精品解析：广东省汕头市龙湖区2025-2026学年上学期七年级期末数学试题

2025—2026学年度第一学期期末学生学业质量评估 七年级数学 说明：满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 2. 陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等式，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 多项式的常数项是3 B. 的次数是6 C. 的系数是－4 D. 1与不是同类项 7. 在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 8. 如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕，若，则的度数（ ） A. B. C. 随位置的变化而变化 D. 9. 如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（ ） A. 11 B. C. 13 D. 10. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2026的相反数是___________． 12. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 13. 若关于的方程的解为，则__________． 14. 已知，则的值为____． 15. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第层的弹珠数，其中1，2，3，…，则___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） （2）用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数； （2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数． 20. 综合与实践 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解交口文化，交口县某中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆；方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶． （1）若该客户按方案一购买，需付款__________元（用含的式子表示）； 若该客户按方案二购买，需付款__________元（用含的式子表示）． （2）当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ （3）试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 21. 【实验与探究】小明用一根质地均匀的木杆和一些等重的砝码做实验．如题22图1：他在木杆的正中间O处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，然后在木杆的左边挂m个砝码，在木杆的右边挂n个砝码，并通过移动左右两边的砝码直至木杆平衡，记平衡时木杆左边挂砝码的位置为A，木杆右边挂砝码的位置为B．小明记录如下： 木杆左边砝码数量m（单位：个） 支点到木杆左边砝码处的距离（单位：） 木杆右边砝码数量n（单位：个） 支点到木杆右边砝码处的距离（单位：） 状态 1 12 1 12 平衡 2 6 1 12 平衡 4 4 1 12 不平衡 4 3 1 12 平衡 5 ① 1 12 平衡 … … … … … （1）请你通过实验发现的规律，帮小明补全实验记录：① ，我们可以得出一般性结论：当木杆平衡时， ．（用含有n和的式子表示） 【深入探讨】（2）若，，，．小明在A处再加挂3个等重的砝码，为使木杆平衡，木杆右边的砝码应该如何移动？并求出移动距离． 【学以致用】（3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如题22图2所示，提纽O处是支点，已知，秤砣重量是600克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量是多少克？（用方程解决） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令 ①， 则 ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 （1）填空：______；______； （2）已知，且，求的值； （3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 23. 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】 已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，其中为的倒数，与满足．请解答以下题目： （1）_____________，_____________，_____________； （2）若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_____________，点表示的数为_____________； ②当时，求的值． （3）在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期末学生学业质量评估 七年级数学 说明：满分120分，考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 某品牌乒乓球产品质量参数是，如果一只乒乓球的质量高于标准质量记作，那么低于标准质量记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正数和负数．根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵一只乒乓球的质量高于标准质量记作， ∴那么低于标准质量记作． 故选：A． 2. 陶瓷器具是我国古代劳动人民的重要发明之一，是中国人民勤劳与智慧的结晶．如图所示，将给定的图形绕虚线旋转一周得到的几何体与下列陶瓷器具最为相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面图形绕直线旋转形成几何体的知识及几何体的识别，解题的关键是理解平面图形绕竖直虚线旋转成几何体的原理，即平面图形各部分绕竖直旋转轴旋转一周后形成的立体图形的形状．​ 先分析给定图形绕竖直虚线旋转一周后形成的对称曲面几何体形状，再将该几何体与各选项陶瓷器具的形状对比，选出最为相似的选项．​ 【详解】解：A、该陶瓷器具的形状具有明显的左右对称特征，与给定图形绕竖直虚线旋转后形成的左右对称且轮廓规整的曲面几何体最为相似，此选项符合题意；​ B、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意；​ C、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意；​ D、该陶瓷器具与旋转后形成的几何体差异较大，此选项不符合题意．​ 故选：A． 3. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 4. 已知等式，则下列等式中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据等式的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A：等式两边加，得，故此选项成立； B：两边除以2，得，故此选项成立； C：假设成立，则则，题干条件只有，不能推导出其值为，故此选项不一定成立； D：因为，等式两边同时平方，得，故此选项成立． 故选：C． 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关内容是解题的关键． 先由数轴得，，且，再逐项分析即可． 【详解】解：由数轴得，，且， A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 多项式的常数项是3 B. 的次数是6 C. 的系数是－4 D. 1与不是同类项 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多项式的概念，同类项，解题关键是熟练掌握表示几个单项式的和叫做多项式，每一个单项式叫做多项式的一个项；所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫同类项；最高次数项的次数作为多项式的次数；单项式中各字母指数和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数．根据多项式次数与系数，项的定义判断A、B、C，根据同类项定义判定D． 【详解】解：A、多项式的常数项是，故此选项不符合题意； B、的次数是4，故此选项不符合题意； C、的系数是，故此选项符合题意； D、1与是同类项，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 8. 如图，长方形纸片，点分别在边上，连接．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕，若，则的度数（ ） A. B. C. 随位置的变化而变化 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角度的计算，折叠的性质，掌握角度的计算是解题的关键． 根据折叠的性质得出，，且，进而即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（ ） A. 11 B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 利用程序图进行运算即可解答． 【详解】解：当时，， ∴当时，，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 10. 幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，一元一次方程，根据题意列出方程，利用方程的思想是解题的关键． 由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由第2列可得和为：， ∴，，， 解得，，， ∴． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 2026的相反数是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：2026的相反数是． 12. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 13. 若关于的方程的解为，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义、一元一次方程的解法，理解方程的解的意义，得到关于a的方程是解题关键．把代入关于x的方程，得到关于a的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴， 解得：， 故答案为：4． 14. 已知，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式的值，解题关键是将所给式子整体代入要求解的代数式中． 将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，顶层记为第1层，有1颗弹珠；第2层有3颗弹珠；第3层有6颗弹珠，往下依次是第4层，第5层，…；如图中画出了最上面的4层，若用表示第层的弹珠数，其中1，2，3，…，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形可得第n层有颗，则，即可进行解答．本题主要考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形变化找出一般规律． 【详解】解：观察图形可得： 第一层有1颗； 第二层有颗； 第三层有颗； 第四层有颗； …… 第n层有颗； ∴， ∴ ， ． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，按照混合运算法则先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 18. 如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） （2）用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【答案】（1）喷泉的长为米，宽为米 （2） 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米 【解析】 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； 【小问2详解】 由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线． （1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数； （2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数． 【答案】（1）∠COD＝70°；（2）∠COD＝25°． 【解析】 【分析】（1）根据互补的意义得到，则可计算出，然后根据角平分线的定义可得到的度数； （2）根据互余的意义得到，则可计算出，然后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：（1）与互补， ， ， 是的平分线， ； （2）与互余， ， ， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了余角和补角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角；等角的补角相等．等角的余角相等． 20. 综合与实践 实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解交口文化，交口县某中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆；方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆瓶． （1）若该客户按方案一购买，需付款__________元（用含的式子表示）； 若该客户按方案二购买，需付款__________元（用含的式子表示）． （2）当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ （3）试求当取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】（1） （2）选择方案一更优惠； （3）60． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据题意列代数式方案即可； （2）根据题意把代入（1）中的代数式即可得出答案； （3）根据题意列出方程即可． 【小问1详解】 解：方案一需付款 方案二需付款， 故答案为， 【小问2详解】 解：当时， 方案一需付款， 方案一需付款， ， 选择方案一更优惠． 【小问3详解】 根据题意，得， 解得． 答：当时，两种方案所需费用相等． 21. 【实验与探究】小明用一根质地均匀的木杆和一些等重的砝码做实验．如题22图1：他在木杆的正中间O处栓绳，将木杆吊起来，吊绳处为木杆的支点，然后在木杆的左边挂m个砝码，在木杆的右边挂n个砝码，并通过移动左右两边的砝码直至木杆平衡，记平衡时木杆左边挂砝码的位置为A，木杆右边挂砝码的位置为B．小明记录如下： 木杆左边砝码数量m（单位：个） 支点到木杆左边砝码处的距离（单位：） 木杆右边砝码数量n（单位：个） 支点到木杆右边砝码处的距离（单位：） 状态 1 12 1 12 平衡 2 6 1 12 平衡 4 4 1 12 不平衡 4 3 1 12 平衡 5 ① 1 12 平衡 … … … … … （1）请你通过实验发现的规律，帮小明补全实验记录：① ，我们可以得出一般性结论：当木杆平衡时， ．（用含有n和的式子表示） 【深入探讨】（2）若，，，．小明在A处再加挂3个等重的砝码，为使木杆平衡，木杆右边的砝码应该如何移动？并求出移动距离． 【学以致用】（3）学习小组根据这个原理自制了一个杆秤，如题22图2所示，提纽O处是支点，已知，秤砣重量是600克，不放重物时，秤砣放在C处时秤杆平衡，此时，放入重物时，秤砣放在B处时秤杆平衡，此时，则重物的重量是多少克？（用方程解决） 【答案】（1）① 2.4，；（2）则木杆右边的砝码应向右移动；（3）重物的重量约是2400克 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． （1）根据表格记录的数据当木杆平衡时有，然后求解即可． （2）根据题意设木杆右边的砝码应向右移动，设移动距离为，则利用（1）式为等量关系列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （3）方法一：由（1）（2）知，设重物的重量是秤砣的y倍．则有，解出y的值，进而可求出重物的重量，方法二，设重物的重量为z克，空盘的重量为a克． 则，解出a的值，进而可得出，最后求出重物的重量． 【详解】解：（1）根据题意可知当木杆平衡时：， ∴则， ∴ 故答案为：2.4，． （2）木杆右边的砝码应向右移动，设移动距离为． 则 解得， 则木杆右边的砝码应向右移动． （3）方法一：由（1）（2）知 设重物的重量是秤砣的y倍． ， 解得：， 所以重物的重量为：克． 方法二：设重物的重量为z克，空盘的重量为a克． 解得： 则 解得： 答：重物的重量约是2400克． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令 ①， 则 ②， 得：， 即． 材料二：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 （1）填空：______；______； （2）已知，且，求的值； （3）设代数式，已知A，B是数轴上的两个点，分别表示有理数a和b，且线段的长为4．若数a满足关系式，求M的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，且， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 23. 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律．如数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离表示为． 【综合运用】 已知点、、为数轴上三个点，表示的数分别是，其中为的倒数，与满足．请解答以下题目： （1）_____________，_____________，_____________； （2）若动点从点出发沿数轴正方向运动，动点同时从点出发也沿数轴正方向运动，点的速度是每秒3个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度．设运动的时间为秒． ①用含的式子表示：秒后，点表示的数为_____________，点表示的数为_____________； ②当时，求的值． （3）在（2）的条件下，、出发的同时，动点从点出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个单位长度，点追上点后立即返回沿数轴负方向运动．求点追上点后再经过几秒，？ 【答案】（1），13，7 （2）①，；②或6； （3）点M追上点Q后再经过2秒或秒，． 【解析】 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性，倒数的定义即可解答； （2）①根据题意直接列出代数式即可； ②由，结合两点间的距离公式即可得到关于t的方程，求解即可； （3）点M未追上点Q时，表示出点M表示的数，根据点M追上点Q时，点M，Q表示的数相同，可求出运动的时间和此时点M表示的数，从而可求出点M返回沿负方向运动时所表示的数，根据两点间的距离公式，根据可列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵a为的倒数， ∴， ∵，，且， ∴，， ∴，． 故答案为：，13，7； 【小问2详解】 解：①当运动t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为． 故答案为：；． ②当时，， ∴， 解得或6； 【小问3详解】 解：点M未追上点Q时，点M表示的数为， 当点M追上点Q时，， 解得， 即当它们运动2秒时，点M追上点Q，此时点M表示的数为， ∵点M追上点Q后立即返回沿数轴负方向运动， ∴点M表示的数为， 当时，， ∴， 解得或， ∴，， ∴点M追上点Q后再经过秒或2秒，． 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，列代数式，数轴上两点间的距离，一元一次方程解决实际问题，掌握绝对值的几何意义，熟练运用方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $