专题13 全等模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦全等三角形核心模型，覆盖等腰（等边）三角形的帽子模型、等边截等长模型及等边内接等边模型，通过“模型来源-真题提炼-通法总结-分层应用”架构，梳理考点联系，结合真题讲解与方法指导，帮助学生突破几何综合题难点。 亮点在于“模型化+素养导向”复习策略，如通过等边截等长模型中构造全等三角形的推理训练，培养几何直观与推理能力。设计“基础例题-综合探究-中考真题”三级训练，配合5分钟模型识别速练，助力学生高效掌握解题通法，教师可依此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题13 全等三角形模型之帽子（长短手）模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 6 模型1.帽子模型（长短手模型） 6 模型2.等边截等长模型（定角模型） 10 模型3.等边内接等边模型 13 16 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。‌ 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称‌，等边截等长模型与等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性‌。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型”综合训练学生的空间思维。 （2025·山西校考二模）如图，中，，，，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接交于点，连接．如果，则线段的长为 ．    （2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q  分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是 ． （2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：（1）的度数是 ；（2）的长是 ． 1）帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 证明：如图，过点D作交于H，则，， ∵，∴，∴，∴，∵，∴， 在和中,，∴，∴； ∵，∴，∵，，∴， ∴，∴． 2）等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形中，，， 在和中，，，∴AD=BE，∠CAD=∠ABE； ． ，，∴BQ=2PQ． 3）等边内接等边模型 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF； 结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：∵是等边三角形，∴，． ∵，∴． 在和中，∴（）， ∴．同理，∴，∴是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：是等边三角形，， ，，，， ，，是等边三角形， 模型1.帽子模型（长短手模型） 例1（2025·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 例2（2025·陕西·校考一模）【问题提出】（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 例3（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 模型2.等边截等长模型（定角模型） 例1（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 例2（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 例3（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点．(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，求的长度． 模型3.等边内接等边模型 例1（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 例2（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    例3（2024天津市中考二模）如图，点D，E，F分别在正三角形的三边上，且也是正三角形.若的边长为a，的边长为b，则的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，是等边三角形，D，E分别是，边上的点，且，连接，相交于点F，则下列说法正确的是（    ） ①；②； A．① B．② C．①② D．都错 2.如图，在等边三角形中，，分别在边，上，且，与交于点，，垂足为点.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④，其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，过边长为6的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连PQ交AC边于D，当PA＝CQ时，DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③的面积是面积的2倍；④；一定正确的有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 5.