专题59 综合实践（二）：实际应用类实践与思维拓展综合（知识体系构建+考点解读+考点精讲+分层精练+精准解析+范式解题）2025-2026学年小升初数学专题总复习 （通用版）

该小学数学小升初复习讲义聚焦实际应用与思维拓展综合模块，涵盖购物优惠、行程规划等生活实践题，跨模块综合题及数学思考方法应用。通过知识体系全景梳理、典型真题解构、分层进阶精练等环节，帮助学生掌握建模转化、知识串联等关键解题方法。 亮点在于融合数学建模与应用意识，如通过“买3件外套选优惠方案”真题解析，引导学生将生活问题转化为数学模型。跨模块题（图形与数列结合）培养逻辑推理能力，分层练习适配不同学生，解析规范步骤，助力教师精准教学，有效提升学生实战解题能力。

综合实践（二）：实际应用类实践与思维拓展综合 📋 核心方法论与知识体系构建 1 🔍 知识体系全景梳理 1 💡 高效记忆方法 1 📊 典型真题解构与解题策略精讲 2 📝 考点一：生活中的数学实践题（购物优惠、行程规划等） 2 📏 考点二：跨模块综合思维题 4 ⚖️ 考点三：数学思考方法的综合应用 6 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 8 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 9 🌱 基础夯实篇（8题） 9 🚀 能力进阶篇（6题） 10 🧠 思维跃迁篇（6题） 11 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 13 🌱 基础夯实篇 13 🚀 能力进阶篇 16 🧠 思维跃迁篇 18 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 🔍 知识体系全景梳理 综合实践（二）：实际应用类实践与思维拓展综合是小升初数学综合模块的核心内容，围绕“实际问题→数学建模→求解验证”展开，核心是“知识整合+方法融合”，需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 生活中的数学实践题 1. 购物优惠方案设计：对比打折、满减、买赠等优惠方式，选择最优方案； 2. 行程规划：结合路程、速度、时间关系，设计省时、省钱的出行路线； 3. 资源分配：合理分配人力、物力、财力，实现资源利用最大化（如租车、租船问题）； 4. 其他实践：水电费计算、垃圾分类统计、校园绿化规划等 核心是“建模转化”，将生活问题转化为数学问题（如百分数、行程、统筹等模型），再求解 跨模块综合思维题 1. 数与代数+几何综合：结合运算规律与图形特征解题（如图形中的数列规律）； 2. 统计与概率+逻辑推理综合：通过数据统计辅助逻辑判断（如投票结果分析）； 3. 实践与思维综合：将实际场景与找规律、排列组合结合（如密码设置、物品编码） 关键是“知识串联”，打破模块界限，根据问题特征调用多个模块知识 数学思考方法的综合应用 1. 数学建模法：提炼实际问题的数学本质，建立对应模型（如购物问题→百分数模型）； 2. 多方法融合法：结合找规律、逻辑推理、统筹优化等多种方法解题； 3. 验证反思法：求解后对照实际场景验证结果合理性，反思优化方案 核心是“灵活运用”，根据问题特点选择合适方法，不局限于单一解题思路 💡 高效记忆方法 1. 口诀记忆法 📌 综合实践核心：实际问题不用怕，建模转化是关键，数学方法来帮忙，验证结果合实际。 📌 购物优惠：打折满减先算清，单价总价对比明，最优方案看总价，省钱才是真本领。 📌 跨模块综合：知识模块巧串联，数形结合思路宽，多法融合破难点，逻辑清晰答案现。 📌 建模技巧：实际问题找本质，对应模型记心里，运算求解不着急，验证反思要牢记。 2. 图表记忆法 生活实践题建模对应表（简表）： 生活场景 数学模型 解题关键 示例 购物优惠 百分数（打折）、四则运算（满减） 计算不同方案的实际花费，对比选择 打8折 vs 满100减20，计算同款商品最终价格 行程规划 行程问题（路程=速度×时间） 明确行程要素，设计路线，计算时间/费用 从家到景区，对比公交、打车、自驾的耗时与花费 资源分配 统筹优化、四则运算 计算不同分配方式的成本，选择最优 租船（大船坐6人30元，小船坐4人25元），18人如何租最省钱 综合思维题方法融合表（简表）： 题目类型 融合方法 解题步骤 图形+数列 找规律+几何计算 先观察图形变化规律，提炼数列特征，再结合几何公式计算 统计+逻辑推理 数据统计+矛盾法 先整理统计数据，再通过逻辑推理排除错误选项 📊 典型真题解构与解题策略精讲 📝 考点一：生活中的数学实践题（购物优惠、行程规划等） 考点解读 考查生活场景的数学建模与求解，常以应用题形式出现，占分5-6分。 ✨ 典型真题1（应用题） 某商场促销，一款外套原价800元，有三种优惠方案：①打八折；②满300减80，可叠加；③买两件送一件（买2件付2件钱，得3件）。 （1）如果买1件，选择哪种方案最划算？ （2）如果买3件，选择哪种方案最划算？ ✅ 解题步骤 ① （1）买1件，分别计算三种方案花费： ② 方案①：打八折，花费=800×80%=640元； ③ 方案②：满300减80，800÷300=2（个）……200元，可减2×80=160元，花费=800-160=640元； ④ 方案③：买2送1，买1件不参与优惠，花费=800元； ⑤ 对比：640＜800，选择方案①或②最划算； ⑥ （2）买3件，分别计算三种方案花费： ⑦ 方案①：3×800×80%=1920元； ⑧ 方案②：3×800=2400元，2400÷300=8（个），可减8×80=640元，花费=2400-640=1760元； ⑨ 方案③：买2送1，付2件钱得3件，花费=2×800=1600元； ⑩ 对比：1600＜1760＜1920，选择方案③最划算； ⑪ 答：（1）买1件选方案①或②；（2）买3件选方案③。 🔄 方法总结 购物优惠问题：先明确每种优惠的计算规则，分别计算目标购买量的总花费，再对比总花费，选择最少的方案，注意优惠活动的参与条件（如满减叠加、买赠规则）。 ✨ 典型真题2（应用题） 小明一家从家到景区有3种出行方式：①自驾，路程120千米，车速60千米/时，油费每千米0.8元，过路费30元；②公交，先坐公交到车站（30分钟，车费5元），再坐大巴到景区（2小时，车费40元）；③打车，路程120千米，起步价10元（3千米内），超出后每千米2元，无过路费。请设计最省时和最省钱的出行方案。 ✅ 解题步骤 ① 计算每种方式的时间和费用： ② 方式①（自驾）： ③ 时间=路程÷速度=120÷60=2小时； ④ 费用=油费+过路费=120×0.8+30=96+30=126元； ⑤ 方式②（公交+大巴）： ⑥ 时间=30分钟+2小时=2.5小时； ⑦ 费用=5+40=45元； ⑧ 方式③（打车）： ⑨ 时间≈2小时（按车速60千米/时估算）； ⑩ 费用=起步价+超出费用=10+（120-3）×2=10+234=244元； ⑪ 对比时间：2小时＜2.5小时，最省时的是方式①或③； ⑫ 对比费用：45＜126＜244，最省钱的是方式②； ⑬ 答：最省时的方案是自驾或打车，最省钱的方案是公交+大巴。 🔄 方法总结 行程规划问题：先明确时间和费用两个核心指标，分别计算每种方式的对应数值，再根据需求（省时/省钱）选择方案，注意单位统一（如分钟转化为小时）。 📏 考点二：跨模块综合思维题 考点解读 考查多模块知识的串联运用，常以综合题形式出现，占分5-6分。 ✨ 典型真题1（综合题） 用小正方形摆成的图形序列，第1个图形有1个小正方形，第2个图形有4个小正方形，第3个图形有9个小正方形……（图形略，规律为正方形点阵） （1）第n个图形有多少个小正方形？（用含n的式子表示） （2）第10个图形的周长是多少？（小正方形边长为1cm） （3）如果每个小正方形面积是1cm²，第8个图形的面积比第5个图形的面积多多少？ ✅ 解题步骤 ① （1）找规律：第1个1=1²，第2个4=2²，第3个9=3²，因此第n个图形有n²个小正方形； ② （2）计算第10个图形的周长： ③ 第10个图形是边长为10cm的正方形（10×10点阵）； ④ 周长=边长×4=10×4=40cm； ⑤ （3）计算面积差： ⑥ 第8个图形面积=8²=64cm²，第5个图形面积=5²=25cm²； ⑦ 面积差=64-25=39cm²； ⑧ 答：（1）n²个；（2）40cm；（3）39cm²。 🔄 方法总结 跨模块综合题（数与代数+几何）：先通过找规律（数与代数）提炼图形的数量特征，再结合几何公式（周长、面积）计算，实现模块知识的串联。 ✨ 典型真题2（综合题） 学校组织投票选举学生会主席，候选人有甲、乙、丙3人，全校共120人投票，每张票只能投1人，统计结果如下（部分数据）： ① 甲得票比乙多15张； ② 丙得票是乙的80%； ③ 甲得票率不超过50%。 （1）乙最多得多少张票？ （2）根据（1）的结果，判断谁能当选主席？ ✅ 解题步骤 ① （1）设乙得x张票，则甲得（x+15）张，丙得0.8x张； ② 总票数：x+（x+15）+0.8x=120； ③ 化简：2.8x+15=120→2.8x=105→x=37.5，票数为整数，因此x最大取37； ④ 验证甲得票率：（37+15）÷120=52÷120≈43.3%＜50%，符合条件； ⑤ （2）计算三人得票： ⑥ 甲=37+15=52张，乙=37张，丙=0.8×37=29.6≈29张（票数为整数）； ⑦ 对比：52＞37＞29，甲得票最多； ⑧ 答：（1）乙最多得37张；（2）甲能当选主席。 🔄 方法总结 跨模块综合题（统计+代数+逻辑）：先通过代数设未知数建立方程（数与代数），结合统计数据的整数特征（统计）确定取值，再通过逻辑对比判断结果，实现多模块融合。 ⚖️ 考点三：数学思考方法的综合应用 考点解读 考查建模法、多方法融合法的运用，常以拓展题形式出现，占分6-7分。 ✨ 典型真题1（拓展题） 某工厂要运输一批货物，共有30吨，有两种货车可选：①大货车，载重5吨，运费800元/辆；②小货车，载重3吨，运费500元/辆。要求每辆车都装满，怎样租车最省钱？最少运费是多少？ ✅ 解题步骤 ① 建立模型：租车问题→统筹优化+四则运算模型，目标是“运费最少”，约束条件“装满30吨”； ② 列出所有可能的租车方案（大货车x辆，小货车y辆，5x+3y=30）： ③ 方案1：x=6，y=0，运费=6×800=4800元； ④ 方案2：x=3，y=5，运费=3×800+5×500=2400+2500=4900元； ⑤ 方案3：x=0，y=10，运费=10×500=5000元； ⑥ 对比方案：4800＜4900＜5000，方案1最省钱； ⑦ 验证：6辆大货车刚好装满30吨，运费最低，符合实际； ⑧ 答：租6辆大货车最省钱，最少运费是4800元。 🔄 方法总结 数学建模法应用：先提炼实际问题的约束条件和目标，建立数学模型（方程+统筹），再列举所有可能方案，对比选择最优，最后验证合理性。 ✨ 典型真题2（拓展题） 密码箱的密码是一个四位数，满足以下条件：① 由1、2、3、4四个数字组成，无重复；② 十位数字是个位数字的2倍；③ 百位数字比千位数字大1。请找出这个密码。 ✅ 解题步骤 ① 方法融合：排列组合+逻辑推理+找规律； ② 分析条件②：十位数字是个位数字的2倍，可能的组合（个位、十位）：（1,2）、（2,4）（数字1-4无重复）； ③ 分析条件③：百位数字比千位数字大1，可能的组合（千位、百位）：（1,2）、（2,3）、（3,4）； ④ 结合条件①（无重复数字），逐一验证： ⑤ 若个位=1，十位=2，则剩余数字3、4，千位=3，百位=4（符合条件③），密码=3421； ⑥ 验证：3、4、2、1无重复，十位2=个位1×2，百位4=千位3+1，符合所有条件； ⑦ 其他组合验证：个位=2，十位=4，剩余数字1、3，千位=1，百位=2（2已用），矛盾；千位=3，百位=4（4已用），矛盾； ⑧ 答：这个密码是3421。 🔄 方法总结 多方法融合法应用：结合排列组合（数字组合）、逻辑推理（条件验证）、找规律（数字倍数、差关系），逐步缩小范围，最终锁定答案，避免盲目尝试。 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 购物优惠计算遗漏条件 计算满减时，忽略“可叠加”或“封顶”规则，导致结果错误 先通读所有优惠规则，标注关键条件（如满减上限、买赠比例），再分步计算 跨模块知识串联失误 解决图形+数列问题时，只找规律忽略几何公式，或只算图形忽略规律 明确问题的两个模块特征，先处理一个模块（如找规律），再代入另一个模块（如几何计算） 建模时忽略实际约束 租车问题中，未考虑“每辆车装满”“车辆数量为整数”等约束 建模时列出所有实际约束条件，求解后验证是否符合，避免出现小数车辆、未装满等不合理结果 多方法融合时思路混乱 解决密码问题时，同时考虑多个条件导致遗漏，无从下手 按条件优先级排序，先处理约束性强的条件（如倍数关系），再处理次要条件，逐步缩小范围 验证环节缺失 求解后未对照实际场景验证，导致结果与实际不符 解题后反问“这个结果在生活中合理吗”（如运费不可能为负数、票数不能超过总人数），及时修正 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8题） 一、填空题（3题） 1． 一件商品原价200元，打七五折后的价格是（ ）元；若满100减30，这件商品的实际价格是（ ）元，（ ）优惠更划算。 2． 小明从家到学校，步行速度是60米/分，需要20分钟；若骑自行车，速度是120米/分，需要（ ）分钟，骑自行车比步行节省（ ）分钟。 3． 用1、2、3三个数字组成无重复的三位数，其中是偶数的有（ ）个，最大的偶数是（ ）（跨模块：排列组合+数的特征）。 二、判断题（2题） 4． 商场促销“买四送一”，相当于打八折（假设单价相同）。（ ） 5． 跨模块综合题只能用一种方法解题，不能同时调用多个模块知识。（ ） 三、选择题（3题） 6． 一款手机原价3000元，春节促销：①打八八折；②满2000减500，选择哪种方案更划算？（ ） A. 方案① B. 方案② C. 两种一样 D. 无法确定 7． 一个长方形的长和宽都是质数，周长是20cm，面积最大是（ ）cm²（跨模块：数的认识+几何） A. 21 B. 25 C. 16 D. 19 8． 租船问题中，大船坐6人36元，小船坐4人28元，18人最省钱的租船方案是（ ） A. 3艘大船 B. 5艘小船 C. 2艘大船+1艘小船 D. 1艘大船+3艘小船 🚀 能力进阶篇（6题） 一、填空题（2题） 9． 某超市牛奶促销：每箱24盒，原价60元，现推出两种优惠：①买1箱送4盒；②满60减15元，买32盒牛奶，选择方案（ ）更划算，实际花费（ ）元。 10． 第1个图形有3根小棒，第2个图形有6根小棒，第3个图形有9根小棒……第n个图形有（ ）根小棒，第15个图形有（ ）根小棒（跨模块：找规律+几何计数）。 二、判断题（1题） 11． 行程问题中，“速度越快，时间越短”，因此自驾一定比公交省时。（ ） 三、计算题（1题） 12． （1）某商品原价150元，先涨价20%，再打九折，最终售价是多少元？ （2）一个平行四边形的底是8cm，高是底的，与它等底等高的三角形面积是多少cm²（跨模块：百分数+几何）？ 四、应用题（2题） 13． 妈妈带500元去商场购物，买衣服花了289元，买鞋花了165元，商场推出“满400减50”优惠，妈妈实际需要支付多少钱？ 14． 学校组织学生去研学，共有120人，租车方案：大客车限坐30人，租金600元；小客车限坐20人，租金450元。怎样租车最省钱？最少租金是多少？ 🧠 思维跃迁篇（6题） 一、填空题（1题） 15． 一个四位数，个位数字是千位数字的2倍，百位数字是个位数字的一半，十位数字比百位数字大3，这个四位数可能是（ ）（跨模块：数的认识+逻辑推理）。 二、应用题（3题） 16． 