专题14 全等模型之角平分线模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等模型之角平分线模型”专题，覆盖中考常考的角平分线垂两边、垂中间、构造轴对称三大核心模型，通过“模型来源-真题现模型-提炼模型-模型运用”的架构梳理知识联系，设计考点梳理、辅助线方法指导、中考真题与模拟题训练等环节，帮助学生突破辅助线添加难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于融合历史背景与现代教学，以“模型提炼-真题验证-分层应用”为主线，通过“邻等对补型”等典型例题培养学生几何直观与推理能力，如利用角平分线性质构造全等三角形解决线段关系问题。配套基础、提升、挑战三级练习，结合即时反馈机制，助力学生高效掌握解题策略，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题14 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． （2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 例2（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，梯形中，，，点是边上一点，分别平分，那么下列结论中，错误的是（   ） A．点是边的中点 B．以为直径的圆与直线相切 C． D． 例3（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分．求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（2025·安徽·校考一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 例2（24-25重庆·九年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    例3【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 例2（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 例3（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．（2025·重庆·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A． B．9 C．6 D．7．2 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 6.（24-25九年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，平分，于点，，，．则的长 ． 7．（2025·山东·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．    8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是 （填正确结论的序号）． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，求证：． 10.在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 11．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 12.（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】兴趣小组提出猜想：有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度；（2）经测量，求四边形的面积． 13．（24-25九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，M为上一点，N为上一点，连接线段，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答． 如图4，在中，，平分交与点D，在线段上有一点E，连接交与点F，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，垂足为点D，在的延长线上取一点E，使，在线段上截取，点G在线段上，连接，使，若，，，求四边形的面积． 14．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）综合与实践：在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题． 如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①如图2，写出图中相等的角，并说明理由； 小明小组讨论后，解题思路如下：①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形，，，， ，，，，； ②若，，，请你根据①的思路提示帮小明小组求出的长（用含，，的式子表示）． (3)拓展应用：如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求长的过程． 15．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；(2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 16．（2025·广东深圳·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 17．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长． 18．（24-25广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 全等模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 5 模型运用 7 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 7 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 10 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 13 18 角平分线的概念最早可追溯至古希腊数学家欧几里得的《几何原本》，其中详细描述了角平分线的尺规作图方法。欧几里得通过构造全等三角形证明了角平分线的性质，奠定了现代几何学的基础‌。现代数学教育工作者根据角平分线的对称轴总结三类辅助线的添加方法，即：1）角平分线垂两边（角平分线+外垂直）；2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）；3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）。 。 （2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法:1：延长、交于点，如图，∵，∴． ∵，，∴， ∵中，，∴，∴，∴， ∴，即；故选：A． 法2：∵，，∴， 设，则：，∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴，∴，∴，∴，∵，，∴， ∴，即：，∴，∴；故选：A． （2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；② 【详解】（1）证明：过点C作于点S，于点E， ∵点为的角平分线上一点，，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴在四边形中，； （2）解：如图，过点作于于于， 平分，．， ，， ．平分，． ，， 故答案为：． （3）解：①过点C作于点E，∵，，，∴， ，根据勾股定理可得：， ∵，，∴，由（1）同理可得：， ∴，∴，∴； ②过点C作于点E，∵，，，∴， ∵，根据勾股定理可得：， 由（1）同理可得：，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，解得：．故答案为：． 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 例1（2025·江苏·校考二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】如解图，过点D作于点E，由作图步骤知，平分， ， ，， 设，由，得，解得，即．故答案为：6． 例2（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，梯形中，，，点是边上一点，分别平分，那么下列结论中，错误的是（   ） A．点是边的中点 B．以为直径的圆与直线相切 C． D． 【答案】D 【详解】解：过作交于， ∵，，∴，∵分别平分， ∴，，，即点是边的中点，故正确； ∵，，∴，∵，∴以为直径的圆与直线相切，故正确； ∵，∴，∵分别平分， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，故正确； ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，即，故错误；故选：． 例3（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分．求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故①正确； ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴故②正确； 若，则，∴， ∵，，，∴∴， ∵，∴ 故③正确．故答案为：①②③． （2）．理由如下：∵平分，． 过点D作于点E，于点F．． ，． ． ∵平分，，．．． 在中，，． 同理可得，． ．． （3）过点D作于点E，于点F． ，． ． ，平分，．． 在中，，， ，． ． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 例1（2025·安徽·校考一模）如图，中，AD平分，E是BC中点，，，，则DE的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：延长BD交AC于点F，如图 AD平分， D是BF的中点， E是BC中点，故选：D． 例2（24-25重庆·九年级校考阶段练习）如图，中，，，是的角平分线，，则的最大值为 ．    【答案】 【详解】解：如图：延长，交点于，    平分，，，， 在和中，，，，； ，，即；  ，， 当时，取最大值，即取最大值．．故答案为：． 例3【问题情境】（1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1，平分，A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可直接根据_____（填字母依据）证明； 【类比解答】（2）如图2，在中，，平分，于点E，延长交于点F，求的度数； 【实际应用】（3）图3是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的平分线；②过点A作于点D．已知，，的面积为30，请直接写出的面积； 【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，平分，，交的延长线上于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为10；（4）和之间的数量关系为；证明见解析 【详解】解：（1）∵平分，∴ ∵∴; 又∵∴； （2）同（1）可得，∴ ∵∴∴ ∴∴； （3）如图所示，延长交于点E 同（1）可得，; ∴， ∵∴∴∴ ∵的面积为30∴∴ ∵∴的面积； （4），理由如下：如图：延长交延长线于F， ∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，即， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，∴． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 例1如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：如图，在上截取，连接 平分，平分，， ，，，，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，， 周长为，，， ，．故选：B． 例2（24-25湖北十堰·九年级期末）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．      （1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明． 【答案】（1）；证明见解析；（2）；证明见解析． 【详解】（1）猜想：．证明：如图②，在上截取，连结， ∵为的角平分线时，∴，∵， ∴，∴，，∵，∴． ∵，∴，∴，∴． （2）猜想：．证明：在的延长线上截取，连结． ∵平分，∴．在与中，，，， ∴．∴，．∴． 又，，． ∴．∴．∴． 例3（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中， ∵，，，∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∵，∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线，∴，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 1．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点D作于M，如图， 由勾股定理可求得，由题中作图知，平分， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴；设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为为；故选：D．      2．（2025·重庆·校考一模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点C作于E，则的值为（    ） A． B．9 C．6 D．7．2 【答案】B 【详解】解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEB=90°， ∴∠CFD=∠CEB=90°， ∵∠BAC=∠DAC， ∴AC平分∠BAD， ∴CE=CF， ∵四边形ABCD对角互补， ∴∠ABC+∠ADC=180°， 又∵∠CDF+∠ADC=180°， ∴∠CBE=∠CDF， 在△CBE和△CDF中，， ∴△CBE≌△CDF（AAS）， ∴BE=DF， 在△AEC和△AFC中，， ∴△AEC≌△AFC（AAS）， ∴AE=AF， 设BE=a，则DF=a，   ∵AB=15，AD=12， ∴12+2a=15，得， ∴AE=12+a=，BE=a=， ∴， 故选B． 3．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，的角平分线交于点，若，，，则的长是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作，分别交于点，如图：∵是的角平分线，∴， ∵，∴， ∴，∴， 在中，， ∵， ，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， 设，则，在中，， ∴解得：（负值已舍去），∴，故选：D． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解析：连接，过点作于点，于点， ，，，，， ，，，． 设，则， ．． 设，则，，， 在中，由勾股定理得解得．． 5．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，E是边上一点，连接，在右侧作，且，连接．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】60 【详解】解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴平分， 过点作，，则：， ∵，且，∴， ∴四边形的面积， ∵，∴，设，则：， 由勾股定理，得：， ∴，解：，∴， ∴，∴四边形的面积为60．故答案为：60． 6.（24-25九年级下·四川成都·开学考试）如图，在中，平分，于点，，，．则的长 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分，∴，∵，∴， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，故答案为：． 7．（2025·山东·校考二模）如图，点在内部，平分，且，连接．若的面积为，则的面积为 ．    【答案】4 【详解】解：延长交于，如图所示：    平分，垂直于，，， 在和中，，)，， ，∴， ∵的面积为，∴的面积为，故答案为：． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，已知四边形，连接对角线、，过点D作于点E，，，则下列结论：①平分；②；③若，，则；④若，则；其中正确的是 （填正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【详解】解：过点D作的延长线于一点，如图所示： ∵，，∴， ∵，的延长线，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴平分，故①符合题意； ∵，且，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故②符合题意； ∵平分，∴，∵，， ∴，∴，设， ∵，，∴， ∵，∴，解得，则；故③符合题意； 延长，交的延长线于一点，过点A作，如图所示： ∵，且，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴在中，，设，则 ∵，∴，∴在中，， ∵，∴，则；故④不符合题意；故答案为：①②③ 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形中，平分，，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图，过点分别作于，作交的延长线于点， 平分，，，， 在与中，，， ，， ， 在中，平分，，，， ，． 10.在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)18 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1），∵平分，∴． 在和中，，∴，∴，． ∵C是边的中点．∴，∴． ∵，∴，，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴；故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点，∴．∵平分，∴． 在和中，，∴， ∴，．同理可证：，． ∵，∴，∵，∴． ∴．∴，∴是等边三角形．∴， ∵，∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点，∴，∴ ∵，由（2）可得是等边三角形，∴． ∵当A，F，G，E共线时，有最大值．故答案为：18． 11．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；②(2)平分，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中，，，． ，，， ，， 又，四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下：如图，过点A分别作于E，于F， 则，四边形是等补四边形，， 又，， ，，，是的角平分线． （3）解：连接，在等补四边形中，，同（2）可知平分， 四边形是等补四边形，， 又，， 平分，平分，， 又，，，即，解得． 12.（2025·山东泰安·二模）综合与实践 在学习了角平分线的性质与判定以后，数学兴趣小组继续进行了以下探究： 【动手实践】用两段铁丝分别折成一个锐角、一个钝角，，在锐角的两边分别截取，在平面内与相对放置，并且的两边刚好经过点C、点D，连接（如图1），兴趣小组通过测量发现． 【提出猜想】兴趣小组提出猜想：有一组邻边相等、对角互补的四边形中，经过两条相等邻边的公共顶点的一条对角线，必平分四边形的一个内角． 【验证猜想】兴趣小组通过观察、探究，提出以下两种证明思路． 思路一：如图2，过点A作垂线交的延长线于点E，过点A作的垂线，垂足为F，证明平分． 思路二：如图3，延长到点E，使得，连接．证明平分． 请从两种思路选择一种给出完整证明，帮助兴趣小组验证猜想． 【拓展应用】在平面内，兴趣小组用一根长铁丝围成一个四边形（如图4），，． （1）请直接写出________度；（2）经测量，求四边形的面积． 【答案】验证猜想：见解析；拓展应用：（1）45；（2）450平方厘米 【详解】[验证猜想]思路一证明： 如图，过点作垂线交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为， 证明：由题意得 ∵在四边形中，，∴， ∵，∴，又∵，，∴， ∵，∴，∴，∴点在平分线上，∴平分； 思路二证明：如图，延长到点，使得，连接， ∵在四边形中，，∴， ∵，∴， 又∵，，∴，∴ ，， ∴ ，∴，∴ 平分； [拓展应用]（）∵，，∴由猜想可知：平分， ∴，故答案为：； （）解：如图：过点作垂线，垂足为．过点作的垂线交的延长线于点， ∵在四边形中，，，由猜想可知：平分， ∵，，∴，∴，∴，∴， 又，，∴，∴四边形是矩形， ∵，∴ 四边形是正方形，∴ 设，则由勾股定理得，，解得：， ∴． 13．（24-25九年级下·辽宁本溪·阶段练习）【问题初探】（1）在数学活动课上，姜老师给出如下问题：如图1，平分，M为上一点，N为上一点，连接线段，若．求证：． ①如图2，小文同学从已知一边一角构造全等进行转化的视角给出如下思路：在上截取，连接，易证，将线段与的数量关系转化为与的数量关系． ②如图3，小雅同学也是从已知一边一角构造全等的视角进行解题给出了另一种思路，过D点向的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F，易证，得到，接下来只需证，可得． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程 【类比分析】（2）姜老师发现之前两名同学都采用了一边一角构造全等的视角，为了更好的感悟这种视角，姜老师将共顶点的两个相等的角，变成了不共顶点的两个相等的角提出了如下问题，请你解答． 如图4，在中，，平分交与点D，在线段上有一点E，连接交与点F，若．求证：． 【学以致用】（3）如图5，在中，，垂足为点D，在的延长线上取一点E，使，在线段上截取，点G在线段上，连接，使，若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）①证明：如图2，在上截取，连接， ∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，∴； ②证明：如图3，过D点向∠BAC的两边分别作垂线，垂足分别为点E，F， ∵平分，∴， 又∵，∴， ∴，∴， ∵，∴， 又∵，∴，∴； （2）证明：延长至点M使，连接， 又∵，∴，∴， ∴为的平分线，∴， 又∵，∴，∴，∴； （3）如图：在上截取，连接， 又∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．即△ABE的面积为． 14．（24-25九年级下·湖南株洲·开学考试）综合与实践：在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究． 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形． (1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）． (2)性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．在课后数学老师留下了对邻等对补四边形与对角线相关性质的两个问题①和②，数学兴趣小组长小明邀请小组同学对老师留下的两个问题进行了研究，如下图所示，请你根据提示继续帮小明小组解决问题． 如图2，四边形是邻等对补四边形，是它的一条对角线． ①如图2，写出图中相等的角，并说明理由； 小明小组讨论后，解题思路如下：①， 理由：延长至点，使，连接， 四边形是邻等对补四边形，，，， ，，，，； ②若，，，请你根据①的思路提示帮小明小组求出的长（用含，，的式子表示）． (3)拓展应用：如图3，在中，，分别在边上取点，使四边形是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请具体写出求长的过程． 【答案】(1)②④；(2)②；(3)或 【详解】（1）观察图知，图①和图③中不存在对角互补，图②和图④中存在对角互补且邻边相等， 故图②和图④中四边形是邻等对补四边形，故答案为：②④； （2）过A作于F，∵，∴， ∵，∴，在中，， ∴，的长为； （3）∵，，，∴， ∵四边形是邻等对补四边形，∴，∴， 当时，如图，连接，过N作于H，∴， 在中，，在中，， ，解得，∴， ∵，，∴， ∴，即，∴，，∴， ∴； 当时，如图，连接， ∵，∴，∴，故不符合题意，舍去； 当时，连接，过N作于H， ∵，，∴，∴，即，∴， ∵，，∴，∴，即， ∴，，∴，∴； 当时，如图，连接， ∵，∴， ∴，故不符合题意，舍去；综上，的长为或 15．（2025·四川达州·中考真题）开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务：(1)请你将上述讨论得出的依据补充完整；(2)完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 【答案】(1)；全等三角形的对应角相等(2)见解析 【详解】（1）解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵，∴，∴， 在与中，， ∴，∴，∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． （2）证明：∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴平分． 16．（2025·广东深圳·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，求的度数； (2)如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； (3)如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； (4)如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)周长不变，周长为；(4)的长为或． 【详解】（1）解：依题意得：， 设，，，即，解得， ，，，． （2）解：在上取，连接，平分，， 在和中，，，，， ，，， 又，，即对角互补，四边形是互补四边形． （3）解：周长不变，证明如下：延长使，连接、， ，， 在和中，，，，， ，， 在和中，，， ，， 在和中，，， ，，， ，，，故周长不变，周长为． （4）解：分两种情况：①如下图所示，四边形是平行四边形， ，，， ，，，同（3）得，， ，，，四边形是菱形， ，，设， 作于点，则， 菱形的面积，解得或（舍去），， ，，，； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ，平行四边形是菱形，，， 作交于点，交于点，设，则， 菱形的面积，解得或（舍去），， ，， 则中，，，， ，，， 同①得：，， 是的外角，， ，．综上所述：的长为或． 17．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10． 【详解】（1）①∵是的角平分线，∴， ∵，，∴，∴；故答案为：； ②在上取点D，使，连接，， ∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2），理由：在上取点E，使，连接，则， ∵，∴，∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴；     （3）设，则，当时，， ∴，∴，∴， 过点E作于点G，则，∴，∴， ∵，，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴，∴，； 当时，，过点P作于点H，则， ∴，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴，， ∴，∴，∴，； 当时，，∵，∴， ∴，∴不成立．综上，或． 18．（24-25广东·九年级期中）如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC， ∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $