4. 函数的极值讲义-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅4 函数的极值（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 函数极值辨析 题型2 知图判断函数极值 题型3 求函数的极值与极值点 题型4 根据极值、极值点求参数的值 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 解题策略 知识点1 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点2 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 解题策略1 函数极值点的个数问题 可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的. 解题策略2 由函数极值点个数确定参数范围 此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解. 解题策略3 含参数的函数极值的讨论 求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论. 解题策略4 由极值点满足条件求解不等式问题 此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解. 考点精析 题型1 函数极值辨析 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的图像和奇函数的判定方法，极值的判定方法分析每一个选项得解. 【详解】A. ，由函数的图像得函数是奇函数，但是不存在极值，故该选项错误； B. ，由函数的图像得函数是偶函数，故该选项错误； C. ，，所以该函数不是奇函数，故该选项错误； D. ,，所以该函数是奇函数，由函数图像得函数在上是增函数，在上是减函数，所以函数存在极值.故该选项是正确的. 故选D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断和极值的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．若函数的导函数的图象分别如图1､图2所示，则与极值点的个数分别为（    ） A．4，1 B．2，2 C．4，2 D．2，1 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义，结合导函数的图象进行判定，即可求解. 【详解】由对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左､右的导数值异号， 对于函数导函数的图象，可得函数由4个极值点，其中两个极大值点和两个极小值点，对于函数，结合其导函数的图象，可得 只有一个极值点，且为极大值点. 故选：A. 3．若函数在x=1处有极值，则f(x)的极大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】求出导函数，由求得值，并确定极大值点得极大值． 【详解】由已知，所以，， 即， 或时，，时，，即在和上递增，在上递减， 极大值为． 故选：C． 4．对于函数　f(x)＝x3＋ax2－x＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程　f(x)＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】试题分析：, 因为,所以,必有2个不等实根． 分别设为．因为,所以． 当或时, ,当时, ． 所以在和上单调递增,在上单调递减． 所以时取的极大值,当时取得极小值． 因为,所以,即,所以甲,乙,丙三人说的都正确． 因为的符号不确定,所以丁的说法就不正确． 综上可得,正确的个数是3．故C正确． 考点：用导数研究函数的单调性,极值． 5．函数在处有极值10， 则点为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先对函数求导，再根据题设在处有极值10，可得，解之即可求得的值，再代入检验是否为极值点. 【详解】由，求导， 由函数在处有极值10，则， 即，解得或， 当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去. 当，，为极小值点，符合题意， 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件，求解之后要注意检验，本题中，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意. 6．下列说法正确的是 （ ） A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值. C．对于函数，若，则无极值. D．函数在区间上一定存在最值. 【答案】C 【分析】根据极值与最值的概念对选项逐一判断 【详解】对于A，函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念, 函数在闭区间上的极大值不一定比极小值大，A错误； 对于B，函数在闭区间上的最大值在极大值点处或端点处取得，B错误； 对于C，函数的导数为，当,有,恒成立,即单调递增,无极值，正确； 对于D，若函数在区间上是增函数或减函数，由于端点处函数值无意义，则函数在区间上没有最大值和最小值，D错误 故选：C 二、多选题 7．判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 【答案】CD 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A错误； 对于B：若或恒成立，则无极值点，则B错误； 对于C：在内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C正确； 对于D：三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确． 故选：CD． 8．（多选）下列关于函数极值的说法正确的是（    ）. A．导数值为0的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值可大于它的极大值 C．函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值 D．若在区间上有极值，则在区间上不单调 【答案】BD 【分析】对于AC，举例判断，对于BD，由极值的定义判断， 【详解】对于A，若，则，令，则，而在上为增函数，所以无极值，所以导数值为0的点不一定是函数的极值点，所以A错误， 对于B，因为函数的极值是与它附近的函数值比较，是一个局部概念，所以函数的极小值可大于它的极大值，所以B正确， 对于C，因为函数在上为增函数，所以在定义域内无极值，所以C错误， 对于D，若在区间上有极值，则在区间上有增有减，由单调性的定义可知在区间上不单调，所以D正确， 故选：BD 9．已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 10．已知函数，则下列判断不正确的是（    ） A．直线与曲线相切 B．函数只有极大值，无极小值 C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数 D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数 【答案】ABD 【分析】求导得，即可求解处的切线方程判断A，根据导函数的正负即可判断函数的单调性，即可判断极值，求解B，代入即可判断CD. 【详解】易知，令，可得，所以． 对于A，因为，，所以点处的切线方程为，即A错误； 对于B，当时，令时，得，此时单调递增，当时，，单调递减，故有极小值，无极大值，即B错误； 对于C和D，设为的极值点，则的，且， 所以，， 若与互为相反数，则，故， 若与互为倒数，则，故， 即C正确，D错误． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用导数求得极值点，且，代入得极值，从而得解. 三、解答题 11．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 【答案】(1)函数的增区间为和，减区间为 (2)极大值为，极小值为 【分析】（1）利用导数的正负性研究函数单调性； （2）利用函数单调性求极值. 【详解】（1）因为， 则， 令，可得或，列表如下： 3 0 0 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为和，减区间为； （2）由（1）可知， 函数的极大值为， 极小值为. 12．已知函数. （1）判断函数是否存在极值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1）不存在极值；（2） 【分析】（1）先求解函数f(x)的导函数，判断函数的单调区间，进而确定函数是否存在极值； （2）化简函数并根据函数的单调性，把问题转化为不等式恒成立问题，计算得出参数的取值范围. 【详解】解：（1）根据题意，设 则， 时，，根据题意这里 在上单调递减；在 上单调递增 即，在上恒成立，所以 在上无解 所以不存在极值； （2）在 上单调递减 在上恒成立 ，且 恒成立，令 则 ，令 则， 在上单调递减， 在上单调递减， ， 又时，， 在上单调递减， ，即， a的取值范围为： 13．设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 【答案】(1)函数为偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由偶函数的定义即可判断； （2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得； （3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得. 【详解】（1）函数定义域为，对任意，有， 且恒成立，故函数为偶函数. （2）因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解， 故的一个极值点满足， 所以； （3）设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 题型2 知图判断函数极值 一、单选题 1．设，则函数（    ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 【答案】A 【分析】求出，二次求导可得单调递增且，从而判断出函数的单调性，进而得到极值点. 【详解】，， ∴单调递增且， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故有唯一的极小值点. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题. 2．函数在区间内可导，，则“”是“为函数的极值点”的（    ）（注：极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用极值点的定义和充要条件的判断方法即可判断. 【详解】①充分性：“”只有再满足在两侧附近的符号不同时，才可以得到“为函数的极值点”,否则不是函数f(x)的极值点，故充分性不满足； ②必要性：“是函数f(x)的一个极值点”一定有，故必要性满足. 可得: “”是“为函数的极值点”的必要而不充分条件. 故选：B 3．函数共有个极值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】对函数进行求导，利用导数的符号判断函数的单调性，进而求函数的极值个数即可. 【详解】因为函数， 所以， 因为， 所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以函数没有极值. 故选：A 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则、利用导数求函数的极值个数；考查运算求解能力；熟练掌握基本初等函数的导数公式公式是求解本题个关键；属于基础题. 4．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数图象得到的取值情况，即可得到的单调性，即可得到极值点数. 【详解】由图可知，当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减. 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 故极值点的个数为. 故选：B 5．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是（    ） A．① B．② C．②③ D．①② 【答案】C 【分析】，由题意可得是的极大值点，是的极小值点，则，且与是方程的两个不同的根，再利用韦达定理可求出的符号，再逐一分析判断即可得解. 【详解】， ∵函数，且在与处取得极值， 由图可知，是的极大值点，是的极小值点， 所以函数是开口向上的二次函数， ∴，且与是方程的两个不同的根， 即，， 则，， ∵由图象可知，∴，故①不正确， ∵，且， ∴，故②正确； 是开口向上， 对称轴为， ∴函数在区间上是增函数，故③正确， 故正确的命题是②③. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据由题意可得到，且与是方程的两个不同的根，是解决本题的关键. 6．下列判断错误的是（  ） A．命题“若，则”是假命题 B．直线不能作为函数图象的切线 C．“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题 D．“”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】举反例判断A；利用导数的几何意义，即可判断B；根据两条直线垂直的公式，即可判断C；根据极值点的定义与理解，判断D. 【详解】A.若 ，等式成立，此时 为任意实数，所以是假命题，正确； B. ，所以函数上任一点的切线斜率都是负数，不可能是 ，也正确； C.两条直线垂直 ，解得，原命题正确，那么逆否 命题也正确； D.应是既不充分也不必要条件，因为 后，还需判断两侧的单调性，判断是否变号，变号才是极值点，反过来， 在 处取得极值，也不一定 ，例如： ，在 处，就不满足 ，所以D不正确. 故选：D. 7．已知是定义域为R的偶函数，当时，．那么函数的极值点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用导数判断原函数的单调性，结合偶函数的性质以及极值点的概念分析判断. 【详解】当时，， 因为，可得： 当时，（当且仅当时等号成立）； 当时，（当且仅当时等号成立）； 所以在上单调递增，在上单调递减， 再根据偶函数的性质可知：在上单调递增，在上单调递减，且在R上连续不断， 所以是原函数的极大值点，是原函数的极小值点， 故的极值点个数为3个． 故选：C． 8．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．直线与曲线相切 B．函数只有极大值，无极小值 C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数 D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，通过在某点处的导数为该点处切线的斜率，求出切线方程，并且判断出极值，通过结合与互为相反数，若与互为倒数，分别判断的极值与的极值是否互为相反数，以及是否互为倒数. 【详解】， ，令，得 ，所以 ， 因为，，所以曲线在点 处的切线方程为，故A错； 当 时，存在 使，且当时，； 当时，，即有极小值，无极大值，故B错误； 设 为的极值点，则 ，且， 所以 ，，当 时， ；当时，， 故C正确，D错误. 9．如图所示是某同学发现的一种曲线，由于形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法不正确的是（ ） A．该曲线与最多存在3个交点 B．如果曲线如题图所示（轴向右为正方向，轴向上为正方向），则 C．存在一个，使得这条曲线是偶函数的图象 D．当时，该曲线中的部分可以表示为关于的某一函数 【答案】D 【分析】AB项，转化为三次方程根的个数问题研究；C项，举特例说明存在值使曲线是偶函数的图象；D项，令，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应值不唯一即可说明不是的函数. 【详解】对于A项，曲线方程， 令，得关于的一元三次方程， 令，则， 最多两根，即函数最多两个极值点， 即方程最多有三个实根，故A正确； 对于B项，若曲线如题图所示，则存在，使得与曲线图象有三个交点， 即存在，关于的方程有三个实根. 令，则， 假设，，都有，即单调递增， 则方程在最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误. 因此，故B正确； 对于C项，当时，曲线即函数的图象， 设，，定义域关于原点对称. 且，所以是偶函数. 故存在，使得曲线是偶函数的图象，故C正确： 对于D项，当时，曲线方程为. 令，得， 令，则，， 由零点存在性定理知至少两根，则对应的值不唯一，不符合函数定义，故D错误； 故选：D. 10．若函数在内无极值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，①当时，，所以在上单调递增，在内无极值，所以符合题意；②当时，令，即，解得，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，当时原函数取得极大值，当时，原函数取得极小值，要满足原函数在内无极值，需满足，解得.综合①②得，的取值范围为，故选C. 考点：导函数，分类讨论思想. 二、多选题 11．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（    ）    A．是函数的极值 B．函数的有最小值无最大值 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率小于零 【答案】BC 【分析】由极值的定义可判断A,根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性即可判断B，C，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率可判断D． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故B，C正确； 则是函数的极小值点不是极值，故A错； 由图像可知函数在处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确； 故选：BC 12．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是R上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有三个零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 【答案】AB 【分析】求导得，根据判别式确定导函数的根，即可结合极值定义求解ABC，求解函数的切线方程，联立方程求解交点，即可判断D． 【详解】对于A，是上的增函数， ，，解得，A正确； 对于B，当时，，有两个异根， 函数有两个极值，B正确； 对于C，令，则或， 当时，当，即时，有相等的根， 此时有两零点； 当，即时，有相异的两根， 此时有三个零点，C错误； 对于D，当时，， ，又， 在点,处的切线方程为， 由，得或， 当时，在点处的切线与有2个公共点，D错误． 故选：AB． 13．已知，函数，则以下结论正确的是（    ） A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于 C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于 【答案】AC 【分析】求，设的两根分别为和，由和求出单调区间和极值点，计算的值可判断AB；计算，结合立方和公式计算的值可判断CD，进而可得正确选项. 【详解】由可得， 因为，所以， 设的两根分别为和， 则，， 由可得：或，由可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以在时取得极大值，在时取得极小值， 所以，的两极值点之和等于2，故选项A正确，选项B不正确； 因为， ， 的两极值之和为 ，故选项C正确，选项D不正确， 故选：AC. 14．已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 【答案】ACD 【分析】根据的图象，先分析出的正负性，即可得的单调性，从而可判断A，B，C，再由和时，，而不一定等于0，可判断D. 【详解】当时，， 函数单调递增， 同理可得：当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值， 当时，，函数单调递减， 当时，函数单调递减， 所以函数在上单调递减， 从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误； 又和时，， ，而在时等于0，所以不一定等于0， 当时，是导函数的极大值点， 当时，不是导函数的极大值点，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题 15．函数的极值点的个数是 ． 【答案】0 【分析】通过导数判断函数的单调性即可得极值点的情况. 【详解】因为，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以函数的极值点的个数是0， 故答案为：0. 16．已知函数，，则 ，当，时，函数的极值点的个数为 ． 【答案】 2 【分析】（1）代入得到，进而代入化简计算即可； （2）易得，再将题意转换为与的图象交点个数分析即可 【详解】由得，所以．由题知，则．作出与的大致图象如图所示．由图可知，的解即为两函数图象交点的横坐标，记为，，且．当时，，则；当时，，则；当时，，则，所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，所以函数的极值点的个数是2．    【点睛】试题考查函数的图象与性质、利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力．属于中档题 17．将定义在上的函数的所有极值点按从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，则在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，探讨函数在区间、、上的性质及零点，确定，再借助单调性求出最大值作答. 【详解】，当时，， 由函数在区间上递增，且值域为， 则存在唯一时，使得， 当时,单调递减，当时,,单调递增,有，同理当时，使得，满足，当时，使得，满足， 因此，而，于是， 又，即， 则当时,,时，， 即有，整理得，此时数列为常数列，又当，可得，不成立，于是，此时， 因为当时，，当时，， 又当时，，当时，， 因此当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 所以函数在上的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． 四、解答题 18．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. （1）求常数a，b，c的值； （2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 【答案】（1）a＝，b＝0，c＝－；（2）x＝－1是极大值点，x＝1是极小值点，理由见解析，极大值1，极小值－1. 【分析】（1）结合列方程组，由此求得的值. （2）利用导数研究的单调性、极值点、极值. 【详解】（1）＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数f(x)的极值点，∴x＝±1是方程＝3ax2＋2bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系，得，又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－. （2）f(x)＝x3－x，∴＝x2－＝(x－1)(x＋1)，当x<－1或x>1时，>0，当－1<x<1时，<0， ∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数， ∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1. 19．设，函数. （1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求的值； （2）若，求函数的极值与单调区间； （3）若函数的图像与直线有三个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）极小值，极大值；单调减区间为，单调增区间为和； （3）； 【分析】（1）由题可知，函数的图像在处的切线与直线平行，则有，于是，即； （2）若，，令，解得或，列出表格即可得到单调区间以及最值； （3）采用数形结合的方法求解，对a进行分情况讨论，当a=0时，不满足题意，当a>0时，让其最小值小于-2即可，当a<0时，让其最小值小于-2即可，故取并集得出a的取值范围； 【详解】（1）， ，所以，此时切点为， 切线方程为，它与已知直线平行，符合题意. （2）时，， 当时，，当，或时，， 所以，的单调减区间为，单调增区间为和； 当时，有极小值， 当时，有极大值； （3）当时，，它与没有三个公共点，不符合题意， 当时，令， 令或， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 又，，所以，即， 又因为，所以； 当时，令， 令或， 在和上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，即， 又因为，所以； 综上所述，的取值范围是. 20．函数. （1）若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； （2）讨论极值点的个数. 【答案】（1），是的极小值点；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）由题意得出，可求得实数的值，然后分析导数的符号变化，可得出结论； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由此可得出函数的极值点个数. 【详解】（1）， ， 是的极值点，，解得. 当时，，该函数的定义域为， . 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 是的极小值点； （2）. ①当时，函数的定义域为，且，在上单调递增，无极值点； ②当时，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数只有一个极值点； ③当时，函数定义域， 由，得， 令，可得或； 令，可得或. 在，上单调递增，在，上单调递减，有两个极值点； ④当时，函数的定义域为， 由，得. 令，可得或； 令，可得. 所以，在，上单调递增，上单调递减，有两个极值点. 综上，当时，无极值点； 当时，只有一个极值点； 当或时，有两个极值点. 21．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据凸函数定义可知，分离常数可得，利用导数可求得的最小值，由可求得的取值范围； （2）将问题转化为在有变号零点；令，利用导数可求得单调性，可得；当时，由可知无零点；当时，可知，使得，由单调性可确定其有变号零点，由此可得的取值范围. 【详解】（1）， 若函数为上的凸函数，则，即， 令，，则当时，， 当时，；当时，； 当时，单调递减；当时，单调递增， ，，解得：， 的取值范围为. （2），， 在上有极值，在有变号零点， ，令，则， ，，在上单调递增， ； ①当，即时，，在上单调递增， ．即， 在无零点，不合题意； ②当，即时，则，使得， 当时，，，单调递减， 又，当时，，在上无零点； 当时，，单调递增， 又时，， 在上有零点，且在零点左右两侧符号相反，即该零点为的变号零点， 在上有极值； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查根据函数有极值求解参数范围的问题，求解此问题的基本思路是将问题转化为导函数在所给区间内有变号零点的问题，通过讨论导函数的单调性，结合区间临界点的符号可求得结果. 题型3 求函数的极值与极值点 一、单选题 1．函数在区间内可导，，则“”是“为函数的极值点”的（    ）（注：极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用极值点的定义和充要条件的判断方法即可判断. 