专题10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

专题10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 (2)能利用计数原理解决简单的实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 上海卷卷（春考）：第15题，5分 命题规律分析 1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 从近三年的高考情况来看，高考对两个计数原理的考查不单独命题，多与排列、组合或古典概型结合考查。题型主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等，侧重利用两个计数原理分析实际情境，确定分步与分类；复习时要加强此类问题的训练。 考点1 两个计数原理 知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (2)分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类 时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法 必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. (2)分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 (3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 知识点2 分类、分步计数原理的解题策略 1．分类加法计数原理的解题策略 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 2．分步乘法计数原理的解题策略 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【方法技巧与总结】 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 【题型1 分类加法计数原理】 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【答案】D 【解题思路】根据已知确定成员总数，分析即可得答案. 【解答过程】由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法． 故选：D． 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（    ） A．18 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【解题思路】根据分类加法计数原理即可求解. 【解答过程】由分类加法计数原理，得不同的选法种数为. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 【答案】C 【解题思路】根据题意，按首位数字为，分类讨论，结合分类计数原理，即可求解. 【解答过程】当首位数字为1时，后两位相加为5，“lucky”数分别是105，150，114，141，123，132共6个； 当首位数字为2时，后两位相加为4，“lucky”数分别是204，240，213，231，222，共5个； 当首位数字为3时，后两位相加为3，“lucky”数分别是303，330，312，321，共4个； 当首位数字为4时，后两位相加为2，“lucky”数分别是402，420，411，共3个； 当首位数字为5时，后两位相加为1，“lucky”数分别是501，510，共2个； 当首位数字为6时，后两位相加为0，“lucky”数分别是600，共1个； 由分类计数原理得，共有个. 故选：C. 【变式1-3】（2026·广西·模拟预测）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】C 【解题思路】按照焊接点脱落的个数分类讨论，运用分类加法计数原理求解即可. 【解答过程】按照焊接点脱落的个数分类讨论，若脱落1个，则有共2种情况， 若脱落2个，则有共6种情况， 若脱落3个，则有共4种情况， 若脱落4个，则有共1种情况， 由分类加法计数原理，情况种数共有种． 故选：C． 【题型2 分步乘法计数原理】 【例2】（2026·上海杨浦·二模）3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（    ）种. A．6 B．24 C．64 D．81 【答案】C 【解题思路】由分步乘法原理计算可得. 【解答过程】由题意可得每位同学有4种选择，根据乘法原理，共有种. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高三下·河南·阶段检测）同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 【答案】D 【解题思路】根据分步计数原理求解即可. 【解答过程】个位数的选择：由于是偶数且个位不能为0，个位只能是2、4、6、8中的一个，共有4种选择. 百位数的选择：百位不能为0，且不能与个位数字重复.因此，对于每个个位数，百位有8种选择（1-9中排除个位数）. 十位数的选择：十位可以是0-9中排除百位和个位已经使用的数字，剩下的8种选择. 根据分步乘法计数原理同时满足题设三个条件得数得总个数为 种. 故选：D. 【变式2-2】（2026·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用分步乘法计数原理得到共有6种选择，其中甲乙选择同一天的情况有2种，从而得到概率. 【解答过程】甲同学有3种选择，乙同学有2种选择，故共有种选择， 其中甲乙选择同一天的情况有2种，故甲乙选择同一天的概率为. 故选：C. 【变式2-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（   ） A．64种 B．48种 C．36种 D．24种 【答案】B 【解题思路】由分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】因甲不选A景点，应该分步完成： 第一步，先考虑甲在三个景点中任选一个，有3种选法； 第二步，再考虑乙和丙，从中分别任选一个景点，有中选法． 由分步乘法计数原理，可得不同选法有：种． 故选：B． 【题型3 涂色问题】 【例3】（2026·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【答案】B 【解题思路】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【解答过程】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B. 【变式3-1】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（   ） A B C D A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 【答案】C 【解题思路】由条件可知，若只用3种颜色，则只有和颜色相同，或只有和颜色相同，所以采用分类和分步计数原理，结合排列组合，即可求解. 【解答过程】由条件可知，可以分成只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 若只有和颜色相同，则有种方法， 只有和颜色相同，也有24种方法，所以一共有种方法. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【解题思路】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案. 【解答过程】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色． 先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择， 当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择； 当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择， 故不同的涂色方案有种． 故选：B． 【变式3-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先对图中挂件进行编号，根据已知条件分析讨论各层挂件的涂色方法数，从而得出所有的涂色方法种数． 【解答过程】给挂件进行如图所示的编号， 中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件， 用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色， 1号有4种涂色方法，2，3，4号有种涂色方法， 分情况讨论5，6，7号的涂色方法： ①若5号与1号同色，6号与2号同色，则7号只有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ②若5号与1号同色，6号与2号异色，此时6号只有1种涂色方法，则7号有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ③若5号与1号异色，与3号同色，5号只有1种涂色方法， 当6号与4号同色时，7号有2种涂色方法； 当6号与4号异色时，6号有2种涂色方法，7号有1种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； ④若5号与1号、3号均异色，则5号只有1种涂色方法，6号、7号均有2种涂色方法， 5，6，7号有种涂色方法； 综上，所有的涂色方法种数为，故C正确． 故选：C． 【题型4 两个计数原理的综合应用】 【例4】（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 【答案】B 【解题思路】根据分类加法和分步乘法计数原理，分类讨论，求出结果. 【解答过程】由题意可知，分为两种情况： 情况一：个位是0，则有不同的结果个； 情况二：个位不是0，则有不同结果个； 所以共有个； 故选：B. 【变式4-1】（25-26高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】根据分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】由分步乘法计数原理可知：从甲地经过丙地到乙地共有种走法； 又从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走， 所以根据分类加法计数原理可得：从甲地到乙地的走法种数为. 故选：D. 【变式4-2】（2026·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【解题思路】分第一行中间为偶数，两边为奇数，第二行中间为奇数，两边为偶数，和第一行中间为奇数，两边为偶数，第二行中间为偶数，两边为奇数，两种情况讨论即可. 【解答过程】①第一行中间为偶数，两边为奇数，有，第二行中间为奇数，两边为偶数，有，所以共有， ②第一行中间为奇数，两边为偶数，有，第二行中间为偶数，两边为奇数，有，所以共有， 所以共有， 故选：D. 【变式4-3】（2026·甘肃·模拟预测）因工作需要，某单位安排甲、乙、丙、丁4位领导在端午节3天假期值班，要求每天有两人值班，且每人需要值班1天或2天，则不同的值班方案有（   ） A．92种 B．90种 C．86种 D．76种 【答案】B 【解题思路】根据题意，先确定值班天数分配，然后分两种情况讨论，结合组合数以及两类计数原理代入计算，即可得到结果. 【解答过程】总值班人次为，每人需要值班1天或2天， 因此唯一可能的分配是其中两人各值班天，另外两人各值班天， 先从四人中选出值班两天的两人，有种， 假设选出的两人分别为甲乙，需要值班天，另外两人丙丁各值班天，具体分两种情况， 若甲乙共同值班天，选择共同值班的天，有种情况， 剩余天，由丙丁共同值班仅种方式，总方式； 若甲乙共同值班天，从天中选天，有种情况， 然后甲从剩余的天选择天值班，乙选择剩下天，有种情况， 然后丙丁分别在甲乙剩余值班天中各选择天，有种方式，总方式； 一共有种方式， 则总方案数有种. 故选：B. 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 【答案】B 【解题思路】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【解答过程】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 2．（2026·辽宁·二模）第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合分步计数原理解决即可. 【解答过程】先确定相同的科目，有4种情况， 再从剩下的3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况， 则他们四选二科目的选科方式共有种. 故选：B. 3．（2026·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式求解. 【解答过程】元件不通，设备从a到b的电路工作不正常，共有种， 元件正常，当且仅当元件都不通，设备从a到b的电路工作不正常，只有1种， 所以. 故选：B. 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用分步乘法计数原理，依次确定无重复数字的三位数的百位、十位、个位的可选数字数量，相乘即可得到总个数. 【解答过程】 由于三位数的百位不能为，且各数位数字不重复，结合分步乘法计数原理计算： 确定百位数字：可从共个非零数字中任选个，共有种选择； 确定十位数字：百位已选个数字，剩余个数字（包含）可选，共有种选择； 确定个位数字：百位和十位共选走个不同数字，剩余个数字可选，共有种选择。 因此满足条件的三位数总个数为. 故选：C. 5．（2026·云南·模拟预测）为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，结合分步计数原理，得到安排的总数为种安排方法，再除去五门选修课程安排到同一学年的种情况，即可求解. 【解答过程】由题意，每门选修课程被安排到高一到高二两学年都有种安排方法， 共有种安排方法， 其中五门选修课程安排到同一学年的情况有种， 则每位同学不同的选修方式为种． 故选：A． 6．（2026·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 【答案】D 【解题思路】通过先确定中间的涂色情况，再依次确定其他部分的涂色情况，利用分步乘法原理计算总方案数. 【解答过程】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为. 故选：D. 7．（2026·辽宁鞍山·一模）小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：．若经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用分类基本原理列出所有的情况，再利用古典概型进行求概率． 【解答过程】根据从顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”， 经过4次移动后，到达点的条件下，分为三类： 第一类：； ，有2种情况； 第二类：； ， ， ， ， ，有6种情况； 第三类：； ， ，有3种情况； 故经过4次移动后，到达点的共有：， 其中经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的有： ，，，共3种， 故经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为：， 故选：A． 8．（2026·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 【答案】D 【解题思路】利用分步计数乘法原理与分类加法计数原理可求解. 【解答过程】根据牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，故可转化为有公共点的4个区域，如图所示： 1号小方格可以从4种颜色的染料中任取一种涂色，有4种不同的涂法. ①当2号，3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有2种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号，3号小方格涂相同颜色的染料时，有3种不同的涂法，4号小方格也有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 故选：D. 二、多选题 9．（2026·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ） A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 【答案】ABC 【解题思路】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A，根据分类加法计数原理可知，共有种不同的选法，故A正确. 对于B，根据分步乘法计数原理可知，共有种不同的选法，故B正确. 对于C，可分为三类：第一类是1幅选自国画，1幅选自油画，有种不同的选法； 第二类是1幅选自国画，1幅选自水彩画，有种不同的选法； 第三类是1幅选自油画，1幅选自水彩画，有种不同的选法， 故共有种不同的选法，故C正确. 对于D，可以分两个步骤完成：第一步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法； 第二步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法， 根据分步乘法计数原理知，不同挂法的种数是，故D错误. 故选：ABC. 10．（2026·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【解题思路】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【解答过程】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD. 11．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 【答案】ABD 【解题思路】由分类乘法计数原理结合相邻区域不能同色的条件，即可求解. 【解答过程】对于A，先涂区域，有4种方法，再涂区域，有3种涂法，再涂区域，有2种涂法， 最后涂区域，因为要保证4种颜色全部使用，故只有1种涂法， 故共有种方法，所以A正确； 对于B，先涂区域，有3种方法，再涂区域，有2种涂法， 再涂区域，有1种涂法，最后涂区域，有1种涂法， 故共有种方法，所以B正确； 对于C，若用4涂色，则区域有3种方法，区域有2种方法， 区域有1种方法，由A知总情况有24种，则概率为，所以C错误； 对于D，若用2涂色，则区域有2种方法，区域有1种方法， 区域有1种方法，由B知总情况有6种，则概率为，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·新疆·模拟预测）5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有___________种. 【答案】243 【解题思路】根据分步乘法计数原理，直接求出结果即可. 【解答过程】由题意可知5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，共有种不同方法. 故答案为：243. 13．（2026·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________.    【答案】/ 【解题思路】首先根据分类和分步计数原理，计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况，再结合古典概型概率公式，即可求解. 【解答过程】先计算相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数. 第一步：停红色汽车，第一辆红色汽车在第一行选一个位置有四个位置可选，第二辆红色汽车在第二行有三个位置可选，由于两辆红色汽车可以互换，故有种； 第二步：停黑色汽车，分成两种情况：若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车同列，则另一辆黑色汽车有3种停法，若第一辆黑色汽车停在第一行且与红色汽车不同列有2种停法，此时另一辆黑色汽车有2种停法，由于两辆黑色汽车可以互换，故有种. 因此，相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的情况种数共有24×14种， 8个车位停入4辆车的试验共有种情况， 所以相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为. 故答案为：. 14．（2026·广西南宁·模拟预测）一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有___________种. 【答案】72 【解题思路】根据分类加法以及分步乘法计数原理求解即可. 【解答过程】如图对正方形每个方格编号： 不妨记玫瑰、月季、百合、郁金香分别为：， 第一步在方格中种植4种不同花卉，有种方法； 第二步：不妨取一种种植情况如图： A B 3 D C 6 7 8 9 （1）当方格种植花卉时，则方格种植D花卉，方格只能种植B花卉， 方格种植A花卉， 方格种植D花卉，只有种方法； （2）当方格不种植花卉时，则方格中种植花卉，方格种植A花卉， ①当方格种植花卉时，则方格种植B花卉，方格种植花卉，只有种方法； ②当方格种植B花卉时，则方格中只能种植花卉，方格种植B花卉，只有种方法； 因此根据分类加法计数原理和分步计数原理可知，共有种方法. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 【答案】(1)100 (2)342 【解题思路】（1）先排百位数，再排其余数位； （2）按百位数字分类讨论，逐步缩小范围． 【解答过程】（1）百位数字可以从中选择，共种选择. 十位数字可以从剩下的个数字选择，共种选择，个位数字可以从剩下个数字选择，共种选择. 可以组成个三位数. （2）按百位分类计数：百位为的三位数：共个（对应第个数）； 百位为的三位数：共个（对应第个数）. 因此第55个数的百位是，且是百位为的数中第个. 再按十位从小到大分类计数（百位固定为）： 十位为：个位可选，共个数（对应百位为3的第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）； 十位为：个位可选，共个数（对应第个）. 此时累计到第12个，接下来十位从小到大是， 按顺序排列，第13个：，第14个：，第15个：. 因此第55个数是. 16．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 【答案】(1)216 (2)120 (3)90 【解题思路】（1）可先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （2）根据题意，先排百位，再排十位，最后排个位，结合分步乘法计数原理，即可求解； （3）根据题意，可分为百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，且每种都有个，进而得到答案. 【解答过程】（1）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 根据分步乘法计数原理知，可以排出（个）不同的三位数． （2）解：根据题意，可分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位， 百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种， 根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有（个）． （3）解：两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同， 且每种都有（个），故满足条件的三位数共有（个）． 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2000大的四位偶数？ 【答案】(1)360 (2)300 (3)120 【解题思路】（1）由分步乘法计数原理，将问题分成四步，算出每一步的种类数并将各数相乘即可求得结果； （2）根据分步乘法计数原理，将问题也分成四步，算出每一步的种类数并将各数相乘即可求得结果； （3）法一：按末位是0，2，4分为三类，再由分类加法和分步乘法计数原理计算即可； 法二：按千位是2，3，4，5分四类，再由分类加法和分步乘法计数原理计算即可； 法三：利用间接法求出所有的四位偶数，再除去小于2000的偶数即可. 【解答过程】（1）分四步： 第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法； 第三步；选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有（个） （2）分四步： 第一步：首位数字有5种选取方法； 第二步：百位数字有5种选取方法； 第三步：十位数字有4种选取方法； 第四步：个位数字有3种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有（个）． （3）法一：按末位是0，2，4分为三类： 第一类：末位是0的有（个）； 第二类：末位是2的有（个）； 第三类：末位是4的有（个）． 则由分类加法计数原理有（个）． 法二：按千位是2，3，4，5分四类： 第一类：千位是2，个位有2种选择（0或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第二类：千位是3，个位有3种选择（0或2或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第三类：千位是4，个位有2种选择（0或2），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）； 第四类：千位是5，个位有3种选择（0或2或4），百位有4种选择，十位有3种选择，共有（个）． 则由分类加法计数原理有（个）． 法三： 用0，1，2，3，4，5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类： 第一类：末位是0的有（个）； 第二类：末位是2或4的有（个）． 共有（个）． 其中比2000小的有千位是1的共有（个）， 所以符合条件的四位偶数共有（个）． 18．（25-26高二下·全国·课后作业）现有红、黄、蓝、绿种颜色可选择（不要求用完所有颜色）． (1)如图1所示，给、、、四个区域涂色，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)如图2所示，给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 【答案】(1)种 (2)种 【解题思路】（1）应用分步计数原理及排列数计算即可； （2）先涂点，再涂点，接着分、同色和不同色两种情况，即可得出四点的涂色情况，再应用分步计数原理计算即可. 【解答过程】（1）先填区域，有种选择，再填区域，有种选择，接下来填区域、，各有种选择， 由分步乘法计数原理可知，共有种涂法. （2）先涂顶点，有种；再涂，有种． 接着考虑、、： 若、同色，则、有种，有种； 若、不同色，则、有种，有种． 因此共有种． 19．（2026·安徽·模拟预测）将坐标平面上横坐标和纵坐标都是整数的点叫作格点．格点按照以下规则移动：①最初点在原点处；②点每一秒钟移动一次，若某个时刻点在格点处，则1秒钟之后点随机移动到相邻的格点，，，之一处，且点移动到其中每个格点处的概率相等． (1)设点，记，求点移动2秒钟后的期望； (2)求点移动4秒钟后回到原点的概率； (3)求点移动（且）秒钟后落在直线上的概率（用含的式子表示）． 【答案】(1)0 (2) (3) 【解题思路】（1）通过定义随机变量，分析每次移动对的影响，计算出移动2秒后的所有可能取值及其概率，再利用期望公式求解，体现了离散型随机变量期望的计算方法； （2）采用分类讨论的思路，将“回到原点”的移动情况分为仅左右移动、仅上下移动、同时含左右和上下移动三类，分别计算各类的路径数，再结合古典概型公式计算概率，关键是对移动路径进行全面分类计数； （3）通过设移动次数变量，建立的条件方程，将移动方案转化为涂色计数问题，利用组合数与乘法原理计算满足条件的路径数，再除以总路径数得到概率，体现了计数原理在复杂概率问题中的应用． 【解答过程】（1）记事件为“向右移动”，事件为“向左移动”，事件为“向上移动”，事件为“向下移动”，，则， ， ， （2）记“点移动4秒钟后回到原点”为事件， 若点仅左移或右移，则必左移两次右移两次，共种可能； 若点仅上移或下移，则必上移两次下移两次，共种可能； 若点既有左右移动也有上下移动，则共种可能； 故． （3）点移动（且）秒钟，向右、左、上、下方向移动的次数分别为，，，（，，，为非负整数），则． 将次移动操作看作个排成一列的小球，给其中的个小球涂成红色，个小球涂成黄色，个小球涂成蓝色，个小球涂成绿色． 若点在移动秒钟后在直线上，则，故，． 第一步，先从个位置中指定个位置，共种可能， 第二步，把选中的这个小球涂成红色或蓝色，因为每个小球有两种颜色可供选择，故有种可能， 第三步，把剩余的个小球涂成黄色或绿色，同理有种可能． 又因为一种给个小球涂色的方案对应一种满足题意的点移动方案， 所以点移动秒钟后在直线上共有种方案， 对应概率为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义 (2)能利用计数原理解决简单的实际问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 上海卷卷（春考）：第15题，5分 命题规律分析 1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 从近三年的高考情况来看，高考对两个计数原理的考查不单独命题，多与排列、组合或古典概型结合考查。题型主要以选择题、填空题的形式考查，难度中等，侧重利用两个计数原理分析实际情境，确定分步与分类；复习时要加强此类问题的训练。 考点1 两个计数原理 知识点1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1．分类加法计数原理 (1)分类加法计数原理的概念 完成一件事直两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法. 概念推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (2)分类的原则 分类计数时，首先要根据问题的特点，确定一个适当的分类标准，然后利用这个分类标准进行分类，分类 时要注意两个基本原则：一是完成这件事的任何一种方法必须属于相应的类；二是不同类的任意两种方法 必须是不同的方法，只要满足这两个基本原则，就可以确保计数时不重不漏. 2．分步乘法计数原理 (1)分步乘法计数原理的概念 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法. 概念推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. (2)分步的原则 ①明确题目中所指的“完成一件事”是指什么事，怎样才能完成这件事，也就是说，弄清要经过哪几步才能完成这件事； ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少任何一步，这件事就不可能完成；不能缺少步骤. ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这n个步骤逐步去做，才能完成这件事，各个步骤既不能重复也不能遗漏. 3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的辨析 (1)联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是有关完成一件事的不同方法的种数问题. (2)区别 分类加法计数原理每次得到的都是最后结果，而分步乘法计数原理每步得到的都是中间结果，具体区别如下表： 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 ① 针对的是“分类”问题 针对的是“分步”问题 ② 各种方法相互独立 各个步骤中的方法互相依存 ③ 用其中任何一种方法都可以完成这件事 只有各个步骤都完成才算完成这件事 (3)分类加法计数原理与分步乘法计数原理的合理选择 分类→将问题分为互相排斥的几类，逐类解决→分类加法计数原理； 分步→将问题分为几个相互关联的步骤，逐步解决→分步乘法计数原理. 在解决有关计数问题时，应注意合理分类，准确分步，同时还要注意列举法、模型法、间接法和转换法的应用. 知识点2 分类、分步计数原理的解题策略 1．分类加法计数原理的解题策略 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置. (1)根据题目特点恰当选择一个分类标准； (2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复； (3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏. 2．分步乘法计数原理的解题策略 (1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事. (2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成. 【方法技巧与总结】 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终. (1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类. (2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”. 【题型1 分类加法计数原理】 【例1】（25-26高二上·河南·阶段检测）某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（   ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【变式1-1】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（    ） A．18 B．9 C．8 D．7 【变式1-2】（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例如105和213，则所有的“lucky”数有（　　） A．48个 B．30个 C．21个 D．18个 【变式1-3】（2026·广西·模拟预测）如图所示，在间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（    ）    A．9 B．11 C．13 D．15 【题型2 分步乘法计数原理】 【例2】（2026·上海杨浦·二模）3名同学报名参加社团活动，有4个社团可以报名，这些社团招收人数不限，但每位同学只能报名其中1个社团，则这3位同学可能的报名结果共有（    ）种. A．6 B．24 C．64 D．81 【变式2-1】（25-26高三下·河南·阶段检测）同时满足：①偶数；②没有重复数字的三位数；③个位数不为0，这三个条件的数有（    ） A．64个 B．128个 C．196个 D．256个 【变式2-2】（2026·辽宁·一模）学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·湖北武汉·模拟预测）五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（   ） A．64种 B．48种 C．36种 D．24种 【题型3 涂色问题】 【例3】（2026·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．84种 【变式3-1】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，某社区为墙面A、B、C、D四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（   ） A B C D A．12种 B．24种 C．48种 D．84种 【变式3-2】（25-26高二上·山东德州·阶段检测）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式3-3】（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件．现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（   ） A． B． C． D． 【题型4 两个计数原理的综合应用】 【例4】（25-26高二下·河北唐山·阶段检测）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 【变式4-1】（25-26高二下·广西百色·期末）如图所示，从甲地到丙地有2条公路可走，从丙地到乙地有3条公路可走，从甲地不经过丙地到乙地有2条水路可走.则从甲地到乙地的走法种数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式4-2】（2026·山西·二模）将1至6这六个自然数填到一个两行三列的空格内，每格填一个，要求每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法种数共有（   ） A．24 B．36 C．48 D．72 【变式4-3】（2026·甘肃·模拟预测）因工作需要，某单位安排甲、乙、丙、丁4位领导在端午节3天假期值班，要求每天有两人值班，且每人需要值班1天或2天，则不同的值班方案有（   ） A．92种 B．90种 C．86种 D．76种 一、单选题 1．（2026·湖北武汉·二模）有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（    ） A．40 B．48 C．52 D．60 2．（2026·辽宁·二模）第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（   ） A．12种 B．24种 C．48种 D．96种 3．（2026·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情况，则n为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2026·贵州遵义·模拟预测）用这个数字可以组成没有重复数字三位数的个数是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·云南·模拟预测）为提升学生的数学素养，某中学特开设了“数学史”“数学建模”“古今数学思想”“数学探究”“中国大学先修课程微积分学习指导”五门选修课程，要求每位同学每学年至多选四门，高一到高二两学年必须将五门选修课程选完，则每位同学不同的选修方式为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·河北保定·一模）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（    ） A．120 B．240 C．300 D．320 7．（2026·辽宁鞍山·一模）小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点出发沿三棱柱的棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：．若经过4次移动后，到达点的条件下，两次经过点的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·全国·模拟预测）如图（1），由两个半径相等的圆柱体呈直角相交而得到的公共部分对应的几何体称为“牟合方盖”（如图（2）），牟合方盖的表面可以看成四个曲面拼接成的.将一个牟合方盖的四个曲面编号为，然后每个曲面染一种颜色，相邻（有公共图边）的两面颜色不能相同，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数（    ） A．24 B．48 C．60 D．84 二、多选题 9．（2026·四川眉山·模拟预测）现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画，则下列说法正确的是（  ） A．从中任选1幅画布置房间，有14种不同的选法 B．从这些国画、油画、水彩画中各选1幅布置房间，有70种不同的选法 C．从这些画中选出2幅不同种类的画布置房间，有59种不同的选法 D．从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有12种不同的挂法 10．（2026·四川成都·模拟预测）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 11．（25-26高三下·湖南邵阳·阶段检测）用1，2，3，4四种颜色给图中的，，，四个区域涂色，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，则（   ） A．用四种不同颜色涂色的不同方法数为24 B．用1，2，3这三种不同颜色涂色的不同方法数为6 C．在用四种不同颜色涂色的条件下，区域用4涂色的概率为 D．在用1，2，3这三种不同颜色涂色的条件下，区域用2涂色的概率为 三、填空题 12．（2026·新疆·模拟预测）5个班分别从3个研学基地中选择1个基地进行综合实践活动，则不同的选择方法有___________种. 13．（2026·广东广州·模拟预测）如图，某停车场有2行4列共8个停车位，现有2辆红色汽车和2辆黑色汽车要停车，则相同颜色的车辆不停在同一行也不停在同一列的概率为___________.    14．（2026·广西南宁·模拟预测）一个3×3的正方形花坛被划分为9个1×1小方格（如图），计划种植4种花卉（玫瑰、月季、百合、郁金香）每个小方格种1种花卉.要求：花坛中任意2×2的小区域内，4种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有___________种. 四、解答题 15．（25-26高二下·江苏徐州·期中）用数字组成没有重复数字的数（结果用数字作答）. (1)求可组成多少个三位数； (2)将（1）中的三位数按从小到大的顺序排成一排，求第55个数. 16．（25-26高二下·全国·课后作业）将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 17．（25-26高二下·全国·课堂例题）用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的： (1)银行存折的四位密码？ (2)四位整数？ (3)比2000大的四位偶数？ 18．（25-26高二下·全国·课后作业）现有红、黄、蓝、绿种颜色可选择（不要求用完所有颜色）． (1)如图1所示，给、、、四个区域涂色，要求相邻区域必须涂不同颜色，同一区域只涂一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种？ (2)如图2所示，给四棱锥的顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点不能同色，则不同的涂色方法共有多少种？ 19．（2026·安徽·模拟预测）将坐标平面上横坐标和纵坐标都是整数的点叫作格点．格点按照以下规则移动：①最初点在原点处；②点每一秒钟移动一次，若某个时刻点在格点处，则1秒钟之后点随机移动到相邻的格点，，，之一处，且点移动到其中每个格点处的概率相等． (1)设点，记，求点移动2秒钟后的期望； (2)求点移动4秒钟后回到原点的概率； (3)求点移动（且）秒钟后落在直线上的概率（用含的式子表示）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $