专题49 工程问题（知识体系构建+考点解读+考点精讲+分层精练+精准解析+范式解题）2025-2026学年小升初数学专题总复习 （通用版）

该小学数学讲义聚焦小升初工程问题专题，教学目标是帮助学生掌握“设总量为1+效率叠加/拆分”核心方法。通过知识体系全景梳理、典型真题解构、易错避坑指南、分层进阶精练等环节，系统覆盖单人、合作、含休息工程问题，构建完整知识网络。 特色在于创新记忆与分层突破，采用口诀“总量设1效率倒数，合作相加休息减停”和图表梳理公式，培养数学思维与模型意识。如含休息问题设总时间列方程，通过“基础夯实-能力进阶-思维跃迁”练习，帮助学生建立工程问题解题模型，提升推理能力，助力教师精准把握考点，高效开展复习教学。

工程问题 📋 核心方法论与知识体系构建 1 🔍 知识体系全景梳理 1 💡 高效记忆方法 1 📊 典型真题解构与解题策略精讲 3 📝 考点一：单人工程问题 3 📏 考点二：合作工程问题 4 ⚖️ 考点三：含休息的工程问题 5 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 7 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 8 🌱 基础夯实篇（8题） 8 🚀 能力进阶篇（6题） 9 🧠 思维跃迁篇（6题） 10 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 12 🌱 基础夯实篇 12 🚀 能力进阶篇 14 🧠 思维跃迁篇 17 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 🔍 知识体系全景梳理 工程问题是小升初数学应用题模块的核心内容，围绕“工作总量→工作效率→工作时间”的关系展开，核心是“设工作总量为单位‘1’+ 效率叠加/拆分”，需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 题型特征 1. 题干含“工作”相关描述（如修路、做工、完成任务等）； 2. 存在三个核心量：工作总量（需完成的总任务）、工作效率（单位时间完成的工作量）、工作时间（完成任务的时间）； 3. 核心关系：工作总量=工作效率×工作时间 核心标志是“任务完成”场景，三个量知二求一，常需假设工作总量为单位“1” 核心数量关系 1. 基本公式：工作总量=工作效率×工作时间（）； 2. 推导公式： - 工作效率=工作总量÷工作时间（）； - 工作时间=工作总量÷工作效率（）； 3. 效率表示：单人效率=1÷单人完成时间（设工作总量为1）； - 合作效率=各单人效率之和； - 部分效率=总效率-已知部分效率 设工作总量为单位“1”是工程问题的常用技巧，效率用分数表示（如10天完成，效率为） 基础题型分类 1. 单人工程：单一主体完成任务，直接套用核心公式； 2. 合作工程：多个主体共同完成任务（同时合作、先后合作），核心是“效率叠加”； 3. 含休息的工程：主体工作过程中有停顿，需拆分“工作时间”与“休息时间”，或计算“实际工作效率” 合作工程需先求总效率，含休息的工程需明确“有效工作时间” 💡 高效记忆方法 1. 口诀记忆法 📌 核心三量：工作总量效率乘时间，效率总量除以时，时间总量除以率。 📌 总量假设：工程总量设为1，单人效率取倒数，合作效率相加算，休息效率要减停。 📌 题型解法：单人工程直接套，合作工程先求和，休息工程拆时间，有效效率是关键。 2. 图表记忆法 核心公式与效率表示表： 已知条件 未知量 计算公式 示例 （工作总量=1，单人完成时间=8天） 工作效率（）、时间（） 工作总量（） ，天， 工作总量（）、时间（） 工作效率（） ，天， 工作总量（）、效率（） 时间（） ，，天 常见题型解题步骤表： 题型 核心步骤 示例（甲8天完成，乙12天完成） 双人合作完成 ① 求单人效率：甲，乙； ② 求合作效率：； ③ 求合作时间：合作效率 合作效率=，时间=天 含休息合作 ① 求总效率； ② 假设不休息的工作量； ③ 计算超出工作量对应的休息时间 合作5天，甲休息1天，乙不休息：乙工作量=，甲工作量=，甲工作时间=天，休息时间=天 📊 典型真题解构与解题策略精讲 📝 考点一：单人工程问题 考点解读 考查单一主体的工程问题，直接套用核心公式，常以填空题、选择题形式出现，占分2-3分，是基础题型。 ✨ 典型真题1（填空题） 一项工程，甲单独做需要15天完成，甲的工作效率是（ ）；如果甲做了6天，完成的工作量是（ ），还剩下的工作量是（ ）。 ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为单位“1”，甲的工作效率=1÷15=； ② 甲做6天的工作量=效率×时间=； ③ 剩余工作量=1-； ④ 填写答案：，，。 🔄 方法总结 单人工程问题中，效率=1÷完成时间，工作量=效率×工作时间，剩余工作量=1-已完成工作量，直接套用公式即可。 ✨ 典型真题2（选择题） 一个师傅单独加工一批零件，需要20天完成，现在已经加工了5天，完成了这批零件的（ ），剩下的零件还需要（ ）天完成。 A. ，15 B. ，16 C. ，16 D. ，15 ✅ 解题步骤 ① 第一步：计算完成的工作量，效率=1÷20=，5天工作量=； ② 第二步：计算剩余工作量=1-； ③ 第三步：剩余时间=剩余工作量÷效率=天； ④ 选择答案：A。 🔄 方法总结 剩余时间=（1-已完成工作量）÷效率，也可直接用“总时间-已用时间”（20-5=15天），快速验证结果。 📏 考点二：合作工程问题 考点解读 考查多个主体合作完成任务，核心是“效率叠加”，常以应用题形式出现，占分4-5分，是高频考点。 ✨ 典型真题1（应用题） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲、乙两人合作，多少天能完成这项工程？ ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为单位“1”； ② 计算单人效率：甲的效率=，乙的效率=； ③ 计算合作效率=； ④ 计算合作时间=1÷天； ⑤ 答：甲、乙两人合作6天能完成这项工程。 🔄 方法总结 合作工程的核心是“先求总效率，再求总时间”，通分计算效率和时需注意分母最小公倍数，简化运算。 ✨ 典型真题2（应用题） 一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成，两人先合作3天，剩下的由乙单独完成，乙还需要多少天？ ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为单位“1”； ② 单人效率：甲，乙，合作效率=； ③ 合作3天的工作量=； ④ 剩余工作量=1-； ⑤ 乙单独完成剩余工作的时间=天； ⑥ 答：乙还需要4.5天（或天）。 🔄 方法总结 先后合作问题，先算合作部分的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以单独效率，得到单独工作时间。 ⚖️ 考点三：含休息的工程问题 考点解读 考查主体工作过程中有休息的场景，需拆分工作与休息时间，常以应用题形式出现，占分5-6分，难度中等。 ✨ 典型真题1（应用题） 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成，两人合作，甲中途休息了2天，乙中途休息了3天，从开始到完成这项工程一共用了多少天？ ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为单位“1”，总时间为天； ② 甲实际工作时间=天，效率，甲的工作量=； ③ 乙实际工作时间=天，效率，乙的工作量=； ④ 两人工作量之和=1，列方程：； ⑤ 通分（最小公倍数36）：； ⑥ 展开：→→天（或天）； ⑦ 答：一共用了9.6天（或天）。 🔄 方法总结 含休息的工程问题，设总时间为未知数，用“实际工作时间=总时间-休息时间”表示各主体工作时间，再根据工作量之和=1列方程求解，逻辑清晰不易出错。 ✨ 典型真题2（应用题） 一项工程，甲、乙合作需要6天完成，甲单独做需要10天完成，乙单独做时，每工作3天休息1天，乙单独完成这项工程需要多少天？ ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为单位“1”； ② 合作效率=，甲的效率=，乙的效率=； ③ 乙单独做的工作周期=3天工作+1天休息=4天，一个周期完成的工作量=； ④ 完成总工作量需要的周期数=1÷个周期，完整周期时间=5×4=20天； ⑤ 验证：5个周期完成工作量=5×，刚好完成，无额外工作时间； ⑥ 答：乙单独完成这项工程需要20天。 🔄 方法总结 含周期休息的工程，先求单人效率，再计算“工作周期”内的工作量，最后用总工作量除以周期工作量，得到周期数，进而求总时间，注意验证最后一个周期是否需完整休息。 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 效率计算错误 甲10天完成，误将效率算为10（而非） 牢记“效率=1÷完成时间”（设总量为1），效率是“单位时间的工作量”，需用分数表示，数值小于1 合作效率漏加或错加 甲效率，乙效率，误算合作效率=（正确），或误算为 合作效率是各效率之和，不是“1÷总时间之和”，需分别计算单人效率再相加 含休息问题时间拆分错误 甲休息2天，误将工作时间算为“总时间+2天” 实际工作时间=总时间-休息时间，休息时不产生工作量，需用“总时间-休息时间”计算有效工作量 工作量计算错误 合作3天，误将工作量算为“3×（甲效率+乙效率）”（正确），或“甲效率×3+乙效率×2”（无依据） 合作时若无特殊说明，默认同时工作，工作时间相同，工作量=合作效率×合作时间 总时间计算遗漏休息 乙单独做，工作3天休息1天，完成用4天，误算完成1用5×3=15天（忽略休息） 含周期休息的工程，总时间=周期数×周期长度，不能只算工作时间，遗漏休息时间 单位“1”设定混淆 部分工作量为，误将其当作总工作量计算时间 始终明确“总工作量=1”，部分工作量是总工作量的一部分，计算时间时需用“部分工作量÷效率” 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8题） 一、填空题（3题） 1． 工作总量=（ ）×（ ），工作效率=（ ）÷（ ），工作时间=（ ）÷（ ）。 2． 一项工程，甲单独做需要20天完成，甲的工作效率是（ ）；乙单独做需要25天完成，乙的工作效率是（ ）；甲、乙合作的效率是（ ），合作完成需要（ ）天。 3． 一个师傅加工一批零件，每天加工这批零件的，（ ）天能加工完；加工了8天后，完成了这批零件的（ ），还剩下（ ）。 二、判断题（2题） 4． 一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，甲的效率比乙高。（ ） 5． 合作完成一项工程，合作时间一定比任何一个人单独完成的时间短。（ ） 三、选择题（3题） 6． 一项工程，甲的效率是，甲单独完成需要（ ）天 A. 8 B. C. 16 D. 无法确定 7． 甲、乙两人合作完成一项工程，甲效率，乙效率，合作3天后，完成的工作量是（ ） A. B. C. D. 8． 一项工程，甲单独做需要12天，乙单独做需要18天，两人合作完成需要（ ）天 A. B. C. 7 D. 8 🚀 能力进阶篇（6题） 一、填空题（2题） 9． 一项工程，甲、乙合作需要8天完成，甲单独做需要12天完成，乙的效率是（ ），乙单独做需要（ ）天。 10． 一项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，两人合作2天后，剩下的由乙单独完成，乙还需要（ ）天。 二、判断题（1题） 11． 一项工程，甲、乙合作需要6天完成，若甲效率是，则乙效率是。（ ） 三、计算题（1题） 12． （1）一项工程，甲效率，乙效率，两人合作多少天能完成的工作量？ （2）一项工程，甲单独做需要16天，乙单独做需要24天，两人合作完成这项工程的需要多少天？ 四、应用题（2题） 13． 一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，丙单独做需要20天，三人合作，多少天能完成这项工程的？ 14． 一项工程，甲、乙合作需要12天完成，合作5天后，甲因事离开，剩余工程由乙单独做了14天完成，乙单独完成这项工程需要多少天？ 🧠 思维跃迁篇（6题） 一、填空题（1题） 15． 一项工程，甲单独做需要18天，乙单独做需要24天，两人合作，甲中途休息了3天，乙中途休息了若干天，一共用了12天完成，乙休息了（ ）天。 二、应用题（3题） 16． 一项工程，甲、乙合作需要8天完成，甲单独做需要12天，乙单独做时每工作2天休息1天，乙单独完成这项工程需要多少天？ 17． 一项工程，甲单独做需要20天，乙单独做需要30天，两人合作，甲每工作3天休息1天，乙每工作2天休息1天，从开始到完成这项工程一共用了多少天？ 18． 一项工程，甲队单独做需要15天完成，乙队单独做需要20天完成，丙队单独做需要25天完成，先由甲、乙两队合作5天，再由丙队加入，三队合作还需要多少天才能完成？ 三、综合题（1题） 19． 一项工程，有A、B两个工程队参与施工，A队单独做需要10天完成，B队单独做需要15天完成。 （1）A、B两队合作，多少天能完成这项工程？ （2）如果A队先做3天，剩下的由A、B两队合作完成，还需要多少天？ （3）如果A队中途休息2天，B队中途休息3天，两队同时开工，多少天能完成这项工程？ 四、拓展题（1题） 20． 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成，丙单独做需要24天完成。 （1）甲、乙、丙三人合作，多少天能完成这项工程？ （2）甲、乙合作3天后，丙加入，三队合作还需要多少天？ （3）若甲先做2天，乙、丙再加入，之后甲休息，乙、丙继续合作，前后一共用了8天完成，甲休息了多少天？ 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 🌱 基础夯实篇 一、填空题 1． 【答案】工作效率、工作时间；工作总量、工作时间；工作总量、工作效率 ✅ 解题步骤 ① 回顾工程问题核心数量关系：工作总量=工作效率×工作时间； ② 推导公式：工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率； ③ 按要求填写答案。 【知识点睛】核心三量的关系是所有工程问题的基础，需熟练背诵，做到“知二求一”。 2． 【答案】；；；（或约11.11） ✅ 解题步骤 ① 甲的效率=1÷20=，乙的效率=1÷25=； ② 合作效率=； ③ 合作时间=1÷天； ④ 填写答案。 【知识点睛】合作效率是单人效率之和，计算时需通分，合作时间=1÷合作效率，结果用分数表示更准确。 3． 【答案】12；； ✅ 解题步骤 ① 加工完需要的时间=1÷天； ② 8天完成的工作量=； ③ 剩余工作量=1-； ④ 填写答案。 【知识点睛】工作量=效率×时间，剩余工作量=总工作量-已完成工作量，注意分数化简。 二、判断题 4． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 甲的效率=，乙的效率=； ② 甲比乙高的效率差=； ③ 高的比例=，题干说“高”，正确结论：×； 【知识点睛】“A比B高几分之几”=（A-B）÷B，需用效率差除以“比”后面的乙的效率，而非甲的效率。 5． 【答案】√ ✅ 解题步骤 ① 合作效率=甲效率+乙效率，总效率大于任意一个单人效率； ② 工作时间=1÷总效率，总效率越大，时间越短，因此合作时间比单人时间短； ③ 得出结论：正确。 【知识点睛】合作效率叠加后大于单人效率，因此合作时间必然小于任何一个人单独完成的时间。 三、选择题 6． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 工作时间=工作总量÷工作效率=1÷天； ② 选择答案：A。 【知识点睛】已知效率求完成时间，直接用“1÷效率”，效率是“每天完成的比例”，时间是总天数。 7． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 合作效率=； ② 3天工作量=； ③ 选择答案：A。 【知识点睛】合作工作量=合作效率×合作时间，先求总效率，再计算工作量。 8． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 合作效率=； ② 合作时间=1÷天； ③ 选择答案：A。 【知识点睛】合作时间=1÷合作效率，通分计算效率和时，最小公倍数是36，简化运算。 🚀 能力进阶篇 一、填空题 9． 【答案】；24 ✅ 解题步骤 ① 合作效率=，甲的效率=； ② 乙的效率=合作效率-甲的效率=； ③ 乙单独完成时间=1÷天； ④ 填写答案。 【知识点睛】已知合作效率和其中一个单人效率，用“减法”求另一个效率，再求单独完成时间。 10． 【答案】（或约6.67） ✅ 解题步骤 ① 合作效率=； ② 合作2天工作量=； ③ 剩余工作量=1-； ④ 乙单独完成时间=天； ⑤ 填写答案。 【知识点睛】先后合作问题，先算合作部分工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以乙的效率。 二、判断题 11． 【答案】√ ✅ 解题步骤 ① 合作效率=，甲的效率=； ② 乙的效率=； ③ 与题干一致，得出结论：正确。 【知识点睛】乙的效率=合作效率-甲的效率，通分计算时注意分母最小公倍数，确保结果准确。 三、计算题 12． 【答案】（1）3天；（2）7.2天（或天） ✅ 解题步骤 ① （1）合作效率=； ② 完成的时间=天； ③ （2）合作效率=； ④ 完成的时间=天； ⑤ 得出结论。 【知识点睛】求完成部分工作量的时间，用“部分工作量÷合作效率”，直接套用推导公式。 四、应用题 13． 【答案】天（或约1.91天） ✅ 解题步骤 ① 设工作总量为1，三人效率分别为：甲，乙，丙； ② 三人合作效率=； ③ 完成的时间=天； ④ 答：需要天（或约3.46天）。 【知识点睛】三人合作效率是三人效率之和，计算时通分找最小公倍数（60），简化分数运算。 14． 【答案】24天 ✅ 解题步骤 ① 设乙的效率为，合作效率=，则甲的效率=； ② 合作5天工作量=； ③ 乙单独14天工作量=； ④ 总工作量=合作工作量+乙单独工作量，即； ⑤ 解方程：→； ⑥ 乙单独完成时间=1÷天； ⑦ 答：乙单独完成这项工程需要24天。 【知识点睛】未知单人效率时，设效率为未知数，根据“总工作量=各部分工作量之和”列方程，是常用解题方法。 🧠 思维跃迁篇 一、填空题 15． 【答案】4 ✅ 解题步骤 ① 设乙休息了天，总时间12天； ② 甲实际工作时间=12-3=9天，工作量=； ③ 乙实际工作时间=12-天，工作量=； ④ 总工作量=1，列方程：； ⑤ 解方程：→12-=12→； ⑥ 填写答案。 【知识点睛】已知总时间和一个主体的休息时间，设另一个主体的休息时间为未知数，根据工作量之和=1列方程，快速求解。 二、应用题 16． 【答案】36天 ✅ 解题步骤 ① 合作效率=，甲的效率=，乙的效率=； ② 乙的工作周期=2天工作+1天休息=3天，一个周期完成工作量=； ③ 完成总工作量需要周期数=1÷个； ④ 总时间=12×3=36天； ⑤ 答：乙单独完成需要36天。 【知识点睛】含周期休息的工程，先求单人效率，再算周期工作量和周期数，总时间=周期数×周期长度。 17． 【答案】14天 ✅ 解题步骤 ① 甲的周期=4天（3工作1休息），效率，周期工作量=； ② 乙的周期=3天（2工作1休息），效率，周期工作量=； ③ 找周期公倍数12天，甲12天完成3个周期，工作量=； ④ 乙12天完成4个周期，工作量=； ⑤ 12天总工作量=； ⑥ 剩余工作量=； ⑦ 第13天：甲工作（第13天是甲第4周期第1天），乙工作（第13天是乙第5周期第1天），合作效率=，工作量=； ⑧ 剩余工作量=； ⑨ 第14天：甲工作，乙工作，合作1天完成，完成； ⑩ 答：一共用了14天。 【知识点睛】多人含周期休息，先算共同周期内的工作量，再逐步计算剩余工作量，避免漏算每天的工作状态。 18． 【答案】天（或约1.47天） ✅ 解题步骤 ① 甲、乙合作5天，效率和=，工作量=； ② 剩余工作量=； ③ 三队合作效率=； ④ 还需要时间=天； ⑤ 答：还需要天（或约2.66天）。 【知识点睛】分阶段合作问题，先算前一阶段工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工作量除以新的合作效率。 三、综合题 19． 【答案】（1）6天；（2）天；（3）9天 ✅ 解题步骤 ① （1）合作效率=，时间=1÷天； ② （2）甲先做3天工作量=，剩余工作量=，合作时间=天； ③ （3）设总时间天，甲工作天，乙工作天，，解得天； ④ 答：（1）6天；（2）天；（3）9天。 【知识点睛】综合题需覆盖单人、合作、含休息三类题型，分别套用对应公式，步骤清晰，计算时注意通分和方程求解。 四、拓展题 20． 【答案】（1）天；（2）天；（3）3天 ✅ 解题步骤 ① （1）三队合作效率=，时间=1÷天； ② （2）甲、乙合作3天工作量=，剩余，三队合作时间=天； ③ （3）设甲休息天，总时间8天，甲工作天，乙、丙工作8天，，解得天； ④ 答：（1）天；（2）天；（3）3天。 【知识点睛】拓展题需结合多阶段合作和含休息的场景，设未知数列方程是核心方法，注意各主体的工作时间对应。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $知遮引就 导航知识一一科学提分 工程问题 目核心方法论与知识体系构建… .1 C知识体系全景梳理… .1 ?高效记忆方法 1 d典型真题解构与解题策略精讲.… 3 司考点一：单人工程问题3 。考点二：合作工程问题.… .4 企考点三：含休息的工程问题 .5 A易错避坑指南一一直击失分痛点，突破提分瓶颈 .7 ●分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁8 士基础夯实篇(8题)8 能力进阶篇(6题) 9 禽思维跃迁篇(6题) .10 。精准解析与解题范式一思路拆解·步骤规范·知识点睛…12 上基础夯实篇 .12 罗能力进阶篇14 喝思维跃迁篇 ..17 打造“知识系统化+记忆高数化+解题技巧化”三位一体学习方穿 知途引就 导航知识一一科学提分 目核心方法论与知识体系构建 Q知识体系全景梳理 工程问题是小升初数学应用题模块的核心内容，围绕“工作总量→工作效 率→工作时间”的关系展开，核心是“设工作总量为单位'+效率叠加拆 分”，需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 1.题干含“工作”相关描述（如修路、 做工、完成任 核心标志是“任 务等)： 务完成”场景， 题型特征 2.存在三个核心量：工作总量（需完成的总任务）、 三个量知二求 工作效率（单位时间完成的工作量）、工作时间（完成 一，常需假设工 任务的时间)： 作总量为单位 3.核心关系：工作总量=工作效率×工作时间 “1” 1.基本公式：工作总量=工作效率X工作时间(W= PXt); 2.推导公式： 设工作总量为单 位“1”是工程 - 工作效率=工作总量÷工作时间(P=W÷t): 问题的常用技 核心数量 巧，效率用分数 关系 工作时间=工作总量÷工作效率(t=W÷P): 表示（如10天 3.效率表示：单人效率=1÷单人完成时间（设工作总 完成，效率为 量为1)： 1、 10 - 合作效率=各单人效率之和； 部分效率=总效率-已知部分效率 1. 单人工程：单一主体完成任务，直接套用核心公 式 合作工程需先求 2.合作工程：多个主体共同完成任务（同时合作、先 基础题型 总效率，含休息 分类 后合作)，核心是“效率叠加”； 的工程需明确 3.含休息的工程：主体工作过程中有停顿，需拆分 “有效工作时 “工作时间”与“休息时间”，或计算“实际工作效 间” 案” 高效记忆方法 1.口诀记忆法 ◆核心三量：工作总量效率乘时间，效率总量除以时，时间总量除以 率。 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 1 知途引就 导航知识一一科学提分 ◆总量假设：工程总量设为1，单人效率取倒数，合作效率相加算，休息 效率要减停。 ◆题型解法：单人工程直接套，合作工程先求和，休息工程拆时间，有 效效率是关键。 2.图表记忆法 核心公式与效率表示表： 示例 已知条件 未知量 计算公式 (工作总量=1，单人完成时间=8 天) 工作效率(P)、 工作总量(W) 时间(t) W-Pxt P=台t=4妖，W=后x4=主 8 工作总量(W) 、 工作效率(P) P=W÷t 时间(t) W=1,t=8天，P=1÷8=日 工作总量(W)、 t=W÷P 效率(P) 时间(t) w=1,P=t=1÷8天 常见题型解题步骤表： 题型 核心步骤 示例（甲8天完成，乙12天完 成) ①求单人效率：甲哈乙 2 .5 双人合作完成 ②求合作效率： 日+a 1 合作效率品+品=品时间 24 1←身4=48天 ③求合作时间：1÷合作效率 合作5天，甲休息1天，乙不 ①求总效率： 休息：乙工作量品×5=品 12 7 含休息合作 ②假设不休息的工作量： 甲工作篮1-定 甲工作 ③计算超出工作量对应的休息时间 时同蜜生天，快泉时间 12 5-普-天 打造“知识深统化+记忆高放化+假瓶技巧化”三位一体学习方穷 知途引就 导航知识一一科学提分 d奥型真题解构与解题策略精讲 司考点一：单人工程问题 考点解读 考查单一主体的工程问题，直接套用核心公式，常以填空题、选择题形式 出现，占分2-3分，是基础题型。 补典型真题1（填空题） 一项工程，甲单独做需要15天完成，甲的工作效率是( ):如果甲 做了6天，完成的工作量是( ),还剩下的工作量是( )。 ☑解题步骤 ①设工作总量为单位“1”，甲的工作效率=115= ②甲做6天的工作量=效率×时间=号×6=号=： ③剩余工作量=1号= ④填写答案：子 ©方法总结 单人工程问题中，效率=1÷完成时间，工作量=效率×工作时间，剩余工作 量=1-已完成工作量，直接套用公式即可。 ◆典型真题2（选择题） 一个师傅单独加工一批零件，需要20天完成，现在已经加工了5天，完 成了这批零件的( ),剩下的零件还需要( )天完成。 A.,15B.3,16C.子16 D.3,15 ☑解题步骤 ①第一步：计算完成的工作量，效率=1+20=品05天工作量=品×5= ②第二步：计算利余工作量=1- 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方实 3 知途引就 导航知识一一科学提分 ③第三步：剩余时间=剩余工作量+效率=÷=15天： 20 ④选择答案：A。 图方法总结 剩余时间=(1-已完成工作量)÷效率，也可直接用“总时间-已用时间” (20-5=15天)，快速验证结果。 考点二：合作工程问题 考点解读 考查多个主体合作完成任务，核心是“效率叠加”，常以应用题形式出 现，占分4-5分，是高频考点。 ◆典型真题1（应用题） 一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成，甲、乙两 人合作，多少天能完成这项工程？ ☑解题步骤 ①设工作总量为单位“1”； ②计算单人效率：甲的效率=1÷10=0乙的效率=1÷15= ③计算合作效率=品+号=品+品=品=君 ④计算合作时间=1*号=6天： ⑤答：甲、乙两人合作6天能完成这项工程。 图方法总结 合作工程的核心是“先求总效率，再求总时间”，通分计算效率和时需注 意分母最小公倍数，简化运算。 特典型真题2（应用题） 一项工程，甲单独做需要8天完成，乙单独做需要12天完成，两人先合 作3天，剩下的由乙单独完成，乙还需要多少天？ 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ☑解题步骤 ①设工作总量为单位“1”； ②单人效率：甲酷乙品合作效率=日+立= ③合作3天的工作量=员×3-芸- ④剩余工作量=1- ⑤乙单独完成利余工作的时间=号÷立=×12=台=45天： ⑥答：乙还需要4.5天（或天)。 图方法总结 先后合作问题，先算合作部分的工作量，再求剩余工作量，最后用剩余工 作量除以单独效率，得到单独工作时间。 女考点三：含休息的工程问题 考点解读 考查主体工作过程中有休息的场景，需拆分工作与休息时间，常以应用题 形式出现，占分5-6分，难度中等。 补典型真题1（应用题） 一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成，两人合 作，甲中途休息了2天，乙中途休息了3天，从开始到完成这项工程一共用了 多少天？ ☑解题步骤 ①设工作总量为单位1”，总时间为x天： ②甲实际工作时间=x-2天，效率2，甲的工作量=x-2): ③乙实际工作时间=x-3天，效率a,乙的工作量=x-3): ④两人工作量之和=1，列方程：立x-2)+x-3)=1: ⑤通分（最小公倍数36）：3(x-2)+2(x-3)=36; 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方穷 5 知途引就 导航知识一一科学提分 ⑥展开：3x-6+2x-6=36→5x=48→x=9.6天（或想天）； ⑦答：一共用了9.6天（或8天）。 圈方法总结 含休息的工程问题，设总时间为未知数，用“实际工作时间=总时间休息 时间”表示各主体工作时间，再根据工作量之和=1列方程求解，逻辑清晰不易 出错。 锋典型真题2（应用题） 一项工程，甲、乙合作需要6天完成，甲单独做需要10天完成，乙单独 做时，每工作3天休息1天，乙单独完成这项工程需要多少天？ ☑解题步骤 ①设工作总量为单位“1”； ②合作效率=名甲的效率=品乙的效率=君品=品品=品=言 ③乙单独做的工作周期=3天工作+1天休息=4天，一个周期完成的工作量 =品×3=是-= ④完成总工作量需要的周期数=1÷号=5个周期，完整周期时间=5×4=20 天： ⑤验证：5个周期完成工作量=5×号=1，刚好完成，无额外工作时间： ⑥答：乙单独完成这项工程需要20天。 ©方法总结 含周期休息的工程，先求单人效率，再计算“工作周期”内的工作量，最 后用总工作量除以周期工作量，得到周期数，进而求总时间，注意验证最后一 个周期是否需完整休息。 6 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ▲易错避坑指南 一直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 效率计算 甲10天完成，误将效率算为10 牢记“效率=1÷完成时间”（设总量 错误 (而非品 为1)，效率是“单位时间的工作 量”，需用分数表示，数值小于1 合作效率 甲效率， 乙效率 2 误算合作效 合作效率是各效率之和，不是“1÷ 漏加或错 24 (正确)，或误算 总时间之和”，需分别计算单人效率 加 为3+1-20 1 再相加 含休息问 实际工作时间=总时间-休息时间，休 题时间拆 甲休息2天，误将工作时间算为 分错误 “总时间+2天” 息时不产生工作量，需用“总时间 休息时间”计算有效工作量 合作3天，误将工作量算为“3× 工作量计 合作时若无特殊说明，默认同时工 (甲效率+乙效率)”（正确）， 算错误 或“甲效率×3+乙效率×2”（无 作，工作时间相同，工作量=合作效 依据) 率×合作时间 总时间计 乙单独做，工作3天休息1天， 含周期休息的工程，总时间=周期数 算遗漏休 完成用4天，误算完成1用 ×周期长度，不能只算工作时间，遗 息 5×3=15天（忽略休息） 漏休息时间 单位“1” 部分工作量为， 始终明确“总工作量=1”，部分工作 误将其当作总工 设定混淆 量是总工作量的一部分，计算时间时 作量计算时间 需用“部分工作量÷效率” 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 口分层进阶专题精练—基础夯实·能力进阶·思维跃迁 基础夯实篇(8题) 一、填空题(3题) 1.工作总量=( )×( ),工作效率=()÷ (),工作时间=( )÷( )。 2.一项工程，甲单独做需要20天完成，甲的工作效率是( );乙 单独做需要25天完成，乙的工作效率是( );甲、乙合作的效率是 ( ),合作完成需要( )天。 3.一个师傅加工一批零件，每天加工这批零件的，（ )天能加工 完：加工了8天后，完成了这批零件的()，还剩下()。 二、判断题（2题) 4.一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，甲的效率比乙 高}。( 5.合作完成一项工程，合作时间一定比任何一个人单独完成的时间短。 ( 三、选泽题（3题) 6.一项工程，甲的效率是，甲单独完成需要（)天 A.8B.8 C.16 D.无法确定 7.甲、乙两人合作完成一项工程，甲效率。，乙效率言，合作3天后，完 成的工作量是( A. B.0 c. D. 8.一项工程，甲单独做需要12天，乙单独做需要18天，两人合作完成 需要( )天 A普 B.3 C.7D.8 8 打造“知积系称化什配配富敏化什解题巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 能力进阶篇(6题) 一、填空题（2题) 9.一项工程，甲、乙合作需要8天完成，甲单独做需要12天完成，乙的 效率是( ),乙单独做需要( )天。 10.一项工程，甲单独做需要15天，乙单独做需要10天，两人合作2天 后，剩下的由乙单独完成，乙还需要()天。 二、判斷题（1题) 11.一项工程，甲、乙合作需要6天完成，若甲效率是：则乙效率是 三、计算题（1题) 12.(1)一项工程，甲效率号乙效率：，两人合作多少天能完成？的工 作量？ (2)一项工程，甲单独做需要16天，乙单独做需要24天，两人合作完 成这项工程的需要多少天？ 四、应用题(2题) 13.一项工程，甲单独做需要10天，乙单独做需要15天，丙单独做需要 20天，三人合作，多少天能完成这项工程的？ 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 9