【详解】①充分性：“”只有再满足在两侧附近的符号不同时，才可以得到“为函数的极值点”,否则不是函数f(x)的极值点，故充分性不满足； ②必要性：“是函数f(x)的一个极值点”一定有，故必要性满足. 可得: “”是“为函数的极值点”的必要而不充分条件. 故选：B 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据求导公式求出函数的导数，再令导数为0，求出可能的极值点，最后根据极值点的定义判断该点是否为极值点. 【详解】由题可得，令，解得. 因为是函数的变号零点， 因此是函数的极值点. 故选：A. 3．函数的极值点是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】求函数的导函数，再求其零点，分析导数在零点两侧的导数值符号，由此确定其极值点. 【详解】函数的定义域为，导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数取极小值，函数没有极大值， 所以函数的极值点是. 故选：B. 4．设函数，且为函数的极值，则有(　　) A． B． C．当时，为极大值 D．当时，为极小值 【答案】B 【详解】根据题设可得，从而可判断各项的正误. 对于A，因为，故，故A错误； 对于B，因为，而为函数的极值，故， 故，故B正确； 对于C，， 若，则当时，，当时，， 故为极小值，故C错误； 同理可得当时，为极大值， 故选：B. 5．  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 【答案】C 【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增 ∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确； 在处取得极大值. 所以有3个极值点，故A错. 故选: C. 6．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 7．2022年北京冬奥会山地滑雪比赛．滑雪场中某一段滑道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（A、B分别在该三次函数的极值处）．综合考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角．则A、B两点在水平方向的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设三次函数，求得，设，求得，得到，再令，得到为函数极值点，代入求得，进而化简得到，即可求解. 【详解】设三次函数为，可得， 设，可得， 因为为极值点，所以， 令，可得为函数极值点， 将代入，可得，所以， 则， 即， 即，即， 可得，解得. 故选：B 二、多选题 8．函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求导，令，求出方程的根，根据极值点的定义即可判断. 【详解】由得：， 令，则，当时，,当时，，故均是函数的极值点， 故选：ABC 9．设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    三、填空题 10．已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用二次求导的方法求得，从而求得，进而求得正确答案. 【详解】的定义域为， ，令， 所以在上单调递增， ， 所以存在，使， 则在区间上，递减；在区间上，递增， 所以是的极小值点，所以， 所以. 故答案为： 11．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有 个. 【答案】2 【解析】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图像可知， 函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为， 所以为极大值点，为极小值点， 所以函数的极值点有2个. 故答案为：2 四、解答题 12．已知函数，其中为自然对数的底数，． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由． 【答案】（1） （2）没有，理由见解析 【解析】（1）求导，研究函数在x=0处的导数，等于切线斜率，即得解； （2）对f(x)求导，构造，可证得，得到，即得解 【详解】（1）由题意得， ∵曲线在点处的切线与直线平行， ∴切线的斜率为，解得． （2）当时，， ， 设，则， 则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又函数， 故恒成立， ∴函数在定义域内单调递增，函数不存在极值点． 【点睛】本题考查了导数在切线问题和函数极值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 13．已知函数． (1)求函数的极值； (2)设函数的导函数，求函数的极值点； (3)设，其中为常数且，求函数的零点个数． 【答案】(1)极小值为，极大值为； (2)极值点是； (3)答案见解析. 【分析】（1）对求导，找到导数为的点，通过导数符号判断函数在这些点两侧的单调性，即可确定极值． （2）先求出的表达式，因式分解后找到其零点，分析每个零点两侧的符号变化，即可确定极值点． （3）将函数的零点个数转化为为函数图象和直线的交点个数，结合的单调性和极值，对的取值范围进行分类讨论，得出不同情况下的交点个数，即零点个数． 【详解】（1）由已知，则，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以函数的极小值为，极大值为． （2）因为，所以， 令，解得，． 当时，；当时，， 所以是的极值点． 当或时，， 所以不是的极值点． 综上，函数的极值点是． （3）由已知得， 令，可得， 则函数的零点个数即为函数图象和直线的交点个数， 由（1）知，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 又因为，， 综上分析， 当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点． 14．已知函数 （1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ），为极大值点（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，得到函数的单调区间，求出函数的极值点即可； （Ⅱ）求出函数极值点，问题转化为[2lnx1]＞0，根据0＜x1＜1时，0.1＜x1＜2时，0．即h（x）＝2lnx（0＜x＜2），通过讨论t的范围求出函数的单调性，从而确定t的范围即可． 【详解】（Ⅰ），，则 从而，所以时，，为增函数； 时，，为减函数，所以为极大值点. （Ⅱ）函数的定义域为，有两个极值点 ，，则在上有两个不等的正实根，所以， 由可得 从而问题转化为在，且时成立. 即证成立. 即证       即证 亦即证 .    ① 令则 1)当时，，则在上为增函数且，①式在上不成立. 2)当时， 若，即时，，所以在上为减函数且， 、在区间及上同号，故①式成立. 若，即时，的对称轴， 令，则时，，不合题意. 综上可知：满足题意. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 15．已知函数在处的切线与直线平行，函数． （1）求实数的值； （2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】（1）1；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导函数，根据函数在处的切线与直线平行，即可求得实数的值； （2）求出的导函数，根据函数存在单调递减区间，得在上有解，从而求得实数的取值范围； （3）由题知，又有两个极值点，所以是的两个根，且，得，根据所证的得：，整理得：，令，，只需证明函数的最大值小于零即可. 【详解】解（1）． 与直线平行， （2）因为 由题知在上有解， ，设，则 所以只需或 故的取值范围是． （3）由题知，又有两个极值点， 所以是的两个根，且 所以要证 即证 即证 即证 即证 令，则 设，则，即在上单调递增 ，即成立 所以原不等式成立. 【点睛】本题考查了导数的集合意义，根据函数的单调性求参数的取值范围，证明不等式成立的问题，考查了方程思想、转化思想和构造函数思想，属于难题. 题型4 根据极值、极值点求参数的值 一、单选题 1．已知函数，若在处有极值，则的值是（    ） A．-4或3 B．3 C．-4 D．-1 【答案】C 【分析】由函数求导得到，再根据在处有极值，由求解. 【详解】因为， 所以， 又因为在处有极值， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当或时，，当时，， 所以在处有极大值，则； 当时，恒成立，所以函数无极值，不成立， 综上. 故选：C 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题哦. 2．已知函数有极值，则实数等于（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值，结合隐零点消元计算即可. 【详解】易知，显然单调递增， 又有极值，则有正根，不妨设为， 则，解之得. 故选：B 3．若函数在上无极值，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求，由分析可得恒成立，利用即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得 ， 恒成立，为开口向上的抛物线， 若函数在上无极值， 则恒成立，所以， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：D. 4．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】y′＝3x2－3a， 当a≤0时，y′≥0，函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去； 当a>0时，y′＝3x2－3a＝0⇒x＝±，不难分析， 当1<<2，即1<a<4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值． 故选B. 5．函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【详解】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以， 故选：A. 6．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用导数讨论的单调性及极值情况，即可求得的值. 【详解】， 当时，恒成立，单调递增，无极值点，所以. 所以为的极大值点，或为的极大值点. 因为，所以不是的极大值点， 为的极大值点，且，， 解得. 故选:C. 7．若函数 既有极大值也有极小值，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决问题. 【详解】因为，所以函数定义域为， ， 由题意，方程，即有两个不相等的正根，设为， 则，解得，即的取值范围为， 故选：A. 8．若函数h（x）＝（x）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a＜0 C．a＞0 D．a≥0 【答案】C 【分析】求函数导数，分类讨论，利用函数的极值定义、函数单调性，即可确定的取值范围． 【详解】由题意，函数，则， 函数在区间上只有一个极值点，设， 所以， ①当时，在上恒成立，即函数在上是增函数， 又，， 所以在上有且仅有一个零点，使得， 且在上，，在上，， 所以为函数在上唯一的极小值点； ②当时，，在成立， 即函数在上是增函数，此时，在恒成立， 即，故函数在上为单调增函数， 所以函数在上无极值； ③当时，，由，则在恒成立， 即，故函数在上为单调增函数， 所以函数在上无极值； 综上所述：. 故选：C. 【点睛】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法和分类讨论思想，属于难题． 9．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，当x=1时有极值10，则a、b的值为 A．a=3，b=－3或a=－4，b=11； B．a=－4，b=1或a=－4，b=11 ； C．a=－1，b=5 ； D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据题意可得，解方程求得参数，进行验证即可得解， 【详解】因为函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，在x=1时有极值10， 则利用， ， 又， 联立方程组可知a=3，b=－3或a=－4，b=11 ， 当a=3，b=－3时， 此时单调递增，不符题意舍去， a=－4，b=11符合题意， 故选：D 10．已知是函数在上的唯一极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求函数导数，由条件可得x时，即，设，求函数最小值即可得解. 【详解】由， 得， 因为是函数在上的唯一极值点，则时，即， 设，则，所以，所以a≤e，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的极值及恒成立问题的处理，一般地，对于不等式恒成立我们常用的方法为：变量分离，通过变量分离转化为参数与函数最值得关系，属于中档题. 11．函数的极值点为，则的值为 A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】先对函数求导，根据函数的极值点为，可得，进而可求出结果. 【详解】因为，所以； 又的极值点为，所以，即. 故选C 【点睛】本题主要考查导数的应用，已知极值点求参数的问题，属于基础题型. 12．已知函数，在处取得极大值，则实数的值是 A． B．2 C．2或6 D．6 【答案】D 【分析】由题意可得，解出c的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件. 【详解】函数的导数为， 由在处有极大值，即有，即， 解得或6， 若时，，可得或， 由在处导数左负右正，取得极小值， 若，，可得或2 ， 由在处导数左正右负，取得极大值. 综上可得. 所以D选项是正确的. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，根据函数的极值求参数需注意验证函数的单调性，属基础题. 13．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，当x=1时有极值10，则a、b的值为 A．a=3，b=－3或a=－4，b=11； B．a=－4，b=1或a=－4，b=11 ； C．a=－1，b=5 ； D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据题意可得，解方程求得参数，进行验证即可得解， 【详解】因为函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，在x=1时有极值10， 则利用， ， 又， 联立方程组可知a=3，b=－3或a=－4，b=11 ， 当a=3，b=－3时， 此时单调递增，不符题意舍去， a=－4，b=11符合题意， 故选：D 14．已知没有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与极值的关系以及二次函数进行求解. 【详解】由得， 根据题意得，解得．故A，B，D错误. 故选：C. 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 一、单选题 1．设函数，，给定下列命题：①不等式的解集为；②函数在上单调递增，在上单调递减；③若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为；其中正确命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】对函数求导，化简函数的表达式，然后利用导数，对数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】，所以. ①:函数 的定义域为：.由，故本命题是真命题； ②：，当时，单调递减；当时，单调递增，故本命题是假命题； ③：，由题意可知函数有两个极值点，因此有有两个不相等的正实数解，问题转化为：有两个不同的交点，由②可知：当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数的最大值为，再结合①，当，当，因此要想有两个不同的交点，只需 ，故本命题是假命题. 故选：C 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了数学运算能力. 2．已知（为常数），则下列结论： （1）当时，是的极值点 （2）若有3个零点，则实数的最小值是 （3）时，的零点满足 正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】的零点转化为：，构造函数求导数研究其单调性、极值点即可. 【详解】（1）当时，，令，，， 当时，，单调减，当时，，单调增， 所以，， 因此是增函数，在R上没有极值点，（1）错； （2）函数，，在上单调递增，在单调递减，在上单调递增， 唯一的极小值，结合图像可知时，只有2个零点，结论（2）错误. （3）由（2）解答可知时，的唯一零点是负数， 注意，，所以结论（3）正确. 故选：B. 3．已知函数有两个互为相反数的极值点，且，则下列说法正确的是（    ） ①； ②必存在最小值； ③若有唯一一个整数解，则的取值范围为； ④若存在两个不相等的正数，使得，则． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】求得，根据题意转化为即是方程的两个实数根，求得的值，可判定①正确；求得函数的单调区间，结合和，，可判定②正确；把不等式转化为有唯一一个整数解，结合图象列出不等式组，求得的取值范围，可判定③正确；结合，得到，得出不一定成立，可判定④错误. 【详解】由函数，可得， 因为函数有两个互为相反数的极值点，不妨设，所以， 因为，可得， 即是方程的两个实数根， 则满足，解得，所以①正确； 所以，且，令，解得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 又由，当，， 所以的最小值为，所以②正确； 由不等式，可得， 又由，作出函数与的图象，如图所示， 要使得有唯一一个整数解， 则满足，即，解得， 即的取值范围为，所以③正确； 若存在两个不相等的正数，不妨设， 如图所示，作直线与的图象，使得有两个不同的交点， 由图象可得，满足，可得，可取， 所以， 所以④错误. 故选：B. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 二、多选题 4．已知，那么（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则 C．若在上恰有2个极值点，则的取值范围为 D．存在，使得在上单调递减 【答案】AC 【分析】结合周期公式检验选项A；结合函数图象的平移及函数的奇偶性检验选项B；结合函数取得最值的条件检验选项C；结合函数的单调性检验选项D． 【详解】，因为，又，可知，故A正确； 将的图象向左平移个单位长度后得到， 若所得函数为偶函数，则，得，所以，故错误； 由，得， 若在上恰有2个极值点，则，解得，故C正确； 由，得无解， 即在上不可能单调递减，故D错误. 故选：AC. 5．已知函（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则的极小值为 B．若，则函数有极值点 C．若在区间上有极值点，则a的取值范围是 D．若函数恰有3个零点，则a的取值范围是 【答案】AD 【分析】利用导数确定函数的单调性、极值，判断AB，由在上有解求得参数范围判断C，由导数确定函数的极大值和极小值，再根据极大值和极小值满足的关系式求得参数范围判断D． 【详解】若，则，所以，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为，故A正确； 由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时没有极值点，故B错误； 若在区间上有极值点，在上有解，首先必须有，，因此，解得，即a的取值范围是，故C错误； 由，当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得．所以当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以函数的极小值和极大值．又函数恰有3个零点，所以，即，解得，即a的取值范围是，故D正确． 故选：AD． 6．已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（    ） A．在在单调递增 B．，， C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象 D．若在上有且仅有两个极值点，则a的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据已知条件求得，然后三角函数函数的单调性、最值、图象变换、极值点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】由于函数的任意两对称轴间的最小距离为， 所以的最小正周期为，所以， 所以， ， 由于的图象关于原点对称，所以， 由于，所以. 所以. 对于A选项，，所以A选项错误. 对于B选项，， 所以，，，所以B选项正确. 对于C选项，由于，所以C选项错误. 对于D选项，在上有且仅有两个极值点， ， 所以， ，D选项正确. 故选：BD 7．已知，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则的对称中心为 B．若在区间上单调递增，则的取值范围为 C．若，则 D．若在区间上恰好有三个极值点，则的取值范围为 【答案】BD 【分析】由题意得，根据求出，根据整体代换法求出的对称中心即可判断A；根据整体代换法求出的单增区间，建立不等式组，解之即可判断B；根据诱导公式计算即可求解判断C；由极值点的概念可得，解之即可判断D. 【详解】由题意知，. A：若的最小正周期为，由，得， 所以，由，得， 所以的对称中心为，故A错误； B：由，得， 即的单增区间为， 又在上单调递增，所以，解得， 取，则，即实数的取值范围为，故B正确； C：若，则，即， 所以，故C错误； D：由，得，又在上有3个极值点， 所以，解得，即实数的取值范围为，故D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：求解形如函数的单调递增区间的步骤如下： 先令； 解上述不等式求出x的取值范围即为的单调递增区间. 三、填空题 8．已知函数，则 ①当时，函数的零点个数为 ； ②当函数有两个极值点时，的取值范围是 . 【答案】 2 【分析】①通过数形结合法求解或分段求解方程； ②先研究函数在哪些位置有可能出现极值点（候选人思维），再列不等式求解. 【详解】①方法一，当时，，， 若时，，函数在上单调递减， 若时，，函数在上单调递增， 又当时，， 当时，，当且时，， 画出函数的大致图象， 如图可知有两个零点； 方法二，当时，， 令，即或，解得， 所以有两个零点； ②对于函数， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数仅有一个极值点，所以函数在时最多有一个极值点， 由一次函数的性质可知函数在时没有极值点， 所以要使有两个极值点，需要是其极值点，且，此时函数在上单调递增，在单调递减，但函数不一定连续，结合极值点定义可得是其极值点还需要（即图象的空心点不高于实心点），即. 令，则， 所以在上单调递增（也可以直接利用增函数加增函数为增函数直接看出单调性）. 又因为，所以. 下图为三种情况下的函数图象，可供参考： 当时，如图有两个极值点， 当时，只有一个极值点， 当时，有两个极值点， 故答案为：；, 9．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，由的取值范围求出的取值范围，令，将问题转化为函数在区间上的极值点个数问题，数形结合来求解. 【详解】 ， 当时，， 令，则， 作出函数的图像如图所示： 由于函数在上有且仅有个极值点， 则，解得. 故答案为： 10．已知函数． ①当时，的极值点个数为 ； ②若恰有两个极值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】①验证分段处函数值可知为连续函数，由单调性可确定和是的极值点，由此可得极值点个数； ②验证分段处函数值可知为连续函数，根据一次函数和二次函数单调性可确定和必为的两个极值点，得到；根据二次函数的单调性，结合极值点定义可知在上单调递增，即；由此可得的范围. 【详解】①当时，； ，为连续函数； 在上单调递增，在上单调递减， 和是的极值点，即的极值点个数为； ②，为连续函数， 为单调函数，在上无极值点； 又在上至多有一个极值点， 和必为的两个极值点，，解得：， 又在上单调递减，在上单调递增，； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题考查函数极值点的定义、根据极值点个数求解参数范围的问题；本题易错的点在于根据极值点个数求解参数范围时，确定和为的两个极值点后，忽略在极值点左右两侧函数单调性需发生改变，导致丢失的范围. 11．已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据极值点与导数的关系，求出a的范围；求出的最大值，解不等式即可得t的范围. 【详解】令， 由题可知， ， 令，， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ∴， ∴， 故答案为：. 四、解答题 12．已知定义在R上的函数，为常数，且是函数的一个极值点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数，，求的单调区间； （Ⅲ） 过点可作曲线的三条切线，求的取值范围 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）函数的单调增区间为和，单调减区间为；(Ⅲ)． 【分析】（I）由求得值，同时要检验此时是极值点； （II）求出，由的正负得函数的单调区间，即由得增区间，由得减区间 （III）设切点为，则切线的斜率为，整理得，此方程有3个根. 为此设，则的极大值大于0，极小值小于0，由此可得的范围． 【详解】（Ⅰ），是函数的一个极值点，则 又，函数在两侧的导数异号， （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 则，令，得. 随的变化，与的变化如下： 0 0 极大值 极小值 所以函数的单调增区间为和，单调减区间为． (Ⅲ),设切点为，则切线的斜率为 ， 整理得，依题意，方程有3个根. 设，则 令，得，则在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 因此，解得.所以的取值范围为 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性、极值，考查导数的几何意义．在求过某点的切线时，一般要设切线坐标为，由切线斜率的两种表示法得，解此方程后可得出切点坐标，从而求得切线方程． 13．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 【答案】(1)，有两个零点 (2)证明见解析 【分析】（1）根据极值点定义代入计算可得，得出相应单调性以及零点存在定理可得结论； （2）对函数求导得出其单调性求出的最小值，可证明得出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 由题设知，，所以， 从而， 当时，；当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增， ， 由易知，由零点存在定理可得函数有两个零点 （2）证明：当时，； 设，则， 当时，；当时，， ∴是的极小值点，也是最小值， 故当时，， 因此，当时， 14．已知函数. (1)设，求的极值点的个数； (2)设在区间中至少有一个极值点，求a的取值范围. 【答案】(1)0； (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再借助函数单调性判断作答. （2）求出函数的导数，把问题转化为在上至少有一个变号零点，再求解作答. 【详解】（1）当时，，求导得，当且仅当时取“=”， 则函数在R上单调递增，即函数无极值， 所以函数的极值点的个数为0. （2）对函数求导得：， 因在区间中至少有一个极值点，则函数在上至少有一个变号零点， 若函数在上只有一个变号零点，有，解得， 经验证，是的一个极值点，则， 当，即时，，在上没有零点， 当，即时，，在上没有零点， 若函数在上有2个变号零点，则有，解此不等式得，无解， 所以a的取值范围是. 15．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线的斜率； (2)判断方程为的导数）在区间内的根的个数，说明理由； (3)若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)个 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，可得在点处的导数值，即可得到切线的斜率； （2）设，求出其导函数，即可得到其单调性，再根据零点存在性定理证明即可； （3）把函数在区间内有且只有一个极值点，转化为在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，然后结合（2）中的单调性，列出不等式组，即可求解实数的取值范围. 【详解】（1）解：由，得． 曲线在点处的切线的斜率； （2）解：设， 则． 当时，，则函数为减函数． 又，， 有且只有一个，使成立． 函数在区间内有且只有一个零点，即方程在区间内有且只有一个实数根； （3）解：若函数在区间内有且只有一个极值点， ， 由于，即在区间内有且只有一个零点，且在 两侧异号． 当时，函数为减函数，在上，，即成立，函数为增函数； 在上，，即成立，函数为减函数． 则函数在处取得极大值． 当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求． 由于，，显然． 若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号， 则只需满足，即，解得． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． $ 寻“导”之旅4 函数的极值4 函数的极值（原卷版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 函数极值辨析 题型2 知图判断函数极值 题型3 求函数的极值与极值点 题型4 根据极值、极值点求参数的值 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 解题策略 知识点1 极值点与极值的概念 1．极小值点与极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 2．极大值点与极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 3．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 注意点：(1)极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f′(x0)＝0，则x0不一定是极值点，即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件，函数y＝f′(x)的变号零点，才是函数的极值点． 知识点2 求函数的极值 1．求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． 2．求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)列表； (4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同； 解题策略1 函数极值点的个数问题 可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点处是不可导的. 解题策略2 由函数极值点个数确定参数范围 此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解. 解题策略3 含参数的函数极值的讨论 求含参数函数的极值,通常转化为不等式或的解集问题,求解时要注意对参数进行分类讨论. 解题策略4 由极值点满足条件求解不等式问题 此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式,证明与极值点有关的不等式或根据不等式恒成立求参数范围,前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解. 考点精析 题型1 函数极值辨析 一、单选题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 A． B． C． D． 2．若函数的导函数的图象分别如图1､图2所示，则与极值点的个数分别为（    ） A．4，1 B．2，2 C．4，2 D．2，1 3．若函数在x=1处有极值，则f(x)的极大值为（    ） A． B． C．5 D． 4．对于函数　f(x)＝x3＋ax2－x＋1的极值情况，4位同学有下列说法：甲：该函数必有2个极值；乙：该函数的极大值必大于1；丙：该函数的极小值必小于1；丁：方程　f(x)＝0一定有三个不等的实数根．这四种说法中，正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．函数在处有极值10， 则点为（    ） A． B． C．或 D． 6．下列说法正确的是 （ ） A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大. B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值. C．对于函数，若，则无极值. D．函数在区间上一定存在最值. 二、多选题 7．判断下列命题正确的是（    ） A．函数的极大值一定比极小值大 B．对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C．若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D．一元三次函数在上可能不存在极值 8．（多选）下列关于函数极值的说法正确的是（    ）. A．导数值为0的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值可大于它的极大值 C．函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值 D．若在区间上有极值，则在区间上不单调 9．已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 10．已知函数，则下列判断不正确的是（    ） A．直线与曲线相切 B．函数只有极大值，无极小值 C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数 D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数 三、解答题 11．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)求函数的极值. 12．已知函数. （1）判断函数是否存在极值； （2）若在上单调递减，求实数的取值范围. 13．设函数． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)设为的一个极值点，证明； (3)设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 题型2 知图判断函数极值 一、单选题 1．设，则函数（    ） A．有且仅有一个极小值 B．有且仅有一个极大值 C．有无数个极值 D．没有极值 2．函数在区间内可导，，则“”是“为函数的极值点”的（    ）（注：极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数共有个极值. A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数的图象如图所示，且在与处取得极值，给出下列判断：①；②；③函数在区间上是增函数.其中正确的判断是（    ） A．① B．② C．②③ D．①② 6．下列判断错误的是（  ） A．命题“若，则”是假命题 B．直线不能作为函数图象的切线 C．“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题 D．“”是“函数在处取得极值”的充分不必要条件 7．已知是定义域为R的偶函数，当时，．那么函数的极值点的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知函数，则下列判断正确的是（    ） A．直线与曲线相切 B．函数只有极大值，无极小值 C．若与互为相反数，则的极值与的极值互为相反数 D．若与互为倒数，则的极值与的极值互为倒数 9．如图所示是某同学发现的一种曲线，由于形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线．对于小恐龙曲线，下列说法不正确的是（ ） A．该曲线与最多存在3个交点 B．如果曲线如题图所示（轴向右为正方向，轴向上为正方向），则 C．存在一个，使得这条曲线是偶函数的图象 D．当时，该曲线中的部分可以表示为关于的某一函数 10．若函数在内无极值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、多选题 11．函数的导函数的图象如图所示，给出下列命题，以下正确的命题（    ）    A．是函数的极值 B．函数的有最小值无最大值 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率小于零 12．已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．若是R上的增函数，则 B．当时，函数有两个极值 C．当时，函数有三个零点 D．