第15章 一元一次不等式 章节讲义（10知识详解+17典例分析）2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册同步讲义与测试

第15章 一元一次不等式 章节（10知识详解+17典例分析） 【知识点01】：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 【知识点02】：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 【知识点03】：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【知识点04】：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【知识点05】：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【知识点06】：由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【知识点07】：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【知识点08】：一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 【知识点09】：一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组（其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 【知识点10】：一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 【题型一】不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：如果， 两边同时减去，得，则A符合题意， 两边同时加上，得，则B不符合题意， 两边同时乘以再同时减去，得，则C不符合题意， 两边同时乘以，得，则D不符合题意， 故选：A． 2．（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么 （填“”或“”）． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据“不等式两边同乘以一个负数，改变不等号的方向”即得答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 【答案】 【知识点】不等式的性质、整式的加减运算 【分析】由，得到，再由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴的最小值为． 【点睛】此题考查了整式的加减，不等式的基本性质等知识，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【题型二】不等式的解集 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 5．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，由得，据此可得答案． 【详解】解：由得， ∴是不等式的解得是④，⑤4， 故答案为：④⑤． 6．下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)是 (4)是 【知识点】不等式的解集 【分析】把未知数的值代入计算，比较后，判断即可 【详解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解． （2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解． （3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解． （4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因为：左边=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解． 【点睛】本题考查了不等式的解即使不等式左右两边成立的未知数的值，正确理解不等式的解是解题的关键． 【题型三】求一元一次不等式的解集 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列数中是不等式的解的是（） A．0 B．100 C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了求不等式的解集． 求出不等式的解集判断即可． 【详解】解：解不等式得 因此，解集为所有大于3的数． 只有选项B符合条件． 故选：B． 8．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查一元一次不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键，属于中考常考题型．根据解一元一次不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：， 则， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 【题型四】在数轴上表示不等式的解集 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式、由数轴得出不等式的解集，解题的关键是得出不等式的解集后和数轴上的解结合得出关于m的方程． 由不等式和数轴可以得出该不等式的解集，由此可知此时得到的两个式子是一样的，进而可以得到关于m的方程，解此方程即可得出结论． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为， ∴解不等式得， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】解：∵ ∴   ∴   ∴ 解集在数轴上表示： 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【答案】(1)一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数 (2)，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示出解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数，出现错误； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1求出不等式的解集，进而在数轴上表示解集即可。 【详解】（1）解：解答过程中，从第一步开始出现错误，错因是去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； 故答案为：一，去分母时，常数项1没有乘以最小公倍数； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：， 数轴表示解集如图： 【题型五】求一元一次不等式的整数解 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是 ． 【答案】2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法是解题的关键．按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的最大整数解是2． 故答案为：2． 15．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 【题型六】列一元一次不等式 16．（24-25七年级下·上海·月考）列不等式表示：与的3倍的和是非负数 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题主要考查了列不等式，先表示出与的3倍，再根据非负数是大于等于0的数，列出不等式即可． 【详解】解：与的3倍的和是非负数可以表示为， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）的与的差不小于2，用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式 【分析】本题考查了用不等式号列不等式，准确理解不小于的意义是解题的关键． 【详解】解：的与的差表示为，不小于2，即大于等于2， 故答案为：． 18．当x取何值时，代数式的值分别满足下列条件？ (1)大于8； (2)小于的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、列一元一次不等式 【分析】本题考查了列不等式，以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由题意列出，再解出x的取值范围，即可作答． （2）先由题意列出，再解出x的取值范围，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴； （2）解：依题意，， ∴， ∴， ∴． 【题型七】用一元一次不等式解决实际问题 19．（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，利用利润与进件以及打折与原价的关系得出不等关系即可． 【详解】解：设该商品原价为y元，那么可列式为： ，即． 故选：A． 20．（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式 ． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据利润等于原价乘以折扣再进去进价列出不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 21．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【答案】小明至少要答对15道题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小明答对道题，则小明答错题，根据总得分不低于70分建立不等式求解即可． 【详解】解：设小明答对道题， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴x的最小值为15， 答：小明至少要答对15道题． 【题型八】用一元一次不等式解决几何问题 22．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 23．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【答案】(1)m的值为8 (2)19 【知识点】用一元一次不等式解决几何问题、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，一元一次不等式的应用． （1）根据题意，结合数轴得； （2）根据题意，列出不等式，解不等式，进而可得n的最小整数值． 【详解】（1）解：，点B在点A的右侧， ， 即m的值为8； （2）解：由题意，得， 解得， 的最小整数值为19． 【题型九】一元一次不等式组的定义 24．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义． 一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意； C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：B． 25．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 26．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：∵③中含有x，y两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1， ∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组； 而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组， 故选：B． 【题型十】求不等式组的解集 27．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 28．（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为 ． 【答案】/ 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：观察不等式组可直接得不等式组的解集为：． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）解不等式组 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 【题型十一】求一元一次不等式组的整数解 30．不等式组的最小整数解是（   ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找”的原则确定解集，再求整数解． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，再找出解集中的最小整数解． 【详解】解：， 解不等式，得 ， 解不等式，得， ∴ 不等式组的解集为：， ∴ 最小整数解为． 故选：A 31．（24-25七年级下·上海松江·月考）不等式组的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解一元一次不等式组，分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后求出正整数解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 所以不等式组的解集为， 所以不等式组的正整数解为， 故答案为：． 32．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，不等式组的非负整数解为，． 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的非负整数解，分别求出每一个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，继而可得其非负整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 【题型十二】由一元一次不等式组的解集求参数 33．若不等式组的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先解不等式组，根据解集求得，再代入代数式即可求解． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 34．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了不等式组的解集情况，熟练掌握不等式组的解集取值方法是解题的关键． 根据不等式组解集情况分析求解即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴； 故答案为：． 35．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 【题型十三】由不等式组解集的情况求参数 36．若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 37．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，不等式组的整数解有四个，那么不等式组的整数解为，据此可得答案． 【详解】解：∵不等式组的整数解有四个， ∴， 故答案为：． 38．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式的解集，再根据原不等式组无解得到关于的一元一次不等式求解即可． 【详解】解： 由①得：； 由②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：． 【题型十四】不等式组和方程组结合的问题 39．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式（组），熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键． 先根据加减消元法解二元一次方程组，再将值代入，求不等式组即可得出答案． 【详解】解：， ，得 解得：， 将代入①，得， 解得：， ， ， ， ． 故选A． 40．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为正整数得到或，从而即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ， ， ， 不等式组至少有4个整数解， ， 解得：， 解方程组， 得：， ， 将代入②得：， 方程组的解为：， 关于的方程组的解为正整数， 或， 或， 所有满足条件的整数的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的取值范围，熟练掌握一元一次不等式组以及二元一次方程组的解法． 41．已知方程组的解满足条件，，求m的取值范围． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组．首先利用含m的式子表示出x、y，再根据，可得关于m的不等式组，再解不等式组即可． 【详解】解： 得：， 把代入②得：， ∵，， ∴， 解得：． 【题型十五】列一元一次不等式组 42．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键．根据题意，总棵数在两种情况下保持不变，当每人植树3棵时，最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），由此建立不等式组即可． 【详解】解：设该班同学人数为人，则植树的总棵数为棵，位同学植树棵数为， 最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵），可列不等式组为：． 故选：B． 43．某日天津市的最高气温是，最低气温是，能正确表达这一天气温的变化范围的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据当天的最高气温为，最低气温为，从而可求出气温的范围，解题的关键是抓住关键词语，最高和最低，从而可列出不等式组． 【详解】解：∵某日天津市的最高气温是，最低气温是， ∴这一天气温的变化范围的是， 故选：． 44．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【答案】 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【题型十六】不等式组的行程问题 45．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 46．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、不等式组的行程问题 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型十七】一元一次不等式组的其他应用 47．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】A 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可． 【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得： ， 解得： 又∵为整数， ∴，，， 故购买方案有种． 故选：A． 48．（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 【答案】学生最少有5名，奖品至少有22个 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．设学生有x人，则有奖品本，再根据如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有名，根据题意得： ， 解得：， 因为为学生人数，只能为正整数， 所以或，则学生最少有5名， 当学生最少有5名时，将代入，可得奖品数量为：（个）， 答：学生最少有5名，奖品至少有22个． 49．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 【答案】游戏分析：；；给出结论：或；游戏拓展：纸片上的数可能是或 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查的是不等式组的应用， 游戏分析：根据题意分析计算求和进而写出结论； 给出结论：根据分析内容汇总得出结论； 游戏拓展：结合上面的分析及结论，类别写出即可． 【详解】解：游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8， ，， ，解得：， 正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 故答案为：；；或； 游戏拓展：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为m、n、e、f，其中． 最小的两个数的和为6，最大的两个数的和为9， ，， ，解得：， 正整数，2，3． 当时，，则不满足最大的两个数的和为9这一条件，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是； 当时，，若，，但它们的和出现的数6，9，不符合题意； 当时，，若，，它们的和出现的数； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是或； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15章 一元一次不等式 章节（10知识详解+17典例分析） 【知识点01】：不等式的概念 用不等号“>”“<”“≥”“≤”连接的式子,叫作不等式. 特别提醒：用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 注意：判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号； 不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子) 不能随意交换. 2. 基本的表达形式： (1)常见的不等号： 符号 名称 实际意义 读法 举例 < 小于号 小于、不足 小于 3+2<6 > 大于号 大于、高出 大于 3+3>5 ≠ 不等于号 不相等 不等于 4 ≠ 5 (2)常见的不等式基本语言与符号表示： ① a 是正数表示为a ＞ 0，a 是负数表示为a ＜ 0； ② a，b 同号表示为ab ＞ 0，a，b 异号表示为ab ＜ 0. 【知识点02】：不等式的性质 不等式的性质1：对于任意给定的两个数a、b，在a>b、a<b、a=b三种情形中，有且只有一种情形成立. 不等式的性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.如果a＜b，b＜c，那么a＜c. 如同相等关系具有传递性，不等式性质2表明大于关系也具有传递性．同样地，“≥”“≤”与“<”也具有传递性. 不等式的性质3：不等式两边加（或减）同一个数，不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a+m＞b+m,a-m＞b-m 不等式的性质4：不等式的两边同乘(或除以)一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，那么am＞bm,＞ 不等式的性质5：不等式的两边同乘(或除以)一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，m＜0，那么am＜bm,＜ 【知识点03】：一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【知识点04】：解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【知识点05】：一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【知识点06】：由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【知识点07】：一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【知识点08】：一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 【知识点09】：一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组（其中a＞b） 图示 解集 口诀 （同大取大） （同小取小） （大小取中间） 无解 （空集） （大大、小小找不到） 注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 【知识点10】：一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式组解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 【题型一】不等式的性质 1．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如果，那么下列不等式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海松江·月考）如果，那么 （填“”或“”）． 3．（22-23七年级上·上海青浦·期中）已知，求的最小值． 【题型二】不等式的解集 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 6．下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？ (1)x=1． (2)x=3． (3)x=10． (4)x=12． 【题型三】求一元一次不等式的解集 7．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列数中是不等式的解的是（） A．0 B．100 C． D． 8．（24-25七年级下·上海·期中）不等式的解集是 ． 9．（24-25七年级下·上海·期中）解不等式：． 【题型四】在数轴上表示不等式的解集 10．（24-25七年级下·上海松江·期中）已知关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值是 ． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 12．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）下面是小海同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务： 解： 去分母，得      （第一步） 去括号，得 （第二步） 移项，合并同类项，得 （第三步） 系数化为1，得 （第四步） (1)解答过程中，从第_______步开始出错，错因是_______； (2)请你写出的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 解： 【题型五】求一元一次不等式的整数解 13．（23-24七年级下·上海浦东新·期末）若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）不等式的最大整数解是 ． 15．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【题型六】列一元一次不等式 16．（24-25七年级下·上海·月考）列不等式表示：与的3倍的和是非负数 ． 17．（24-25七年级下·上海闵行·期中）的与的差不小于2，用不等式表示为 ． 18．当x取何值时，代数式的值分别满足下列条件？ (1)大于8； (2)小于的值． 【题型七】用一元一次不等式解决实际问题 19．（24-25七年级下·上海·月考）一件商品的成本价是30元，如果按原价的八五折销售，至少可获得的利润，如果设该商品原价为y元，那么可列式为（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·上海静安·期末）一件商品的成本是30元，如果按原价的八八折销售，至少可获得的利润．设这件商品的原价为x元，那么可以列出不等式 ． 21．（24-25七年级下·上海长宁·期末）某次知识竞赛共有20道题，规定答对一道题得5分，答错一道题扣2分，不答题不得分，在这次竞赛中，小明有3道题没有作答，如果希望取得不低于70分的成绩，求小明至少要答对几道题． 【题型八】用一元一次不等式解决几何问题 22．如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 23．如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m，且． (1)求m的值； (2)一个光点从点A出发，沿数轴向右运动到点C时，到点A，B的距离之和大于30个单位长度，求此时点C对应的数n的最小整数值． 【题型九】一元一次不等式组的定义 24．下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 25．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有 ．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 26．下列不等式组： ①②③④⑤ 其中是一元一次不等式组的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型十】求不等式组的解集 27．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·上海·期中）不等式组的解集为 ． 29．（24-25七年级下·上海金山·期末）解不等式组 【题型十一】求一元一次不等式组的整数解 30．不等式组的最小整数解是（   ） A． B．0 C．4 D．5 31．（24-25七年级下·上海松江·月考）不等式组的正整数解为 ． 32．（24-25七年级下·上海·期末）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【题型十二】由一元一次不等式组的解集求参数 33．若不等式组的解集为，则的值是（    ） A． B． C． D．0 34．（2025·上海·模拟预测）如果不等式组的解集为，那么的取值范围为 ． 35．（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【题型十三】由不等式组解集的情况求参数 36．若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 37．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果不等式组的整数解有四个，那么a的取值范围是 ． 38．（24-25七年级下·上海·月考）若关于的不等式组无解，求的取值范围． 【题型十四】不等式组和方程组结合的问题 39．已知，且，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）若整数使关于的不等式组至少有4个整数解，且使关于的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的整数的和是 ． 41．已知方程组的解满足条件，，求m的取值范围． 【题型十五】列一元一次不等式组 42．在“保护地球，爱护家园”活动中，校团委把一批树苗分给七年级（2）班的同学们去栽种．若每人分2棵，还剩42棵；若每人分3棵，则最后一人得到的树苗少于5棵（但至少分得一棵）．若设七年级（2）班人数为人，则该班最少有多少名学生？以下列式正确的是（   ） A． B． C． D． 43．某日天津市的最高气温是，最低气温是，能正确表达这一天气温的变化范围的是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·上海闵行·期中）小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组 ． 【题型十六】不等式组的行程问题 45．小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 46．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型十七】一元一次不等式组的其他应用 47．某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（    ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 48．（24-25七年级下·上海金山·期中）把一些奖品分给若干名学生．如果每人分3个，那么多出7个奖品；如果每人分5个，那么有一名学生分到的奖品就少于3个．问：学生最少有几名？奖品至少有多少个？ 49．（24-25七年级下·上海·月考）综合与实践：猜数游戏在日常生活中有着广泛应用，与数学有着密切的关联． 小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．猜猜看，小丽在4张纸片上各写了什么数． 游戏分析：设小丽在4张纸片上写的正整数依次为a、b、c、d，其中． 最小的两个数的和为5，最大的两个数的和为8，，， ，解得：，正整数，2． 当时，，则，但它们的和出现的数是 ，不符合题意； 当时，，若，它们的和出现的数是 ； 当时，，若，，它们的和出现的数5，6，7，8； 给出结论：综上分析可得，纸片上的数可能是 ； 游戏拓展：小丽在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加，重复这样做，每次所得的和都是6，7，8，9中的一个数，并且这4个数都能取到．模仿上述求解过程，求出小丽在4张纸片上各写了什么正整数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $