辽宁省大连市五校2025届高三上学期期末考试数学试卷

大连五校2025届高三上学期期末考试 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数,,i为虚数单位,若z为纯虚数,则( ) A. B.6 C. D. 2．已知集合,,则( ) A. B. C. D. 3．已知A,B,C,D是平面中四个不同的点,则“”是“A,C,D三点共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．若二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数,则该展开式中的含项的系数为( ) A.80 B. C.14 D. 5．若平面平面，，，则是的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.必要不充分条件 6．在等差数列中，，，，成公比不为1的等比数列，是的前n项和，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则( ) A.1 B. C. D. 7．在数学上，常用表示不大于x的最大整数，已知函数，则下列正确的是( ) A.函数在定义域上是增函数 B.函数的零点有无数个 C.函数在定义域上的值域是 D.不等式解集是； 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线l，l与C的右支交于点P，与y轴交于点Q，若，则C的离心率为( ) A. B. C.2 D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．已知,,且,则下列说法正确的有( ) A. B.的取值范围为 C.的最小值为 D.的最小值为 10．设函数，则( ) A.不是函数的极值点 B.当时， C.当时， D.当时， 11．若直线与抛物线只有1个公共点，则抛物线C的焦点坐标可以是( ) A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知圆柱与圆锥的高均为2，且二者底面半径相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为__________. 13．已知函数在区间上单调，且满足，函数在区间上恰有5个零点，则实数的取值范围为________. 14．已知函数，在区间内任取两个实数，，不等式恒成立，则实数a的最大值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，. (1)求角A的大小； (2)求b的取值范围； (3)设G是的重心，求的最小值. 16．（15分）已知椭圆的离心率为，过坐标原点O和点的直线与椭圆C交于A，B两点，且. (1)求椭圆C的方程； (2)直线l与C交于M，N两点（M，N在x轴的同侧），，分别是椭圆C的左，右焦点，当时，求四边形面积的最大值. 17．（15分）高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率； (2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 18．（17分）如图,已知三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,侧面都是菱形,,. （1）证明:; （2）求的长; （3）线段上是否存在一点D,使得二面角的正弦值为,若存在,求出点D的位置;若不存在,请说明理由. 19．（17分）若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得，；②为单调数列，则称数列具有性质P，注：若数列的各项满足（或），则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列. (1)若，判断数列，是否具有性质P，并说明理由； (2)已知离散型随机变量X服从二项分布，，记X为奇数的概率为.证明：数列具有性质P； (3)已知函数，，，，试判断数列，是否具有性质P. 《大连五校2025届高三上学期期末考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A D C B B ACD BC 题号 11 答案 BC 12．答案： 13．答案： 14．答案：1 15．答案：(1) (2) (3). 解析：（1）由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得. 又，所以. （2）由正弦定理，可得 . 因为三角形为锐角三角形，所以，解得. 则，则，故. （3）设的中点为D，因G是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 16．答案：(1) (2)2 解析：(1)由椭圆的离心率为， 得，则， 椭圆方程化为， 直线的斜率，其方程为， 由椭圆对称性，不妨设点，， 由， 解得， 因此， 解得， 所以椭圆C的方程为. (2)如图，延长交E于点， 由(1)知， 设，，设的方程为， 由 消去x得， 则， 设与的距离为d， 四边形的面积为S， 由及椭圆的对称性知， 点N与点关于原点对称， 则 又 当且仅当， 即时，等号成立， 所以四边形面积的最大值为2. 17．答案：(1) (2)分布列见解析，1.8 (3) 解析：(1)由题意得甲同学所有可能的选择答案有种， 而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为M，故. (2)乙同学所有可能的选择答案有种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为X，则X的可能取值为0，4，6， ，，， 所以乙同学可能得分的分布列为 X 0 4 6 P 所以数学期望为. (3)由题意得丙得0分的概率为， 丁得0分的概率为， 丙丁总分刚好得18分的情况包含： 事件A：丙得12分有一种情况， 丁得6分有，，三种情况， 则； 事件B：丙得9分有，两种情况， 丁得9分有，两种情况， 则； 事件C：丙得6分有，，三种情况， 丁得12分有一种情况， 则； 所以丙丁总分刚好得18分的概率 . 18．答案：（1）证明见解析 （2） （3）存在,D为线段的中点. 解析：（1）易知, 因为, 所以, 所以,故. （2）由（1）知,因为,所以, 所以. （3）如图,取的中点O,连结,则,以O为坐标原点,所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系,则, 设, 则 由得 解得, 所以,则. 设平面的法向量为, 由即 取,则, 设平面的法向量为, 由即 取,则, 设二面角的大小为,因为,所以. 所以, 整理得, 解得或(舍去). 故线段上存在满足题意的点D,且点D为线段的中点. 19．答案：(1)不具有，具有，理由见解析 (2)证明见解析 (3)具有，具有 解析：(1)因为单调递增，不存在正数M， 使得恒成立，所以数列不具有性质P. 因为，又数列为单调递减数列， 所以数列具有性质P. (2)因为， 若X为奇数的概率为，X为偶数的概率为， 则， 记为①， ， 记为②， 而，即， 所以当时，， 故随着n的增大而增大， 且，即数列具有性质P. (3)令， 则，，， 所以当时，，在上递减， 而， 故， 由零点存在性定理得在有唯一的零点， 得到，即， 且当时，，即， 当时，，即 由， 可知， 此时在R上单调递增； 由，，， 得到， 故， 假设时，成立， 则， 即成立， 结合 可得：对于任意，恒成立， 故为递增数列，为递减数列. 对数列，存在，使， 所以数列具有性质. 对数列，存在， 使，所以数列也具有性质P. 学科网（北京）股份有限公司 $