（2025·浙江湖州·模拟预测）如图，点、分别是等边三角形的两边、上两点， 、相交于点，连结．若 ，则下列结论错误的是(   ) A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·安徽六安·期中）如图，在等边三角形ABC的AC，BC边上分别任取一点P，Q，且，AQ，BP相交于点O．下列结论中错误的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则的最小值为 7．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ． 8．（24-25九年级上·湖北黄石·期末）如图，在等边三角形的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，，则的长为 ，的长为 ． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，在等边的，边上各取一点P，Q，使，，相交于点O．若，．（1） ；（2）的长为 ； 10．（24-25九年级下·四川成都·期末）如图，已知等边三角形的边长为18，分别是边上一点，且满足，记的面积为，则 ；，，分别为边上一点，且满足，记的面积为，以此类推，则 ． 11．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．(1)求证：；(2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化．    12.（2025·吉林长春·模拟预测）综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师展示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】（1）如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：∵，∴，∴， ∴，即，请补全余下的证明过程． 【学以致用】（2）如图③，在中，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且．若，则的长为__________． 13.（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）综合与探究 【提出问题】数学课上，王老师示了这样一个问题：如图①，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：． 【问题解决】如图②，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可得出结论，证明过程如下： 证明：， ，， ，即，请补全余下的证明过程． 【学以致用】如图③，在中，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，则的长为___________． 14．（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：在中，，在射线上截取线段，在射线上截取线段，连结，所在直线交直线于点M． 猜想判断：（1）当点D在边的延长线上，点E在边上时，过点E作交于点F，如图①．若，则线段、的大小关系为_______． 深入探究：（2）当点D在边的延长线上，点E在边的延长线上时，如图②．若，判断线段、的大小关系，并加以证明． 拓展应用：（3）当点D在边上（点D不与、重合），点E在边的延长线上时，如图③．若，，，求的长． 15．（2025·河南·校考一模）问题背景：已知在中，边AB上的动点D由A向B运动(与A，B不重合)，同时点E由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合)，连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值． （1）初步尝试：如图①，若是等边三角形，，且点D､E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作交AC于点G，先证，再证，从而求得的值为________； （2）类比探究：如图②，若中，，且点D，E的运动速度之比是，求的值； （3）延伸拓展：如图③，若在中，，记，且点D､E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值(直接写出结果，不必写解答过程)． 16．（2025·内蒙古赤峰·三模）阅读理解、类比探究题： 【阅读理解】平行线是解决初中几何问题的重要方法，例如：如图，已知：，点不在，上，连接，，探究，，三个角之间的数量关系，并说明理由； 解：，理由如下： 过点作， 又 即，解答过程中蕴含的数学思想是转化． (1)【类比探究】如图1，等边中，是上一点，是延长线上一点，且，猜想和的数量关系，并说明理由； (2)【拓展拔高】如图2，是在的角平分线，求证：． (3)【新知应用】如图3，菱形中，为中点，交于点，若，，求的长． 17．（24-25九年级·四川绵阳·期末）小明在学习过程中，对教材的一个习题做如下探究： 【习题回顾】：如图，在等边三角形的边上各取一点P，Q使，AQ，BP相交于点O，求的度数．请你解答该习题． 【拓展延伸】：（1）如图1，在等腰的边上各取一点P，Q，使，平分，，，求的长．小明的思路：过点A作交延长线于点G，证明，… （2）如图2，在的边上各取一点P、Q，使，平分，，，求的数量关系，请你解答小明提出的问题． 18．（2025·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，，A、D在上，B、C在上，，若，则的长为__________； 【问题探究】（2）如图2，已知是等边三角形，D、E分别为上的点，且，连接．求证：； 【问题解决】（3）如图3是某公园一块四边形空地，其中，米，米，，P、Q分别在上，且，是平行于的一条绿化带，E、F是线段上的两个动点（点E在点F的左侧），米，M在线段上运动（不含端点），且保持，管理人员计划沿铺设两条笔直的水管，为了节省费用，公园负责人要求这两条水管的长度之和（即的值）最小，求这两条水管的长度之和的最小值．（绿化带、水管宽度均忽略不计） 19．（2023·湖南郴州·中考真题）已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．   (1)如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接．设，若，求四边形的面积． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13全等三角形模型之帽子（长短手）模型与等边截等长模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。各类考试的常 客，并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的几类重要模型 作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 目录导航 例题讲模型 .1 模型来源. 1 真题现模型， .2 提炼模型 5 模型运用… .6 模型1.帽子模型（长短手模型) .6 模型2.等边截等长模型（定角模型） .10 模型3.等边内接等边模型… 13 习题练模型 .16 例题讲模型 模型来源 帽子模型（长短手模型）与等边截等长模型、等边内接等边模型是初中几何中源于等腰三角形和等边 三角形特性衍生的经典解题模型，其核心思想通过对称性、全等变换及线段比例关系简化复杂几何问题。 两种模型均强调对称性与全等变换：帽子模型侧重等腰三角形的“长短手”对称，等边截等长模型与 等边内接等边模型则利用等边三角形的旋转特性。在初中几何教学中，二者常结合“等边内接等边模型” 综合训练学生的空间思维。 1/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 真题现模型 (2025山西校考二模)如图，△4BC中，4B=4C,BC=6,C-, =5,点D为AB延长线上一点，点E 为边AC上一点，且BD=CE,连接DE交BC于点F,连接AF,如果AE=2CE，,则线段AF的长为一· B D 【答案】 7 【详解】解：如图所示，作EH∥AD交BC于点H,过点A和E分别作AM⊥BC和EG⊥BC交BC于点 M和G,则AM∥EG,:AB=AC,.,∠ABC=∠ACB, A D∥BM,&48c=∠E,∠1CB=∠BiC,EBH=BC .BD-CE E-BDADEH ,:∠BDF=∠HEr CE_CH ∠BFD=∠HFE△BFD≌△HFEBF=HF,'AD∥EH,六ACEHACAB'CACB, CE CH 1 “AE=2CE,CACB3,BC=6,六CH=2,六BF=EH=2' CEGLCMCCHCE- -3EG=CE2-CG2=4 EG CE 1 “AM∥EG·△AMCAEGC'·AMCA3,AM=4' 2/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “AB=AC,AM⊥BC,·BM=CM= BC=3,÷FM=BM-BF=3-2=1 AF=√AM2+FM2=V17 (2025新疆吐鲁番三模)如图，在等边三角形ABC中，点P,Q分别是AC,BC边上的动点（都不与线 段端点重合)，且AP=CQ,AQ、BP相交于点O.下列四个结论：①若PC=2AP,则BO=6OP;② 若C=8,BP=7,则PC=5:@P-0P40,④若1B=3,则OC的最小值为5，其中正确的是一 【答案】①③④ 【详解】解：，△ABC是等边三角形，∴AC=BC, P-co CP=Be PC=2AP BO=2C0 ,如图，过P PD/BC交10于D. A N A D P E D D B 0 PD AP 1 PD OP △ADPo△AQC:POD8BO0g:C0AC=3:B0BO, CO=3PD BO=6PD BO=60P :故①正确： 过B作BE14C于E,4C=BC=8:BP-7:∴CE- AC=4, 3/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=60°，BE=VBC-CE=4W5,.PE=VPB-BE=l, PC=4H=5,或PC=4-1=3,故②错误；在等边△ABC中，AB=AC,∠BAC=∠C=60°， AB=AC ∠BAP=∠C 中， △ABP△CAQ AP=cQ,·△ABP≌C4Q(SAS'÷∠ABP=∠C40'PB=40 AP OP “∠AP0=∠BPA,·△APO∽6BPA'PB=AP,AP=OPPB,AP2=OP.A0:故③正确： 以AB为边作等边三角形NAB,连接CN,交AB于点D,如图所示， DNAB=DNBA=60°NM=NB.∠PBA=∠QAC DNAO+DNB0=DNAB+DBAQ HDNBA+DPBA=60°+DBAQ+60°PQAC=120°+∠BAC=180° 点N,A,O,B四点共圆，且圆心即为等边三角形NAB的中心M, 设CM于圆M交点O',CO'即为CO的最小值，：NA=NB,CA=CB, ∴.CN垂直平分AB,∴.DMAD=DACM=30°，.DMAC=DMAD +DBAC=90°， 在RtMAC中，AC=AB=3,:MM=AC-tan∠ACM=V5,CM=2AM=25 M0=MM=5.C0=CM-M0-5,即C0的最小值为5，敢④正确： 综上：正确的有①③④.故答案为：①③④. (2024湖北中考真题)如图，由三个全等的三角形△ABE,△BCF,ACAD)与中间的小等边三角形DEF 拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交AC于点G,若AE=ED=2,则：(1)∠FDB的度数是 :(2)DG的长是 【答案】 43 30° 5 【详解】解：△ABE≌△BCF≌△CAD(已知，·.AD=BE=CF,AE=BF=DC, 4/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AE=ED=2,∴AD=BE=4,△DEF为等边三角形， EF=DF=DE=2,∠EFD=∠EDF=60°，·BF=DF=DC=2, ·.∠FDB=∠FBD= 1∠EFD=30°， ∠ADB=∠EDF+∠FDB=90°， 如图，过点C作CH⊥BG的延长线于点H, CD30CH-CDxsim302x DH-CDs30x5 2 ,'∠ADG=∠CHG,∠AGD=∠CGH,∴.△ADGP△CHG DG AD 4 4 .HGCH ,..DG=DH= 1 5 5.故答案为： 4v5 5 300’ 5· 提炼棋型 1)帽子棋型（长短手棋型） 条件：如图，己知AB=AC,BD=CE,DGLBC于G,结论：①DF=FE:②BC=2FG。 证明：如图，过点D作DH∥AC交BC于H,则∠BHD=∠ACB,∠DHF=∠ECF, AB=AC,∴.∠B=∠ACB,∠B=∠BHD,.BD=DH,CE=BD,∴.DH=CE, I∠DHF=∠ECF ∠DFH=∠EFC 在 和 △DHF△ECF 中，DH=EC ∴DHIFRIECF(AAS)'÷DF=EF ADHESNECE:FH -CF-2CH.BD=DH DGLBC.BG=GH=-B 2 FGGCC BC-2G 5/43 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B GHF E 2)等边截等长棋型（定角棋型) 条件：如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且AE=CD,BE与AD相交于点P, BQ⊥AD 于点.结论：O△ABE≌aCAD ∠BPD=60° ②AD=BE:③ ；④BQ=2PQ。 证明：在等边三角形ABC中，AB=AC,∠BAE=∠C=60°， AB=AC ∠BAE=∠C 在 和 中， △ABE ACAD AE=CD'∴△ABE≌△CAD(SAS'AD=BE,∠CMD=LABE: .∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAE=6O°. :BQ⊥AD.∠PBQ=30 ,∴.BQ=2PQ. 3)等边内接等边模型 P B D B M 图1 图2 1)等边内接等边（截取型） 条件：如图I,等边三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动，且满足AD=BE=CF: 结论：三角形DEF也是等边三角形。 6/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：：△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC. .AD=BE =CF,.AF BD=CE. AF BD, ∠A=∠B, 在 和 中， ( △ADF BED AD=BE,AADF≌ABED SAS ∴DF=DE.同理DF=EF,∴.DF=DE=EF,△DEF是等边三角形. 2)等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P,NM⊥BC于点M, PV⊥AC于点N,结论：三角形DEF也是等边三角形。 证明：△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°， MP⊥AB,NM⊥BC,PW⊥AC,.∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°， .∠PMB=∠MNC=∠APN=30°，.∠NPM=∠PMW=∠MNP=60°，.△PMN是等边三角形， 模型运用 模型1.帽子棋型（长短手模型） 例I(2025·河南新乡·模拟预测)如图，等边三角形ABC的边AB上有一点P,过点P作PE⊥AC于点 BC 当1P=C时P交4C于点D,若DE= 若DE=2,则B BC= E,Q为延长线上一点， 【答案】4 【详解】解：如图，过点Q作AC的延长线的垂线于点F, A 7/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△ABC是等边三角形，∴.∠A=∠ACB=60°，：∠ACB=∠QCF,∴∠QCF=∠A=60°， :PE⊥AC,QF⊥AF,∴.∠AEP=∠CFQ=90° .AP=CO AEPACFO(AAS)AE=CF PE=oF :∠PED=180°-∠PEA=90°=∠CF0.∠PDE=∠QDF,aPED≌AOFD(AAS),DE=DF=2, .DF DC+CF,AE=CF,.AC=DE+AE+DC=2DE=4, △ABC是等边三角形，.BC=AC=4,故答案为：4. 例2(2025陕西校考一模)【问题提出】(1)如图1，在△4BC中，∠B=∠ACB,点D是AB上一点， DE∥AC交BC于点E,点F是CE的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点G,求证：BD=CG; 【问题探究】(2)如图2，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E是BC的中点，连接AE,∠EAF=∠BAE, AF与DC的延长线交于点F,探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并说明理由. 【问题解决】(3)如图3，某校有一块四边形空地ABCD,现将这块空地规划为实践活动区域，在BC的 中点E处修建入口，沿AE修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在△ABE内 种植蔬菜，在四边形pCE内种花卉，已知BAD=60,B恰好平分B4DZB=180°-∠BC 2 BC=100m,求CD的长. 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2)AB=AF+CF,见解析：(3)CD的长为50m 【详解】(1)证明：：DE∥AG,∠B=∠ACB, ,∠FDE=∠FGC,∠BED=∠ACB=∠B,∴.BD=DE, 点F是CE的中点，∴.EF=CF,∠FDE=∠FGC,∠DFE=∠GFC,EF=-CF, △DEF≌△GCF(AAS),DE=GC.BD=CG (2)解：AB=AF+CF.理由：分别延长AE、DF,AE与DF的延长线交于点G 8/43 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB∥DC,∴.∠B=∠GCE,∠BAE=∠EGC, :E为8C边的中点，：BE=CE,:△MBG≌△GCE(AS9,片4B=CG 又：∠EAF=∠BAE,.∠G=∠EAF,.AF=GF,.AB=CG=GF+CF=AF+CF (3)解：过C作CM∥AB交AE的延长线于点M,延长MC交AD于点N,连接EN, ,点E是BC的中点，BC=100m,.BE=CE=50m, AB∥MN,∠BAD=60°，∴.∠B+∠ECN=180°，∠BAD=∠CND=60°，∠BAE=∠M, ∠BE=∠M,MB=∠MEC,BE=CE,÷△HBG≌△MC6AAS),4E=妮。 AE平分∠BAD,∴.∠M=∠BAE=∠DAE,∴.AN=MN, 又AE=ME,∴.NE平分∠ANM,.∠ANE=∠MNE=∠CND=60°， ZB=180°2BCD,ZB+∠ECN=80,·∠BGW=DCw :∠CNE=∠CND,CN=CN,∠ECN=∠DCN, △CNE≌△CND(ASA),CD=CE=50m 例3(2025河南·模拟预测)综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图1，在△ABC中，AB=AC,点F是边 AC上一点，点E是AB延长线上的一点，连接EF交BC于点D,若DE=DF,求证：BE=CF.” ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段CD上截取MD,使MD=BD,连接 FM,利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明： ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC,交CB的延长线于点 M,利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明. 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程， 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法， 李老师提出了新的问题，请你解答. 如图4，在△ABC中，点E在边AB上，D是BC的中点，连接CE,AD,CE与AD相交于点N,若 9/43 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN. 【学以致用】(3)如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E在BA的延长线 上，过点E作EDI‖AF,交AC于点N,交BC于点D,且BD=CD,若AB=I,请直接写出AE的长度. D 图1 图4 图5 B=3-1 【答案】(1)选择解题思路①，证明见解析(2)证明见解析(3) 2 ① 【详解】(1)证明：选择解题思路， ·DE=DF,BD=MD,∠BDE=∠MDF,aBDE≌MDF(SAS) ∴.BE=MF,∠DBE=∠DMF,.18O°-∠DBE=l8O°-∠DMF,即∠ABC=∠FMC, AB=AC,.∠ABC=∠C,∠FMC=∠C,.MF=CF,BE=MF,BE=CF: 或选择解题思路②，EM∥AC,∠EMD=∠C,又∠MDE=∠CDF,DE=DF, △DEM≌aDFC(AAS),ME=CF,AB=CD,∠ABC=∠C, 又∠MBE=∠ABC,.∠MBE=∠C,∠EMD=∠MBE,.ME=BE,.BE=CF: (2)证明：如答图3，延长AD至点M,使得MD=AD,连接CM, B M M 答图3 答图4 :D是BC的中点，.BD=CD,又AD=MD，,∠ADB=∠MDC, :△ABD≌△CD (SAS),∠BAD=∠CMD AB=MC :∠EAD+∠AWC=180°，∠CNM+∠AWC=180°，∴.∠EAD=∠CNM, 10/43