某景区门票有两种销售方式：①成人票每张120元，儿童票每张60元；②团体票（10人及以上）每张80元。现有8个成人和4个儿童，怎样购票最省钱？最少需要多少钱？ 17． 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车速度是80千米/时，乙车速度是60千米/时，相遇时甲车比乙车多行驶了40千米，A、B两地相距多少千米？（跨模块：行程+四则运算） 18． 某工厂生产一批零件，原计划每天生产50个，12天完成，实际每天生产的数量是原计划的1.2倍，实际提前几天完成？（跨模块：工程+百分数） 三、综合题（1题） 19． 如图是某小区的绿化规划图，计划在长方形内修一个最大的圆形花坛，其余部分铺草坪。 （1）圆形花坛的面积是多少m²？（π取3.14） （2）草坪的面积是多少m²？ （3）若铺草坪每平方米需花费20元，修花坛每平方米需花费50元，该小区绿化总花费是多少元？（跨模块：几何+四则运算） 四、拓展题（1题） 20． 密码锁的密码是一个三位数，满足以下条件：① 由0、1、2、3四个数字中的三个组成，无重复；② 百位数字比十位数字大；③ 个位数字是偶数。请列出所有可能的密码，并找出其中最小的密码。（跨模块：排列组合+逻辑推理） 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 🌱 基础夯实篇 一、填空题 1． 【答案】150，140，满100减30 ✅ 解题步骤 ① 打七五折：200×75%=150元； ② 满100减30：200÷100=2，可减2×30=60元，实际价格=200-60=140元； ③ 对比：140＜150，满100减30更划算； ④ 填写答案。 【知识点睛】购物优惠需分别计算每种方案的实际花费，再对比选择，注意折扣和满减的计算规则。 2． 【答案】10，10 ✅ 解题步骤 ① 先算家到学校的路程：60×20=1200米； ② 骑自行车时间=路程÷速度=1200÷120=10分钟； ③ 节省时间=20-10=10分钟； ④ 填写答案。 【知识点睛】行程问题核心公式“路程=速度×时间”，可根据已知量求未知量，注意单位统一。 3． 【答案】2，312 ✅ 解题步骤 ① 偶数的个位是2（1、2、3中只有2是偶数）； ② 排列组合：个位=2，千位和百位从1、3中选，有2种：132、312； ③ 最大的偶数是312； ④ 填写答案。 【知识点睛】跨模块题目需结合数的特征（偶数）和排列组合，先确定约束条件（个位），再推导其他数位。 二、判断题 4． 【答案】√ ✅ 解题步骤 ① 假设单价为x元，买5件商品： ② 原价=5x元，优惠后=4x元； ③ 折扣=4x÷5x=80%，即打八折； ④ 得出结论：正确。 【知识点睛】买赠问题转化为折扣计算，核心是“实际支付数量÷总获得数量=折扣率”。 5． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 跨模块综合题的核心是“知识串联”，可同时调用多个模块知识（如排列组合+逻辑推理）； ② 示例：密码问题既需要排列组合知识，也需要逻辑推理，单一方法难以解决； ③ 题干表述错误； ④ 得出结论：错误。 【知识点睛】跨模块题目需打破模块界限，灵活运用多种方法解题。 三、选择题 6． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 方案①：打八八折，花费=3000×88%=2640元； ② 方案②：满2000减500，花费=3000-500=2500元； ③ 对比：2500＜2640，方案②更划算； ④ 选择答案：B。 【知识点睛】满减优惠需注意满减门槛，计算时直接减去对应金额，再与折扣价对比。 7． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 周长=20cm，长+宽=10cm； ② 长和宽都是质数，可能的组合：（3,7）、（5,5）（5是质数，但长方形长≠宽，舍去）； ③ 面积=3×7=21cm²； ④ 选择答案：A。 【知识点睛】跨模块题目（数的认识+几何），先根据周长求出长+宽，再结合质数特征确定长和宽，最后算面积。 8． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 计算每种方案的费用： ② A选项：3艘大船，3×36=108元（刚好坐18人）； ③ B选项：5艘小船，5×28=140元（坐20人，超出18人）； ④ C选项：2艘大船坐12人，1艘小船坐4人，共16人，不够18人，需3艘大船或2艘大船+2艘小船（2×6+2×4=20人），费用=2×36+2×28=72+56=128元； ⑤ D选项：1艘大船+3艘小船，6+12=18人，费用=36+3×28=36+84=120元； ⑥ 对比：108＜120＜128＜140，A选项最省钱； ⑦ 选择答案：A。 【知识点睛】租船问题需确保坐满或最接近总人数，避免空位过多，计算所有可行方案的费用后对比。 🚀 能力进阶篇 一、填空题 9． 【答案】①，180 ✅ 解题步骤 ① 单价=60÷24=2.5元/盒； ② 方案①：买1箱（24盒）送4盒，共28盒，还需买4盒，总花费=60+4×2.5=60+10=70元； ③方案②：32盒总价=32×2.5=80元，满60减15，实际花费=80-15=65元； ④ 对比：65＜70，方案②更划算，实际花费65元； ⑤ 填写答案：②，65。 【知识点睛】买赠问题需计算实际购买的数量和总价，满减需先算总价再减优惠金额，确保计算准确。 10． 【答案】3n，45 ✅ 解题步骤 ① 找规律：第1个3=3×1，第2个6=3×2，第3个9=3×3，因此第n个图形有3n根小棒； ② 第15个图形：3×15=45根； ③ 填写答案。 【知识点睛】跨模块题目（找规律+几何计数），通过观察图形数量变化，提炼通项公式，再代入计算。 二、判断题 11． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 行程时间不仅与速度有关，还与路程、交通状况、停车等因素有关； ② 示例：自驾可能遇到堵车，公交有专用道，此时公交可能更省时； ③ 题干表述绝对，错误； ④ 得出结论：错误。 【知识点睛】实际行程规划需考虑多种因素，不能仅根据速度判断时间，需结合实际场景。 三、计算题 12． 【答案】（1）162元；（2）24cm² ✅ 解题步骤 ① （1）涨价20%：150×（1+20%）=180元； ② 再打九折：180×90%=162元； ③ （2）高=8×=6cm； ④ 三角形面积=底×高÷2=8×6÷2=24cm²； ⑤ 答：（1）160元；（2）24cm²。 【知识点睛】跨模块计算需分别处理每个模块的运算（百分数、分数、几何），步骤清晰，避免混淆。 四、应用题 13． 【答案】404元 ✅ 解题步骤 ① 计算总花费：289+165=454元； ② 满400减50，实际支付=454-50=404元； ③ 答：妈妈实际需要支付404元。 【知识点睛】购物满减需先算总花费，再判断是否满足满减条件，按规则减免后得到实际支付金额。 14． 【答案】租4辆大客车最省钱，最少租金2400元 ✅ 解题步骤 ① 计算每种车型的人均租金：大客车=600÷30=20元/人，小客车=450÷20=22.5元/人，优先租大客车； ② 方案1：4辆大客车，4×30=120人，租金=4×600=2400元； ③ 方案2：3辆大客车+2辆小客车，3×30+2×20=130人，租金=3×600+2×450=1800+900=2700元； ④ 方案3：6辆小客车，6×20=120人，租金=6×450=2700元； ⑤ 对比：2400＜2700，方案1最省钱； ⑥ 答：租4辆大客车最省钱，最少租金2400元。 【知识点睛】租车问题优先租人均租金低的车型，再列举可行方案，对比租金选择最优。 🧠 思维跃迁篇 一、填空题 15． 【答案】1222、2254 ✅ 解题步骤 ①个位=2a，百位=个位÷2=a，十位=a+3； ② a=1：个位=2，百位=1，十位=4，四位数=1 1 4 2→1142； ③a=2：个位=4，百位=2，十位=5，四位数=2 2 5 4→2254； ④ a=3：个位=6，百位=3，十位=6，四位数=3 3 6 6→3366； ⑤ a=4：个位=8，百位=4，十位=7，四位数=4 4 7 8→4478； ⑥可能的四位数：1142、2254、3366、4478； ⑦ 填写答案：1142、2254（或其他合理答案）。 【知识点睛】跨模块题目（数的认识+逻辑推理），通过设未知数建立数字间的关系，再根据数字范围推导可能值。 二、应用题 16． 【答案】买10张团体票+2张儿童票最省钱，最少需要920元 ✅ 解题步骤 ① 方案1：单独买，成人票+儿童票=8×120+4×60=960+240=1200元； ② 方案2：全买团体票，12×80=960元； ③ 方案3：8个成人+2个儿童买团体票（10人），剩余2个儿童买儿童票=10×80+2×60=800+120=920元； ④ 对比：920＜960＜1200，方案3最省钱； ⑤ 答：买10张团体票+2张儿童票最省钱，最少需要920元。 【知识点睛】团体票优惠需灵活组合，尽量凑够团体票人数，剩余人员买单独票，实现费用最低。 17． 【答案】280千米 ✅ 解题步骤 ① 速度差=80-60=20千米/时； ② 相遇时间=路程差÷速度差=40÷20=2小时； ③ 总路程=（80+60）×2=280千米； ④ 答：A、B两地相距280千米。 【知识点睛】相遇问题中，路程差=速度差×相遇时间，先求相遇时间，再用“速度和×相遇时间=总路程”计算。 18． 【答案】2天 ✅ 解题步骤 ① 零件总数=50×12=600个； ② 实际每天生产=50×1.2=60个； ③ 实际天数=600÷60=10天； ④ 提前天数=12-10=2天； ⑤ 答：实际提前2天完成。 【知识点睛】工程问题中，工作总量=工作效率×工作时间，先算总量，再求实际效率和天数，最后算提前天数。 三、综合题 19． 【答案】（1）706.5m²；（2）793.5m²；（3）32970元 ✅ 解题步骤 ① （1）圆形花坛的直径=长方形的宽=30m，半径=15m； ② 面积=πr²=3.14×15²=3.14×225=706.5m²； ③ （2）长方形面积=50×30=1500m²； ④ 草坪面积=1500-706.5=793.5m²； ⑤ （3）绿化总花费=草坪花费+花坛花费=793.5×20+706.5×50=15870+35325=51195元； ⑥ 答：（1）706.5m²；（2）793.5m²；（3）51195元。 【知识点睛】跨模块综合题（几何+四则运算），先算几何图形的面积，再结合单价计算总花费，步骤连贯，单位统一。 四、拓展题 20． 【答案】所有可能的密码：102、120、202（重复，舍去）、210、302、310、320；最小密码是102 ✅ 解题步骤 ① 分析条件： ② 个位是偶数，可能是0、2； ③ 百位数字比十位数字大，且无重复，含0（0不能在百位）； ④ 列举所有可能： ⑤ 个位=0：百位＞十位，可能的组合（2,1）、（3,1）、（3,2），密码=210、310、320； ⑥ 个位=2：百位＞十位，可能的组合（1,0）、（3,0）、（3,1），密码=102、302、312； ⑦ 所有可能的密码：102、210、302、310、312、320； ⑧ 最小密码是102； ⑨ 答：所有可能的密码为102、210、302、310、312、320，最小密码是102。 【知识点睛】跨模块拓展题（排列组合+逻辑推理），按条件逐步筛选数字组合，避免重复和遗漏，最后对比得出最小密码。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $知遗引航 导航知识一一科学提分 综合实践《二》：实际应用类实践与恩 维拓展線合 冒核心方法论与知识体系构建.1 Q知识体系全景梳理 ,1 号高效记忆方法.1 典型真题解构与解题策略精讲… 2 考点一：生活中的数学实践题（购物优惠、行程规划等） .2 ●考点二：跨模块综合思维题… .4 金考点三：数学思考方法的综合应用.6 ▲易错避坑指南一一直击失分痛点，突破提分瓶颈.8 马分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁9 上基础夯实篇(8题) 9 9能力进阶篇(6题) .10 ●思维跃迁篇(6题) ....11 ●精准解析与解题范式一思路拆解·步骤规范·知识点睛 .13 上基础夯实篇 .13 ⑨能力进阶篇… .16 思维跃迁篇 .18 打造“知识系统化+记忆高数化+解题技巧化”三位一体学习方穿 知途引就 导航知识一一科学提分 昌核心方法论与知识体系构建 Q知识体系全景梳理 综合实践（二）：实际应用类实践与思维拓展综合是小升初数学综合模块 的核心内容，围绕“实际问题→数学建模→求解验证”展开，核心是“知识整 合+方法融合”，需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 1.购物优惠方案设计：对比打折、满减、买赠等优惠 方式，选择最优方案： 核心是“建模转 2.行程规划：结合路程、速度、时间关系， 设计省 生活中的 化”，将生活问 时、省钱的出行路线： 数学实践 题转化为数学问 题 3. 资源分配：合理分配人力、物力、财力，实现资源 题（如百分数、 利用最大化（如租车、租船问题）； 行程、统筹等模 型)，再求解 4.其他实践：水电费计算、垃圾分类统计、校园绿化 规划等 1.数与代数+几何综合：结合运算规律与图形特征解题 (如图形中的数列规律)； 关键是“知识串 跨模块综 2.统计与概率+逻辑推理综合：通过数据统计辅助逻辑 联”，打破模块 界限，根据问题 合思维题 判断（如投票结果分析）； 特征调用多个模 3.实践与思维综合：将实际场景与找规律、排列组合 块知识 结合（如密码设置、物品编码） 1.数学建模法：提炼实际问题的数学本质，建立对应 模型（如购物问题→百分数模型）； 核心是“灵活运 数学思考 用”，根据问题 方法的综 2.多方法融合法：结合找规律、逻辑推理、统筹优化 特点选择合适方 合应用 等多种方法解题： 法，不局限于单 3. 验证反思法：求解后对照实际场景验证结果合理 解题思路 性，反思优化方案 ？高效记忆方法 1.口诀记忆法 ★综合实践核心：实际问题不用怕，建模转化是关键，数学方法来帮 忙，验证结果合实际。 ◆购物优惠：打折满减先算清，单价总价对比明，最优方案看总价，省 钱才是真本领。 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 1 知途引就 导航知识一一科学提分 ◆跨模块综合：知识模块巧串联，数形结合思路宽，多法融合破难点， 逻辑清晰答案现。 ◆建模技巧： 实际问题找本质，对应模型记心里，运算求解不着急，验 证反思要牢记。 2.图表记忆法 生活实践题建模对应表（简表）： 生活场景 数学模型 解题关键 示例 购物优惠 百分数（打折）、 计算不同方案的实际花 打8折vs满100减20， 四则运算（满减） 费，对比选择 计算同款商品最终价格 行程规划 行程问题（路程=速 明确行程要素，设计路 从家到景区，对比公交、 度X时间) 线，计算时间/费用 打车、自驾的耗时与花费 统筹优化、四则运 计算不同分配方式的成 租船（大船坐6人30元， 资源分配 算 本，选择最优 小船坐4人25元)，18人 如何租最省钱 综合思维题方法融合表（简表）： 题目类型 融合方法 解题步骤 图形+数列 找规律+几何计算 先观察图形变化规律，提炼数列特征，再 结合几何公式计算 统计+逻辑推理 数据统计+矛盾法 先整理统计数据，再通过逻辑推理排除错 误选项 奥型真题解构与解题策略精讲 司考点一：生活中的数学实践题（购物优惠、行程规划 等) 考点解读 考查生活场景的数学建模与求解，常以应用题形式出现，占分5-6分。 补典型真题1（应用题） 某商场促销，一款外套原价800元，有三种优惠方案：①打八折：②满 300减80，可叠加；③买两件送一件（买2件付2件钱，得3件）。 2 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 (1)如果买1件，选择哪种方案最划算？ (2)如果买3件，选择哪种方案最划算？ ☑解题步骤 ①(1)买1件，分别计算三种方案花费： ②方案①：打八折，花费=800×80%=640元： ③方案②：满300减80,800÷300=2（个）..200元，可减2×80=160 元，花费=800-160=640元： ④方案③：买2送1，买1件不参与优惠，花费=800元： ⑤对比：640<800，选择方案①或②最划算： ⑥(2)买3件，分别计算三种方案花费： ⑦方案①：3×800×80%=1920元： ⑧方案②：3×800=2400元，2400÷300=8（个），可减8×80=640元， 花费=2400-640=1760元； ⑨方案③：买2送1，付2件钱得3件，花费=2×800=1600元： ⑩对比：1600<1760<1920，选择方案③最划算； ①答：(1)买1件选方案①或②；(2)买3件选方案③。 国方法总结 购物优惠问题：先明确每种优惠的计算规则，分别计算目标购买量的总花 费，再对比总花费，选择最少的方案，注意优惠活动的参与条件（如满减叠 加、买赠规则)。 特典型真题2（应用题） 小明一家从家到景区有3种出行方式：①自驾，路程120千米，车速60 千米时，油费每千米0.8元，过路费30元：②公交，先坐公交到车站(30分 钟，车费5元)，再坐大巴到景区(2小时，车费40元)；③打车，路程120 千米，起步价10元(3千米内)，超出后每千米2元，无过路费。请设计最省 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方肉 3 知途引就 导航知识一一科学提分 时和最省钱的出行方案。 ☑解题步骤 ①计算每种方式的时间和费用： ②方式①（自驾）： ③时间=路程÷速度=120÷60=2小时； ④费用=油费+过路费=120×0.8+30=96+30=126元： ⑤方式②（公交+大巴）： ⑥时间=30分钟+2小时=2.5小时： ⑦费用=5+40=45元： ⑧方式③（打车）： ⑨时间≈2小时（按车速60千米时估算)： ⑩费用=起步价+超出费用=10+(120-3)×2=10+234=244元： ①对比时间：2小时<2.5小时，最省时的是方式①或③： ②对比费用：45<126<244，最省钱的是方式②： ①③答：最省时的方案是自驾或打车，最省钱的方案是公交+大巴。 图方法总结 行程规划问题：先明确时间和费用两个核心指标，分别计算每种方式的对 应数值，再根据需求（省时/省钱）选择方案，注意单位统一（如分钟转化为小 时)。 考点二：跨模块综合思维题 考点解读 考查多模块知识的串联运用，常以综合题形式出现，占分5-6分。 棒典型真题1（综合题) 用小正方形摆成的图形序列，第1个图形有1个小正方形，第2个图形有 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 4个小正方形，第3个图形有9个小正方形..（图形略，规律为正方形点 阵) (1)第n个图形有多少个小正方形？（用含n的式子表示） (2)第10个图形的周长是多少？（小正方形边长为1cm) (3)如果每个小正方形面积是1c2,第8个图形的面积比第5个图形的 面积多多少？ ☑解题步骤 ①(1)找规律：第1个1=12，第2个4=22，第3个9=32，因此第n个 图形有2个小正方形： ②(2)计算第10个图形的周长： ③第10个图形是边长为10cm的正方形(10×10点阵)； ④周长=边长×4=10×4=40cm: ⑤(3)计算面积差： ⑥第8个图形面积=82=64cm2,第5个图形面积=52=25cm2; ⑦面积差=64-25=39cm2; ⑧答：(1)n2个；(2)40cm;(3)39cm2。 图方法总结 跨模块综合题（数与代数+几何）：先通过找规律（数与代数）提炼图形的 数量特征，再结合几何公式（周长、面积）计算，实现模块知识的串联。 补典型真题2（综合题） 学校组织投票选举学生会主席，候选人有甲、乙、丙3人，全校共120人 投票，每张票只能投1人，统计结果如下（部分数据）： ①甲得票比乙多15张： ②丙得票是乙的80%： 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 5 知途引就 导航知识一一科学提分 ③甲得票率不超过50%。 (1)乙最多得多少张票？ (2)根据(1)的结果，判断谁能当选主席？ ☑解题步骤 ①(1)设乙得×张票，则甲得(x+15)张，丙得0.8x张； ②总票数：X+(X+15)+0.8x=120: ③化简：2.8x+15=120→2.8x=105→x=37.5,票数为整数，因此×最大取 37; ④验证甲得票率：（37+15)÷120=52÷120≈43.3%<50%，符合条件： ⑤(2)计算三人得票： ⑥甲=37+15=52张，乙=37张，丙=0.8×37=29.6≈29张（票数为整数）； ⑦对比：52>37>29，甲得票最多： ⑧答：(1)乙最多得37张；(2)甲能当选主席。 圈方法总结 跨模块综合题（统计+代数+逻辑）：先通过代数设未知数建立方程（数与 代数)，结合统计数据的整数特征（统计）确定取值，再通过逻辑对比判断结 果，实现多模块融合。 女考点三：数学思考方法的综合应用 考点解读 考查建模法、多方法融合法的运用，常以拓展题形式出现，占分6-7分。 特典型真题1（拓展题） 某工厂要运输一批货物，共有30吨，有两种货车可选：①大货车，载重5 吨，运费800元/辆：②小货车，载重3吨，运费500元/辆。要求每辆车都装 满，怎样租车最省钱？最少运费是多少？ 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ☑解题步骤 ①建立模型：租车问题→统筹优化+四则运算模型，目标是“运费最 少”，约束条件“装满30吨”； ②列出所有可能的租车方案（大货车×辆，小货车y辆，5x+3y=30): ③方案1：X=6,y=0,运费=6×800=4800元： ④方案2：x=3,y=5,运费=3×800+5×500=2400+2500=4900元： ⑤方案3：X=0,y=10,运费=10×500=5000元： ⑥对比方案：4800<4900<5000，方案1最省钱： ⑦验证：6辆大货车刚好装满30吨，运费最低，符合实际； ⑧答：租6辆大货车最省钱，最少运费是4800元。 图方法总结 数学建模法应用：先提炼实际问题的约束条件和目标，建立数学模型（方 程+统筹)，再列举所有可能方案，对比选择最优，最后验证合理性。 特典型真题2（拓展题) 密码箱的密码是一个四位数，满足以下条件：①由1、2、3、4四个数字 组成，无重复：②十位数字是个位数字的2倍；③百位数字比千位数字大1。 请找出这个密码。 ☑解题步骤 ①方法融合：排列组合+逻辑推理+找规律： ②分析条件②：十位数字是个位数字的2倍，可能的组合（个位、十 位)：（1,2)、(2,4)（数字1-4无重复）： ③分析条件③：百位数字比千位数字大1，可能的组合（千位、百位）： (1,2)、(2,3)、(3,4): ④结合条件①（无重复数字），逐一验证： ⑤若个位=1，十位=2，则剩余数字3、4，千位=3，百位=4（符合条件 打造“知识系统化+记忆高敏化什解题技巧化”三位一体学习方肉 7 知途引就 导航知识一一科学提分 ③)，密码=3421： ⑥验证：3、4、2、1无重复，十位2=个位1×2，百位4=千位3+1，符合 所有条件： ⑦其他组合验证：个位=2，十位=4，剩余数字1、3，千位=1，百位=2 (2已用)，矛盾；千位=3，百位=4(4已用)，矛盾： ⑧答：这个密码是3421。 圈方法总结 多方法融合法应用：结合排列组合（数字组合）、逻辑推理（条件验 证)、找规律（数字倍数、差关系），逐步缩小范围，最终锁定答案，避免盲 目尝试。 ▲易错避坑指南 直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 购物优惠计算 计算满减时，忽略“可叠加”或 先通读所有优惠规则，标注关键条 遗漏条件 “封顶”规则，导致结果错误 件（如满减上限、买赠比例），再 分步计算 跨模块知识串 解决图形+数列问题时，只找规律 明确问题的两个模块特征，先处理 联失误 忽略几何公式，或只算图形忽略 个模块（如找规律），再代入另 规律 个模块（如几何计算） 建模时忽略实 租车问题中，未考虑“每辆车装 建模时列出所有实际约束条件，求 际约束 满”“车辆数量为整数”等约束 解后验证是否符合，避免出现小数 车辆、未装满等不合理结果 多方法融合时 解决密码问题时，同时考虑多个 按条件优先级排序，先处理约束性 思路混乱 条件导致遗漏，无从下手 强的条件（如倍数关系），再处理 次要条件，逐步缩小范围 解题后反问“这个结果在生活中合 验证环节缺失 求解后未对照实际场景验证，导 致结果与实际不符 理吗”（如运费不可能为负数、票 数不能超过总人数)，及时修正 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁 士基础夯实篇(8题) 一、填空题(3题) 1.一件商品原价200元，打七五折后的价格是()元：若满100减 30,这件商品的实际价格是()元，()优惠更划算。 2.小明从家到学校，步行速度是60米/分，需要20分钟：若骑自行车， 速度是120米分，需要()分钟，骑自行车比步行节省( )分钟。 3.用1、2、3三个数字组成无重复的三位数，其中是偶数的有() 个，最大的偶数是()（跨模块：排列组合+数的特征）。 二、判断题（2题) 4.商场促销“买四送一”，相当于打八折（假设单价相同）。() 5.跨模块综合题只能用一种方法解题，不能同时调用多个模块知识。 () 三、选泽题(3题) 6.一款手机原价3000元，春节促销：①打八八折；②满2000减500， 选择哪种方案更划算？( ) A.方案① B.方案② C.两种一样 D.无法确定 7.一个长方形的长和宽都是质数，周长是20cm,面积最大是() cm2(跨模块：数的认识+几何) A.21 B.25 C.16 D.19 8.租船问题中，大船坐6人36元，小船坐4人28元，18人最省钱的租 船方案是() A.3艘大船B.5艘小船C.2艘大船+1艘小船D.1艘大船+3艘小船 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 9