当时，在点处的切线与只有唯一个公共点 13．已知，函数，则以下结论正确的是（    ） A．的两极值点之和等于 B．的两极值点之和等于 C．的两极值之和等于 D．的两极值之和等于 14．已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（   ） A．在处取最大值 B．是的极大值点 C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点 三、填空题 15．函数的极值点的个数是 ． 16．已知函数，，则 ，当，时，函数的极值点的个数为 ． 17．将定义在上的函数的所有极值点按从小到大的顺序排列构成数列，若成等差数列，则在上的最大值为 ． 四、解答题 18．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. （1）求常数a，b，c的值； （2）判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 19．设，函数. （1）若函数的图像在处的切线与直线平行，求的值； （2）若，求函数的极值与单调区间； （3）若函数的图像与直线有三个公共点，求的取值范围. 20．函数. （1）若是的极值点，求的值，并判断是的极大值点还是极小值点； （2）讨论极值点的个数. 21．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数，． （1）若函数为上的凸函数，求的取值范围； （2）若函数在上有极值，求的取值范围． 题型3 求函数的极值与极值点 一、单选题 1．函数在区间内可导，，则“”是“为函数的极值点”的（    ）（注：极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数的极值点为（    ） A． B．0 C． D． 3．函数的极值点是（    ） A． B． C．或 D． 4．设函数，且为函数的极值，则有(　　) A． B． C．当时，为极大值 D．当时，为极小值 5．  设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有两个极值点 B．为函数的极大值 C．有两个极小值 D．为的极小值 6．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（    ）    A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上单调递增 D．在处的切线的斜率大于0 7．2022年北京冬奥会山地滑雪比赛．滑雪场中某一段滑道的示意图如下所示，A点、B点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（A、B分别在该三次函数的极值处）．综合考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角．则A、B两点在水平方向的距离约为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．函数的极值点是（    ） A． B． C． D． 9．设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 三、填空题 10．已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数x的最小整数，则的值为 ． 11．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有 个. 四、解答题 12．已知函数，其中为自然对数的底数，． （1）若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； （2）若，问函数有无极值点？若有，请求出极值点的个数；若没有，请说明理由． 13．已知函数． (1)求函数的极值； (2)设函数的导函数，求函数的极值点； (3)设，其中为常数且，求函数的零点个数． 14．已知函数 （1）当时，取得极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点； （2）当函数有两个极值点且时，总有成立，求的取值范围． 15．已知函数在处的切线与直线平行，函数． （1）求实数的值； （2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围； （3）设是函数的两个极值点，证明：． 题型4 根据极值、极值点求参数的值 一、单选题 1．已知函数，若在处有极值，则的值是（    ） A．-4或3 B．3 C．-4 D．-1 2．已知函数有极值，则实数等于（   ） A．1 B．2 C． D．3 3．若函数在上无极值，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．若函数在内有极小值，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 5．函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 6．若函数的极大值为，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7．若函数 既有极大值也有极小值，则（     ） A． B． C． D． 8．若函数h（x）＝（x）ex在区间（0，1）上只有一个极值点，则实数a的取值范围为（    ） A．a≤0 B．a＜0 C．a＞0 D．a≥0 9．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，当x=1时有极值10，则a、b的值为 A．a=3，b=－3或a=－4，b=11； B．a=－4，b=1或a=－4，b=11 ； C．a=－1，b=5 ； D．以上都不对 10．已知是函数在上的唯一极值点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 11．函数的极值点为，则的值为 A． B．1 C． D． 12．已知函数，在处取得极大值，则实数的值是 A． B．2 C．2或6 D．6 13．函数f(x)=x3－ax2－bx+a2，当x=1时有极值10，则a、b的值为 A．a=3，b=－3或a=－4，b=11； B．a=－4，b=1或a=－4，b=11 ； C．a=－1，b=5 ； D．以上都不对 14．已知没有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5 已知极值点个数求参数的取值范围 一、单选题 1．设函数，，给定下列命题：①不等式的解集为；②函数在上单调递增，在上单调递减；③若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为；其中正确命题的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．已知（为常数），则下列结论： （1）当时，是的极值点 （2）若有3个零点，则实数的最小值是 （3）时，的零点满足 正确的个数有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数有两个互为相反数的极值点，且，则下列说法正确的是（    ） ①； ②必存在最小值； ③若有唯一一个整数解，则的取值范围为； ④若存在两个不相等的正数，使得，则． A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 二、多选题 4．已知，那么（    ） A．若的最小正周期为，则 B．若的图象向左平移个单位长度后得到的函数为偶函数，则 C．若在上恰有2个极值点，则的取值范围为 D．存在，使得在上单调递减 5．已知函（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则的极小值为 B．若，则函数有极值点 C．若在区间上有极值点，则a的取值范围是 D．若函数恰有3个零点，则a的取值范围是 6．已知函数的任意两对称轴间的最小距离为，函数的图象关于原点对称，则（    ） A．在在单调递增 B．，， C．把的图象向右平移个单位即可得到的图象 D．若在上有且仅有两个极值点，则a的取值范围为 7．已知，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期为，则的对称中心为 B．若在区间上单调递增，则的取值范围为 C．若，则 D．若在区间上恰好有三个极值点，则的取值范围为 三、填空题 8．已知函数，则 ①当时，函数的零点个数为 ； ②当函数有两个极值点时，的取值范围是 . 9．设函数，已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是 . 10．已知函数． ①当时，的极值点个数为 ； ②若恰有两个极值点，则的取值范围是 ． 11．已知三次函数的两个极值点，均为正数，，且不等式对于所有的都恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 12．已知定义在R上的函数，为常数，且是函数的一个极值点． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若函数，，求的单调区间； （Ⅲ） 过点可作曲线的三条切线，求的取值范围 13．已知函数． (1)设是的极值点．求的值，并讨论的零点个数； (2)证明：当时，． 14．已知函数. (1)设，求的极值点的个数； (2)设在区间中至少有一个极值点，求a的取值范围. 15．已知函数，． (1)求曲线在点处的切线的斜率； (2)判断方程为的导数）在区间内的根的个数，说明理由； (3)若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围． $