﹣yD)=2=3; (3)连接MD,设MD与OB交于点E, ∵l4⊥AB,l2⊥OD, ∴∠MOD=∠MCD=90 , ∴点O,M,C,D在以MD为直径的圆上,如上图, 则∠PCO=∠MDO,∠DMO=∠OCD, ∵∠POM+∠PCO=90 ,∠POM+∠POD=90 , ∴∠PCO=∠POD, ∴∠POD=∠MDO, ∴EO=ED, ∵∠POM+∠PCO=90 ,∠PCO+∠DCO=90 , ∴∠DCO=∠POM, ∴∠POM=∠DMO, ∴EM=EO, ∴EO=EM=ED, ∴点E为圆心,即EO为半径, ∵EO⊥OA, ∴OA为圆的切线, ∴OA2=AD•AC. ∵, ∴或, ∴D(,),C(,), ∴AD2==, =, ∴AD2•AC6=+++ =k7+k2+k2+3k2 =, ∴AD•AC=k, ∵A(7,0), ∴OA=3, ∴, ∴k=. 四、填空题(每小题4分,共20分) 19.(4分)已知a=7﹣3b,则代数式a2+6ab+9b2的值为 49 . 【分析】先根据完全平方公式变形,再代入,即可求出答案. 【解答】解:∵a=7﹣3b, ∴a+6b=7, ∴a2+8ab+9b2 =(a+5b)2 =78 =49, 故答案为:49. 20.(4分)如图,在Rt ACB中,∠ACB=90 AC,以点B为圆心,交AB于点D,再以点A为圆心,交AC于点E,则= . 【分析】由作法得BD=CB=a,AE=AD,先利用勾股定理计算出AB=a,则AD=a﹣a,所以AE=a﹣a,然后计算的值. 【解答】解:由作法设BD=CB=a,AE=AD, ∵∠ABC=90 ,AB=2a, ∴由勾股定理可得AC=a, ∴AD=AB﹣BD=a﹣a, ∴AE=a﹣a=(, ∴==. 故答案为:. 21.(4分)从2、3、4、5四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a、c,则a、c的取值使得关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c=0有实数解的概率为 . 【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况,从中找出两次取出数的积不大于9的结果数,进而求出概率. 【解答】解:使得关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c=8有实数解,即36﹣4ac≥0, 解得ac≤8,也就是取出的两个数的积不大于9即可, 用列表法表示所有可能出现的结果如下: 共有12种等可能出现的结果,其中两个数的积不大于9的有2种, ∴使得关于x的一元二次方程ax2﹣6x+c=7有实数解的概率为=, 故答案为:. 22.(4分)如图,直线l1:y=交反比例函数y=(x>0)的图象于点A,将直线l1向下平移个单位后得到直线l2,l2交反比例函数y=(x>0)的图象于点C.若 ABC的面积为,则k的值为 6 . 【分析】设直线l2与y轴的交点为D,连接AD,由l1∥l2可知 ABD和 ABC的面积相等,然后根据三角形面积公式得到S ABD=BD•xA=,即可求得A的横坐标,代入直线l1的解析式即可求得A的坐标,进而代入y=(x>0)即可求得k的值. 【解答】解:设直线l2与y轴的交点为D,连接AD, 由题意可知BD=, ∵l1∥l2, ∴ ABD和 ABC的面积相等, ∵ ABC的面积为, ∴S ABD=BD•xA=, ∴xA=, 把x=代入y=得, ∴A(,4), ∵反比例函数y=(x>6)的图象过点A, ∴k= 4=6, 故答案为:6. 23.(4分)如图,正方形ABCD的边长为,动点E,C同时出发,都以0.5cm/s的速度分别沿AB,D移动,当点E到达点B时,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为G,则AG的最小值为 () cm. 【分析】连接AC交EF于点P,连接PB,取PB的中点H,连接AH、GH,由正方形的性质得AB=CB=2cm,∠ABC=90 ,则AC=CB=4cm,由题意可知AE=CF,可证明 APE≌ CPF,得PA=PC=AC=2cm,所以PB=AC=2cm,PB⊥AC,由BG⊥EF于点G,得∠PGB=90 ,则GH=PH=BH=PB=1cm,由勾股定理得AH==cm,由AG+GH≥AH,得AG≥,则AG的最小值为()cm,于是得到问题的答案. 【解答】解:连接AC交EF于点P,连接PB,连接AH, ∵四边形ABCD是边长为2cm的正方形, ∴AB=CB=6cm, ∴AC==CB==4(cm), ∵动点E,F分别从点A,都以0.4cm/s的速度分别沿AB,D移动, ∴AE=CF, ∵AB∥CD, ∴∠PAE=∠PCF, 在 APE和 CPF中, , ∴ APE≌ CPF(AAS), ∴PA=PC=AC=7cm, ∴PB=AC=7cm, ∵BG⊥EF于点G, ∴∠PGB=90 , ∴GH=PH=BH=PB=2cm, ∵∠APB=90 , ∴AH===(cm), ∵AG+GH≥AH, ∴AG+1≥, ∴AG≥, ∴AG的最小值为()cm, 故答案为:(). 五、解答题(共30分) 24.(8分)平安路上,多“盔”有你,在“交通安全宣传月”期间,进价为每顶40元,售价为每顶68元,每顶售价不高于58元,经调查发现:每降价2元,平均每周的销售量为y顶. (1)平均每周的销售量y(顶)与降价x(元)之间的函数关系式是 y=100+20x ; (2)若售价为每顶50元,求每周的销售利润; (3)若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润,则每顶头盔应降价多少? 【分析】(1)利用平均每周的销售量=100+40 ,即可找出y与x之间的函数关系式; (2)利用每周的销售利润=每顶的销售利润 每周的销售量,即可求出结论; (3)利用每周的销售利润=每顶的销售利润 每周的销售量,可列出关于x的一元二次方程,解之可求出x的值,再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元,即可确定结论. 【解答】解:(1)根据题意得:y=100+40 =100+20x. 故答案为:y=100+20x; (2)根据题意得:(50﹣40)[100+20 (68﹣50)] =10 [100+20 18] =10 [100+360] =10 460 =4600(元). 答:每周的销售利润为4600元; (3)根据题意得:(68﹣x﹣40)(100+20x)=4000, 整理得:x2﹣23x+60=2, 解得:x1=3,x6=20, 当x=3时,68﹣x=68﹣3=65>58,舍去; 当x=20时,68﹣x=68﹣20=48<58. 答:每顶头盔应降价20元. 25.(10分)【定义】在 ABC内有一点P,连结PA,PB, ABP, BCP中,则称点P为 ABC的相似心. 【应用】 (1)如图1,在5 5的方格纸中,每个小正方形的边长均为1,点P为 ABC内一点,请判断点P是否为 ABC的相似心P.若是;若不是,请说明理由. (2)如图2,在平面直角坐标系中,点A与点B分别为x轴负半轴,连结AB,设 OAB的外角平分线AM,延长MB,MA分别交x轴于点G,连结GH. ①∠BMA的度数是 45 . ②求证:点O为 MHG的相似心. (3)如图3,在(2)的条件下,若点M在反比例函数,G(2,0),若点E为 OHG的相似心,连结OE 【分析】(1)利用相似三角形的判定,找出相似三角形即可; (2)①根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠ABM+∠MAB=135 ,从而得出答案; ②作MQ⊥x轴,MP⊥y轴,MN⊥AB垂足分别为Q、P、N,根据角平分线的性质定理以及逆定理可得OM平分∠AOB,从而得到∠MOH=∠MOG=135 ,可得到∠GMO=∠MHO,即可得证; (3)延长HE至点F,由(2)得: OMH∽ OGM,MQ=MP=OQ,可得OM2=OG•OH,再由点M在y=﹣(x<0)上,可得MQ2=2,从而得到OG•OH=4,进而得到OH=2,HG=4,∠OHG=30 ,然后分两种情况讨论:若 OEH∽ HEG;若 OEG∽ GEH,即可求解. 【解答】(1)解:点P为 ABC的相似心; APB∽ CPA ∵∠APB=∠APC,=, ∴ APB∽ CPA, ∴点P为 ABC的相似心; (2)①解:根据题意得:∠AOB=90 , ∴∠OAB+∠OBA=90 , ∵ OAB的外角平分线AM,BM交于点M, ∴∠ABM+∠MAB=[(180 ﹣∠OAB)+(180 ﹣∠OBA)]=(360 ﹣90 )=135 , ∴∠BMA=180 ﹣135 =45 , 故答案为:45 ; ②证明:作MQ⊥x轴,MP⊥y轴、P、N, ∵ OAB的外角平分线AM,BM交于点M, ∴MQ=MN,MP=MN, ∴MQ=MP, ∴OM平分∠AOB, ∴∠MOQ=∠MOP=45 , ∴∠MOH=∠MOG=135 , ∵∠HMO+∠GMO=45 ,∠HMO+∠MHO=∠MOQ=45 , ∴∠GMO=∠MHO, 又∵∠MOH=∠MOG=135 , ∴ OMH∽ OGM, ∴点O为 GMH的相似心; (3)解:如图3,延长HE至点F, 由(2)得: OMH∽ OGM,MQ=MP=OQ, ∴OM:OG=OH:OM, ∴OM2=OG•OH, ∵点M在y=﹣(x<0)上, ∴MQ3=2, ∴OM2=2MQ2=3, ∴OG•OH=4, ∵G(2,0), ∴OG=3, ∴OH=2, ∴HG==4=, ∴∠OHG=30 , ( )若 OEH∽ HEG, ∴∠EHO=∠EGH,∠EOH=∠EHG,===, ∴OE=EH= EG, 即=, ∵∠EHO+∠EHG=30 , ∴∠EOH+∠EGH=30 , ∴∠OEG=∠EHO+∠EGH+∠EOH+∠EHG=60 , 在 OEG中,∠OEG=60 ,=, 设OE=3x,则EG=4x, 过点G作DG⊥OE,垂足为点D, ∴DE=EG=2x, ∴OD=x,DG=2, ∵OG2=OD6+DG2, ∴22=, 解得:x=(负值舍去), ∴OE=; ( )若 OEG∽ GEH, ∴∠EOG=∠EGH,∠EGO=∠EHG,===, ∵∠EGO+∠EGH=60 , ∴∠OEH=120 , 在 OEH中,∠OEH=120 ,=, 与( )同理可得OE=; 综上所述:OE=或. 26.(12分)探究完成以下问题. 【初步认识】如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,BD,过点A作AE⊥AC交CB的延长线于点E.可得到∠E=∠ACD. 【特例研究】(1)如图2,若四边形ABCD中,(1)中的其它条件不变,取BD,F,连接MF. ①求证:BE=2MF; ②N为EC的中点,连接MN,猜想MN与AE的位置关系 【拓展应用】 (2)如图3,在矩形ABCD中,对角线AC,E是射线BC上一动点,过点O作OF⊥OE交射线CD于点F,当,AB=6时,请直接写出CF的长. 【分析】(1)①由(1)知∠AEC=∠ACD,证明 BAE≌ DAC(ASA),由全等三角形的性质得出BE=DC,由三角形中位线定理得出CD=2MF.则可得出结论; ②连接AM,AN,证明 AEN∽ ABM,由相似三角形的性质得出∠EAN=∠BAM,,证明 AEB∽ ANM,由相似三角形的性质得出∠ANM=∠AEB=45 ,则可得出结论; (2)当点E在线段BC的延长线上时,过点O作OP⊥CD于点F,OH⊥BC于点H,OE与CF交于点K,证明 OPF∽ OHE,由相似三角形的性质得出,求出PF的长可得出答案;当点E在线段BC上时,过点O作OP⊥CD于点F,OH⊥BC于点H,同理可得出答案. 【解答】(1)①证明:∵∠EAC=∠BAD=90 , ∴∠EAC﹣∠BAC=∠BAD﹣∠BAC, 即∠BAE=∠CAD. ∵AE⊥AC, ∴∠CAE=90 , ∴∠AEC+∠ACE=90 , ∵∠BCD=90 , ∴∠ACD+∠ACE=90 , ∴∠AEC=∠ACD; ∵AB=AD, ∴ BAE≌ DAC(ASA), ∴BE=DC, ∵M,F分别是BD, ∴MF是 BCD的中位线, ∴CD=2MF, ∴BE=2MF; ②解:AE∥MN. 证明:连接AM,AN, 由①知, BAE≌ DAC, ∴AE=AC, ∵AB=AD,∠EAC=∠BAD=90 , ∴ ABD和 AEC都是等腰直角三角形. ∴∠AEC=∠ACE=45 ,∠ABD=∠ADB=45 , ∴∠AEC=∠ABD, 又∵N为EC中点,M为BD中点, ∴AN⊥EC,AM⊥BD, ∴∠ANE=∠AMB=90 , ∴ AEN∽ ABM, ∴∠EAN=∠BAM,, ∴∠EAB=∠NAM,, ∴ AEB∽ ANM, ∴∠ANM=∠AEB=45 , ∴∠MNF=∠ANC﹣∠ANM=45 , ∴∠AEB=∠MNF=45 , ∴AE∥MN; (2)解:当点E在线段BC的延长线上时,过点O作OP⊥CD于点F,OE与CF交于点K, ∵,AB=6, ∴BC=10, ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BCD=90 ,AB∥CD, ∴∠OHC=∠BCD=∠OPC=90 , ∴四边形OHCP是矩形, ∴OP=HC,OH=CP, ∴HO∥AB, ∵O为AC的中点, ∴OH=,OP=, ∴CH=5,HE=CH+CE=3, ∵∠FOE=∠FCE=90 ,∠OKF∠CKE, ∴∠OFP=∠OEH, 又∵∠OHE=∠OPF=90 , ∴ OPF∽ OHE, ∴=,即, ∴PF=10, ∴CF=CP+PF=13; 当点E在线段BC上时,过点O作OP⊥CD于点F,如图, 此时HE=CH﹣CE=4, 同理可得 OPF∽ OHE, ∴,即, ∴PF=, ∴CF=CP+PF=; 综上,CP的长为13或. 声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2026/1/23 9:33:13;用户:聂伟;邮箱:15284038568;学号:44743775 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $