第6章 实数 章节讲义（11知识详解+24典例分析）2025-2026学年沪科版七年级数学下册同步讲义与测试

第6章 实数 章节（11知识详解+24典例分析） 【知识点01】．平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【知识点02】．算术平方根 1.算术平方根的定义 非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 名称 关系 算术平方根  平方根 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【知识点03】．立方根 1.立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读： 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【知识点04】．立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【知识点05】．用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【知识点06】无理数 1. 定义 无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【知识点07】实数的概念及分类 1.定义 有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点08】实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系 实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，，则AB=|－|. 【知识点09】实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【知识点10】实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【知识点11】.实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小  对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【题型一】求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）计算：． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则的值是 ． 【题型三】与算术平方根有关的规律探索题 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（   ） A． B． C． D． 6．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【题型四】算术平方根的实际应用 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留） 8．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【题型五】平方根概念理解 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 10．若实数有平方根，则a可以取的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型六】求一个数的平方根 11．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)121； (3)． 【题型七】已知一个数的平方根，求这个数 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是 ． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【题型八】利用平方根解方程 15．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若且满足，则 ． 16．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【题型九】立方根概念理解 17．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列代数式的值一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【题型十】求一个数的立方根 19．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 20．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）的立方根是 ． 21．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【题型十一】已知一个数的立方根，求这个数 22．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 23．一个数的立方根是，则该数为 ． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【题型十二】立方根的实际应用 25．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）一个长方体音箱，长是宽的2倍，宽和高相等，它的体积是，则这个音箱的长是（        ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 27．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【题型十三】无理数 28．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在 ，，，中，无理数的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个数值转换器，当输入x值为256时，输出y的值是 ． 【题型十四】无理数的大小估算 30．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数之和为 ． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【题型十五】无理数整数部分的有关计算 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示的是某数学兴趣小组的一次探究性活动． 请你根据该小组的探究方法，探究下列问题：已知的整数部分为，的小数部分为，求的值． 34．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【题型十六】实数的分类 35．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 36．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 37．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【题型十七】实数的性质 38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）的算术平方根是 ．若，则 ． 39．求下列各式中x的值 (1) (2) 【题型十八】实数与数轴 40．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）下列关于的说法中，不正确的是（   ） A．是一个无理数 B．7的平方根为 C．可以表示面积为7的正方形的边长 D．可以用数轴上的一个点表示 41．（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 42．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 43．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）如图，这是由8个同样大小的正方体组成的2阶魔方，总体积为． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求出正方形的边长，在数轴上作出点E使其表示正方形边长的值（保留作图痕迹）． 【题型十九】实数的大小比较 44．（24-25七年级下·安徽六安·期末）在实数，，0，3中，最大的实数是（   ） A． B． C．0 D．3 45．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在实数，，0，中，最小的实数是 ． 【题型二十】实数的混合运算 46．（2023·安徽·中考真题） ． 47．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： 48．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：________，________，________． (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ (3)由（2）猜想：_________（，）． (4)根据（3）计算： ①； ②． 【题型二十一】程序设计与实数运算 49．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．    按照上述运算程序，当时， ． 50．对于如下运算程序： (1)若，则 ． (2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．（只填写一个即可） 【题型二十二】新定义下的实数运算 51．（22-23七年级下·安徽·月考）对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 52．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中，为有理数，那么______，_______； (2)如果，其中，为有理数，求的值． 【题型二十三】实数运算的实际应用 53．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 54．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【题型二十四】与实数运算相关的规律题 55．（2024七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 56．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 实数 章节（11知识详解+24典例分析） 【知识点01】．平方根及其性质 1.平方根的定义 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做a 的平方根. 这就是说，如果 ，那么x 叫做 a 的平方根 . 表示方法： 正数a的平方根记为± ，表示正数 a 的正的平方 根，读作“根号 a”，－ 表示正数 a 的负的平方根 . a 叫作被开方数 . 2. 平方根的性质 (1)一个正数有两个平方根，它们互为相反数； (2) 0 的平方根是 0； (3)负数没有平方根 . 【知识点02】．算术平方根 1.算术平方根的定义 非负数 a 的非负平方根 叫做 a 的算术平方根 . 表示方法： a 的算术平方根记为 ，读作“根号 a” . 2.算术平方根的性质 (1)正数的算术平方根是一个正数； (2)0 的算术平方根是 0； (3)负数没有算术平方根； (4)被开方数越大，对应的算术平方根也越大 . 3. 平方根与算术平方根的区别与联系 名称 关系 算术平方根 平方根 区别 个数不同  一个正数的算术平方根只有一个 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 表示方法不同 非负数 a 的算术平方根表示为 非负数 a 的平方 根表示为 ± 名称 关系 算术平方根  平方根 区别 取值范围不同 正数的算术平方根一定是正数  正数的平方根是一正一负 联系 具有包含关系 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的那个(0 除外) 存在条件相同 平方根和算术平方根都只有非负数才有，0 的平方根与算术平方根都是 0 4. 开平方 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 【知识点03】．立方根 1.立方根的定义 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫作a 的立方根，也叫作a 的三次方根 . 这就是说，如果 ，那么x 叫作a 的立方根 . 表示方法： 一个数 a 的立方根，记作“ ” ，读作 “三次根号 a”，其中 a叫作被开方数，3叫作根指数 . 特别警示： 中的根指数 3 不能省略 . 若省略了 3， 则表示非负数 a 的算术平方根而非 a 的立方根 . 2. 开立方 求一个数的立方根的运算叫作开立方 . 特别解读： 立方根与开立方的关系：立方根是一个数，是开立方的结果；而开立方是求一个数的立方根的运算 . 【知识点04】．立方根的性质 1.立方根的性质 (1)正数的立方根是一个正数； (2)负数的立方根是一个负数； (3)0 的立方根是 0. 2.平方根与立方根的比较 平方根  立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根 指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这 里的根 指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在中，被开方数 a 是任意数 联系  ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 【知识点05】．用计算器求一个数的立方根 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平方根的步骤相同，只是按的开方键不同 . 步骤： 按键 SHIFT → 被开方数 → = →根据显示结果写出立方根 . 【知识点06】无理数 1. 定义 无限不循环小数叫作无理数. 判断标准：小数位数无限，小数形式为不循环. 2. 三种常见形式 (1)开方开不尽的数，如，，…； (2)含有π 的一类数，如π，π，π+1，…； (3)以无限不循环小数的形式出现的特定结构的数，如0.101 001 000 1…(每相邻两个1 之间依次多一个0). 3. 无理数与有理数的区别 (1)有理数是有限小数或无限循环小数，而无理数是无限不循环小数； (2)所有的有理数都可以写成分数的形式(整数可以看成分母为 1 的分数)，而无理数不能写成分数的形式. 【知识点07】实数的概念及分类 1.定义 有理数和无理数统称为实数. 特别解读：(1)在实数范围内，如果一个数不是有理数，那么它一定是无理数，反之亦成立. (2) 引入无理数后，数的范围由原来的有理数扩大到实数，今后我们解决问题时，若没有特殊说明，就应在实数范围内进行. 2. 分类： (1)按定义分类： (2)按性质分类： 【知识点08】实数与数轴上的点的关系 实数与数轴上的点的关系 实数和数轴上的点一一对应 . (1)“一一对应”包含两层含义： ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示，即点A，点B 在数轴上表示的数为，，则AB=|－|. 【知识点09】实数的相反数、倒数、绝对值 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内完全一样 . 1.相反数： 实数 a 的相反数为－ a，若 a， b 互为相反数，则 a+b=0； 2.倒数： 非零实数 a 的倒数为，若 a， b 互为倒数，则 ab=1； 3.绝对值： 【知识点10】实数的运算 1. 实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算 .有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 . 实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序一样，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的 . 2. 实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+ (b+c)； 乘法交换律：ab=ba； 乘法结合律： (ab)c=a (bc)； 乘法分配律： (a+b)c=ac+bc. 【知识点11】.实数的大小比较 1. 利用数轴比较实数的大小  对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大 . 2. 利用法则比较实数的大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数 .两个正数 , 绝对值大的数较大 . 两个负数，绝对值大的数反而小 . 【题型一】求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·安徽合肥·月考）如果有算术平方根，那么可以取的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：∵有算术平方根， ∴， 解得：， 可以取的值为0． 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽淮南·月考）计算：． 【答案】10 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查的是乘方运算，算术平方根，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． 先进行乘方算术平方根运算，再进行有理数的加减即可． 【详解】解：原式． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 3．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）已知，则的算术平方根是（   ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题考查了算术平方根．根据算术平方根和绝对值的非负性得到，得到，根据算术平方根的的定义即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ 解得 ∴ ∴的算术平方根是， 故选：A 4．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）已知，则的值是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了乘方、算术平方根的非负性、代数式的值，熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出、的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：由题意得，，． 解得，，， 则， 故答案为：． 【题型三】与算术平方根有关的规律探索题 5．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题主要考查数阵规律的识别与递推能力，需要学生观察数列的排列方式，找到行数与元素位置、数值之间的对应关系是解题的关键． 确定每行元素个数，找到每行最后一个数的规律，确定最后一个数的值，根据规律计算即可． 【详解】观察数阵，第行有个元素，每行最后一个数的根号内数值为． 第八行有16个元素，最后一个数的根号内数值为，即． 根据规律左边的数值依次减1，所以倒数第三个数是． 故选：B． 6．先观察下列等式，再解答问题： ①； ②； ③． (1)根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证； (2)根据上面的规律，可得______； (3)请按照上面各等式反映的规律，试写出第个等式（为正整数），并加以验证． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探究问题，根据例子找出其中的数字变化的规律是解题的关键． （1）由已知的等式可以发现：等式的左边被开方数都是加连续两个自然数平方的倒数和的形式，中间的算式都是第一个加数是，第二个加数是两个连续自然数中第一个数的倒数，第三个加数是两个连续自然数中第二个数的负倒数，右边的结果都为整数部分是，分数部分的分子为，分母为两个连续自然数的积，据此可得答案； （2）根据（1）的分析写出等式即可； （3）用字母表示第一个自然数，然后根据（1）的分析写出反映规律的等式，再验证即可． 【详解】（1）解：∵； ； ， ， ∴， 左边 右边； （2）解：， 故答案为：； （3）解：按照上面各等式反映的规律：． 左边 右边． 【题型四】算术平方根的实际应用 7．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间（单位：）称为一个周期，其计算公式为，其中表示摆长（单位：）．若一台座钟的摆长为，则该摆针摆动的周期为 ．（结果保留） 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，根据题意将已知数据代入公式进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， 所以，． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）【阅读理解】在数学学习中，我们常常借助由边长为1的小正方形组成的网格来解决问题，并把由格点(小正方形的顶点)组成的正方形称为格点正方形．图①是由四个边长为1的小正方形组成的网格，容易发现格点正方形的面积为2，则这个格点正方形的边长为 ． 【问题解决】 (1)图②是由9个小正方形网格组成的图形，那么格点正方形的边 ． (2)在由16个小正方形网格组成的图③中，画出边长为的格点正方形． 【答案】(1) (2)图见解析 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的应用： （1）根据正方形图形得到的面积即可得到边长； （2）根据边长为的格点正方形得到面积为8，即可得到减去的四个等腰直角三角形面积和也为8，每个等腰直角三角形面积为2，即可得到直角三角形的两条直角边长均为2即可得到答案； 【详解】（1）解：由图形可得， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵画边长为的格点正方形， ∴， ∴， ∴， ∴三角形的两直角边为2，故图形如图所示， 【题型五】平方根概念理解 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若没有平方根，则x的值可能为 ． 【答案】2（答案不唯一） 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据平方根的性质，负数没有平方根，因此 ，解不等式可得 ，从而确定 的可能值． 本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握负数没有平方根是解决本题的关键． 【详解】解：∵没有平方根， ∴，即， 解得， 因此 的值可能为2（或其他小于 2.5 的数） 故答案为：2． 10．若实数有平方根，则a可以取的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据负数没有平方根，即可解答此题． 【详解】解：由题意得：， 解得： 可以取的值为0． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是掌握一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型六】求一个数的平方根 11．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）下列算式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念及运算，需根据定义逐一判断各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、， 故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 12．（24-25七年级下·全国·单元测试）求下列各数的平方根： (1)； (2)121； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即，那么x叫做a的平方根，记作．正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根． （1）根据平方根的定义作答即可； （2）根据平方根的定义作答即可； （3）根据平方根的定义作答即可． 【详解】（1）的平方根是； （2）121的平方根是； （3）的平方根是． 【题型七】已知一个数的平方根，求这个数 13．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）如果一个正数的平方根是和，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【答案】， 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根的定义，正确把握正数的平方根是一对相反数是解题关键．根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程解答即可． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 【题型八】利用平方根解方程 15．（24-25七年级下·安徽六安·期中）若且满足，则 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】该题考查了利用平方根解方程，求出，结合，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根定义解方程，理解平方根的定义是解答的关键． （1）根据平方根的定义求解即可．； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由得， ∵， ∴； （2）解：由得， ∵， ∴， 解得或． 【题型九】立方根概念理解 17．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）下列代数式的值一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的意义，根据算术平方根和立方根的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，，故不符合题意； B．当时，，故不符合题意； C．当时，，故不符合题意； D．∵，∴，∴，故符合题意； 故选：D． 18．（24-25七年级下·安徽六安·期中）已知一个正数x的两个平方根分别为和，的立方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、立方根概念理解、求一个数的立方根、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根的意义，立方根的意义，解一元一次方程，解题关键是正确求出相关字母的值． （1）根据一个正数有两个平方，它们互相反数，列出关于的方程求解求出，再根据立方根的意义求得，然后求出的范围，从而可求得c的值； （2）先求出的值，再求出它的平方根． 【详解】（1）解：∵一个正数x的两个平方根分别为和， ∴， ∴； ∵的立方根是， ∴， ∴； ∵，c是的整数部分， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十】求一个数的立方根 19．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）若的立方为，则的值为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键，根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：由题意得：， 则， 解得：． 故选：C． 20．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）的立方根是 ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查算术平方根、立方根．根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可． 【详解】解：∵，的立方根是， ∴的立方根是． 故答案为：． 21．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）观察表格，解决下列问题． 1 1 【规律发现】 （1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动___________位． 【规律应用】 （2）已知． ___________． 用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为立方米，则大约需要多大面积的铁皮？（参考数据：） 【答案】（1）一；（2）；大约需要平方米的铁皮． 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可； （2）根据解析（1）中规律进行解答即可；先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可． 【详解】（1）解：根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； 故答案为：一； （2）解：， ； 故答案为：； 正方体的体积为立方米， 正方体的棱长为：（米）， 需要铁皮的面积为： （平方米）， 答：大约需要平方米的铁皮． 【题型十一】已知一个数的立方根，求这个数 22．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）立方根是的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的性质是解题关键．根据求解即可得． 【详解】解：立方根是的数是， 故选：B． 23．一个数的立方根是，则该数为 ． 【答案】/ 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题主要考查了已知一个数的立方根求这个数，根据立方根定义求出这个数即可． 【详解】解：∵一个数的立方根是， ∴这个数为：． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知的平方根是，的立方根是2． (1)求m，n的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)m＝12，n＝1 (2)的算术平方根是11 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出m的值，根据立方根的定义求出n的值即可； （2）把（1）中的m、n的值代入代数式计算，再根据算术平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵121的算术平方根是11， ∴的算术平方根是11． 【题型十二】立方根的实际应用 25．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）一个长方体音箱，长是宽的2倍，宽和高相等，它的体积是，则这个音箱的长是（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】立方根的实际应用 【分析】设这个音箱的宽是xcm,根据题意可以表示出长和高，根据长方体的体积公式列方程求解． 【详解】解：设这个音箱的宽是xcm,则高是cm,长是2xcm, 根据长方体的体积公式得 2x∙x∙ x=54000 2 =54000 =27000 x=30, 2x=60（cm）． 故选B． 【点睛】本题考查立方根的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程． 26．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）如图是一块体积为343立方厘米的正方体铁块． (1)求该正方体铁块的棱长； (2)现在工厂要将这块铁块熔化，重新锻造成两个棱长为3厘米的小正方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块．若长方体铁块的高为1厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)7厘米 (2)17厘米 【知识点】算术平方根的实际应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查立方根和算术平方根的实际应用，熟练掌握立方根和算术平方根的计算是解此题的关键． （1）根据正方体的体积公式进行求解即可； （2）根据总体积不变，求出长方体的体积，再根据长方体的体积求出长方体的底面面积，再根据长方体的底面面积求出底面正方形的边长即可． 【详解】（1）解：由题意得，该正方体铁块的棱长为（厘米）， ∴该正方体铁块的棱长为7厘米． （2）解：由题意，长方体的体积为：（立方厘米）， ∴长方体的底面面积为：（平分厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为：（厘米）， ∴长方体铁块的底面正方形的边长为17厘米． 27．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在做浮力实验时，小华用一根细线将一正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的杯中（杯的形状为圆柱体），并用量筒量得从杯中溢出的水的体积为，小华又将铁块从杯中拿出来，量得杯中水位下降了． (1)铁块的棱长为多少厘米？ (2)杯内部的底面直径为多少厘米（取）？ 【答案】(1) (2) 【知识点】平方根的应用、立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根以及平方根的实际应用，根据题意正确列出含平方根、立方根的式子是解答本题的关键． （1）设正方体棱长为，根据正方体的体积公式得，解出的值即可； （2）设直径为，根据“用量筒量得从杯中溢出的水的体积为”得，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：设正方体棱长为， 则， 解得：， 答：正方体棱长； （2）解：设直径为， 则， 解得：，不符合实际， 直径为， 答：直径为． 【题型十三】无理数 28．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）在 ，，，中，无理数的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数、求一个数的立方根 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种常见形式．根据无理数是开方开不尽、、无限不循环小数，直接判定即可． 【详解】解：无理数有：、，共2个； 故选：B． 29．（23-24七年级下·安徽滁州·月考）如图，这是一个数值转换器，当输入x值为256时，输出y的值是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查算术平方根及无理数，熟练掌握算术平方根及无理数的概念是解题的关键；此题可根据数值转换器进行代值求解即可． 【详解】解：由题意得：，，，2的算术平方根为；所以y的值为； 故答案为． 【题型十四】无理数的大小估算 30．（24-25七年级下·安徽滁州·月考）若，则整数a的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算 ；先估算的取值范围，进而可得结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：C． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数之和为 ． 【答案】13 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是正确得出的取值范围，利用估算无理数的方法即可求出结果． 【详解】解：， ， 介于6和7这两个相邻的整数之间， 这两个相邻的整数之和为， 故答案为：13． 32．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】无理数的大小估算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 【题型十五】无理数整数部分的有关计算 33．（24-25七年级下·安徽安庆·期中）如图所示的是某数学兴趣小组的一次探究性活动． 请你根据该小组的探究方法，探究下列问题：已知的整数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小．首先确定出的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以的整数部分是28， 即． 因为， 所以， 即． 所以的整数部分是3， 所以它的小数部分是，即． 所以． 34．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）材料：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分，请解答下列问题： (1)的整数部分是_____，小数部分是_____； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)， (2)1 (3) 【知识点】无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数整数部分和小数部分的计算，平方根的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法． （1）先估算出在那两个整数之间，然后表示出其小数部分和整数部分即可； （2）先估算与，得到的值，代入计算即可； （3）根据，其中是整数，且，得出为的整数部分，y为的小数部分，得出，，求出，最后写出其相反数． 【详解】（1）解：， ， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：， ， 的整数部分是11，小数部分是， ， ， ， 原式； （3）解：， ， 的整数部分是2，小数部分是； ，其中是整数，且， ， ，，即，， ， ， 的相反数是． 【题型十六】实数的分类 35．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）在实数，，，，，中，中无理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】实数的分类 【分析】本题考查了无理数，无理数是无限不循环小数，常见的无理数的表示方法有三种：开不尽方的数，例如：；用特殊字母表示的数，例如：；有特殊规律的数，例如：(每相邻两个之间依次增加个). 【详解】解：是分数，是有理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是有限小数，可以化为分数的形式，是有理数， 是开不尽方的数，是无理数， 是整数，是有理数， 是整数，是有理数， 共有个无理数． 故选：B． 36．在下列各数中：2022，，，（每两个1之间的0依次加1），无理数有 个． 【答案】2 【知识点】无理数、实数的分类 【分析】本题考查无理数的定义，实数的分类，掌握知识点是解题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：2022是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 中的是无理数，因此是无理数； （每两个1之间的0依次加1）是无限不循环小数，属于无理数． ∴无理数有2个． 故答案为：2． 37．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【答案】(1)①⑦ (2)② (3)①②⑦ (4)③④⑤⑥ 【知识点】实数的分类、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键： （1）先计算立方根，再根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）有理数是整数和分数的统称，据此求解即可； （4）无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：{①⑦…}； （2）解：分数集合：{②…}； （3）解：有理数集合：{①②⑦…}； （4）解：无理数集合：{③④⑤⑥…} 【题型十七】实数的性质 38．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）的算术平方根是 ．若，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值方程、求一个数的算术平方根、实数的性质 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值的含义．由，再进一步求解的算术平方根，由绝对值的意义可得时，． 【详解】解：∵， 则的算术平方根为； ∴的算术平方根是； ∵， ∴； 故答案为：；． 39．求下列各式中x的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平方根解方程、实数的性质 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，实数的性质，正确计算是解题的关键． （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据绝对值的定义解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【题型十八】实数与数轴 40．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）下列关于的说法中，不正确的是（   ） A．是一个无理数 B．7的平方根为 C．可以表示面积为7的正方形的边长 D．可以用数轴上的一个点表示 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、无理数、实数与数轴 【分析】本题考查了实数、实数与数轴、平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键．根据实数的定义、平方根的定义以及实数与数轴的关系判断即可． 【详解】解：A、是一个无理数，故该选项说法正确，不符合题意； B、7的平方根为，故该选项说法不正确，符合题意； C、可以表示面积为7的正方形的边长，故该选项说法正确，不符合题意； D、可以用数轴上的一个点表示，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 41．（24-25七年级下·安徽六安·期中）实数，，，在数轴上的位置如图所示，则能表示的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数与数轴，先估算出，根据数轴得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 根据数轴可知，， 则能表示的是， 故选：C． 42．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若将三个数，，表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示）了，则这个被覆盖的数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查实数与数轴及无理数的估算，熟练掌握实数与数轴及无理数的估算是解题的关键；根据题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由， ， 则这个被覆盖的数是． 43．（24-25七年级下·安徽淮北·月考）如图，这是由8个同样大小的正方体组成的2阶魔方，总体积为． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求出正方形的边长，在数轴上作出点E使其表示正方形边长的值（保留作图痕迹）． 【答案】(1)这个魔方的棱长为； (2)正方形的边长为，图见解析 【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了立方根的应用、实数与数轴之间的关系和勾股定理： （1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方； （2）这个正方形的边长是小立方体一个面的对角线的长度；以1为直角边长作等腰直角三角形，以为圆心，斜边长为半径作弧交数轴于点或，点或即为所作． 【详解】（1）解：∵魔方体积为， ∴； 答：这个魔方的棱长为； （2）解：∵这个魔方的棱长为， ∴小正方体的棱长为， 根据勾股定理得， ∴正方形的边长为， 如图，点即为所作， 【题型十九】实数的大小比较 44．（24-25七年级下·安徽六安·期末）在实数，，0，3中，最大的实数是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【知识点】实数的大小比较 【分析】此题主要考查实数的大小比较，先估算，再进行大小比较． 【详解】解：∵， ∴最大的实数是， 故选：B． 45．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）在实数，，0，中，最小的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较法则是解题关键．利用实数大小比较法则，负数正数，两个负数绝对值大的反而小，进行比较即可得解． 【详解】解：， 最小的数是： 故答案为： 【题型二十】实数的混合运算 46．（2023·安徽·中考真题） ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的运算，求出算术平方根再相减即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 47．（22-23七年级下·安徽合肥·期末）计算： 【答案】0 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、绝对值的运算以及有理数的加减运算，熟练掌握算术平方根、立方根的定义和绝对值的性质是解题的关键．先将带分数化为假分数，再分别计算算术平方根、立方根以及绝对值，最后进行有理数的加减运算． 【详解】解：原式= ． 48．（24-25七年级下·安徽安庆·期末）请阅读材料：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就叫做的算术平方根，记作（即），如，3叫做9的算术平方根． (1)计算下列各式的值：________，________，________． (2)观察（1）中的结果，，，之间存在怎样的关系？ (3)由（2）猜想：_________（，）． (4)根据（3）计算： ①； ②． 【答案】(1)2，6，12 (2) (3) (4)①；② 【知识点】求一个数的算术平方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，实数的运算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． （）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）的结果即可求解； （）根据（）所得的关系即可求解； （）根据（）所得猜想计算即可； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， 故答案为：2，6，12； （2）解：由（）的结果可得，； （3）解：由（）猜想：， 故答案为：； （4）解：①； ②． 【题型二十一】程序设计与实数运算 49．小明学习了“实数”这一章的知识后，设计了一个如图示的运算程序．    按照上述运算程序，当时， ． 【答案】/ 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算、有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查实数的运算，根据运算程序确定出输出结果即可．掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：当时， 得：， ∴． 故答案为：． 50．对于如下运算程序： (1)若，则 ． (2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．（只填写一个即可） 【答案】(1) (2)1 【知识点】求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题主要考查立方根，程序图的计算，理解程序图的含义，掌握立方根的计算是关键． （1）根据程序图的计算，立方根的计算即可求解； （2）根据，是有理数，程序图循环，无法得到的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∵是有理数， ∴，是无理数， ∴， 故答案为：； （2）解：∵第一次：，是有理数， 第二次：，是有理数， ∴如此循环，无法得到的值， 故答案为：． 【题型二十二】新定义下的实数运算 51．（22-23七年级下·安徽·月考）对实数a、b，定义运算，已知，则m的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用平方根解方程、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义运算，利用平方根解方程，解题的关键是根据题意得出m的方程．根据题意列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得： ∴， ∴． 故选：D． 52．我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么且． (1)如果，其中，为有理数，那么______，_______； (2)如果，其中，为有理数，求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】新定义下的实数运算、无理数 【分析】（1）根据，得到解答即可． （2）根据，变形得，根据所给定的性质，得到，解答即可． 本题考查了无理数，有理数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 解得， 故答案为：，． （2）解：， 变形得， ，， ，， ． 【题型二十三】实数运算的实际应用 53．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要 个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 54．如图，在长方形内，两个正方形的面积分别为，． (1)求长方形的周长； (2)图中两块阴影部分的面积之和为_________． 【答案】(1) (2) 【知识点】算术平方根的实际应用、实数运算的实际应用 【分析】本题考查实数混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据正方形的面积求其边长，然后求长方形的周长即可； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积，即为阴影部分的面积； 解题的关键是理解题意，掌握算术平方根的意义及相应的运算法则． 【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为，， ∴小正方形的边长为， 大正方形的边长为， ∴长方形的周长为； （2）∵ ， ∴两块阴影部分的面积和为． 故答案为：． 【题型二十四】与实数运算相关的规律题 55．（2024七年级下·安徽滁州·月考）观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 56．将1，，，按如图方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则与表示的两数之差是 . 【答案】 【知识点】与实数运算相关的规律题、数字类规律探索 【分析】此题主要考查了数字的变化规律，实数的减法运算，找准数字变化规律是关键． 根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算． 【详解】解：根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第排有个数，从第一排到排共有：个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回， 表示第5排从左向右第4个数是， ∵前11排共有 (个)数， 表示第12排第4个数即第70个数， ， 表示的数是， 与表示的两数之差是， 故答案为：． 57．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与实数运算相关的规律题 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： . 1 学科网（北京）股份有限公司 $