第7章 幂的运算 章节讲义（7知识详解+12典例分析）2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

第7章 幂的运算 章节（7知识详解+12典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 说明：同底数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式 同底数幂的乘法 的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 对于任意的底数𝑎 ，当𝑚，𝑛 是正整数时，   (𝑚,𝑛是正整数) . 教材延伸 幂的运算的常见拓展应用 （1）同底数幂的乘法的运算性质对于三个或三个以上的同底数幂相乘同样适用,如 (是正整数). （2）同底数幂的乘法的运算性质的逆用： (是正整数). （3）在幂的运算中,经常用到以下变形： 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如()是4个相乘,读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m 次幂的n 次方. 2.幂的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 幂的乘方,底数不变, 指数相乘 对于任意的底数a,当m,n 是正整数时, () (m,n是正整数). 教材延伸 幂的乘方的推广与逆用 （1）幂的乘方的运算性质可推广为[]=(是正整数). （2）幂的乘方的运算性质的逆用：==() (是正整数). 【知识点03】积的乘方 积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如等. 积的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 对于任意底数a,b,当m 是正整数时, (m 是正整数) . 教材延伸 积的乘方的推广与逆用 （1）积的乘方的运算性质也适用于三个及三个以上因式的积的乘方,即 (m是正整数). （2）积的乘方的运算性质的逆用：(m是正整数). 辨析：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 运算性质 等号左边 运算特点 公式 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 幂的乘方 指数相乘 积的乘方 底数中的每个因式分别乘方，幂相乘 【知识点04】同底数幂的除法 同底数幂的除法的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相除,底数 不变,指数相减. (a≠0,m,n是正整数,m>n) . 【知识点05】零指数幂 零指数幂的性质 文字语言 推导 符号表示 任何不等于0的数的 0次幂等于1. 如果把公式(𝑎≠0,𝑚，𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛)推广到𝑚=𝑛 的情形，那么有 ，而，所以规定=1(𝑎≠0) . =1(𝑎≠0)>. 【知识点06】负整数指数幂 1.负整数指数幂的性质 文字语言：任何不等于0的数的−n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数. 符号表示：(a≠0,n是正整数). 2.整数指数幂的运算性质 学习了零指数幂和负整数指数幂后,指数的取值范围由正整数推广到了全体整数,之前学过的所有幂的运算性质对整数指数幂都适用. 整数指数幂的运算性质可以归结为： 名称 式子表示 同底数幂的乘法 (𝑚,𝑛是整数) . 幂的乘方 (𝑚,𝑛是整数) . 积的乘方 (𝑚是整数) . 同底数幂的除法 (𝑚,𝑛是整数，𝑎≠0) . 商的乘方 (𝑛是整数，𝑏≠0) . 说明：因为,，所以同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，商的乘方可转化为积的乘方. 这样，整数指数幂的运算性质可以合并为表格中的前3条. 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于1的数 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地,用科学记数法可以把一个绝对值小于1的数表示成的形式,其中1≤|a|<10,n 是正整数. 2.用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤 （1）确定a:a是绝对值大于或等于1且小于10的数.（a的符号和原数的符号一致，与指数的符号无关） （2）确定n:确定n的方法有两种,①n的值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）;②小数点向右移动到第一个不为0的数字的后边,小数点移动了几位,n的值就等于几. （3）将原数用科学记数法表示为的形式（其中1≤|a|<10,n 是正整数）. 【题型一】同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末） ． 【答案】 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：， 故答案为： 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值是 ． 【答案】7 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数的幂相乘，底数不变，指数相加，熟练掌握这一法则是解答本题的关键． 先把左边变形为的形式，然后两边比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为7． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；②2 (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②由，则，即可求得n的值； （2）由，再由同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：①由于， 而， 所以； 故答案为：125； ②， ， ， ， ， 故答案为：2； （2）解：， ，，，，……，， ． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简，结果为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】合并同类项、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，合并同类项，能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 由同底数幂乘法运算得，提出，得到，即可求解． 【详解】解： ． 故选：A， 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据，代入计算即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴原式， 故选：C ． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则m的值为 ． 【答案】2 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方；根据题意得到，根据等式列出，；计算即可求出． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，； 解得：， 检验：将代入原方程，左右两边相等，等式成立， 故答案为：2． 8．（23-24七年级下·江苏泰州·月考）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】有理数乘方逆运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆运算， （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据新定义分别计算、的值，即可求解； （3）由题意得，，然后根据同底数幂的乘法的逆运算即可求得答案． 【详解】（1）解： 故答案为：，3． （2）解：依题意，，、 ∴； （3）解：根据题意得： ，， ， ． 【题型三】用科学记数法表示数的乘法 9．下列运算结果正确的是（　　） A．105+103＝108 B．x3•x4＝x7 C．﹣a•a3＝a4 D．﹣a•（﹣a）2＝a3 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据同底数幂的运算法则即可求出答案． 【详解】解：A、原式＝100×103+103＝101×103＝1.01×105，故A不符合题意． B、原式＝x7，故B符合题意． C、原式＝﹣a4，故C不符合题意． D、原式＝﹣a3，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的运算法则． 10．用科学记数法表示：= ． 【答案】﹣3.2×1012 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、用科学记数法表示数的乘法 【分析】根据科学记数法的定义和同底数幂的乘法运算法则化简即可． 【详解】解：原式=﹣3.2×10×108×103=﹣3.2×1012， 故答案为：﹣3.2×1012 【点睛】本题考查科学记数法的概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a大于或等于1且小于10，n是正整数）；同底数幂相乘底数不变指数相加；掌握其定义和运算法则是解题关键． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【答案】米 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题主要考查了与科学记数法有关的乘法计算，用光的传播速度乘以每一年的秒数，再乘以即可得到答案． 【详解】解： ． 答：比邻星与地球之间的距离大约是米． 【题型四】幂的乘方运算 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查幂数的乘方运算法则，解题的关键是将进行变形，使其符合的形式，从而确定的值． 对进行指数变形，然后找出与形式对应的． 【详解】解：对进行变形，根据指数运算法则，可得， 因为，所以， 已知，即， 所以， 故选：B． 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，则 ． 【答案】9 【知识点】幂的乘方运算 【分析】此题考查了幂的乘方运算，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴． 故答案为：9． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】幂的乘方运算 【分析】此题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，． (1)直接写出结果：______； (2)求的值． 【答案】(1)4 (2)1 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据得出即可； （2）根据得出，然后根据得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：4； （2）解：∵， ∴， ， ∵， ， ， ． 【题型五】幂的乘方的逆用 16．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题主要考查了幂的乘方计算，根据幂的乘方法则:底数不变，指数相乘，（m，n是正整数）分别计算得出即可． 【详解】解：，，， ，即， 故选：C． 17．（23-24七年级下·江苏常州·月考）已知，则a，b满足的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方的逆运用，牢记幂的乘方的公式是解决问题的关键． 【详解】解：∵，即：， ∴， ∴， 故选：B． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么 ． 【答案】729 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，将转化为，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：729． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【知识点】幂的乘方的逆用、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，善于思考总结规律是解题的关键． （1）观察题目中的规律可知第五个等式为； （2）根据同底数幂的乘法法则可知，再利用提公因式法即可解答； （3）根据（1）（2）的结论可知化简即可解答． 【详解】（1）解：∵………………①； ………………②； ………………③； …… ∴第个等式是； （2）解： 依题意，第n个等式：， ∴成立； （3）解：由(2)得 ． 【题型六】积的乘方运算 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方运算，根据积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方展开，然后整体代入计算解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，求的值． 【答案】56 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查的是幂的乘方运算及其逆运算，积的乘方运算，求解代数式的值，把原式化为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知，求x的值． (2)已知：，求x的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题主要考查幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法． （1）利用积的乘方的法则变形，得到，即，再进行运算即可； （2）利用同底数幂的乘法法则变形，得到，再进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 【题型七】积的乘方的逆用 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算进行计算即可求解，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 25．（24-25七年级下·江苏常州·月考）计算：得：（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了积乘方的逆用，根据计算即可． 【详解】解：， 故选：A 26．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算 ． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方逆运算，根据积的乘方法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查积的乘方的逆运算，熟练掌握积的乘方法则是解题的关键： （1）逆用积的乘方进行计算即可； （2）逆用积的乘方和幂的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型八】同底数幂的除法运算 28．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了幂的乘方和同底数幂相除．首先根据幂的乘方运算法则进行运算，再进行同底数幂相除运算，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）化简：（1） ．（2） ． 【答案】 【知识点】积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算法则，底数不变，指数相减来计算。 （2）依据幂的乘方与积的乘方运算法则，幂的乘方是底数不变，指数相乘；积的乘方是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 。 本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键。 【详解】解：（1） 故答案为： 。 （2） 故答案为： 。 30．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知（m、n是正整数），则 ． 【答案】16 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，（，m、n都是正整数，且），根据同底数幂的除法法则即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：16． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)； (2)； (3) 【知识点】同底数幂的除法运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【题型九】同底数幂除法的逆用 32．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 【答案】A 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂相除的逆用，根据同底数幂相除的运算法则得出，代入计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 33．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 【答案】C 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】此题主要考查了同底数幂的除法的性质的逆运用，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减的逆用进行计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：C． 34．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，，那么的值为 ． 【答案】 【知识点】同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的除法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．逆向运用同底数幂的除法法则计算即可．同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 35．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【答案】(1)8 (2)8 (3) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法除法，幂的乘方法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂的除法法则进行计算即可； （3）由（1）（2）即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，， ∴； （3）由（1）（2）可知：， ∴． 【题型十】幂的混合运算 36．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）计算： （1） ． （2） 【答案】 -8 【知识点】积的乘方的逆用、幂的混合运算 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算，即可求解； （2）先计算乘法，再计算除法，即可求解． 【详解】解：（1） =-8 故答案为：-8； （2） 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了积的乘方的逆运算，幂的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 37．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、幂的混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算乘方，再算乘除，最后算减法即可； （2）先算幂的乘方，同底数幂的乘法，再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ． 38．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】幂的混合运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法； （2）先算幂的乘方，再合并同类项； （3）先算积的乘方和同底数幂的乘法，再合并同类项； （4）先算幂的乘方，再乘同底数幂的乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型十一】零指数幂 39．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂的定义，任何非零实数的0次方都等于1，因此底数不能为0． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：C． 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1，因此底数必须不为零． 【详解】解：由题意，成立的条件是底数（否则无意义）． 解不等式，得． 因此，应满足的条件是， 故选：D． 41．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）使等式成立的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查零指数幂的意义，掌握零指数幂的底数不等于零，是解题的关键． 根据零指数幂的底数不等于零，即可求解． 【详解】解：等式成立， ， ， 故答案为：． 42．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的偶数次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索：等式成立的的值． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，掌握1的任何次幂都等于、的偶数次幂都等于1、任何不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键． 根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，． 综上所述，或或． 【题型十二】负整数指数幂 43．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了同底数幂的除法，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 44．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（    ） A． B．－9 C． D．－6 【答案】A 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂的计算，掌握其计算方法是关键． 根据计算即可． 【详解】解：， 故选：A ． 45．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： ；若有意义，则的值应满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，根据负整数指数幂，以及零指数即可求解． 【详解】解：， 若有意义，则的值应满足的条件是 ∴， 故答案为：；． 46．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【知识点】零指数幂、同底数幂相乘、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的混合运算，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可； （2）利用幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则计算后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）你发现了吗？，， 由上述计算，我们发现 （2）仿照（1），请你判断与之间的关系． （3）我们可以发现 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，解答本题的关键在于按照题中所给的方法来进行计算并得出各个数之间的关系． （1）根据题中的计算填写答案即可； （2）按照题中所给的计算方法，求解即可； （3）根据题中所给的计算方法，进行求解判断即可． 【详解】解：（1），， ． （2），． 故． （3）  ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 幂的运算 章节（7知识详解+12典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 同底数幂的意义 同底数幂是指底数相同的幂 说明：同底数幂中的底数可以是单项式，也可以是多项式 同底数幂的乘法 的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 对于任意的底数𝑎 ，当𝑚，𝑛 是正整数时，   (𝑚,𝑛是正整数) . 教材延伸 幂的运算的常见拓展应用 （1）同底数幂的乘法的运算性质对于三个或三个以上的同底数幂相乘同样适用,如 (是正整数). （2）同底数幂的乘法的运算性质的逆用： (是正整数). （3）在幂的运算中,经常用到以下变形： 【知识点02】幂的乘方 1.幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘.如()是4个相乘,读作a的3次幂的4次方;()是n个相乘,读作a的m 次幂的n 次方. 2.幂的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 幂的乘方,底数不变, 指数相乘 对于任意的底数a,当m,n 是正整数时, () (m,n是正整数). 教材延伸 幂的乘方的推广与逆用 （1）幂的乘方的运算性质可推广为[]=(是正整数). （2）幂的乘方的运算性质的逆用：==() (是正整数). 【知识点03】积的乘方 积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方.如等. 积的乘方的运算性质 文字语言 推导 符号表示 积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 对于任意底数a,b,当m 是正整数时, (m 是正整数) . 教材延伸 积的乘方的推广与逆用 （1）积的乘方的运算性质也适用于三个及三个以上因式的积的乘方,即 (m是正整数). （2）积的乘方的运算性质的逆用：(m是正整数). 辨析：同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算性质的区别 运算性质 等号左边 运算特点 公式 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 幂的乘方 指数相乘 积的乘方 底数中的每个因式分别乘方，幂相乘 【知识点04】同底数幂的除法 同底数幂的除法的运算性质 文字语言 推导 符号表示 同底数幂相除,底数 不变,指数相减. (a≠0,m,n是正整数,m>n) . 【知识点05】零指数幂 零指数幂的性质 文字语言 推导 符号表示 任何不等于0的数的 0次幂等于1. 如果把公式(𝑎≠0,𝑚，𝑛 都是正整数，且𝑚>𝑛)推广到𝑚=𝑛 的情形，那么有 ，而，所以规定=1(𝑎≠0) . =1(𝑎≠0)>. 【知识点06】负整数指数幂 1.负整数指数幂的性质 文字语言：任何不等于0的数的−n(n是正整数)次幂,等于这个数的n次幂的倒数. 符号表示：(a≠0,n是正整数). 2.整数指数幂的运算性质 学习了零指数幂和负整数指数幂后,指数的取值范围由正整数推广到了全体整数,之前学过的所有幂的运算性质对整数指数幂都适用. 整数指数幂的运算性质可以归结为： 名称 式子表示 同底数幂的乘法 (𝑚,𝑛是整数) . 幂的乘方 (𝑚,𝑛是整数) . 积的乘方 (𝑚是整数) . 同底数幂的除法 (𝑚,𝑛是整数，𝑎≠0) . 商的乘方 (𝑛是整数，𝑏≠0) . 说明：因为,，所以同底数幂的除法可以转化为同底数幂的乘法，商的乘方可转化为积的乘方. 这样，整数指数幂的运算性质可以合并为表格中的前3条. 【知识点07】用科学记数法表示绝对值小于1的数 1.用科学记数法表示绝对值小于1的数：一般地,用科学记数法可以把一个绝对值小于1的数表示成的形式,其中1≤|a|<10,n 是正整数. 2.用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤 （1）确定a:a是绝对值大于或等于1且小于10的数.（a的符号和原数的符号一致，与指数的符号无关） （2）确定n:确定n的方法有两种,①n的值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）;②小数点向右移动到第一个不为0的数字的后边,小数点移动了几位,n的值就等于几. （3）将原数用科学记数法表示为的形式（其中1≤|a|<10,n 是正整数）. 【题型一】同底数幂相乘 1．（23-24七年级下·江苏宿迁·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末） ． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）若，则的值是 ． 4．（23-24七年级下·江苏盐城·月考）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似地，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算： (其中m、n为正整数)；例如，若，则． (1)若，则：① ； ② 当 ； (2)若，化简：． 【题型二】同底数幂乘法的逆用 5．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）化简，结果为（   ） A． B．2 C． D． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）已知，，那么的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 7．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）已知，则m的值为 ． 8．（23-24七年级下·江苏泰州·月考）阅读理解：①根据幂的意义，表示个相乘；则；②，知道和可以求，我们不妨思考：如果知道，，能否求呢？对于，规定，例如：因为，所以． (1) , ； (2)分别计算、的值，试猜想、、之间的等量关系式； (3)若记，，请用含的代数式表示． 【题型三】用科学记数法表示数的乘法 9．下列运算结果正确的是（　　） A．105+103＝108 B．x3•x4＝x7 C．﹣a•a3＝a4 D．﹣a•（﹣a）2＝a3 10．用科学记数法表示：= ． 11．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）光在真空中的传播速度约为．太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要年．一年以计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？ 【题型四】幂的乘方运算 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知，则为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 13．（24-25七年级下·江苏常州·期中）已知，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏常州·期中）计算： ． 15．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）已知，． (1)直接写出结果：______； (2)求的值． 【题型五】幂的乘方的逆用 16．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·江苏常州·月考）已知，则a，b满足的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如果，那么 ． 19．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）观察下列各式： ………………①； ………………②； ………………③； …… 探索以上式子的规律： (1)写出第5个等式：_________； (2)试写出第n个等式，并说明第n个等式成立； (3)计算． 【题型六】积的乘方运算 20．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为 ． 22．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）若，求的值． 23．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（a、b为非负数、m为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知，求x的值． (2)已知：，求x的值． 【题型七】积的乘方的逆用 24．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·江苏常州·月考）计算：得：（　　） A．1 B． C． D． 26．（24-25七年级下·江苏盐城·月考）计算 ． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【教材研究】：下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题： 计算：． 解：原式 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题 计算： (1) (2) 【题型八】同底数幂的除法运算 28．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）化简：（1） ．（2） ． 30．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知（m、n是正整数），则 ． 31．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【题型九】同底数幂除法的逆用 32．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．6 C．8 D．2 33．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为（　　） A．14 B．24 C．6 D．10 34．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如果，，那么的值为 ． 35．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出字母a、b、c之间的数量关系为 ． 【题型十】幂的混合运算 36．（22-23七年级下·江苏无锡·月考）计算： （1） ． （2） 37．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）计算： (1)； (2) 38．（23-24七年级下·江苏无锡·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十一】零指数幂 39．（22-23七年级下·江苏扬州·月考）若，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）使等式成立的取值范围是 ． 42．（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②的偶数次幂都等于1；③任何不等于零的数的零次幂都等于1．试根据以上材料探索：等式成立的的值． 【题型十二】负整数指数幂 43．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（    ） A． B．－9 C． D．－6 45．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）计算： ；若有意义，则的值应满足的条件是 ． 46．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2) 47．（2024七年级下·江苏·专题练习）（1）你发现了吗？，， 由上述计算，我们发现 （2）仿照（1），请你判断与之间的关系． （3）我们可以发现 1 学科网（北京）股份有限公司 $