专题57 排列组合与统筹优化（知识体系构建+考点解读+考点精讲+分层精练+精准解析+范式解题）2025-2026学年小升初数学专题总复习 （通用版）

该小学数学讲义聚焦小升初排列组合与统筹优化专题，涵盖简单排列、组合及烙饼、排队等统筹问题，通过知识体系梳理、口诀图表记忆、典型真题精讲、分层进阶练习四环节，帮助学生掌握有序无序区分、最优策略设计等核心方法。 亮点在于“口诀+图表”双维记忆法和分层实战训练，如用“排列有序组合无序”口诀结合对比表区分核心概念，设计从基础排列到多收银台优化的阶梯练习，培养学生抽象能力与推理意识，助力教师精准突破考点，提升学生解题效率与思维品质。

排列组合与统筹优化 📋 核心方法论与知识体系构建 1 🔍 知识体系全景梳理 1 💡 高效记忆方法 1 📊 典型真题解构与解题策略精讲 2 📝 考点一：简单排列问题（数字、人物排列） 2 📏 考点二：简单组合问题（选物品、组队） 3 ⚖️ 考点三：统筹优化基础题型（烙饼问题、排队问题） 5 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 7 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 8 🌱 基础夯实篇（8题） 8 🚀 能力进阶篇（6题） 9 🧠 思维跃迁篇（6题） 10 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 12 🌱 基础夯实篇 12 🚀 能力进阶篇 15 🧠 思维跃迁篇 17 知途引航 导航知识——科学提分 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案 学科网（北京）股份有限公司 📋 核心方法论与知识体系构建 🔍 知识体系全景梳理 排列组合与统筹优化是小升初数学思维模块的重要内容，围绕“有序排列→无序组合→高效统筹”展开，核心是“区分有序与无序+寻找最优方案”，需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 简单排列问题 1. 定义：从n个不同元素中选出m个，按一定顺序排成一列（顺序不同为不同排列）； 2. 常见类型：数字排列、人物排队、位置安排等； 3. 计算方法：分步计数（先选第一个位置，再选第二个……） 核心是“有序性”，顺序改变则为不同排列，需避免重复或遗漏 简单组合问题 1. 定义：从n个不同元素中选出m个，不考虑顺序组成一组（顺序不同为同一组合）； 2. 常见类型：选物品、组队、选代表等； 3. 计算方法：分步计数后排除重复（组合数=排列数÷顺序数） 核心是“无序性”，顺序不影响结果，需与排列问题明确区分 统筹优化基础题型 1. 烙饼问题：合理安排烙饼顺序，利用锅的容量减少总时间（总时间=饼数×2×每面时间÷锅容量，有余数进1）； 2. 排队问题：让用时短的先进行，减少总等待时间（总等待时间=每个人等待时间之和）； 3. 其他优化：合理分配任务、路线规划等，核心是“省时间、省资源” 核心是“最优策略”，需找到能最大化利用资源、最小化消耗（时间/资源）的方案 💡 高效记忆方法 1. 口诀记忆法 📌 排列组合：排列有序，组合无序；排列分步选，组合排后去重。 📌 烙饼问题：饼数乘二乘面时，除以锅容得总时，有余数时进一位，省时关键用满锅。 📌 排队问题：用时短的先上前，总等待时能最小，每人等待看前面，累加求和算总量。 📌 统筹核心：资源用满，顺序优化，时间最短，效率最高。 2. 图表记忆法 排列与组合区别表（简表）： 类型 核心特征 示例 计算思路 排列 有序，顺序不同为不同结果 从3人中选2人排队（甲、乙≠乙、甲） 3×2=6种（先选第一个人3种，再选第二个人2种） 组合 无序，顺序不同为同一结果 从3人中选2人组队（甲、乙=乙、甲） （3×2）÷2=3种（排除重复的顺序） 统筹优化基础题型表（简表）： 题型 核心策略 示例 计算方法 烙饼问题 锅尽量放满，交替烙 锅能放2张饼，每面3分钟，烙3张饼 （3×2×3）÷2=9分钟（先烙1、2正面，再烙1反面、3正面，最后烙2、3反面） 排队问题 用时短先进行 3人打水用时2、3、5分钟 总等待时间=2×2+3×1=7分钟（2分钟的先打，3分钟的等2分钟，5分钟的等2+3分钟） 📊 典型真题解构与解题策略精讲 📝 考点一：简单排列问题（数字、人物排列） 考点解读 考查排列的有序性及分步计数方法，常以填空题、选择题形式出现，占分3-4分。 ✨ 典型真题1（填空题） 用数字1、2、3可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，其中最大的两位数是（ ），最小的两位数是（ ）。 ✅ 解题步骤 ① 明确是排列问题（两位数顺序不同为不同数）； ② 分步选数字：十位上可以选1、2、3（3种选择），个位上选剩下的2个数字（2种选择）； ③ 计算排列数：3×2=6种； ④ 找出最大和最小：最大的两位数是32（十位选最大3，个位选次大2），最小的是12（十位选最小1，个位选次小2）； ⑤ 填写答案：6，32，12。 🔄 方法总结 数字排列问题：先确定每个数位的可选数字，再用“分步相乘”计算总数，最大数从高位到低位选最大数字，最小数则选最小数字。 ✨ 典型真题2（选择题） 3名同学（甲、乙、丙）排成一排拍照，一共有（ ）种不同的排法 A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 ✅ 解题步骤 ① 明确是人物排列（顺序不同为不同排法）； ② 分步计数：第一个位置有3种选择（甲、乙、丙），第二个位置有2种选择（剩下2人），第三个位置有1种选择（最后1人）； ③ 计算总数：3×2×1=6种； ④ 验证排法：甲→乙→丙、甲→丙→乙、乙→甲→丙、乙→丙→甲、丙→甲→乙、丙→乙→甲，共6种； ⑤ 选择答案：B。 🔄 方法总结 人物排列问题：n个不同人物全排列，排法数= n×(n-1)×…×1（阶乘思想），小学阶段用分步相乘直接计算即可。 📏 考点二：简单组合问题（选物品、组队） 考点解读 考查组合的无序性及去重计算方法，常以填空题、应用题形式出现，占分3-5分。 ✨ 典型真题1（填空题） 从苹果、香蕉、橘子3种水果中选2种，一共有（ ）种不同的选法，分别是（ ）。 ✅ 解题步骤 ① 明确是组合问题（选2种水果，顺序不影响）； ② 列举所有可能：苹果和香蕉、苹果和橘子、香蕉和橘子； ③ 计算组合数：共3种，也可通过排列数推导（3×2÷2=3种，除以2是排除重复顺序）； ④ 填写答案：3，苹果和香蕉、苹果和橘子、香蕉和橘子。 🔄 方法总结 组合问题可通过“列举法”避免重复，也可先按排列计算再除以顺序数（选m个元素除以m×(m-1)×…×1）。 ✨ 典型真题2（应用题） 学校组织跳绳比赛，从4名同学（A、B、C、D）中选2人组成一组参加双人赛，一共有多少种不同的组队方式？ ✅ 解题步骤 ① 确定是组合问题（组队顺序不影响，A和B与B和A是同一组）； ② 分步计算：先选第一个人有4种选择，再选第二个人有3种选择，共4×3=12种排列； ③ 排除重复：每组被计算了2次（如A、B和B、A），因此组合数=12÷2=6种； ④ 列举验证：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种； ⑤ 答：一共有6种不同的组队方式。 🔄 方法总结 组队类组合问题：n人选2人，组合数= n×(n-1)÷2，小学阶段可通过列举或分步去重计算，确保不重复不遗漏。 ⚖️ 考点三：统筹优化基础题型（烙饼问题、排队问题） 考点解读 考查统筹优化的核心策略（省时间、满资源），常以应用题形式出现，占分4-6分。 ✨ 典型真题1（应用题） 一口平底锅最多能烙2张饼，烙1张饼需要4分钟（正面2分钟，反面2分钟），烙5张饼最少需要多少分钟？ ✅ 解题步骤 ① 明确烙饼问题核心：锅尽量放满，减少空锅时间； ② 计算总面数：5张饼×2面=10面； ③ 锅每次能烙2面，需烙次数：10面÷2面/次=5次； ④ 每次2分钟，总时间=5次×2分钟=10分钟； ⑤ 验证流程： ⑥ 第1次：烙饼1正面、饼2正面（2分钟）； ⑦ 第2次：烙饼1反面、饼2反面（2分钟，完成2张）； ⑧ 第3次：烙饼3正面、饼4正面（2分钟）； ⑨ 第4次：烙饼3反面、饼5正面（2分钟）； ⑩ 第5次：烙饼4反面、饼5反面（2分钟，完成3张）； ⑪ 总时间=2×5=10分钟； ⑫ 答：烙5张饼最少需要10分钟。 🔄 方法总结 烙饼问题公式：总时间=（饼数×2×每面时间）÷锅容量（结果为整数），当饼数＞1时，避免一张一张烙，尽量让锅每次都有2张饼。 ✨ 典型真题2（应用题） 3名同学同时到医务室看病，甲换药需要5分钟，乙打针需要3分钟，丙测体温需要1分钟，医生如何安排就诊顺序能让3人等待时间总和最少？最少等待时间总和是多少？ ✅ 解题步骤 ① 明确排队问题核心：用时短的先就诊，减少总等待时间； ② 确定就诊顺序：丙（1分钟）→乙（3分钟）→甲（5分钟）； ③ 计算每人等待时间： ④ 丙就诊时，无人等待，等待时间0分钟； ⑤ 乙就诊时，等待时间=丙的用时=1分钟； ⑥ 甲就诊时，等待时间=丙的用时+乙的用时=1+3=4分钟； ⑦ 总等待时间总和=0+1+4=5分钟（注意：总等待时间是每个人等待的时间之和，不含就诊时间）； ⑧ 验证：若顺序相反，总等待时间=0+5+（5+3）=13分钟，远大于5分钟； ⑨ 答：就诊顺序为丙→乙→甲，最少等待时间总和是5分钟。 🔄 方法总结 排队问题策略：按用时从短到长排序，总等待时间=每个任务的用时×（等待人数）之和，避免让用时久的先进行导致其他人长时间等待。 ⚠️ 易错避坑指南——直击失分痛点，突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 混淆排列与组合 把“从5人中选2人组队”算成5×4=20种（排列数） 牢记“有序为排列，无序为组合”，组队、选物品等无序问题需除以顺序数 烙饼问题算错总面数 烙3张饼，误按3×1=3面计算，忽略每饼2面 先算总面数=饼数×2，再按锅容量算次数，避免漏算反面 排队问题总等待时间算错 把“就诊时间”计入总等待时间，或漏加部分等待时间 总等待时间是“每个人等待的时间之和”（不含自己的就诊时间），按顺序逐一累加 排列问题重复或遗漏 用1、2、3组成两位数，漏算13或重复算22（重复数字） 排列时明确“无重复数字”要求，按数位分步计数，或列举所有情况验证 统筹优化未用满资源 烙饼时每次只烙1张，或排队时让用时久的先进行 优化策略的核心是“满资源、短优先”，先考虑如何最大化利用资源，再排序 📚 分层进阶专题精练—基础夯实・能力进阶・思维跃迁 🌱 基础夯实篇（8题） 一、填空题（3题） 1． 用数字0、1、2可以组成（ ）个没有重复数字的两位数，分别是（ ）。 2． 从语文、数学、英语3本书中选2本，一共有（ ）种不同的选法，分别是（ ）。 3． 一口锅能烙2张饼，每面烙2分钟，烙2张饼最少需要（ ）分钟，烙3张饼最少需要（ ）分钟。 二、判断题（2题） 4． 从4名同学中选2人参加比赛，一共有4×3=12种不同的选法。（ ） 5． 烙饼时，饼数越多，烙饼总时间一定越长。（ ） 三、选择题（3题） 6． 用数字2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，一共有（ ）种 A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 7． 把5个苹果分给3个小朋友，每人至少分1个，属于（ ）问题 A. 排列 B. 组合 C. 统筹优化 D. 以上都不是 8． 4人排队打水，用时分别为1、2、3、4分钟，最优顺序的总等待时间是（ ）分钟 A. 10 B. 14 C. 16 D. 20 🚀 能力进阶篇（6题） 一、填空题（2题） 9． 3个不同的玩具摆成一排，一共有（ ）种不同的摆法；如果选2个玩具送给小朋友，一共有（ ）种不同的送法。 10． 妈妈烙饼，每次最多烙3张，每面2分钟，烙4张饼最少需要（ ）分钟，烙6张饼最少需要（ ）分钟。 二、判断题（1题） 11． 用1、3、5、7组成没有重复数字的两位数，最大的与最小的相差64。（ ） 三、计算题（1题） 12． 计算： （1）从6人中选2人组队，有多少种不同的组队方式？ （2）6人排成一排拍照，有多少种不同的排法？ 四、应用题（2题） 13． 学校组织乒乓球比赛，有5名同学报名参加单打比赛，每2人赛一场，一共要赛多少场？ 14． 一口平底锅烙饼，每次最多放2张，烙熟1张需6分钟（每面3分钟），妈妈要烙7张饼，最少需要多少分钟？ 🧠 思维跃迁篇（6题） 一、填空题（1题） 15． 用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，一共有（ ）种，其中十位上是3的有（ ）种。 二、应用题（3题） 16． 甲、乙、丙、丁4人排队买电影票，甲用时2分钟，乙用时3分钟，丙用时1分钟，丁用时4分钟，如何安排顺序能让4人等待时间总和最少？最少是多少分钟？ 17． 从3名男生和2名女生中选1名男生和1名女生组成一组参加活动，一共有多少种不同的组合方式？ 18． 妈妈要做晚饭，淘米需要2分钟，煮饭需要20分钟，洗菜需要5分钟，切菜需要3分钟，炒菜需要10分钟，妈妈最少需要多少分钟能做好晚饭？（煮饭时可以做其他事） 三、综合题（1题） 19． （1）用数字0、2、4、6可以组成多少个没有重复数字的三位数？ （2）从这些三位数中选2个，组成减法算式，差最大是多少？ 四、拓展题（1题） 20． 某超市有3个收银台，同时来了5名顾客，结账用时分别为2、3、4、5、6分钟，如何分配顾客到收银台，能让所有顾客结账完成的总时间（从顾客到达至结账结束）最少？最少总时间是多少？ 🔍 精准解析与解题范式—思路拆解・步骤规范・知识点睛 🌱 基础夯实篇 一、填空题 1． 【答案】4，10、12、20、21 ✅ 解题步骤 ① 明确两位数的十位不能为0（0不能在最高位）； ② 十位可选数字：1、2（2种选择）； ③ 十位为1时，个位可选0、2（2种：10、12）； ④ 十位为2时，个位可选0、1（2种：20、21）； ⑤ 总排列数：2×2=4种； ⑥ 填写答案。 【知识点睛】数字排列需注意“0不能在最高位”，先确定高位再确定低位，避免无效排列。 2． 【答案】3，语文和数学、语文和英语、数学和英语 ✅ 解题步骤 ① 明确是组合问题（选2本书，顺序不影响）； ② 列举所有组合：语文和数学、语文和英语、数学和英语； ③ 计算组合数：3种，也可通过（3×2）÷2=3种推导； ④ 填写答案。 【知识点睛】组合问题用列举法更直观，适合小学阶段，避免计算出错。 3． 【答案】4，6 ✅ 解题步骤 ① 烙2张饼：锅能放满，同时烙正面2分钟，再同时烙反面2分钟，总时间=2+2=4分钟； ② 烙3张饼：按“最优策略”，先烙1、2正面（2分钟），再烙1反面、3正面（2分钟），最后烙2、3反面（2分钟），总时间=2×3=6分钟； ③ 填写答案。 【知识点睛】烙3张饼是经典题型，核心是“交替烙”，避免空锅，比一张一张烙节省时间。 二、判断题 4． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 从4人中选2人组队是组合问题（无序）； ② 排列数=4×3=12种，但组合数需排除重复，12÷2=6种； ③ 题干按排列计算，错误； ④ 得出结论：错误。 【知识点睛】组队、选代表等问题均为组合，需除以顺序数，避免混淆排列与组合。 5． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 烙饼总时间与饼数、锅容量、每面时间相关，并非只看饼数； ② 示例：锅能烙4张饼，烙4张饼需（4×2×2）÷4=4分钟，烙5张饼需（5×2×2）÷4=5分钟（进1），饼数增加但时间增加不多； ③ 若锅容量大，饼数增加可能不会明显延长时间，题干表述绝对； ④ 得出结论：错误。 【知识点睛】统筹优化问题需结合资源（锅容量）判断，不能单一看数量。 三、选择题 6． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 组成三位数，分步计数：百位3、4、5（4种选择），十位选剩下3个数字（3种），个位选剩下2个数字（2种）； ② 排列数=4×3×2=24种； ③ 选择答案：B。 【知识点睛】n个不同数字组成三位数（无重复），排列数= n×(n-1)×(n-2)（n≥3）。 7． 【答案】B ✅ 解题步骤 ① 分析选项： ② A选项排列：有序，不符合“分苹果”（无序）； ③ B选项组合：无序，分苹果不考虑顺序，每人至少1个，属于组合分配问题； ④ C选项统筹优化：需优化策略，题干仅问分配方式，不属于； ⑤ 选择答案：B。 【知识点睛】分配物品且不考虑顺序，属于组合问题，若考虑顺序则为排列。 8． 【答案】A ✅ 解题步骤 ① 最优顺序：用时1分钟→2分钟→3分钟→4分钟； ② 计算总等待时间：1×3（后面3人等）+2×2（后面2人等）+3×1（后面1人等）+4×0=3+4+3=10分钟； ③ 选择答案：A。 【知识点睛】总等待时间=每个用时×（等待人数），等待人数=总人数-当前序号，按顺序累加。 🚀 能力进阶篇 一、填空题 9． 【答案】6，3 ✅ 解题步骤 ① 3个玩具全排列：3×2×1=6种（有序）； ② 选2个玩具送给小朋友：组合问题，（3×2）÷2=3种（无序）； ③ 填写答案。 【知识点睛】“摆成一排”是排列（有序），“选2个送”是组合（无序），需明确区分场景。 10． 【答案】6，8 ✅ 解题步骤 ① 最优策略：第一次烙饼1、2、3正面（2分钟）； ② 第二次烙饼1反面、4正面、2反面（2分钟）； ③第三次烙饼3反面、4反面（2分钟）； ④ 总时间=2×3=6分钟（4张饼共8面，3面/次，需3次，3×2=6分钟）； ⑤烙6张饼：6×2=12面，3面/次，需4次，4×2=8分钟（每次放满3张）； ⑥ 填写答案：6，8。 【知识点睛】锅容量大于2时，仍需尽量放满，合理安排正反面，减少次数。 二、判断题 11． 【答案】× ✅ 解题步骤 ① 组成最大两位数：75（十位选7，个位选5）； ② 组成最小两位数：13（十位选1，个位选3）； ③ 差值：75-13=62； ③ 得出结论：×。 【知识点睛】排列最大数需从高位到低位选最大数字，最小数需选最小非零数字在高位，再选次小数字。 三、计算题 12． 【答案】（1）15种；（2）720种 ✅ 解题步骤 ① （1）组队是组合问题：6×(6-1)÷2=6×5÷2=15种； ② （2）排队是排列问题：6×5×4×3×2×1=720种； ③ 答：（1）15种；（2）720种。 【知识点睛】n人选2人组合数= n(n-1)÷2，n人全排列数= n×(n-1)×…×1（阶乘）。 四、应用题 13． 【答案】10场 ✅ 解题步骤 ① 每2人赛一场，是组合问题（无序，甲 vs 乙与乙 vs 甲是同一场）； ② 组合数=5×(5-1)÷2=5×4÷2=10场； ③ 列举验证：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10场； ④ 答：一共要赛10场。 【知识点睛】单循环比赛（每2人赛一场）的场数的组合数，直接用公式计算即可。 14． 【答案】21分钟 ✅ 解题步骤 ① 烙7张饼，锅能放2张，每面3分钟； ② 总面数=7×2=14面； ③ 需烙次数=14÷2=7次； ④ 总时间=7×3=21分钟； ⑤ 验证：前4张饼分2次（每次2张），用12分钟；后3张饼用最优策略（3次，9分钟），总时间=12+9=21分钟； ⑥ 答：最少需要21分钟。 【知识点睛】烙饼数=偶数时，2张2张烙；=奇数时，先2张2张烙，最后3张用最优策略，总时间最省。 🧠 思维跃迁篇 一、填空题 15． 【答案】24，6 ✅ 解题步骤 ① 组成四位数，全排列：4×3×2×1=24种； ② 十位上是3：固定十位为3，其余三位从1、2、4中选，排列数=3×2×1=6种（千位3种，百位2种，个位1种）； ③ 填写答案：24，6。 【知识点睛】固定某一位数字的排列问题，先固定该位，再计算其余位的排列数。 二、应用题 16． 【答案】顺序：丙→甲→乙→丁，最少等待时间10分钟 ✅ 解题步骤 ① 最优顺序：用时短到长，即丙（1分钟）→甲（2分钟）→乙（3分钟）→丁（4分钟）； ② 计算总等待时间： ③ 丙等待：0分钟； ④ 甲等待：1分钟； ⑤ 乙等待：1+2=3分钟； ⑥ 丁等待：1+2+3=6分钟； ⑦ 总等待时间=0+1+3+6=10分钟； ⑧ 答：就诊顺序为丙→甲→乙→丁，最少等待时间总和是10分钟。 【知识点睛】4人排队需按用时排序，总等待时间是每个人等待时间累加，不含自身就诊时间。 17． 【答案】6种 ✅ 解题步骤 ① 分步组合：选1名男生有3种选择，选1名女生有2种选择； ② 组合数=3×2=6种； ③ 列举验证：男1女1、男1女2、男2女1、男2女2、男3女1、男3女2，共6种； ④ 答：一共有6种不同的组合方式。 【知识点睛】“选不同类别各1个”的组合问题，用“类别选择数相乘”，无需去重。 18． 【答案】22分钟 ✅ 解题步骤 ① 统筹安排：煮饭的20分钟可以同时洗菜、切菜、炒菜（无需等待煮饭完成）； ② 计算时间：淘米（2分钟）→煮饭（20分钟，同时洗菜5+切菜3+炒菜10=18分钟，18＜20，能完成）； ③ 总时间=淘米时间+煮饭时间=2+20=22分钟； ④ 答：妈妈最少需要22分钟能做好晚饭。 【知识点睛】此类问题需找出“耗时最长的核心任务”（煮饭），其他任务在核心任务进行时同步完成，节省总时间。 三、综合题 19． 【答案】（1）18种；（2）438 ✅ 解题步骤 ① （1）组成三位数，十位不能为0： ② 百位可选2、4、6（3种），十位可选剩下3个数字（3种），个位可选剩下2个数字（2种）； ③ 排列数=3×3×2=18种； ④ （2）差最大=最大三位数-最小三位数； ⑤ 最大三位数：642（百位6，十位4，个位2）； ⑥ 最小三位数：204（百位2，十位0，个位4）； ⑦ 差值=642-204=438； ⑧ 答：（1）18种；（2）差最大是438。 【知识点睛】求差最大需“最大数减最小数”，最大数从高位到低位选最大数字，最小数从高位到低位选最小非零数字，再选最小数字。 四、拓展题 20． 【答案】分配方案：收银台1（2、6），收银台2（3、5），收银台3（4）；最少总时间7分钟 ✅ 解题步骤 ① 核心策略：让每个收银台的总用时尽量接近，避免某一收银台耗时过长； ② 尝试分配： ③ 方案1：收银台1（2、5）（总7），收银台2（3、4）（总7），收银台3（6）（总6）→ 最长时间7分钟； ④ 方案2：收银台1（2、6）（总8），收银台2（3、4）（总7），收银台3（5）（总5）→ 最长时间8分钟； ⑤ 方案3：收银台1（2、4）（总6），收银台2（3、5）（总8），收银台3（6）（总6）→ 最长时间8分钟； ⑥ 最终最优：让用时最长的6和最短的2一组，5和3一组，4单独一组，总最长时间7分钟； ⑦答：最优分配为收银台1接待用时2和6分钟的顾客，收银台2接待3和5分钟的顾客，收银台3接待4分钟的顾客，最少总时间（最长收银台用时）7分钟。 【知识点睛】多收银台排队优化，核心是“平衡各收银台的总用时”，避免某一收银台堆积耗时久的顾客。 打造“知识系统化+记忆高效化+解题技巧化”三位一体学习方案2 学科网（北京）股份有限公司 $知遮引就 导航知识一一科学提分 排列组合与统筹优化 目核心方法论与知识体系构建… 1 C知识体系全景梳理 .1 ?高效记忆方法… ,1 d典型真题解构与解题策略精讲.… .2 字考点一：简单排列问题（数字、人物排列)…2 ●考点二：简单组合问题（选物品、组队）3 金考点三：统筹优化基础题型（烙饼问题、排队问题） .5 ▲易错避坑指南一一直击失分痛点，突破提分瓶颈… .7 ●分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁8 士基础夯实篇(8题)8 9能力进阶篇(6题) 9 禽思维跃迁篇(6题) .10 。精准解析与解题范式一思路拆解·步骤规范·知识点睛…12 上基础夯实篇 .12 罗能力进阶篇15 喝思维跃迁篇 ..17 打造“知识系统化+记忆高数化+解题技巧化”三位一体学习方穿 知途引就 导航知识一一科学提分 冒核心方法论与知识体系构建 Q知识体系全景梳理 排列组合与统筹优化是小升初数学思维模块的重要内容，围绕“有序排列 →无序组合→高效统筹”展开，核心是“区分有序与无序+寻找最优方案”， 需精准掌握以下知识点： 知识点 具体内容 关键要点 1.定义：从n个不同元素中选出m个，按一定顺序排成 一列（顺序不同为不同排列）： 核心是“有序 简单排 性”，顺序改变则 2. 列问题 常见类型：数字排列、人物排队、位置安排等： 为不同排列，需避 3. 计算方法：分步计数（先选第一个位置，再选第二 免重复或遗漏 个…) 1.定义：从n个不同元素中选出m个，不考虑顺序组成 一组（顺序不同为同一组合）： 核心是“无序 简单组 性”，顺序不影响 合问题 2.常见类型：选物品、组队、选代表等； 结果，需与排列问 3.计算方法：分步计数后排除重复（组合数=排列数： 题明确区分 顺序数) 1.烙饼问题：合理安排烙饼顺序，利用锅的容量减少总 时间（总时间=饼数×2×每面时间÷锅容量，有余数进 核心是“最优策 统筹优 1): 略”，需找到能最 化基础 2.排队问题：让用时短的先进行，减少总等待时间（总 大化利用资源、最 题型 等待时间=每个人等待时间之和)： 小化消耗（时间/ 3.其他优化：合理分配任务、路线规划等，核心是“省 资源)的方案 时间、省资源” 高效记忆方法 1.口诀记忆法 ◆排列组合：排列有序，组合无序：排列分步选，组合排后去重。 ◆烙饼问题：饼数乘二乘面时，除以锅容得总时，有余数时进一位，省 时关键用满锅。 ◆排队问题：用时短的先上前，总等待时能最小，每人等待看前面，累 加求和算总量。 ◆统筹核心：资源用满，顺序优化，时间最短，效率最高。 打造“知识系统化+记忆高敏化+解题技巧化”三位一体学习方穷 1 知途引就 导航知识一一科学提分 2.图表记忆法 排列与组合区别表（简表）： 类型 核心特征 示例 计算思路 排列 有序，顺序不同为不 从3人中选2人排队 3×2=6种（先选第一个人3 同结果 (甲、乙≠乙、甲) 种，再选第二个人2种) 组合 无序，顺序不同为同 从3人中选2人组队 (3×2)÷2=3种（排除重 “结果 (甲、乙=乙、甲) 复的顺序) 统筹优化基础题型表（简表)： 题型 核心策略 示例 计算方法 烙饼问 锅尽量放 锅能放2张饼， (3×2×3)÷2=9分钟（先烙1、2正 题 满，交替烙 每面3分钟，烙 面，再烙1反面、3正面，最后烙2、3反 3张饼 面) 排队问 用时短先进 3人打水用时2、 总等待时间=2×2+3×1=7分钟（2分钟的 题 行 3、5分钟 先打，3分钟的等2分钟，5分钟的等2+3 分钟) 典型真题解构与解题策略精讲 景考点一：简单排列问题（数字、人物排列） 考点解读 考查排列的有序性及分步计数方法，常以填空题、选择题形式出现，占分 3-4分。 补典型真题1（填空题） 用数字1、2、3可以组成()个没有重复数字的两位数，其中最大的 两位数是( ),最小的两位数是()。 ☑解题步骤 ①明确是排列问题（两位数顺序不同为不同数）： ②分步选数字：十位上可以选1、2、3(3种选择)，个位上选剩下的2 个数字(2种选择)： 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 ③计算排列数：3×2=6种： ④找出最大和最小：最大的两位数是32（十位选最大3，个位选次大 2),最小的是12（十位选最小1，个位选次小2）： ⑤填写答案：6,32,12。 因方法总结 数字排列问题：先确定每个数位的可选数字，再用“分步相乘”计算总 数，最大数从高位到低位选最大数字，最小数则选最小数字。 补典型真题2（选择题） 3名同学（甲、乙、丙）排成一排拍照，一共有()种不同的排法 A.3B.6C.9D.12 ☑解题步骤 ①明确是人物排列（顺序不同为不同排法）： ②分步计数：第一个位置有3种选择（甲、乙、丙），第二个位置有2种 选择（剩下2人），第三个位置有1种选择（最后1人）； ③计算总数：3×2×1=6种： ④验证排法：甲→乙→丙、甲→丙→乙、乙→甲→丙、乙→丙→甲、丙→ 甲→乙、丙→乙→甲，共6种； ⑤选择答案：B。 国方法总结 人物排列问题：n个不同人物全排列，排法数=n×(-1)××1(阶乘思 想)，小学阶段用分步相乘直接计算即可。 考点二：简单组合问题（选物品、组队） 考点解读 考查组合的无序性及去重计算方法，常以填空题、应用题形式出现，占分 3-5分。 打造“知识系统化+记忆高敏化+解题技巧化”三位一体学习方肉 3 知途引就 导航知识一一科学提分 特典型真题1（填空题) 从苹果、香蕉、橘子3种水果中选2种，一共有()种不同的选法， 分别是（)。 ☑解题步骤 ①明确是组合问题（选2种水果，顺序不影响）： ②列举所有可能：苹果和香蕉、苹果和橘子、香蕉和橘子： ③计算组合数：共3种，也可通过排列数推导(3×2÷2=3种，除以2是排 除重复顺序)： ④填写答案：3，苹果和香蕉、苹果和橘子、香蕉和橘子。 圈方法总结 组合问题可通过“列举法”避免重复，也可先按排列计算再除以顺序数 (选m个元素除以m×(m-1)×.×1)。 ◆典型真题2（应用题） 学校组织跳绳比赛，从4名同学(A、B、C、D)中选2人组成一组参加 双人赛，一共有多少种不同的组队方式？ ☑解题步骤 ①确定是组合问题（组队顺序不影响，A和B与B和A是同一组）； ②分步计算：先选第一个人有4种选择，再选第二个人有3种选择，共 4×3=12种排列： ③排除重复：每组被计算了2次（如A、B和B、A),因此组合数 =12÷2=6种： ④列举验证：AB、AC、AD、BC、BD、CD,共6种； ⑤答：一共有6种不同的组队方式。 图方法总结 组队类组合问题：n人选2人，组合数=n×(n-)÷2,小学阶段可通过列举 打造“知识系统化+记忆高敏化+解题技巧化”三位一体学习方肉 知途引就 导航知识一一科学提分 或分步去重计算，确保不重复不遗漏。 女考点三：统筹优化基础题型（格饼问题、排队问题） 考点解读 考查统筹优化的核心策略（省时间、满资源），常以应用题形式出现，占 分4-6分。 补典型真题1（应用题) 一口平底锅最多能烙2张饼，烙1张饼需要4分钟（正面2分钟，反面2 分钟)，烙5张饼最少需要多少分钟？ ☑解题步骤 ①明确烙饼问题核心：锅尽量放满，减少空锅时间： ②计算总面数：5张饼×2面=10面： ③锅每次能烙2面，需烙次数：10面÷2面/次=5次： ④每次2分钟，总时间=5次×2分钟=10分钟： ⑤验证流程： ⑥第1次：烙饼1正面、饼2正面(2分钟)： ⑦第2次：烙饼1反面、饼2反面(2分钟，完成2张)； ⑧第3次：烙饼3正面、饼4正面（2分钟)： ⑨第4次：烙饼3反面、饼5正面(2分钟)； ⑩第5次：烙饼4反面、饼5反面(2分钟，完成3张)； ①总时间=2×5=10分钟： ②答：烙5张饼最少需要10分钟。 圈方法总结 烙饼问题公式：总时间=（饼数×2×每面时间）÷锅容量（结果为整数）， 当饼数>1时，避免一张一张烙，尽量让锅每次都有2张饼。 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方肉 5 知途引就 导航知识一一科学提分 ◆典型真题2（应用题) 3名同学同时到医务室看病，甲换药需要5分钟，乙打针需要3分钟，丙 测体温需要1分钟，医生如何安排就诊顺序能让3人等待时间总和最少？最少 等待时间总和是多少？ ☑解题步骤 ①明确排队问题核心：用时短的先就诊，减少总等待时间： ②确定就诊顺序：丙(1分钟)→乙(3分钟)→甲(5分钟)： ③计算每人等待时间： ④丙就诊时，无人等待，等待时间0分钟： ⑤乙就诊时，等待时间=丙的用时=1分钟； ⑥甲就诊时，等待时间=丙的用时+乙的用时=1+3=4分钟： ⑦总等待时间总和=0+1+4=5分钟（注意：总等待时间是每个人等待的时 间之和，不含就诊时间)： ⑧验证：若顺序相反，总等待时间=0+5+(5+3)=13分钟，远大于5分 钟： ⑨答：就诊顺序为丙→乙→甲，最少等待时间总和是5分钟。 ©方法总结 排队问题策略：按用时从短到长排序，总等待时间=每个任务的用时×（等 待人数)之和，避免让用时久的先进行导致其他人长时间等待。 6 打造“知识深统化+记忆高放化+程通技巧化”三位一体学习方肉 知途引就 导航知识一一科学提分 ▲易错避坑指南 —直击失分痛点， 突破提分瓶颈 错误类型 典型错误示例 修正方法 混淆排列与 把“从5人中选2人组队”算 牢记“有序为排列，无序为组合”，组 组合 成5×4=20种（排列数） 队、选物品等无序问题需除以顺序数 烙饼问题算 烙3张饼，误按3×1=3面计 先算总面数=饼数×2，再按锅容量算次 错总面数 算，忽略每饼2面 数，避免漏算反面 排队问题总 等待时间算 把“就诊时间”计入总等待时 总等待时间是“每个人等待的时间之 错 间，或漏加部分等待时间 和”（不含自己的就诊时间），按顺序 逐一累加 排列问题重 用1、2、3组成两位数，漏算 排列时明确“无重复数字”要求，按数 复或遗漏 13或重复算22（重复数字） 位分步计数，或列举所有情况验证 统筹优化未 烙饼时每次只烙1张，或排队 优化策略的核心是“满资源、短优 用满资源 时让用时久的先进行 先”，先考虑如何最大化利用资源，再 排序 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 分层进阶专题精练一基础夯实·能力进阶·思维跃迁 基础夯实篇(8题) 一、填空题(3题) 1.用数字0、1、2可以组成()个没有重复数字的两位数，分别是 ()。 2.从语文、数学、英语3本书中选2本，一共有()种不同的选 法，分别是()。 3.一口锅能烙2张饼，每面烙2分钟，烙2张饼最少需要（)分 钟，烙3张饼最少需要()分钟。 二、判断题（2题) 4.从4名同学中选2人参加比赛，一共有4×3=12种不同的选法。 ) 5.烙饼时，饼数越多，烙饼总时间一定越长。（) 三、选泽题(3题) 6.用数字2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，一共有()种 A.12 B.24 C.36 D.48 7.把5个苹果分给3个小朋友，每人至少分1个，属于()问题 A.排列 B.组合 C.统筹优化 D.以上都不是 8.4人排队打水，用时分别为1、2、3、4分钟，最优顺序的总等待时间 是（)分钟 A.10 B.14 C.16 D.20 打造“知识深统化+记忆高放化+？瓶技巧化”三位一体学习方突 知途引就 导航知识一一科学提分 号能力进阶篇(6题) 一、填空题（2题) 9.3个不同的玩具摆成一排，一共有()种不同的摆法；如果选2 个玩具送给小朋友，一共有()种不同的送法。 10.妈妈烙饼，每次最多烙3张，每面2分钟，烙4张饼最少需要 ()分钟，烙6张饼最少需要（)分钟。 二、判斷题（1题) 11.用1、3、5、7组成没有重复数字的两位数，最大的与最小的相差 64。() 三、计算题（1题) 12.计算： (1)从6人中选2人组队，有多少种不同的组队方式？ (2)6人排成一排拍照，有多少种不同的排法？ 四、应用题(2题) 13.学校组织乒乓球比赛，有5名同学报名参加单打比赛，每2人赛一 场，一共要赛多少场？ 14.一口平底锅烙饼，每次最多放2张，烙熟1张需6分钟（每面3分 钟)，妈妈要烙7张饼，最少需要多少分钟？ 打造“知积系化什记忆窝教化0解题技巧化”三位一体学习方突 9