第 1 章 相交线与平行线 章节讲义（14知识详解+25典例分析）2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

第 1 章 相交线与平行线 章节（14知识详解+25典例分析） 【知识点01】：两直线相交于对顶角 1.两直线相交 概念 表示方法 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 _____________________________ 直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷 相交于点𝑂 。 2.对顶角的概念及性质 概念 特征 性质 图示 如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交,其交点是𝑂 ,∠1,∠2,∠𝐴𝑂𝐷 和∠𝐶𝑂𝐵是𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交所成的角。 对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线。 对顶角相等。如∠1=∠2 ,∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐶𝑂𝐵 。 ______________ 注意：对顶角是成对出现的,指两个角之间的位置关系,单独的一个角不能称为对顶角。 【知识点02】：垂直 垂直的概念及表示方法 概念 图示 表示方法 垂直 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我们就说这两条直线互相垂直, 直线AB与CD垂直，记作AB⊥CD ，交点O 是垂足。 直线l与m 垂直，记作l⊥m ，交点O 是垂足。 【知识点03】：垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 ①用三角尺画，具体画法如下。 步骤 内容 图示 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 ②用量角器画，如图所示。 ：同一平面内，画已知直线的垂线，能画出无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条。 2.基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。强调“存在性”“唯一性” ：其中“一点”可以在已知直线外，也可以在已知直线上。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，𝑃为直线𝑙外一点，𝑃𝑂⊥𝑙，垂足为𝑂，称𝑃𝑂 为点𝑃到直线𝑙 的垂线段。 垂线的性质 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。如图，点𝑃与直线𝑙 上各点的连线中，线段𝑃𝑂 最短。简单说成：垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如图，线段𝑃𝑂的长度是点𝑃到直线𝑙 的距离。 图示 注意：（1）“垂线”与“垂线段”的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如上表中图,PO所在直线是垂线，线段PO 是垂线段。 （2） “垂线段”与“点到直线的距离”的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量。 （3）“点到直线的距离”与“两点间的距离”的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点间的距离指连结两点间的线段的长度，如上表中图，线段的长度是点的距离。 【知识点05】：同位角、内错角、同旁内角 1.如下表中图，直线与相交（也可以说两条直线被第三条直线所截），构成8个角，简称“三线八角”。 定义 举例（如右图） 图示 同位角 如右图,∠1与∠5 都在第三条直线 的同侧,并且分别位于直线 的同侧,这样的一对角叫作同位角。 ∠1与∠5 ，∠2与∠6 ，∠3与∠7 ，∠4与∠8 。 内错角 如右图，∠3与∠5 分别位于第三条直线 的异侧,并且都在两条直线与 之间,这样的一对角叫作内错角。 ∠3与∠5 ，∠4与∠6 。 同旁内角 如右图,∠3与∠6 都在第三条直线 的同侧，并且在直线 与 之间，这样的一对角叫作同旁内角。 ∠3与∠6 ，∠4与∠5 。 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧。 ______________ 形如字母“F ”（或倒置、反置、旋转）。 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间。 ___________ 形如字母“Z ”（或倒置、反置、旋转）。 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间。 __________________ 形如字母“U ”（或倒置、反 置、旋转）。 【知识点06】平行线的概念 名称 概念 符号 图示 表示方法 平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 “平行”用符号“//”表示。 _______________ 记作𝐴𝐵//𝐶𝐷 （或𝐶𝐷//𝐴𝐵 ），读作“𝐴𝐵平行𝐶𝐷 ”（或“𝐶𝐷平行𝐴𝐵 ”）。 注意：（1）平行线的前提是“在同一平面内”，即同一平面内不相交的两条直线一定平行，空间里不相交的两条直线不一定平行。 （2）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行 【知识点07】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线𝑙 上。 二“靠” 紧靠三角尺的另一边放一把直尺。→作图时确保直尺定好位置后不再移动 三“推” 沿直尺的边推动三角尺，使三角尺原来落在直线𝑙 上的边恰好经过已知点𝑃 。→三角尺移动时，始终保持一边紧靠直尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线𝑙′ ,直线𝑙′ 即为所求。 【知识点08】基本事实 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 强调“存在性”“唯一性” 注意： （1）若点在直线上，则过该点不可能有这条直线的平行线； （2）此处没有“在同一平面内”这个前提条件，注意与垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”区分开。 【知识点09】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定方法1 （基本事实） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。 因为∠1=∠2， 所以𝑎//𝑏 。 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 因为∠2=∠3 所以𝑎//𝑏 。 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 因为∠2+∠4=180∘，   所以𝑎//𝑏 。 【知识点10】平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠1=∠5 ，∠2=∠8 ，∠4=∠6 ，∠3=∠7 。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3=∠5 ， ∠4=∠8 。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说:两直线平行，同旁内角互补。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3+∠8=180°,∠4+∠5=180°。  注意： 只有当被截的两条直线平行时，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 【知识点11】平行线的判定与性质的关系 平行线的判定和性质实现了角的数量关系与直线的位置关系之间的互相转化。具体见下图。 【知识点12】平移的概念 平移 一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移。 平移的两个特点 （1）相同的方向，如平移的方向就是由点𝐴到点𝐴′ 的方向； （2）相等的距离，如平移的距离就是线段𝐴𝐴′ 的长。 平移中的对应元素 对应顶点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶 与点𝐶′ 。 对应线段 线段𝐴𝐵与线段𝐴′𝐵′，线段𝐴𝐶 与线段𝐴′𝐶′，线段𝐵𝐶与线段𝐵′𝐶′ 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 敲黑板 （1）图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点平移的方向和平移的距离都相同,所以确定一个图形平移的方向和距离时，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可。 （2）在平移前后的图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一组对应点所连线段的长度都等于平移的距离。 【知识点13】平移作图 平移作图的基本步骤： （1）定：确定平移的方向和距离。 （2）找：找出确定图形形状的关键点。 （3）移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点。 （4）连：按原图形的顺序依次连结各对应点。 （5）写：写出结论。 敲黑板 确定一个图形平移后的位置需要三个条件： ①图形原来的位置； ②平移的方向； ③平移的距离。这三个条件缺一不可。 【知识点14】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 如右图（1），𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′，𝐵𝐵′ 与𝐶𝐶′ 在同一条直线上。如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ 。 平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 区别：前者是点平移的轨迹（如𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ 等），后者是原图形和新图形中的线段（如𝐴𝐵和𝐴′𝐵′；𝐵𝐶和𝐵′𝐶′ 等） 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ ,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′ ，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 【题型一】对顶角的定义 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，下列选项中与是一对内错角的是（     ） A．B． C． D． 【题型二】对顶角相等 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数为 ． 【题型三】垂线的定义理解 5．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则 度． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点在同一直线上，，平分． (1)若，求和的度数． (2)若恰好平分，求的度数． 【题型四】垂线段最短 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是 ． 【题型五】点到直线的距离 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 11．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图中，的同位角是（    ） A． B． C． D． 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每一对角分别叫做什么角？ 【题型七】平行公理的应用 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【题型八】平面内两直线的位置关系 15．（24-25七年级下·宁夏银川·月考）在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 16．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【题型九】同位角相等两直线平行 17．下列四个图中都有 ， 不能由此判定 的是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．    【题型十】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：①如果，a⊥c，那么b⊥c；②如果，，那么；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，a⊥c，那么．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 20．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【题型十一】内错角相等两直线平行 21．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与，这样画的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 22．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字． 【题型十二】同旁内角互补两直线平行 23．如图，下列条件中能判定直线的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠3＝∠5 D．∠1＋∠4＝180° 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【题型十三】两直线平行同位角相等 25．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 26．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，分别是三边上的点，且平分．若，则的度数为 ．    【题型十四】两直线平行内错角相等 27．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，已知，则三者之间的关系是（　　） A． B． C． D． 28．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知，，，求证：． 【题型十五】两直线平行同旁内角互补 29．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 B．过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 30．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，，则 度． 【题型十六】根据平行线的性质探究角的关系 31．（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 32．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【题型十七】根据平行线的性质求角的度数 33．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校门口自动升降栅栏如图1所示，图2为栅栏上升过程中的示意图，横栏，横栏与地面的夹角记为，竖栏始终与地面垂直，若，则等于（　　） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·浙江金华·月考）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【题型十八】平行线的性质在生活中的应用 35．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）一辆汽车向前行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上前行，以下可能的情况是（    ） A．先右拐，后左拐 B．先左拐，后右拐 C．先左拐，后左拐 D．先右拐，后右拐 36．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【题型十九】根据平行线判定与性质求角度 37．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）补全下面的解题过程（填理由或数学式）． 如图，，，．求与的数量关系． 解：，（已知）， ． ∴_____（_____）． （_____）． （已知）， _____（等量代换）， ∴（_____）， （_____）． 【题型二十】根据平行线判定与性质证明 39．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【题型二十一】生活中的平移现象 41．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年是蛇年，下列蛇图形可以通过图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【题型二十二】图形的平移 43．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在图案（2）（3）（4）中，哪个是由图案（1）平移得到的？ 【题型二十三】利用平移的性质求解 45．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是（　　） A．15 B．9 C．6 D．3 46．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【题型二十四】利用平移解决实际问题 47．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 48．（22-23七年级下·浙江台州·月考）如图所示，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是 ． 【题型二十五】平移(作图) 49．（24-25七年级下·浙江·月考）在如图所示的方格纸中，画出将三角形向右平移格后得到的三角形，然后再画出将三角形向上平移格后得到的三角形． 50．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在如图所示的方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上），每个小正方形的边长均为1． (1)在图中画出平移后的，A，B，C的对应点D，E，F均在格点上，且； (2)在（1）的条件下，线段扫过的面积为________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 1 章 相交线与平行线 章节（14知识详解+25典例分析） 【知识点01】：两直线相交于对顶角 1.两直线相交 概念 表示方法 如果两条直线只有一个公共点,就说这两条直线相交,这个公共点叫作这两条直线的交点。 _____________________________ 直线𝐴𝐵与直线𝐶𝐷 相交于点𝑂 。 2.对顶角的概念及性质 概念 特征 性质 图示 如图，直线𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交,其交点是𝑂 ,∠1,∠2,∠𝐴𝑂𝐷 和∠𝐶𝑂𝐵是𝐴𝐵与𝐶𝐷 相交所成的角。 对顶角的顶点相同,角的两边互为反向延长线。 对顶角相等。如∠1=∠2 ,∠𝐴𝑂𝐷 =∠𝐶𝑂𝐵 。 ______________ 注意：对顶角是成对出现的,指两个角之间的位置关系,单独的一个角不能称为对顶角。 【知识点02】：垂直 垂直的概念及表示方法 概念 图示 表示方法 垂直 当两条直线相交所构成的四个角中有一个是直角时,我们就说这两条直线互相垂直, 直线AB与CD垂直，记作AB⊥CD ，交点O 是垂足。 直线l与m 垂直，记作l⊥m ，交点O 是垂足。 【知识点03】：垂线的画法及基本事实 1.垂线的画法 ①用三角尺画，具体画法如下。 步骤 内容 图示 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合。 二移 沿直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点。 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。 ②用量角器画，如图所示。 ：同一平面内，画已知直线的垂线，能画出无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条。 2.基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。强调“存在性”“唯一性” ：其中“一点”可以在已知直线外，也可以在已知直线上。 【知识点04】：垂线段及点到直线的距离 垂线段 如图，𝑃为直线𝑙外一点，𝑃𝑂⊥𝑙，垂足为𝑂，称𝑃𝑂 为点𝑃到直线𝑙 的垂线段。 垂线的性质 一般地，连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。如图，点𝑃与直线𝑙 上各点的连线中，线段𝑃𝑂 最短。简单说成：垂线段最短 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。如图，线段𝑃𝑂的长度是点𝑃到直线𝑙 的距离。 图示 注意：（1）“垂线”与“垂线段”的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如上表中图,PO所在直线是垂线，线段PO 是垂线段。 （2） “垂线段”与“点到直线的距离”的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量。 （3）“点到直线的距离”与“两点间的距离”的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点间的距离指连结两点间的线段的长度，如上表中图，线段的长度是点的距离。 【知识点05】：同位角、内错角、同旁内角 1.如下表中图，直线与相交（也可以说两条直线被第三条直线所截），构成8个角，简称“三线八角”。 定义 举例（如右图） 图示 同位角 如右图,∠1与∠5 都在第三条直线 的同侧,并且分别位于直线 的同侧,这样的一对角叫作同位角。 ∠1与∠5 ，∠2与∠6 ，∠3与∠7 ，∠4与∠8 。 内错角 如右图，∠3与∠5 分别位于第三条直线 的异侧,并且都在两条直线与 之间,这样的一对角叫作内错角。 ∠3与∠5 ，∠4与∠6 。 同旁内角 如右图,∠3与∠6 都在第三条直线 的同侧，并且在直线 与 之间，这样的一对角叫作同旁内角。 ∠3与∠6 ，∠4与∠5 。 2. 同位角、内错角、同旁内角的特征 角的名称 位置特征 基本图形 图形的结构特征 同位角 在截线同侧，两条被截直线同一侧。 ______________ 形如字母“F ”（或倒置、反置、旋转）。 内错角 在截线两侧，两条被截直线之间。 ___________ 形如字母“Z ”（或倒置、反置、旋转）。 同旁内角 在截线同侧，两条被截直线之间。 __________________ 形如字母“U ”（或倒置、反 置、旋转）。 【知识点06】平行线的概念 名称 概念 符号 图示 表示方法 平行线 在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 “平行”用符号“//”表示。 _______________ 记作𝐴𝐵//𝐶𝐷 （或𝐶𝐷//𝐴𝐵 ），读作“𝐴𝐵平行𝐶𝐷 ”（或“𝐶𝐷平行𝐴𝐵 ”）。 注意：（1）平行线的前提是“在同一平面内”，即同一平面内不相交的两条直线一定平行，空间里不相交的两条直线不一定平行。 （2）两条线段或射线平行是指这两条线段或射线所在的直线互相平行 【知识点07】平行线的画法 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 步骤 内容 图示 一“落” 把三角尺的一边落在已知直线𝑙 上。 二“靠” 紧靠三角尺的另一边放一把直尺。→作图时确保直尺定好位置后不再移动 三“推” 沿直尺的边推动三角尺，使三角尺原来落在直线𝑙 上的边恰好经过已知点𝑃 。→三角尺移动时，始终保持一边紧靠直尺 四“画” 沿三角尺过已知点的边画直线𝑙′ ,直线𝑙′ 即为所求。 【知识点08】基本事实 基本事实：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 强调“存在性”“唯一性” 注意： （1）若点在直线上，则过该点不可能有这条直线的平行线； （2）此处没有“在同一平面内”这个前提条件，注意与垂线的基本事实“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”区分开。 【知识点09】平行线的判定 判定方法 文字语言 符号语言 图示 判定方法1 （基本事实） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两直线平行。 因为∠1=∠2， 所以𝑎//𝑏 。 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：内错角相等，两直线平行。 因为∠2=∠3 所以𝑎//𝑏 。 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁内角互补，两直线平行。 因为∠2+∠4=180∘，   所以𝑎//𝑏 。 【知识点10】平行线的性质 性质 文字语言 符号语言 图示 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单地说：两直线平行，同位角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠1=∠5 ，∠2=∠8 ，∠4=∠6 ，∠3=∠7 。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简单地说：两直线平行，内错角相等。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3=∠5 ， ∠4=∠8 。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简单地说:两直线平行，同旁内角互补。 因为𝑎//𝑏 ，所以∠3+∠8=180°,∠4+∠5=180°。  注意： 只有当被截的两条直线平行时，才有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。 【知识点11】平行线的判定与性质的关系 平行线的判定和性质实现了角的数量关系与直线的位置关系之间的互相转化。具体见下图。 【知识点12】平移的概念 平移 一个图形沿某个方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离，这样的图形运动叫作图形的平移。 平移的两个特点 （1）相同的方向，如平移的方向就是由点𝐴到点𝐴′ 的方向； （2）相等的距离，如平移的距离就是线段𝐴𝐴′ 的长。 平移中的对应元素 对应顶点 点𝐴与点𝐴′，点𝐵与点𝐵′，点𝐶 与点𝐶′ 。 对应线段 线段𝐴𝐵与线段𝐴′𝐵′，线段𝐴𝐶 与线段𝐴′𝐶′，线段𝐵𝐶与线段𝐵′𝐶′ 。 对应角 ∠𝐵𝐴𝐶与∠𝐵′𝐴′𝐶′，∠𝐴𝐵𝐶 与∠𝐴′𝐵′𝐶′，∠𝐴𝐶𝐵与∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 敲黑板 （1）图形的平移是整个图形都在移动，即图形中所有点平移的方向和平移的距离都相同,所以确定一个图形平移的方向和距离时，只需确定图形上一个点平移的方向和距离即可。 （2）在平移前后的图形中，原图形上的点到它对应点的方向就是平移的方向；任意一组对应点所连线段的长度都等于平移的距离。 【知识点13】平移作图 平移作图的基本步骤： （1）定：确定平移的方向和距离。 （2）找：找出确定图形形状的关键点。 （3）移：按平移的方向和距离平移各个关键点，得到各个关键点的对应点。 （4）连：按原图形的顺序依次连结各对应点。 （5）写：写出结论。 敲黑板 确定一个图形平移后的位置需要三个条件： ①图形原来的位置； ②平移的方向； ③平移的距离。这三个条件缺一不可。 【知识点14】平移的性质 性质 符号语言 图示 平移不改变图形的形状和大小。 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。 如右图（1），𝐴𝐴′//𝐵𝐵′ ，𝐴𝐴′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′，𝐵𝐵′ 与𝐶𝐶′ 在同一条直线上。如右图（2）,𝐴𝐴′//𝐵𝐵′//𝐶𝐶′ ，𝐴𝐴′=𝐵𝐵′=𝐶𝐶′ 。 平移前后两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等。 区别：前者是点平移的轨迹（如𝐴𝐴′,𝐵𝐵′ 等），后者是原图形和新图形中的线段（如𝐴𝐵和𝐴′𝐵′；𝐵𝐶和𝐵′𝐶′ 等） 如右图（2），𝐴𝐵//𝐴′𝐵′,𝐴𝐶//𝐴′𝐶′ ,𝐵𝐶//𝐵′𝐶′，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′ ,𝐴𝐶=𝐴′𝐶′，𝐵𝐶=𝐵′𝐶′ ,∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵′𝐴′𝐶′ ,∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴′𝐵′𝐶′ ，∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴′𝐶′𝐵′ 。 【题型一】对顶角的定义 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下面四个图形中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角，解题的关键是正确理解对顶角的定义； 根据对顶角的定义：如果两个角由公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角．结合图形逐个选项判断即可． 【详解】解：A、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，下列选项中与是一对内错角的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的判断，根据对顶角的定义即可求解，正确理解对顶角的定义是解题的关键． 【详解】解：由对顶角定义可知，选项符合题意， 故选：． 【题型二】对顶角相等 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查的是对顶角相等，根据对顶角的性质可得答案. 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴， 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如图，直线与相交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据图象可知，． 【详解】解： 故答案为 【题型三】垂线的定义理解 5．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知直线相交于点，则 度． 【答案】55 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等以及角的和差，熟练掌握垂直的定义和对顶角相等是解题关键； 根据垂直的定义可得，对顶角相等可得，再计算角的和差即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：55． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知点在同一直线上，，平分． (1)若，求和的度数． (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握角平分线的定义是解此题的关键． （1）首先根据垂直的概念得到，根据角的和差关系和平角的概念求出的度数；然后结合角平分线的概念求出的度数； （2）根据角平分线的概念求解即可． 【详解】（1） ； ，平分 （2）平分 平分 ． 【题型四】垂线段最短 7．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）小明同学踩着踏板起跳的跳远训练情况如图所示，点，表示两脚的后脚跟，，分别在长方形踏板的边缘线上．若与均垂直于踏板的边缘线，则要想知道他此次跳远成绩，只需测量（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段的应用，解题的关键是理解垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．据此解答即可． 【详解】解：要想知道他此次跳远成绩，只需测量线段的长度． 故选：A． 8．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线l表示一段河道，点P表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，其理由是 ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是正确解答的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【题型五】点到直线的距离 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图是小明在运动会跳远比赛中的示意图，点A，B是他落地时脚后跟所在位置，则这次跳远成绩是图中哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据“跳远成绩是离起跳线较近的脚后跟到起跳线的距离”、“点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度”，选择答案即可，正确判断点到直线的距离是解题的关键． 【详解】解：∵点A，B是小明落地时脚后跟所在位置，跳远成绩是离起跳线较近的脚后跟到起跳线的距离， ∴这次跳远成绩是图中线段的长度， 故选：C． 10．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，是斜拉桥结构示意图，其中索塔顶端距桥梁的高度为米，拉索长度都为480米．为提升桥梁的稳定性，需在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度可以是（    ）米 A．280 B．288 C．420 D．500 【答案】C 【知识点】点到直线的距离 【分析】题目主要考查点到直线的距离，结合图形求解即可 【详解】解：根据题意得：米，米， ∴在桥梁上A，B两点间（不含点A，B，C）的位置与索塔顶端间添加拉索，增加的拉索长度取值范围为：， 符合题意的只有选项C， 故选：C 【题型六】同位角、内错角、同旁内角 11．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）如图中，的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角的定义：在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．根据同位角的定义求解． 【详解】解：由同位角的定义可知，的同位角是． 故选：C． 12．（2023七年级下·浙江·专题练习）如图，与，与，与，与，与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得到的？它们中的每一对角分别叫做什么角？ 【答案】与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同位角； 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角． 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义分析可得答案． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同位角； 与是直线和直线被直线所截得到的内错角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角． 【点睛】此题主要考查了三线八角，关键是掌握在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 【题型七】平行公理的应用 13．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列说法：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的两个角是对顶角；经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、平行公理的应用、垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质，根据垂直相关性质，垂线段最短的性质，对顶角相等的性质，平行线的相关性质逐一排除即可，熟记教材中的定义以及性质是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意； 相等的两个角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法正确，符合题意； ∴正确的有， 故选：． 14．（24-25七年级下·山西晋中·期末）被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是 ． 【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行 【知识点】平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【题型八】平面内两直线的位置关系 15．（24-25七年级下·宁夏银川·月考）在同一平面内，已知直线、、，且，，那么直线和的位置关系是 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查的是平行公理及其推论，即若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，那么另一条也垂直于这条直线． 根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 同一平面内，已知直线a、b、c，且， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知同一平面内有条直线，共有个不同的交点，画出它们可能的位置关系（要求画出三种图形，每一种图形给出简要的说明）． 【答案】见解析 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平行线与相交线的综合运用．没有明确平面上条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想．从平行线的角度考虑，通过合理设置平行直线组与相交直线来实现，作出草图即可看出． 【详解】解:①条平行线条相交且不平行于前一组的直线 ②条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线③条平行线条平行线条相交且不平行于前两组的直线 【题型九】同位角相等两直线平行 17．下列四个图中都有 ， 不能由此判定 的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法分别判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，，； B、和是同位角，，； C、和是同位角，但不是、被一条直线所截，故不能判定； D、如图，，，，； 故选：C． 18．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，将木条a，b与c钉在一起，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．    【答案】/35度 【知识点】同位角相等两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 【详解】解：当时， ∵ ∴ 即木条a旋转的度数至少是时， 故答案为： 【点睛】此题考查了平行线判定的应用，解题的关键是掌握平行线判定的方法． 【题型十】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 19．（22-23七年级下·浙江金华·期中）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列叙述：①如果，a⊥c，那么b⊥c；②如果，，那么；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，a⊥c，那么．正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】平行公理的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、垂线的定义理解 【分析】画出图形，根据平行线的判定方法和垂线的定义分析即可． 【详解】解：在同一个平面内， 如图1，如果，，那么，故①正确； 如图2，如果，那么，故②正确； 如图 3，如果，，那么，故③不正确，④正确； 故选C．    【点睛】本题考查了平行线的判定，以及垂线的定义，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键． 20．一副直角三角板叠放如图①，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕顶点A顺时针旋转角（且），使两块三角板至少有一组对应边（所在的直线）垂直． (1)如图②，______时，； (2)请你在下列备用图中各画一种符合要求的图形，计算出旋转角，并用符号表示出垂直的边． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的判定，三角板中角度的计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）可证明此时，则A、C、E三点共线，再由角的和差关系求解即可； （2）分，，，，和这六种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴A、C、E三点共线， ∵， ∴， ∴时，； （2）解：如图所示，当时， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴； 如图所示，当时，， ∴； 如图所示，当时，； 如图所示，当时，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∴； 如图所示，当时， ∵，， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∴． 【题型十一】内错角相等两直线平行 21．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线与，这样画的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得 ． 故选：B． 22．（22-23七年级下·浙江温州·期中）如图，要使，需要添加的一个条件是 不添加其他字母或数字． 【答案】/ 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】解：需要添加的条件是， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【题型十二】同旁内角互补两直线平行 23．如图，下列条件中能判定直线的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠5 C．∠3＝∠5 D．∠1＋∠4＝180° 【答案】D 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】利用平行线的判定条件对各项进行分析即可． 【详解】解：A、当时，不能判定，故不符合题意； B、当时，不能判定，故不符合题意； C、当时，不能判定，故不符合题意； D、当时，由同旁内角互补，两直线平行得，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 24．（2023七年级下·浙江·专题练习）完成下面的证明：已知：如图，平分，平分，且．求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴（ ）． ∵平分（已知）， ∴ （角的平分线的定义）． ∴（ ）． ∵（已知）， ∴ （ ）． ∴（ ）． 【答案】角平分线的定义；；等式的性质；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】首先根据角平分线的定义可得，，根据等量代换可得，进而得到，然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（ 角平分线的定义）． ∵平分（已知）， ∴（角的平分线的定义）． ∴（ 等式的性质）． ∵（已知）， ∴（ 等量代换）． ∴（ 同旁内角互补两直线平行）． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法． 【题型十三】两直线平行同位角相等 25．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】由两直线平行，同位角相等可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键． 26．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，分别是三边上的点，且平分．若，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行同位角相等 【分析】根据两直线平行，同位角相等得到，再利用角平分线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是掌握相关知识点，灵活运用． 【题型十四】两直线平行内错角相等 27．（24-25七年级下·浙江·月考）如图，已知，则三者之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行内错角相等 【分析】延长交于H，依据平行线的性质，即可得到，即，进而得到．此题考查平行线的性质，解题关键是掌握平行线性质定理：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：如图所示，延长交于H， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：C． 28．（2024七年级下·浙江·专题练习）如图所示，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，2两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】证明：如图． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【题型十五】两直线平行同旁内角互补 29．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列说法错误的是（    ） A．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 B．过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、两直线平行同旁内角互补、平行公理的应用 【分析】本题考查了平行线的定义、性质及判定定理．根据平行线的定义、性质及判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：A、在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，说法正确，本选项不符合题意； B、过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，说法正确，本选项不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，本选项符合题意； D、同旁内角互补，两直线平行，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 30．（22-23七年级下·浙江金华·期末）如图，已知，，则 度． 【答案】 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据对顶角相等得到，再根据平行线的性质得到. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为； 【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键． 【题型十六】根据平行线的性质探究角的关系 31．（24-25七年级下·浙江温州·期末）已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 32．（2025七年级下·浙江·专题练习）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图①，若，求； (2)如图②，若，请判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，数形结合分析是解题的关键． （1）根据两直线平行，同旁内角互补得到，结合题意，得到，由，得到，即可求解； （2）如图所示，过点分别作的平行线，可得，设，结合题意得到，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴， ∴，设， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十七】根据平行线的性质求角的度数 33．（23-24七年级下·浙江台州·期末）某校门口自动升降栅栏如图1所示，图2为栅栏上升过程中的示意图，横栏，横栏与地面的夹角记为，竖栏始终与地面垂直，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质和垂直的定义，掌握以上知识是解题的关键．根据平行线的性质和垂直的定义即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得：都与地面垂直， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 34．（24-25七年级下·浙江金华·月考）佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美奂，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖．如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为，且，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设以及由两点发出的光射线始终在同一平面内）．灯A的光射线以2度每秒的速度从射线顺时针旋转至射线后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线顺时针旋转到射线后也继续回转．当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动． (1)打开总开关，求灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角大小． (2)打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间． (3)如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长至点E，作与的角平分线并交于点F，求与的数量关系． 【答案】(1) (2)30秒，秒，秒，90秒 (3) 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，构造图形并正确分类是解题的关键． （1）延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点，过点作，则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角，由可得，则有，，根据可得，由此求解即可； （2）分情况画出图形，根据角的关系列出方程求解即可； （3）过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义推导即可． 【详解】（1）解：如图，延长灯射线至点，将灯射线反向延长与交于点， 过点作， 则为灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角， ， ， ，， 又， ， ， 则灯A和灯B的光射线转动20秒时，灯A和灯B的光射线所成的夹角为； （2）设旋转时间为秒， 灯的光射线第一次从射线顺时针旋转至射线所需的时间为：（秒）， 灯的光射线从射线顺时针旋转到射线所需的时间为：（秒）， ①当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示，作， ， ， ， ， ， ， 于是有：， 解得：； ②当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时有， ， 于是有：， 解得：； 另有，时， 即， 解得：； ③当时，灯和灯的光射线恰好互相垂直，如图所示： 此时，， ， 于是有：， 解得：； 综上可得，当灯A的光射线第一次从射线旋转至射线的过程中，灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间为：30秒，秒，秒，90秒； （3）与的数量关系是：， 如图，过点作， ， ， ，，， 作与的角平分线并交于点， ， 即． 【题型十八】平行线的性质在生活中的应用 35．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）一辆汽车向前行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上前行，以下可能的情况是（    ） A．先右拐，后左拐 B．先左拐，后右拐 C．先左拐，后左拐 D．先右拐，后右拐 【答案】B 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，同位角相等，两直线平行， ∵，即两次拐弯后，仍在原来的方向上前行， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行的性质，理解题意，掌握平行线的性质是解题的关键． 36．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【题型十九】根据平行线判定与性质求角度 37．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质和判定，分别过点，点作，得到，根据平行线的性质可推出，，再由角之间的倍数关系可得，据此可得答案． 【详解】解：分别过点，点作，则， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 38．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）补全下面的解题过程（填理由或数学式）． 如图，，，．求与的数量关系． 解：，（已知）， ． ∴_____（_____）． （_____）． （已知）， _____（等量代换）， ∴（_____）， （_____）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据同旁内角互补两直线平行，可知，根据两直线平行，同位角相等可知，等量代换可得：，根据内错角相等，两直线平行，可证，再根据两直线平行，内错角相等可证． 【详解】解：，（已知）， ， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 【题型二十】根据平行线判定与性质证明 39．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，，分别在边，上，连结，，若，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键．利用平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 40．（24-25七年级下·浙江绍兴·月考）如图，点分别在的边上，点在线段上，且，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求． 【答案】(1)；见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知． 【题型二十一】生活中的平移现象 41．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 42．（24-25七年级下·浙江温州·期中）2025年是蛇年，下列蛇图形可以通过图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移只改变位置，不改变图片的形状、大小和方向，是解题的关键；把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移． 【详解】解：观察四个选项，可知B选项为原图经过平移所得，形状和方向均未发生改变． 故选：B． 【题型二十二】图形的平移 43．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列图形由左侧图形平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：由平移得到 故选：C 44．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，在图案（2）（3）（4）中，哪个是由图案（1）平移得到的？ 【答案】（3） 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【详解】解：观察图形发现：图案（3）可以由图案（1）平移得到的，而图案（2）、（4）都不可以由图案（1）平移得到的． 【题型二十三】利用平移的性质求解 45．（24-25七年级下·浙江温州·期末）如图，将沿射线向右平移6个单位得．若，则的长是（　　） A．15 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质得，由得，从而可得． 【详解】解：∵沿射线向右平移6个单位得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 46．（22-23七年级下·浙江温州·期末）如图，将长方形平移到长方形的位置，则平移的距离是 ． 【答案】3 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离及平移的性质，根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果，理解掌握平移的性质是解题关键． 【详解】解：∵长方形平移到长方形的位置，且对应点B到的距离为：， ∴平移的距离是3， 故答案为：3． 【题型二十四】利用平移解决实际问题 47．（23-24七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 48．（22-23七年级下·浙江台州·月考）如图所示，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是 ． 【答案】/160平方米 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】通过平移，两块绿地可以拼成一个新长方形，求出长和宽即可． 【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新长方形，新长方形的长为，宽为， 故绿地的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查图形的平移，通过平移将两块不规则的形状合成一个基本图形是解题问题的关键． 【题型二十五】平移(作图) 49．（24-25七年级下·浙江·月考）在如图所示的方格纸中，画出将三角形向右平移格后得到的三角形，然后再画出将三角形向上平移格后得到的三角形． 【答案】见详解 【知识点】平移(作图) 【分析】本题主要考查了平移作图，根据平移的性质先画三角形，再画三角形即可． 【详解】解：和如下图所示： 50．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在如图所示的方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上），每个小正方形的边长均为1． (1)在图中画出平移后的，A，B，C的对应点D，E，F均在格点上，且； (2)在（1）的条件下，线段扫过的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)8 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查作图-平移变换、平行线的性质． （1）根据可确定点D的位置，再根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求四边形的面积即可． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）线段扫过的面积为 ． 故答案为：8. 1 学科网（北京）股份有限公司 $