第5章二元一次方程组 期末综合复习达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第5章二元一次方程组 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）某船顺流航行用了，逆流航行，用了，则水流速度为 ，船在静水中的速度为 A．2，10 B．2，15 C．10，2 D．15，2 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽淮南·一模）已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 4．（22-23七年级下·江苏常州·期末）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）用加减消元法将方程组中的未知数消去，得到的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·河南郑州·期中）若是二元一次方程组的解，则的值是（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 7．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）若关于x，y的二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则b的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x，y的二元一次方程组的解为则的值是 ． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知a，b都是有理数，观察表格中的运算，则m的值为 ． a，b的运算 运算的结果 －4 10 m 11．（25-26七年级下·全国·课后作业）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．第一次购进的A，B两种茶每盒的价格分别为 ． 12．（25-26七年级下·全国·单元测试）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 13．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标依次为、、，若经过点B的一次函数的图象将三角形ABC的面积分成相等的两部分，则m的值为 ． 三、解答题 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组： 15．（25-26七年级上·全国·期末）一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 16．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）在直角坐标系内的位置如图所示，． (1)在网格中作出关于轴的对称图形； (2)若点是轴上一动点，当取最小值时，求点坐标． 17．（25-26八年级上·广东揭阳·月考）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点． (1)求，两点的坐标； (2)求点的坐标，并求出直线的函数关系式； (3)若点是图中直线上的一点，连接，得到图，当点的纵坐标为时，求的面积； (4)若点是图1中坐标平面内不同于点、点的一点．当以点，，为顶点的三角形与全等时，直接写出点的坐标． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，正确列方程组是解题的关键；设水流速度为，船在静水中的速度为，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设水流速度为，船在静水中的速度为． 由题意，得， 解得， 水流速度为，船在静水中的速度为， 故选：． 2．A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解是解题的关键． 两条直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：∵ 方程组 的解为 ， 方程组的解表示两条直线的交点坐标， ∴ 直线 与 的交点坐标为 ． 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点的坐标代入解析式得到，再讨论k的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，即， ∴， 当时，一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组． 根据甲和乙的陈述，甲得乙9只羊后，羊数是乙的2倍；乙得甲9只羊后，两人羊数相等．由此列出二元一次方程组． 【详解】解：设甲有x只羊，乙有y只羊， 甲得乙9只羊后，甲有只，乙有只，且； 乙得甲9只羊后，乙有只，甲有只，且； ∴方程组为． 故选：B． 5．B 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键．通过加减消元法消去未知数x，将两个方程相减即可． 【详解】解：得： 即   ∴．   故选：B． 6．D 【分析】本题考查方程组的解，解二元一次方程组，将解代入方程组，得到关于m和n的方程，解出m和n后计算的值． 【详解】∵是方程组的解， ∴ 解得， ∴． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 8．B 【分析】本题考查函数与方程的关系，通过联立方程组求参数是解题的关键． 由题意联立方程组，通过代入消元法求解的值． 【详解】解：∵ 点满足方程且都在直线上， ∴ 联立方程： 将②代入①得： 化简得： ∴的值为， 故选：B． 9．7 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解，正确进行计算是解题关键． 将方程组的解代入原方程组，得到关于和的方程，解出和的值，再计算的值即可． 【详解】解：将代入二元一次方程组，得 由方程②得：，解得 将代入方程①得：，解得 ∴解得： ∴． 故答案为：7． 10．－1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解答本题的关键． 根据表格中和的运算结果，列出二元一次方程组，解出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：由表格得： 得：，解得：， 得：，解得：， 故原方程的解为 则 ， 故答案为：． 11．100元、150元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元，根据第一次和第二次购进的费用列出二元一次方程组，通过消元法求解． 【详解】解：设第一次购进种茶每盒元，种茶每盒元， 根据题意，得方程组： 解得： 故第一次购进A种茶每盒100元，B种茶每盒150元， 故答案为：元，元． 12．10 【分析】此题考查了解二元一次方程组，代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算定义，利用已知条件建立方程组求解参数和，再代入求值 【详解】解：，且， ∴ 解得： ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查直角坐标系中中点坐标公式，待定系数法求一次函数表达式，熟练掌握对应的知识点是解题的关键． 观察一次函数表达式，得出其经过点，且将三角形的面积分成相等的两部分，判断直线过中点，代入函数解析式即可求出． 【详解】∵直线经过点， 且将三角形的面积分成相等的两部分， 故直线经过中点，结合，， 可得出中点坐标为，即， 故点在直线上， 代入得，解得， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； 利用消元法，先将y消去解得x的值，再把x的值代入到方程中求y的值． 【详解】解：，得 ，③ ，得 ， 解得． 把代入②，得 ， 解得， 所以原方程组的解为． 15．(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了坐标与轴对称，最短路线问题及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题关键． （1）根据关于轴的对称的点的坐标特征，分别得出，，，顺次连接即可； （2）作点关于轴对称的点，连接，交轴于，连接，可得，根据两点之间，线段最短可得的最小值为，利用待定系数法可求出直线的解析式，令，求出的值，即可得点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴点、、关于轴对称的点的坐标为，，， ∴如图，关于轴的对称图形即为所作： （2）解：如图，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，连接， ∴，， ∴，此时取最小值， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点坐标为． 17．(1)点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是，直线的解析式是 (3) (4)或或． 【分析】本题主要考查了一次函数综合题、待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题． (1)根据一次函数的解析式求出直线与轴、轴交点的坐标即可； (2)过点作，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式； (3)根据点的纵坐标是且在直线上，求出点的坐标，把看作三角形的底边，则三角形的高是点横坐标的绝对值，根据三角形的面积公式求出结果； (4)因为与有一条公共边，根据全等三角形的性质，分情况求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时， 可得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是； （2）解：如下图所示，过点作， 由(1)可知点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 则有， 解得：， 直线的解析式是； （3）解：点的纵坐标是且在直线上， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 的面积是； （4）解：如下图所示，当点与点关于轴对称时，， 点的坐标是， 点的坐标是； 如下图所示，当，时，过点作， 则有，， 当时， 可得：， 解得：， ， ， 点的坐标是； 如下图所示，当与关于轴对称时，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或． 18．(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $