第三章 图形的平移与旋转（复习课件）数学新教材北师大版八年级下册

单元复习课件 第三章 图形的平移与旋转 新教材北师大版·八年级下册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.巩固图形平移、旋转的定义与核心要素，熟练掌握两种变换的性质及平面直角坐标系中的表示方法，明晰变换异同点，构建完整的知识体系。 3.感受图形变换在生活中的应用价值，增强几何知识的应用意识，培养观察分析、归纳概括的思维品质，落实新课标空间与图形领域的素养要求。 2. 提升运用变换性质进行计算、画图、图案设计的实践能力，强化空间观念、几何直观与逻辑推理能力，掌握“转化”思想解决相关问题。 单元学习目标 单元知识图谱 知识点一、平移的定义与性质 1. 在平面内，将一个图形沿某个 移动一定的 ，这样 的图形移动称为平移. 2. 平移的性质： （1）对应线段平行(或共线)且 ，对应点所连的线段 ， 图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离； （2）对应角分别 ，且对应角的两边分别平行、方向一致； （3）平移变换后的图形与原图形 . 方向 距离 相等 相等 相等 全等 （1）平移不改变图形的形状和大小， . （2）平移前后的图形属于 ； （3）两要素： 。 3. 平移的特征： 只改变位置 全等图形 方向与距离 考点串讲 知识点一、平移的定义与性质 4. 平移的作图 A B C D E F （1）定：确定方向和距离； （2）找：找图形的关键点； （3）移：平移得到关键点的对应点； （4）连：按原图顺次连接对应点． 考点串讲 知识点一、平移的定义与性质 5. 平移的坐标关系 设(x，y)是原图形上的一点，沿坐标轴方向平移后，这个点与对应点之间的关系如下： (x , y) 平移方向 平移距离 对应点的坐标 沿x轴方向 m 个单位长度 (m＞0) 沿y轴方向 n 个单位长度 (n＞0) 向右平移 向左平移 (x+m , y) (x-m , y) 向上平移 (x , y+n) 向下平移 (x , y-n) 口诀：左右平移纵不变，左减右加；上下平移横不变，上加下减； 考点串讲 知识点一、平移的定义与性质 5. 平移的坐标关系 平移方向和平移距离 对应点的坐标 向右平移m个单位长度,向上平移n个单位长度 (x+m , y+n) 向右平移m个单位长度,向下平移n个单位长度 (x+m , y-n) 向左平移m个单位长度,向上平移n个单位长度 (x-m , y+n) 向左平移m个单位长度,向下平移n个单位长度 (x-m , y-n) 一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的. 考点串讲 知识点二、旋转的定义与性质 1. 定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一 定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做 ， 转动的角叫做 . 2. 图形的旋转有三个基本条件 （1） ；（2） ；（3） . 3. 旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离 ； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ； （3）旋转前后的图形 . 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 相等 旋转角 全等 考点串讲 知识点二、旋转的定义与性质 4. 旋转的作图： 5. 旋转中心的确定： ①连：连接已知点与旋转中心； ②定：确定旋转方向； ③量：测量旋转角度； ④截：在旋转角的另一条边上以旋转中心为一端点截取等 于对应线段长度的线段； ⑤画：顺次连接所得的点，从而画出旋转得到的图形． 找两条对应点连线段的垂直平分线的交点 考点串讲 知识点三、中心对称的定义与性质 中心对称 中心对称图形 定义 性质 图示 一个图形绕某个点旋转180°，与另一个图形重合（两个图形） 一个图形绕内部一点旋转180°与原来的图形重合（一个图形） 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分 中心对称是一种特殊的旋转 考点串讲 方法技巧 【中心对称与中心对称图形的区别与联系】 中心对称图形 中心对称 ____个图形之间的关系. 具有某种性质的___个图形. 若把中心对称图形的两部分分别看作两个图形，则它们成________. 区别 联系 对应点分别在___个图形上. 对应点在______个图形上. 若把中心对称的两个图形看作一个整体，则成为______________. 对称中心在___个图形之间. 对称中心在图形___或其_____. 中心对称和中心对称图形都是绕着某一点进行________后_____. 旋转180° 重合 中心对称 中心对称图形 两 一 两 同一 两 上 内部 知识点三、中心对称的定义与性质 考点串讲 A B C A B C O 知识点三、中心对称的定义与性质 中心对称的作图： ①连：连接已知点与对称中心并延长； ②截：在另一条边上以对称中心为一 端点截取等于对应线段长度的 线段； ③画：顺次连接所得的点，从而画出 旋转得到的图形． 考点串讲 方法技巧 【中心对称图形与轴对称图形的区别与联系】 知识点三、中心对称的定义与性质 中心对称图形 轴对称图形 有一条对称轴——_____. 有一个对称中心——___. 图形沿_________________. 图形绕_______________________. 翻转后图形两部分________. 旋转前后的图形_________. 1 2 3 直线 点 轴对折(翻转180°) 对称中心旋转(旋转180°) 完全重合 完全重合 考点串讲 方法技巧 【全等变换】 图形的平移 图形的旋转 图形的轴对称 图形的中心对称 知识点三、中心对称的定义与性质 考点串讲 知识点四、图案设计 图案设计方法 由基本图形，利用图形变换形成 平移 旋转 轴对称 考点串讲 题型一、基础概念辨析 1．分析下面给出的五种运动是否属于平移． (1)急刹车的汽车在地面上的运动； (2)沿直线行驶的汽车的运动； (3)时钟分针的运动； (4)高层建筑的电梯的运动； (5)小球从高处向下坠落(球不转动)． 方法总结：判断物体是否做平移运动的方法：看变化前后各对应部分移动的方向是否相同，移动的距离是否相等，物体的大小和形状是否发生变化． ✔ ✖ ✔ ✔ ✔ 题型剖析 题型一、基础概念辨析 2．如图，△ABC绕顶点C旋转一定角度后得到△A′B′C′，请问： (1)旋转中心是哪个点？旋转角有几个？分别是哪些？ (2)经过旋转后，点A，B分别到达什么位置？ 解：旋转中心是点C，旋转角有2个，分别是∠ACA′与∠BCB′. 解：点A到达点A′，点B到达点B′. (3)∠ACB′是否为旋转角？为什么？ 解：∠ACB′不是旋转角，其原因是在这个旋转过程中，线段CA与CB′不是对应边，因此线段CA与CB′所形成的角不是旋转角． 题型剖析 题型一、基础概念辨析 3. 下面四个交通标志中，是中心对称图形的是( ) A 4．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心 对称，则下列说法不正确的是（　B） A.∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′ C.AB＝A′B′ D．OA＝OA′ B 5．在平面直角坐标系中，若点P(2，－1)与点Q(－2，m)关于原点对称，则m的值是 ⁠． 1　 题型剖析 题型一、基础概念辨析 6．如图，如果甲、乙关于点O成中心对称，那么乙图中不符合题意的一块是(　　) C 题型剖析 题型二、图形变换作图 1. 如图，将字母 A 按箭头所指的方向平移 3 cm，作出平移后的图形. 3cm 题型剖析 题型二、图形变换作图 2.如图，将△ABC向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度得到△A′B′C′. (1)画出△A′B′C′的图形； (2)若点P(a，b)是△ABC内部的一点，则平移后， △A′B′C′内的对应点P′的坐标为____ ___； (3)求△ABC的面积． (a－4，b－2) 题型剖析 题型二、图形变换作图 3.如图， △ ABC 经过一次旋转得到 △ A′B′C′,请找出这一旋转的旋转中心. O 题型剖析 题型二、图形变换作图 4. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC(顶点是格线的交点). (1)把△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△A1BC1，请画出△A1BC1； (2)在直线l上找一点P，使△PAB的周长最小. 解：(1)如图，△A1BC1即为所求 (2)如图，点P即为所求 题型剖析 题型二、图形变换作图 5.如图，画出△ABC绕边AB的中点O旋转180后的图形. A B C O D 解：如图，∵点O是AB的中点， 的角是平角， 180 ∴点A绕点O旋转180后的对应点是点B， 点B绕点O旋转180后的对应点是点A. 连接CO并延长到点D，使OD=OC， 连接 BD，AD， 就是所求作的图形. ∴△BAD 题型剖析 题型二、图形变换作图 6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1关于点E成中心 对称． (1)画出对称中心E，并写出点E的坐标为 ⁠； (2)P(a，b)是△ABC边上的一点，△ABC经过平移后点P的对应点为 P2(a＋6，b＋2)，请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标 为 ，点B2的坐标为 ⁠； 解：(1)如图，点E即为所求． (－3，－1)　 (3，4)　 (1，3)　 (2)如图，△A2B2C2即为所求． (3)直接写出△A1B1C1与△A2B2C2的位置关 系为 ． 关于原点成中心对 题型剖析 题型三、图案设计 1．利用如图所示的“基本图形”，经过旋转设计一个你喜欢的图案． 解：将“基本图形”绕着点O按顺时针方 向旋转45°七次，便可得到一个美丽的图 案，如图所示． 【点拨】本题答案不唯一，只要是由已 知的“基本图形”旋转而成的图案均可． 题型剖析 题型四、性质应用计算 1. 如图，已知△ABC的周长为20 cm，现将△ABC沿AB方向平移2 cm至△A′B′C′的位置，连接CC′，则四边形AB′C′C的周长为( ) A．20 cm B．22 cm C．24 cm D．26 cm C 2. 如图，在△ABC中，∠CAB＝65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为( ) A．35° B．40° C．50° D．65° C 题型剖析 题型四、性质应用计算 3.如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，若AB＝2，则DE_____． 2 D 题型剖析 题型四、性质应用计算 5.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC平移到△DCE的位置，连接BD，求△ABC平移的距离和BD的长． 题型剖析 题型四、性质应用计算 6.如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB. (1)请判断△ACC′的形状，并说明理由． (2)求∠BAB′的度数． 解：(1)△ACC′是等腰三角形，理由如下： ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置， ∴AC＝AC′，∴△ACC′是等腰三角形　 (2)∵CC′∥AB，∴∠C′CA＝∠CAB＝70°， ∵AC＝AC′，∴∠AC′C＝∠ACC′＝70°， ∴∠CAC′＝40°， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置， ∴∠CAC′＝∠BAB′＝40° 题型剖析 题型四、性质应用计算 7．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，点D是BC边上的一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，作EF⊥BC交BC的延长线于点F. (1)依题意补全图形； (2)求证：EF＝CF. (1)解：如图所示； (2)证明：由题可得，∠ADE＝∠B＝ 90°，AD＝ED， ∴ ∠BAD＋∠ADB＝∠ADB＋∠FDE＝ 90°， ∴ ∠BAD＝∠ FDE， 在△ABD和△DFE中， ∴ △ABD≌△DFE(AAS)． ∴ BD＝EF，AB＝DF， 又∵ AB＝BC，∴ BC＝DF， ∴ BC－CD ＝DF－CD， 即BD＝CF，∴ EF＝CF. 题型剖析 针对训练 1.如图，已知点A，B的坐标分别为(3，0)，(0，4)，将线段AB平移到线段CD的位置，若点A的对应点C的坐标为(4，2)，则点B的对应点D的坐标为（　A　） A．(1，6) B．(2，5) C．(6，1) D．(4，6) A 2.如图，在Rt△ABO中，∠ABO＝90°，OA＝2，AB＝1，若把Rt△ABO绕着原点逆时针旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　C　） A．(－，1) B．(－2，) C．(－1，) D．(－，2) C 针对训练 3.如图，在长20m，宽10m的长方形草地内修建了宽2m的道路，则草地的面积为 m2. 144 思路：将图中道路分别向左、右上平移， 得到右图，此时草地部分的长为 20－2=18m，宽为10－2=8m， 则草地面积为18×8=144m2. 针对训练 4. 在直角坐标系中的矩形OABC，OA=4，OC=2，将矩形OABC绕点C逆 时针旋转至矩形DEFC，DE经过点B. 求旋转角的大小. y x A F D C B o E 解：根据OA=4，OC=2，BC=OA， 而由BC=2CD，可以求出∠BCD=60°， 则可得旋转角为30°. 针对训练 5．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E为BC边的中点， ∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F. (1)作出△ABE关于点E成中心对称的图形； (2)探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并证明你的结论． 解：(1)如图，延长AE至点M，使EM＝AE.连接CM， 则△MCE即为所求． (2)AB＝AF＋CF.证明如下： ∵△MCE是△ABE关于点E成中心对称的图形， ∴MC＝AB，∠M＝∠BAE.∴AB∥MC. ∵AB∥DC，∴点D，C，F，M四点共线． ∵∠BAE＝∠EAF，∴∠EAF＝∠M.∴MF＝AF. ∵MC＝MF＋CF，∴AB＝AF＋CF. 针对训练 6．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝6. (1)如图，连接AC，将△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，A′C′ 交CD于点E，当DE＝CE时，则∠C′的度数为 ，CC′＝ . ⁠． 30°　 3　 (2)如图2，将长方形ABCD绕点C顺时针旋转，点A，B，D的对应点 分别为A′，B′，D′，点B′恰好落在对角线AC上，连接AA′，则： ①旋转角度数为 ，∠AA′C＝ ⁠； ②AB′＝ ，△AB′A′的面积为 ． 30°　 75°　 12－6　 36－18　 针对训练 (3)如图3，将长方形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，连 接BB′，B′C交AD于点E. ①∠B′AC＝ ，B′C＝ ； 60° 6　 ②△ACE为 三角形，CE＝ ，△ACE的面积为 ． 等腰　 4　 12　 针对训练 7．如图，点O是等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.已知∠AOB＝110°. (1)求证：△COD是等边三角形； 证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形． (2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； 解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形． 理由：由旋转的性质得，△BOC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， 又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°， ∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形． 针对训练 (3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 解：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO. ∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－α＝360°－110°－60°－α＝190°－α， ∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝α－60°， ∴190°－α＝α－60°，∴α＝125°； ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO， ∵∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°， ∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝50°， ∴α－60°＝50°，∴α＝110°； ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD， 即190°－α＝50°，∴α＝140°. 综上所述，当α为125°、110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 回顾并分析数学学习和现实生活中的平移、旋转、中心对称现象 平移及其基本性质 简单的平移画图 沿坐标轴方向平移后的图形与原图形对应点坐标之间的关系 依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来图形之间的关系 旋转及其基本性质 简单的旋转画图 图形之间的变换关系分析 中心对称及其基本性质 中心对称画图 中心对称图形 简单的图案欣赏与设计 课堂总结 ✅ 知识构建： 以全等变换为核心，搭建“定义—要素—性质—坐标表示—应用”的框架。梳理平移、旋转的概念与核心要素，掌握二者的性质及坐标系中的变换规律，明晰异同点，能运用知识解决计算、画图、图案设计等问题。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思想方法： 数形结合：借助平面直角坐标系，将图形的平移、旋转变换转化为坐标的量化运算，也能根据坐标变化画出变换后的图形。 转化思想：把不规则图形或复杂问题，通过平移、旋转变换转化为规则图形或基础问题来解决。 建模思想：将生活中的平移、旋转现象抽象成几何变换模型，运用模型的定义和性质解决实际问题。 分类讨论思想：将针对旋转的方向、旋转中心的位置等不同情况分类分析，确保思考全面无遗漏。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 ✅ 思维方法： 1. 观察—猜想—验证—归纳法：通过观察生活中的变换现象（如电梯移动、钟表指针转动）猜想图形性质，再通过动手操作（画图、折叠、旋转硬纸片）验证猜想，最终归纳出通用性质，是几何知识探究的核心思维路径。 2. 动手操作与直观想象结合法：通过实际画图、制作图形模型并进行旋转、平移操作，建立图形变换的直观经验，进而发展空间观念，实现“动手实践→直观感知→理性思考”的思维升级。 3. 对比辨析法：对比平移与旋转的定义、要素、性质、坐标表示，明确二者的异同点，帮助学生在辨析中深化理解，避免概念混淆，构建清晰的知识边界。 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! 解：(1)如图，△A′B′C′即为所求 (3)△ABC的面积＝2×3－ eq \f(1,2) ×1×3－ eq \f(1,2) ×1×1－ eq \f(1,2) ×2×2＝6－1.5－0.5—2＝2 4．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是(　　) A．点A1的坐标为(3，1) B．S四边形ABB1A1＝3 C．B2C＝2 D．∠AC2O＝45° 解：∵△DCE由△ABC平移而成， ∴△ABC平移的距离为：BC＝2， ∴CD＝CB＝CE＝2， ∴∠BDE＝90°，∴△BED是直角三角形， ∵BE＝BC＋CE＝4，DE＝CE＝2， ∴BD＝ eq \r(BE2－DE2) ＝2 eq \r(3) $