第一章 整式的乘除 章节讲义（17知识详解+37典例分析）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第一章 整式的乘除 章节（17知识详解+37典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示为(m，n都是正整数). 2. 同底数幂的乘法运算性质的推广 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即＝·(m，n都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1. 幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘 .用字母表示为()＝(m，n都是正整数). 2. 幂的乘方运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：[()]＝(m，n，p都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝()＝()(m，n都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1. 积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为(ab)＝(n为正整数). 2. 积的乘方运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)＝(n为正整数)； (2)积的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝(ab)(n为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 2. 同底数幂的除法运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即(a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n＋p)； (2)同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时＝÷(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 【知识点05】零指数幂 1. 零指数幂 ＝1(a ≠ 0)，即任何不等于0的数的零次幂都等于1. 推理过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如÷, 根据除法的意义可知所得的商为1. 如果依照同底数幂的除法运算性质来计算，又有÷＝＝，故＝1. 【知识点06】负整数指数幂 1. 负整数指数幂 ＝(a≠0，p是正整数)，这就是说， (a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)·＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (2)()＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (3)(ab)＝(a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数)； (4)÷＝(a ≠ 0，m，n是整数). 【知识点07】科学记数法 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10的形式，其中1≤a﹤10，n是负整数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如－0.000 002 56可以表示成－2 .56×10. 2. 用科学记数法表示绝对值小于1 的数的一般步骤 (1)确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，即 ① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)的相反数； ②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于负几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤|a|﹤10，n是负整数). 【知识点08】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点09】单项式与多项式相乘 1. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)； 也可以表示为三个小长方形的面积之和，即pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 【知识点10】多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋ bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)=ap＋aq＋bp＋bq. 【知识点11】平方差公式 1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a²－b². 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a²－b² (2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－a²＝b²－a² (3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)²－(2b)²＝9a²－4b² (4)指数变化 (a³＋b²)(a³－b²)＝(a³)²－(b²)²＝－ (5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)²－c² 【知识点12】平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 如图1.3-1 ①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 则图中阴影部分的面积是a²－b²; 将图1.3-1 ①中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图1.3-1 ②，则这个长方形的长为 a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b). 因为图1.3-1 ①②中阴影部分的面积相等, 所以(a＋b)(a－b)＝a²－b². 【知识点13】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 用字母表示为(a±b)²＝a²±2ab＋b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)²－(a²＋b²)]＝[(a＋b)²－(a－b)²]； (7)(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc. 【知识点14】完全平方公式的验证 1. 验证(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² 如图1.3-4，大正方形的面积可以表示为(a＋b)²，也可用四个部分的面积之和来表示，即a²＋ab＋ba＋b²，所以(a＋b)²＝a²＋ab＋ba＋b²＝ a²＋2ab＋b². 2. 验证(a－b)²＝a²－2ab＋b² 如图1.3-5，阴影部分的面积可以表示为(a－b)²，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，即a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²，所以(a－b)²＝a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²＝a²－2ab＋b². 【知识点15】利用乘法公式进行整式的混合运算 1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 2. 整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号是否正确，可利用去括号检验. 【知识点16】单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2. 单项式除以单项式的运算步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点17】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 2. 多项式除以单项式的运算步骤 (1)用多项式的每一项分别除以单项式； (2)把每一项除得的商相加. 【题型一】同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则m和n的值分别为（　　） A．4，6 B．3，4 C．6，4 D．6，6 【答案】C 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴； 故选C． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则和相反数底数的幂的转换． （1）根据同底数幂相乘，指数相加计算即可； （2）对于相反数底数，利用偶次幂的性质可得，再根据同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）∵ ， （2） ． 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 【答案】 【知识点】用科学记数法表示数的乘法 【分析】本题考查了幂的运算，解题关键是明确同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 根据距离等于速度乘以时间计算即可． 【详解】解：（m）， 故答案为：． 【题型三】幂的乘方运算 4．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系． 【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14 ∴ ，即 ∵ 底数均为3，指数， ∴ ，即， ∴ 故选：. 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，那么的值为 ． 【答案】75 【知识点】幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：75 ． 【题型四】幂的乘方的逆用 6．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】此题考查了幂的乘方的逆运算，根据幂的乘方的逆运算得到，，然后比较它们的指数的大小，指数大的就大． 【详解】解：，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【题型五】积的乘方运算 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①225，225②36,36 (2) (3)，理由见解析 (4) 【知识点】积的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方、有理数的乘法，掌握乘方的意义是解题的关键． （1）①②根据乘方的意义直接计算即可； （2）根据（1）中的计算结果猜想即可； （3）根据以上的规律猜想，并利用乘方的意义证明即可； （4）利用以上得到的结论计算即可． 【详解】（1）解：计算下面两组算式：①；． ②； （2）解：根据（1）计算结果猜想：； （3）解：当n为正整数时，． 理由：当n为正整数时，． 即：当n为正整数时，． （4）解：． 【题型六】同底数幂的除法运算 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【答案】B 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除，底数不变，指数相减是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，计算左边表达式，得到 ，与右边比较得出 和 的值． 【详解】解：∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 【题型七】零指数幂 9．（24-25七年级下·山西太原·月考）计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 【答案】C 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂，先计算括号内的表达式，遵循先乘除后加减的运算顺序，得出结果为0，再计算0的0次方，无意义． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 原式，无意义． 故选C． 【题型八】负整数指数幂 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【答案】8 【知识点】负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，正确地计算是解题的关键． 利用负整数指数幂和零指数幂法则进行计算即可． 【详解】解：∵， = 1， ∴原式． 故答案为：． 【题型九】用科学记数法表示绝对值大于1的数 11．（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：3370万． 故选：． 【题型十】用科学记数法表示绝对值小于1的数 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）元书纸是中国传统的古典书画用纸，一张元书纸的厚度约为0.000075米，将数据0.000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查科学记数法；根据科学记数法表示为的形式，其中，n为整数，解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴ 符合科学记数法标准， 故选：B． 【题型十一】同底数幂乘法的逆用 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 【答案】 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确地进行解题．由同底数幂乘法的逆运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【题型十二】积的乘方的逆用 14．（24-25七年级下·山西太原·月考）的值为（   ） A．8 B．1 C．4 D． 【答案】B 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方的性质的逆运用，需要注意，指数相同是逆运用性质进行解题的关键．利用指数运算性质，将0.125转化为，然后计算乘积． 【详解】解：∵， ∴， 故选B． 【题型十三】同底数幂除法的逆用 15．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型十四】幂的混合运算 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是实数的混合运算中的负整数指数幂，零次幂，同时考查幂的运算，积的乘方，同底数幂的除法以及合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． （1）先分别计算负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方，再合并即可得到答案； （2）先计算积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 【题型十五】计算单项式乘单项式 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 【答案】 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键． 根据路程公式，路程等于速度乘以时间，将给定的速度和时间表达式相乘，利用单项式乘单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：路程为速度与时间的乘积，即： ． 故答案为 ：． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， (3)不正确， (4)不正确， 【知识点】计算单项式乘单项式 【分析】本题考查单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （2）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （3）根据单项式乘单项式法则计算即可判断； （4）根据单项式乘单项式法则计算即可判断． 【详解】（1）解：不正确，正确结果为：； （2）解：不正确，正确结果为：； （3）解：不正确，正确结果为：； （4）解：不正确，正确结果为：． 【题型十六】计算单项式乘多项式及求值 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：， 当时，原式． 【题型十七】单项式乘多项式的应用 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘多项式的实际应用，解题关键是正确列出式子． 先设小正方形和大正方形的边长分别为，，再根据阴影部分的面积为，列出式子，化简即可求解． 【详解】解：设小正方形和大正方形的边长分别为，， 则，，， 又阴影部分的面积为， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 所以大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故选：A． 21．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【详解】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【题型十八】计算多项式乘多项式 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键， （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型十九】多项式乘多项式与图形面积 23．长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，根据长方形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：． 24．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查整式的乘法与图形面积，熟练掌握整式的乘法是解题的关键；根据图形可利用大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，然后问题可求解． 【详解】解：由图形得阴影部分的面积为： ． 【题型二十】（x+p）（x+q）型多项式乘法 25．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 【题型二十一】利用单项式乘法求字母或代数式的值 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【答案】C 【知识点】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【分析】根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 本题主要考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．熟练掌握单项式与单项式相乘的法则是解题的关键． 【详解】， ， ，， ． 故选：C． 【题型二十二】利用单项式乘多项式求字母的值 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【知识点】利用单项式乘多项式求字母的值 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【题型二十三】已知多项式乘积不含某项求字母的值 28．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【答案】3 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 【题型二十四】多项式乘法中的规律性问题 29．（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【答案】(1)7209；5621；2025；4224 (2)见解析 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了多项式乘法的规律性问题，理解题意，找出题中的规律是解题的关键． （1）根据一系列等式，归纳总结规律，利用得出的规律快速计算即可得到结果； （2）设这两个两位数分别为，，其中，再利用题干的公式证明即可． 【详解】（1）解：； ； ； ； 故答案为：7209；5621；2025；4224； （2）证明：设这两个两位数分别为，，其中， 左边 ， 右边 ， ∴左边右边， ∴． 【题型二十五】运用平方差公式进行运算 30．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，平方差公式，将各式进行正确地变形是解题的关键． 将 表示为 ，应用平方差公式进行化简． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查平方差公式，灵活的应用平方差公式是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行计算即可； （2）直接运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型二十六】平方差公式与几何图形 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 33．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 【答案】(1) (2)；； (3) (4) 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形、列代数式 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积； （2）长方形的面积等于长乘以宽； （3）根据阴影部分的面积相等得到公式； （4）连续使用平方差公式，化简即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故答案为：； （2）解：阴影部分的宽为，长为，面积为， 故答案为：；；； （3）解：根据阴影部分面积相等得， 故答案为：； （4）解： ． 【题型二十七】运用完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据的值即可知道值，根据即可求得的值； （2）根据以及第一问中的值即可求得的值. 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：； 故答案为：． 【题型二十八】完全平方公式在几何图形中的应用 35．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)① (2) (3)16 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，熟练掌握完全平方公式的变形及“以形助数”的思想是解题的关键． （1）观察图①的面积关系，匹配对应的代数公式； （2）先根据长方形的周长和面积求出与的值，再代入计算； （3）设正方形边长，利用面积和与边长差，结合完全平方公式求出阴影部分面积． 【详解】（1）解：∵图①中，大正方形面积=小正方形面积+4个矩形面积， ∴对应公式①， 故答案为：①； （2）解：∵长方形周长为16， ∴， ∴， ∵长方形面积为6， ∴， ∴； （3）解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为，， ∴． ∴． ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴阴影部分的面积为 ． 【题型二十九】整式乘法混合运算 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【答案】(1)不是，见解析 (2)①；②见解析 (3)， 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题主要考查了新定义、整式的乘法、解一元一次方程． （1）根据“和谐多项式群”的定义判断即可得解； （2）①根据“和谐多项式群”的定义可知未知数系数为0，建立等式得解即可；②由题可知，将①中代入求解即可； （3）根据题意分类讨论，利用未知数系数为0建立方程求解即可． 【详解】（1）不是 它们不是“和谐多项式群”． （2）① ，，为“和谐多项式群” ②，，为“和谐多项式群”，“和谐值”为 （3）①当时 ， ，（舍） ②当时 ， 解得 ． 【题型三十】多项式乘多项式——化简求值 37．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，利用多项式乘多项式的法则和单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 【题型三十一】通过对完全平方公式变形求值 38．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是解决本题的关键． 由题意知，，再把变形为，然后再整体代入求解即可． 【详解】解：由题意知，． ∴． ∴． 故选：D． 39．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2024 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握题目所给的变形方式并正确应用是关键． （1）设，，再求的值，然后借助完全平方公式求值； （2）设，，再求出的值，然后借助完全平方公式求值． 【详解】（1）解：设，， 则，， 所以， ； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 由得： ， 所以， ． 【题型三十二】求完全平方式中的字母系数 40．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式的特点是解题的关键； 根据完全平方式得出，即可求解． 【详解】解：∵ 是一个完全平方式， ∴可设为 ， ∴， 解得：． 故选：D． 41．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了求完全平方式中字母系数的值，根据题意可确定两平方项为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三十三】计算单项式除以单项式 42．（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算： ． 【答案】/ 【知识点】计算单项式除以单项式 【分析】本题考查了单项式除以单项式等知识，“单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式﹒”，据此计算即可求解﹒ 【详解】解：， 故答案为：． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】计算单项式除以单项式、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查整式的除法，同底数幂的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）利用单项式除以单项式法则计算即可； （2）将系数与同底数幂分别相除，再将结果相乘即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型三十四】多项式除以单项式 44．（23-24七年级下·全国·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】多项式除以单项式、零指数幂、负整数指数幂 【分析】题目主要考查零指数幂和负整数指数幂、多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂和零次幂的运算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】（1）解： （2） ． 【题型三十五】用科学记数法表示数的除法 45．（24-25七年级下·河北邢台·月考）某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【答案】(1)广场的面积为 (2)需要3×105块大理石地砖 【知识点】同底数幂相乘、用科学记数法表示数的除法 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，科学记数法，正确计算是解题的关键． （1）根据长方形面积计算公式列式求解即可； （2）先求出一块大理石的面积，再用广场面积除以一块大理石的面积即可得到答案． 【详解】（1）解： 答：广场的面积为； （2）解：单块大理石的面积是 ． 答：需要块大理石地砖 【题型三十六】整式四则混合运算 46．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）化简：． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．先用提公因式法化简括号里面，再计算多项式除以单项式即可． 【详解】解：原式 ． 47．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】整式四则混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）首先，根据长方形面积公式分别求出大长方形菜地的面积和储物室的面积．然后，用大长方形菜地的面积减去储物室的面积，得到种菜部分的面积，并进行化简． （2）将，代入（1）中化简后的种菜部分面积表达式，计算出具体数值即可． 本题主要考查了整式的混合运算以及代数式求值，同时涉及平方差公式的应用．熟练掌握长方形面积公式、平方差公式以及整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，时， 原式 ． 【题型三十七】整式的混合运算 48．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 49．（24-25七年级下·全国·期中）计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)9604 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了乘法公式（完全平方公式、平方差公式）、单项式乘多项式的运算，熟练掌握乘法公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式展开即可； （2）根据单项式乘多项式展开，再合并同类项即可； （3）利用平方差公式进行简便计算； （4）先变形，然后根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除 章节（17知识详解+37典例分析） 【知识点01】同底数幂的乘法 1. 同底数幂的乘法运算性质 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.用字母表示为(m，n都是正整数). 2. 同底数幂的乘法运算性质的推广 (1)同底数幂的乘法运算性质对于三个及三个以上同底数幂相乘同样适用，即(m，n，…，p都是正整数). (2)同底数幂的乘法运算性质既可正用也可逆用，即＝·(m，n都是正整数). 【知识点02】幂的乘方 1. 幂的乘方运算性质 幂的乘方，底数不变，指数相乘 .用字母表示为()＝(m，n都是正整数). 2. 幂的乘方运算性质的拓展运用 (1)幂的乘方运算性质的推广：[()]＝(m，n，p都是正整数)； (2)幂的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝()＝()(m，n都是正整数). 【知识点03】积的乘方 1. 积的乘方运算性质 积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 用字母表示为(ab)＝(n为正整数). 2. 积的乘方运算性质的拓展运用 (1)积的乘方运算性质的推广：(abc)＝(n为正整数)； (2)积的乘方运算性质也可以逆用，逆用时＝(ab)(n为正整数). 【知识点04】同底数幂的除法 1. 同底数幂的除法运算性质 同底数幂相除，底数不变，指数相减 . 用字母表示为(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 2. 同底数幂的除法运算性质的拓展运用 (1)运算性质的推广：适用于三个及三个以上的同底数幂相除，即(a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n＋p)； (2)同底数幂的除法运算性质也可以逆用，逆用时＝÷(a ≠ 0，m，n都是正整数，且m>n). 【知识点05】零指数幂 1. 零指数幂 ＝1(a ≠ 0)，即任何不等于0的数的零次幂都等于1. 推理过程：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如÷, 根据除法的意义可知所得的商为1. 如果依照同底数幂的除法运算性质来计算，又有÷＝＝，故＝1. 【知识点06】负整数指数幂 1. 负整数指数幂 ＝(a≠0，p是正整数)，这就是说， (a ≠ 0)是的倒数. 2. 整数指数幂的运算性质 (1)·＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (2)()＝(a ≠ 0，m，n是整数)； (3)(ab)＝(a ≠ 0，b ≠ 0，n是整数)； (4)÷＝(a ≠ 0，m，n是整数). 【知识点07】科学记数法 1. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一般地，一个小于1的正数可以表示为a×10的形式，其中1≤a﹤10，n是负整数. 大于－1的负数也可以用类似的方法表示，如－0.000 002 56可以表示成－2 .56×10. 2. 用科学记数法表示绝对值小于1 的数的一般步骤 (1)确定a：a是绝对值大于或等于1且小于10的数. (2)确定n：确定n的方法有两种，即 ① n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)的相反数； ②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于负几. (3)将原数用科学记数法表示为a×10的形式(其中1 ≤|a|﹤10，n是负整数). 【知识点08】单项式与单项式相乘 1. 单项式乘单项式法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 2. 单项式与单项式相乘的步骤 (1)确定积的系数，积的系数等于各项系数的积； (2)同底数幂相乘，底数不变，指数相加； (3)只在一个单项式里出现的字母，要连同它的指数写在积里. 3. 单项式乘法法则的实质是乘法交换律、乘法结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用. 【知识点09】单项式与多项式相乘 1. 单项式乘多项式法则 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 单项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-1，大长方形的面积可以表示为p(a＋b＋c)； 也可以表示为三个小长方形的面积之和，即pa＋pb＋pc. 所以p(a＋b＋c)＝pa＋pb＋pc. 【知识点10】多项式与多项式相乘 1. 多项式乘多项式法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 2. 多项式与多项式相乘的几何解释 如图1.2-2，大长方形的面积可以表示为(a＋b)(p＋q)，也可以表示为四个小长方形的面积之和，即ap＋aq＋ bp＋bq. 所以(a＋b)(p＋q)=ap＋aq＋bp＋bq. 【知识点11】平方差公式 1. 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差. 用字母表示为(a＋b)(a－b)＝a²－b². 2. 平方差公式的几种常见变化及应用 变化形式 应用举例 (1)位置变化 (b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a²－b² (2)符号变化 (－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b)²－a²＝b²－a² (3)系数变化 (3a＋2b)(3a－2b)＝(3a)²－(2b)²＝9a²－4b² (4)指数变化 (a³＋b²)(a³－b²)＝(a³)²－(b²)²＝－ (5)增项变化 (a－b＋c)(a－b－c)=(a－b)²－c² 【知识点12】平方差公式的验证 平方差公式的几何意义 如图1.3-1 ①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形， 则图中阴影部分的面积是a²－b²; 将图1.3-1 ①中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图1.3-1 ②，则这个长方形的长为 a＋b，宽为a－b，面积为(a＋b)(a－b). 因为图1.3-1 ①②中阴影部分的面积相等, 所以(a＋b)(a－b)＝a²－b². 【知识点13】完全平方公式 1. 完全平方公式 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2 倍. 用字母表示为(a±b)²＝a²±2ab＋b². 2. 完全平方公式的几种常见变形公式 (1)a²＋b²＝(a＋b)²－2ab＝(a－b)²＋2ab； (2)(a＋b)²＝(a－b)²＋4ab； (3)(a－b)²＝(a＋b)²－4ab； (4)(a＋b)²＋(a－b)²＝2(a²＋b²)； (5)(a＋b)²－(a－b)²＝4ab； (6)ab＝[(a＋b)²－(a²＋b²)]＝[(a＋b)²－(a－b)²]； (7)(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2ac＋2bc. 【知识点14】完全平方公式的验证 1. 验证(a＋b)²＝a²＋2ab＋b² 如图1.3-4，大正方形的面积可以表示为(a＋b)²，也可用四个部分的面积之和来表示，即a²＋ab＋ba＋b²，所以(a＋b)²＝a²＋ab＋ba＋b²＝ a²＋2ab＋b². 2. 验证(a－b)²＝a²－2ab＋b² 如图1.3-5，阴影部分的面积可以表示为(a－b)²，也可用大正方形的面积减去三个空白部分的面积，即a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²，所以(a－b)²＝a²－(a－b)·b－(a－b)·b－b²＝a²－2ab＋b². 【知识点15】利用乘法公式进行整式的混合运算 1. 当两个三项式相乘时，先利用添括号使原式变成符合乘法公式的形式，再运用乘法公式计算. 2. 整式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减. 特别解读 1. 添括号只是一个变形，不改变式子的值. 2. 添括号是否正确，可利用去括号检验. 【知识点16】单项式除以单项式 1. 单项式除以单项式法则 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 2. 单项式除以单项式的运算步骤 (1)把系数相除，所得的结果作为商的系数； (2)把同底数幂分别相除，所得的结果作为商的因式； (3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数一起作为商的一个因式. 【知识点17】多项式除以单项式 1. 多项式除以单项式法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 2. 多项式除以单项式的运算步骤 (1)用多项式的每一项分别除以单项式； (2)把每一项除得的商相加. 【题型一】同底数幂相乘 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）若，则m和n的值分别为（　　） A．4，6 B．3，4 C．6，4 D．6，6 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）将表示成以为底数的幂． （2）将表示成以为底数的幂． 【题型二】用科学记数法表示数的乘法 3．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）雷达可用于飞机导航，也可用来监测飞机的飞行．假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用了秒．已知电磁波的传播速度为米/秒，则该时刻飞机与雷达站的距离为 米．(结果用科学记数法表示) 【题型三】幂的乘方运算 4．（22-23七年级下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果，那么的值为 ． 【题型四】幂的乘方的逆用 6．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型五】积的乘方运算 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）计算下面两组算式： (1)①与；②与； (2)根据以上计算结果猜想：等于什么？（直接写出结果） (3)猜想与验证：当n为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由． (4)利用上述结论，求的值． 【题型六】同底数幂的除法运算 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则m，n的值分别为（    ） A．4，0 B．4，2 C．5，2 D．5，0 【题型七】零指数幂 9．（24-25七年级下·山西太原·月考）计算：（   ） A．0 B．1 C．无意义 D．15 【题型八】负整数指数幂 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： ． 【题型九】用科学记数法表示绝对值大于1的数 11．（2025·山东济南·一模）是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了3370万．将3370万用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【题型十】用科学记数法表示绝对值小于1的数 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）元书纸是中国传统的古典书画用纸，一张元书纸的厚度约为0.000075米，将数据0.000075用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【题型十一】同底数幂乘法的逆用 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则 ． 【题型十二】积的乘方的逆用 14．（24-25七年级下·山西太原·月考）的值为（   ） A．8 B．1 C．4 D． 【题型十三】同底数幂除法的逆用 15．（24-25七年级下·安徽宿州·期中）已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【题型十四】幂的混合运算 16．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2) 【题型十五】计算单项式乘单项式 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展、独立运行的全球卫星导航系统．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程为 m． 18．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十六】计算单项式乘多项式及求值 19．（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【题型十七】单项式乘多项式的应用 20．（24-25七年级下·江苏无锡·月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ）    A． B． C． D． 21．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【题型十八】计算多项式乘多项式 22．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【题型十九】多项式乘多项式与图形面积 23．长春市某中学操场为长方形，长为米，宽为米，则该操场的面积为 平方米． 24．（2026七年级下·全国·专题练习）计算图中阴影部分的面积． 【题型二十】（x+p）（x+q）型多项式乘法 25．（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【题型二十一】利用单项式乘法求字母或代数式的值 26．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知单项式与的积为，那么（　　） A．11 B．5 C．1 D． 【题型二十二】利用单项式乘多项式求字母的值 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【题型二十三】已知多项式乘积不含某项求字母的值 28．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则ab的值为 ． 【题型二十四】多项式乘法中的规律性问题 29．（24-25七年级下·山西太原·月考）① ② ③ …… (1)按照上面的规律，迅速写出答案． ________； ________； ________； ________． (2)用公式证明上面所发现的规律． 【题型二十五】运用平方差公式进行运算 30．（24-25七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算： ． 31．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型二十六】平方差公式与几何图形 32．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 33．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形． (1)图1中阴影部分的面积为__________________ (2)将图1阴影部分沿虚线剪下拼成如图2的一个长方形，这个长方形的长是________，宽是_________，则图2阴影部分的面积是____________________ (3)比较（1）（2）结果，你能验证公式______________________________ (4)用该公式计算： 【题型二十七】运用完全平方公式进行运算 34．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，则 (1)xy的值为 ． (2)的值为 ． 【题型二十八】完全平方公式在几何图形中的应用 35．（24-25七年级下·河南郑州·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)观察图①，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号） ①； ②； ③． (2)如图②，长、宽分别为的长方形，它的周长为，面积为，求的值． (3)将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为，时，求图中阴影部分的面积． 【题型二十九】整式乘法混合运算 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）定义：若多项式，，满足（其中，，是常数，且），则称多项式，，为“和谐多项式群”，常数叫做多项式，，的“和谐值”．例如多项式，，满足，那么多项式，，叫做“和谐多项式群”，常数1叫做多项式，，的“和谐值”． (1)试判定多项式，，是否是“和谐多项式群”？若是，求出“和谐值”；若不是，请说明理由； (2)若多项式，，为“和谐多项式群”（其中，，是常数，且），“和谐值”为． ①试说明，，满足的数量关系； ②设，试说明：； (3)，，为“和谐多项式群”，，满足且（，为常数），“和谐值”为，求出所有符合条件的，的值． 【题型三十】多项式乘多项式——化简求值 37．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）先化简，再求值：，其中，． 【题型三十一】通过对完全平方公式变形求值 38．（23-24七年级下·宁夏银川·期末）如图，长为a，宽为b的长方形的周长为16，面积为10，则的值为（   ） A．160 B．84 C．80 D．44 39．（2023七年级下·江苏南京·竞赛）我们常将一些公式变形，以简化运算过程．如：可以把公式＂＂变形成或等形式， 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答；设，则， 又：． 所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． 【题型三十二】求完全平方式中的字母系数 40．（23-24七年级下·湖南益阳·期中）若可以配成一个完全平方公式，则m的值为（ ） A． B． C．16 D． 41．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【题型三十三】计算单项式除以单项式 42．（24-25七年级下·河南郑州·期末）计算： ． 43．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【题型三十四】多项式除以单项式 44．（23-24七年级下·全国·月考）计算： (1)； (2)． 【题型三十五】用科学记数法表示数的除法 45．（24-25七年级下·河北邢台·月考）某市计划修建一个长为米，宽为米的长方形市民休闲广场．【结果均用科学记数法表示】 (1)请计算该广场的面积S； (2)如果用一种正方形大理石地砖铺满该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖． 【题型三十六】整式四则混合运算 46．（22-23七年级下·陕西汉中·期末）化简：． 47．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）张伯伯家有一个长为，宽为的长方形菜地，为了方便存放工具，他在菜地的一角修建了一个长为，宽为的长方形储物室，然后在剩余的部分种菜（阴影部分）． (1)求种菜部分的面积；（结果需要化简） (2)若，求种菜部分的面积． 【题型三十七】整式的混合运算 48．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（   ） A． B． C． D． 49．（24-25七年级下·全国·期中）计算 (1) (2) (3) (4)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $