专题18 全等与相似模型之手拉手模型（几何模型讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等与相似模型之手拉手模型”，覆盖中考几何核心考点，梳理全等型（双等边、双等腰直角等）和相似型模型，通过“模型定义-真题分析-结论提炼-拓展运用”架构，结合考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生突破几何综合题难点。 亮点在于模型化教学与核心素养培养，通过双等边三角形手拉手模型的SAS全等证明发展推理能力，设计“结论猜想-证明验证-变式应用”活动强化几何直观与模型意识。分层练习含基础到综合题，配合真题限时训练，助力学生高效掌握策略，教师可精准把控节奏提升应考能力。

专题18 全等与相似模型之手拉手模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.手拉手模型（全等型） 7 模型2.手拉手模型（相似型） 13 20 “手拉手”模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：____________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)或． 【详解】（1）证明：和均为等边三角形， ，，，， 在和中，，，； （2）解：，， ，，，，则， ，，，故答案为：； （3）解：，，， ，，，，， ，∴，， 当点D在线段上时，如图3，，，， 由得，，则，； 当E在线段上时，如图4，则，， 综上，当点B，D，E三点共线时，的长为或 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 5）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 1）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 2）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 模型1.手拉手模型（全等型） 例1（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【详解】解：①当时，是等边三角形，∴∴ ∵等腰直角、，∴∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、，∴， ∴∴∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵，∴，又，∴ 又∵，∴同理得，， ∴，，， ∵，，，∴， ∴，即是的中点，故④正确，∴， 设，则在中， 在中，∴ ∴解得：∴，∴， ∴∴ 在中，∴,故③错误 故答案为：①②④． 例2（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】(1)①是；；②或(2)详见解析(3)或 【详解】（1）解：①∵在四边形中，，， ∴，∴， ∴是等腰直角三角形，∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时，∵，∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，∴是等腰直角三角形， ∵∴，当时，则； 当时，；综上所述，的长为或； （2）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵，，， ∵，，； （3）解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明，， ，是等腰直角三角形，，， ，，∴由勾股定理得，， 当时，如图，同理可得，综上：或． 例3（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，，直线交于点，连接，探究线段之间的数量关系． (1)如图①，当时，探究如下：在上取点，连接，使，则，由可得．又因为，则有； (2)当，时，如图②；当，时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】(1)，证明见详解 (2)选择图②，或选择图③，，证明见详解 【详解】（1）解：∵，∴是等边三角形， ∵，∴是等边三角形，， ∴，即， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：选择图②，或选择图③，，证明如下， 选择图②，，， 如图所示，在上取点，连接，使， ∵，∴，则，∴， ∵， ∴，且，，∴，∴， ∵，，∴； 选择图③，，，如图所示，在上取点，连接，使， ∴，则， 过点作于点，∴，在中，， ∴，∴， 同理，，，∴，∴， ∵，，∴． 例4（2025·吉林延边·二模） 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. (1)【问题发现】如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. (2)【问题探究】如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延申】如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 【答案】(1)相等，垂直(2)垂直且相等，证明见解析(3)14 【详解】（1）解：，理由：∵正方形，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴，延长交于 ，交于， ∵，∴，∴，∴； （2）解：；理由：∵正方形，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴，设交于，与相交于， ∵，∴，∴，∴； （3）解：过作交延长线于，连接，取中点，连接， ∵点为的中点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴， 又，∴，∴， ∴， ∵为中点，∴，， ∵，∴， 在中，，∴， 解得或（舍去），∴． 模型2.手拉手模型（相似型） 例1（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究：将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)；(2)一致；理由见解析(3) 【详解】（1）解：延长交于点H，如图所示： ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴根据勾股定理得：，，∴， ∵，，， ∴，， ∴，∴． （2）解：线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论一致；理由如下： 延长交于点H，如图所示：∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴，∴，∴，，∴； 又∵，，， ∴，∴； （3）解：过点C作于点N，如图所示：根据旋转可知：，∴， ∵在中，，，，∴根据勾股定理得：， ∵，，∴， ∴，即，解得：，∴，根据解析（2）可知：． 例2（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    【答案】（1）①；②见解析；（2），证明见解析；（3）10 【详解】解：（1）①∵∴ ∵∴，∴∴ ∴，即故答案为：； ②证明：由①可知，，，，即，    又，，； （2）；理由如下：，， 又，，； （3）如图，连接，在的上方取点，使，． ，在中，，，， ，，，，， ，，，， 当时，，两点间的距离最大，，两点间的最大距离为10． 例3（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】（3）如图3，，，连接，，若． ①求的值；②延长交于点，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①，②． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴； （2）∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，，∴， ∵，，∴， ∴，∴．故答案为：； （3）①∵，，∴设，则， ∴，∴． ∵，，∴，， ∵，， ∴，∴，∴． ②设，交于点，如图， ∵，∴，∵，∴， ∴．故答案为：． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解(2)，证明见详解(3)1或2 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由：∵为等边三角形，∴，， ∵O是的中点∴，∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形； （2）解：， 证明如下：连接，∵均是等边三角形，∴， ∵点O为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：情况一，如图①，当点在同一直线上，连接， ∵点O为中点，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵点M为的中点，点O为中点，∴，∴，即，解得：； 情况二：∵为等边三角形，∴， ∵点O为中点，，∴，， 如图②，当点O为中点时，， ∵等边边长为2，∴在中，，∴， ∵此时三点共线，∴点B和点E重合， 又∵点M是直线与直线的交点，∴三点重合， ∴此时的长为的长，即，综上所述，此时的长为1或2． 例5（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】（1），且．理由如下： ∵正方形和正方形，∴∴； 设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据题意，得； ∵H是中点，∴，∴． 故答案为：． （2）结论仍然成立．理由如下， 延长到点P，使得，连接，延长二线交于点Q， ∵H是中点，∴，，∴， ∵正方形和正方形，∴，，， ∴，∵∴， ∴，∴，， ∴，，故． （3）如图，延长到点Q，使得，连接，根据三角形中位线定理，得到， ∵矩形和矩形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， 取的中点O，连接，∵是中点，∴， 根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以为半径的圆上，∴其周长为． 1．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，∴，，∴，在和中，，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∴的面积等于；故选B． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴； 如图所示，设交于O，∵， ，，∴， ∵，，∴，选：C． 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点E是上一动点（不与点A，B重合），，与交于点F． （1）若为等腰三角形，则 ；（2）当时， 。 【答案】 1 【详解】（1）解：∵，为等腰三角形，∴为等边三角形，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴，即， ∴，∴ ，故答案为：1； （2）如图，作，垂足为点M．设，则，， 此时， ，．∵，∴， ∵，∴， ，， ∵，∴ 又∵，∴． 在和中，∵，， ∴，，故答案为：． 4．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确；∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误；∴， ∵，∴四边形是平行四边形，∴，故④正确；故答案为①③④． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 【答案】 或14 【详解】解：（1）如图1所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，即， ∵，∴；         如图2所示，当A，D，E三点在同一条直线上时， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴， ∵，∴，∴； 综上所述，；故答案为：； （2）如图1所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 如图2所示，∵，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得或（舍去；∴； 综上所述，的长为10或14；故答案为：10或14． 6．（2025·山东枣庄·校考二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 在中，，，，的中点分别为D，E， ∴，，，则， ，，，，， 将绕点A逆时针旋转，连接，，根据旋转的性质可得：， ，，，； （2）解：，分别取，的中点D，E， ，，，， ∴当所在直线经过点B时，，， 在中，根据勾股定理可得：，由（1）可得：， ，解得：； 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）画出图形见解析，线段的长度为． 【详解】解：（1）在中，，， ，，即， 在和中，，，， ，，故答案为：； （2），理由：如图2，连接， ∵在和中，，，， ，，∵，， ，，，∴； （3）如图3，过A作AF⊥EC，由题意可知，， ∴，即，， ，，， ，，在中，，， ，，，， ，2×，． 8．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 【答案】（1）；（2），（3）． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∵，∴，∴, ∴，设．，则， ∵，∴，设，同理可得，， ∴，，∴；∴，∴,∴； （2）过D作，交的延长线于H，作于N，如图：∴ ∵是等腰直角三角形，， 由旋转的性质可知：，， ∴和是等边三角形，∴， ∵ ∴， ∴，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴,∴； （3）过点N作于点H，如下图， 在等边中，，在等边中，， ∴，∴，即, ∵，∴，∴， ∴点N总在直线上，即垂直平分， 点N总过的路径为一条线段，起点为M、A重合时点N的位置，终点为的中点H， 如图所示，在等边中，点M、A重合时，， 此时等边三角形“三线合一”的性质可得,∴点N经过的路径长为：． 9．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②(2) 【详解】（1）①∵∴ 又∵∴ ∴，∴，∴； ②∵当时，；∴；∴， ∵；∴，是等腰直角三角形 ∵；∴，即；∴ ∵；∴；∵平分；∴；∴ ∵；∴ ∵；∴；∴ ∵；∴；∴； （2）如图所示，连接，∵；∴， ∵；∴， 同（1）可得，；∴；∴设，则 同（1）可得，；∴；∴；∴． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析(2)没有发生变化(3)①，②能， 【详解】（1）解：，．理由：延长交于点F，如图 在和中，．，． ，．，． ，． （2）由题意得，．． 在和中，．，． ，．，． ，． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②．②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ．． 在和中， ．． ． 即与所成的较小的角的度数为． 11.（24-25山东·九年级专题练习）已知，为等边三角形，点在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）． 【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】【基本图形】见解析；【迁移运用】见解析；【类比探究】见解析． 【详解】基本图形：证明：∵与都是等边三角形， ∴，，，， ∴，，∴， 在与中，，∴， ∴，∴，∵，∴； 迁移运用：证明：过点作，交于点， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，， 又∵，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在与中，∴，∴，∴； 类比探究：解：，理由如下：过点作，交于点， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴，， 又∵，∴为等边三角形，∴， ∵为等边三角形，∴，， ∵，，∴， 在与中，∴，∴， ∵，∴． 12．（2025·安徽宿州·三模）已知，，，与相交于点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点，，在同一条直线上，是的中点，．①求的值；②点，分别是，的中点，，的延长线相交于点，连接，，求证：是等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：， ，．    ，，，． （2）解：如图，①取的中点，连接，由（1）可知，，． ，，． ，，．，，， ．    同理可证，，． ，，，， ，， 在中，；     ②连接，由①知，．     点，分别是，的中点，，， ，，，  ，． ，． ，是等腰直角三角形． 13．（2025·广东广州·二模）在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1若，时，求及的长；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． 【答案】(1)，(2)证明见解析 (3)不存在（2）中的等量关系，存在的关系 【详解】（1）解：边绕点逆时针旋转得到线段，，，， ，，，如图所示，、、、四点共圆， ，， ，，，， ，，，，， ，，， ， 在中，， ，； （2）证明： 边绕点逆时针旋转得到线段， ，，， ，，， 如图所示，、、、四点共圆，过点作交于点， ，，，， ，， ，，， 在和中，，， ，； （3）不存在（2）中的等量关系，存在的关系，理由如下： 根据题意进行作图，将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接，如图所示，过点作交的延长线于点， 边绕点逆时针旋转得到线段，，，，， 四边形内角和为，， ，，，， ，，， 在和中，，，，， 在中，，． 14．（2025·甘肃酒泉·二模）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接． (1)问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________． (2)类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 【答案】(1)，(2)，(3)2 【详解】（1）解：的度数为：，线段之间的数量关系是． ，，是等边三角形， ，，由题意知， ，即 在与中，∴， ∴，∴，即； （2）解：由题意得和是等腰直角三角形． ∵．∴． 在与中，∴， ∴，∴，∴， 在中，，∵，∴． （3）解：如图，作，使，连接． ∵，∴，∵．∴． 在与中，∴，∴． ∵，∴，∴ ∵，∴∴∴∴． 15.（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 【答案】（1），；（2），，见解析；（3）或. 【详解】（1），； ∵∴ ∵∴∴ ∴∴ ∴∴ （2），， 证明：，， ，，，，， ，，，； （3）连接交于点与点关于对称垂直平分， 又四边形是正方形 过作于，则是等腰直角三角形，设， ，，连接 为直角三角形斜边中点，，，， ，，， ，，解得或，或. 16.（2025·河南周口·三模）已知，如图（a）所示，是等腰三角形，，D是上一点，过点D作交于点C． (1)将绕点O旋转到图（b）位置，使B，D，C三点在同一直线上，连接，若，则 ；线段，的关系是 ；(2)在（1）的条件下，把改为，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正确结论；(3)如图（c）所示，，连接，，在绕点O的旋转过程中，当 时，请直接写出的长． 【答案】(1)；(2)不成立，正确结论为， (3)的长为 【详解】（1）解：如图 1，∵，， ，，，， ∵，是等边三角形，， ，是等边三角形， ，，， ，，， ，，， ，故答案为：； （2）解：（1）中结论不成立，正确的结论为， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 即：； （3）解：如图3，在中，，∴， 过点作于，则， 在中，，∴， ∴，∴，∴， 同理：，∴， ∵，∴，， ，，延长相交于， ， ， ，，， 在中，，，设， 则，过点作于，， 在中，，，， ，， 在中，，根据勾股定理得，， ，（舍去）或，． 17.（2025·安徽滁州·三模）（1）如图①，正方形的顶点E，H 在正方形的边上，则 ； （2）把图①中的正方形都换成矩形，并以点A为旋转中心顺时针旋转如图②，且，此时 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长交于F，∵四边形和都是正方形， ，，，，即， ，∴四边形是矩形，，同理可得：， ，是等腰直角三角形，∴．故答案为：． （2）连接，，∴ ，∴，∴，， ∴，即， ∴，，∴， ∵，，∴ ∴．故答案为：． 18.（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，；(3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 【答案】(1)能得到，证明见解析(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：能得到．证明：∵四边形为正方形，∴，， 又∵四边形为正方形，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：当时，． 理由：∵，∴，∴， 又∵四边形和四边形均为菱形，∴，， 在和中，，∴，∴； （3）解：∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 全等与相似模型之手拉手模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。全等三角形、相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就手拉手模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 7 模型1.手拉手模型（全等型） 7 模型2.手拉手模型（相似型） 13 20 “手拉手”模型是中国数学教育界基于中考命题实践凝练的原创教学模型，其发展历程体现了‌问题驱动‌（压轴题）→ ‌方法整合‌（旋转构造）→ ‌概念普及‌（拟人化命名）的典型路径，是中国特色几何模型教学的典范，模型定义为：‌两个顶角相等的等腰三角形共顶点，左底角互连、右底角互连的结构。‌后来该模型被纳入常规几何教学，衍生出等边三角形、正方形等特殊形态的应用变式，并总结出核心结论。 （2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接．(1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置．①请直接写出与的位置关系：____________；②求证：． （2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：； (2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______； (3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长． 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）手拉手相似模型（任意三角形） 图1 图2 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC. 证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC， ∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE， ∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=， 5）手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，； 结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，. 证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD， ∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD， ∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴. 1）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 2）手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形） 图3 图4 条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；. 证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°， ∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴， 条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；. 证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°， ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE， ∴，∠ACE=∠ABD=90° 模型1.手拉手模型（全等型） 例1（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    例2（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 例3（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，，直线交于点，连接，探究线段之间的数量关系． (1)如图①，当时，探究如下：在上取点，连接，使，则，由可得．又因为，则有； (2)当，时，如图②；当，时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 例4（2025·吉林延边·二模） 如图1，已知点为正方形内的一点，连接.将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，. (1)【问题发现】如图1，线段与的数量关系是_______；直线与的位置关系是_______. (2)【问题探究】如图2，点为正方形外的一点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、，交于点，交与点.探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； (3)【拓展延申】如图3，在中，，，点为外一点，且，点为的中点，连接、、，若，，求的长． 模型2.手拉手模型（相似型） 例1（2024·山东东营·中考真题）在中，，，． (1)问题发现：如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)类比探究：将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由； (3)迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 例2（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，， ①则______（填“＜”“＞”或“＝”）； ②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：； 【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．    例3（2025·青海西宁·一模）综合与实践 【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．求证：． 【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接，，则 【拓展提升】（3）如图3，，，连接，，若． ①求的值；②延长交于点，则 ． 例4（2024·山西·模拟预测）综合与实践 问题背景：在数学活动课上，老师带领同学们进行三角形旋转的探究，已知和均为等边三角形，O是和的中点，将绕点O顺时针旋转． 猜想证明：(1)如图①，在旋转的过程中，当点E恰好在的延长线上时，交于点H，试判断的形状，并说明理由；(2)如图②，在旋转的过程中，当点E恰好落在边上时，连接，试猜想线段与线段的数量关系，并加以证明；(3)如图③，若，连接，设所在直线与所在直线交于点M，在旋转的过程中，当点B，F，E在同一直线上时，在M，O两点中的其中一点恰好是另一点与点C构成的线段的中点，请直接写出此时的长． 例5（2024·江苏扬州·三模）（1）观察猜想：如图1，已知三点在一条直线上（），正方形和正方形在线段同侧，H是中点，线段与的数量关系是______，位置关系是______；（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形绕点D旋转度（），试判断（1）中结论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展延伸：如图3，矩形和矩形中，，将矩形绕点旋转任意角度，连接是中点，若，求点运动的路径长． 1．（2023·宁夏·中考真题）如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽滁州·三模）如图，两个大小不同的三角尺放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点E是上一动点（不与点A，B重合），，与交于点F． （1）若为等腰三角形，则 ；（2）当时， 。 4．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 5．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，    （1）的大小是 ；（2）的长是 ． 6．（2025·山东枣庄·校考二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 7．（2024·浙江宁波·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是　 ，位置关系是　 ； 【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度． 8．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 9．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；(2)如图（2），当时，直接写出的值． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 11.（24-25山东·九年级专题练习）已知，为等边三角形，点在边上． 【基本图形】如图1，以为一边作等边三角形，连结．可得（不需证明）． 【迁移运用】如图2，点是边上一点，以为一边作等边三角．求证：． 【类比探究】如图3，点是边的延长线上一点，以为一边作等边三角．试探究线段，，三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 12．（2025·安徽宿州·三模）已知，，，与相交于点． (1)如图1，求证：；(2)如图2，点，，在同一条直线上，是的中点，．①求的值；②点，分别是，的中点，，的延长线相交于点，连接，，求证：是等腰直角三角形． 13．（2025·广东广州·二模）在中，，边绕点逆时针旋转得到线段，连接，过点作垂足为，连接． (1)如图1若，时，求及的长；(2)如图2，当时，求证：； (3)如图3，当时，按要求重新作图并回答：、、是否依然存在（2）中的等量关系？如果存在，请说明理由．否则，请说明三者存在什么样的关系？并说明理由． 14．（2025·甘肃酒泉·二模）综合实践：等腰三角形中，，，点D为线段上不与端点重合的一动点，连接，将绕点A逆时针旋转到，连接． (1)问题发现：如图1，若，请直接写出的度数__________；线段之间的数量关系是__________． (2)类比探究：如图2，若，求的度数及线段之间的数量关系； (3)拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长． 15.（2025·山东枣庄·模拟预测）【综合与实践】 如图，在中，点是斜边上的动点（点与点不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 【特例感知】（1）如图1，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是__________． 【类比迁移】（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】（3）在（1）的条件下，点与点关于对称，连接，EF，，如图3．已知，，设，求的长度． 16.（2025·河南周口·三模）已知，如图（a）所示，是等腰三角形，，D是上一点，过点D作交于点C． (1)将绕点O旋转到图（b）位置，使B，D，C三点在同一直线上，连接，若，则 ；线段，的关系是 ；(2)在（1）的条件下，把改为，请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请求出正确结论；(3)如图（c）所示，，连接，，在绕点O的旋转过程中，当 时，请直接写出的长． 17.（2025·安徽滁州·三模）（1）如图①，正方形的顶点E，H 在正方形的边上，则 ； （2）把图①中的正方形都换成矩形，并以点A为旋转中心顺时针旋转如图②，且，此时 ． 18.（2025·吉林白城·模拟预测）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图①所示的位置摆放（点，，在同一条直线上），发现且． 小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：(1)将正方形绕点按逆时针方向旋转（如图②），还能得到吗？若能，请给出证明，请说明理由；(2)把背景中的正方形分别改成菱形和菱形，将菱形绕点按顺时针方向旋转（如图③），试问当与的大小满足怎样的关系时，；(3)如图④，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，请直接写出与满足的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $