精品解析：福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高三上学期数学限时训练14(1.16）

厦门大学附属科技中学2023级高三（上）限时训练14 数学试题 （编制：何晓玲） 满分：87分 考试时间：60分钟（19:50-20:50） 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据补集和交集的运算求解. 【详解】，，， ，，，故选项A正确. 故选：A. 2. 已知平面向量，若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，可得，的坐标，根据向量垂直坐标的关系，代入求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：D 3. 已知为等差数列，其前n项和为则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】通过等差数列的通项公式将已知等式转化为关于首项和公差的式子，化简得到中间项的值，再利用前项和与中间项的关系求出. 【详解】将转化为：， 展开得：， 合并同类项：， 化简得：，即. 前5项和，由等差数列性质知，， 故. 故选：B 4. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，易得点位于圆弧的中点时，最大，证明面，则即为与半圆面所成角的平面角，再解即可. 【详解】过点作于点， 因为面底面，面底面，面， 所以平面， 则， 当且仅当，即点位于圆弧的中点时，最大，此时为的中点， 因为面底面，面底面面， 所以面， 所以即为与半圆面所成角的平面角， 在中，， 所以， 即与半圆面所成角的余弦值为. 故选：D. 5. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】将5个数从小到大排序为： 0，1，5，5，8. 因为，要使第百分位数为5，进行如下讨论： 如果为整数，则需取数据中第个和第个的数的平均数，只可能，即. 如果为非整数，则需取数据中将整数部分加1所在位置的数， 所以得到或解得， 综上可得. 故选：C. 6. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分，每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 7. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 故选：ABD 8. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题： 9. ，则___________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】按照二项式展开式中的项系数求得，取，代入可求得结果. 【详解】； ，取，则， 故 故答案为：-20；-1 10. 在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.① ；②；③. 【答案】① ② ③ 【解析】 【分析】计算，得到①正确；，②正确；的可能取值为，计算概率再计算数学期望得到③正确，得到答案. 【详解】对选项①：，，故，①正确； 对选项②：，② 正确； 对选项③：的可能取值为， ；；； ；， ， ，③正确. 故答案为：① ② ③ 11. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求的取值范围，进而结合的图象列不等式组求解. 【详解】由，得. 因为，所以, 作出在上的图象，如图所示， 因为函数在上有最小值而没有最大值， 所以，解得. 故答案为： 四、解答题： 12. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由切线斜率为2，结合导数知识可得切线过点，然后可得切线方程； （2）由是的极小值点，可得，然后据此讨论的单调性，分析得在时的极值情况，从而得解. 【小问1详解】 当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. 【小问2详解】 由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 13. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）． 【答案】（1） （2） 2 4 5 的最大值为； (ii) 【解析】 【分析】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N包括事件：共5种，即可求解； （2）（i）由题意得的所有可能取值为：，求出对应的概率，列出分布列及求出数学期望，并求出最大值； （ii）由（1）得前两局比赛结果可能有：，其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”，事件表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以即可求解． 【小问1详解】 用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”， 则， 记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N， 则事件N包括事件：共5种， 所以 ． 【小问2详解】 （i）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即， 由题意得的所有可能取值为：， ， ， ， 所以的分布列为： 2 4 5 所以的期望为： 因为，所以， 等号成立时，，所以， 所以， 故的最大值为：． （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则， 由（1）得前两局比赛结果可能有：， 其中事件表示“甲学员赢得比赛”，事件表示“乙学员赢得比赛”， 事件表示“甲、乙两名学员各得1分”， 当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同， 所以 ， 所以，得， 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问的第2小问中，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同，所以进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2023级高三（上）限时训练14 数学试题 （编制：何晓玲） 满分：87分 考试时间：60分钟（19:50-20:50） 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，若，则=（ ） A. B. C. D. 3. 已知为等差数列，其前n项和为则（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 4. 如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点P为圆弧上的动点.当三棱锥的体积最大时，与半圆面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若数据1，0，5，8，5的第百分位数为5，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数恰有个零点，则正数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分，每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分，有选错的得0分． 7. 一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（ ） A. 样本负相关 B. C. D. 处理后的决定系数变大 8. 已知曲线:，则（ ） A. 曲线围成图形面积为 B. 曲线的长度为 C. 曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D. 曲线上任意两点间最大距离 三、填空题： 9. ，则___________；___________. 10. 在一次抽奖活动中，某同学在标有“1”，“1”，“4”，“5”，“1”，“4”的六张卡片中依次不放回地抽取一张卡片，直到抽完全部卡片.记事件表示第i次抽到标号为“1”的卡片，X表示抽到标号为“5”的卡片需要的次数.则下列说法正确的是______（填标号）.① ；②；③. 11. 若函数在上有最小值而没有最大值，则的取值范围是__________. 四、解答题： 12. 已知函数. （1）设，求曲线的斜率为2的切线方程； （2）若是的极小值点，求b的取值范围. 13. 甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立． （1）若，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率； （2）当时， （i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值； （ii）若比赛不限制局数，求“甲学员赢得比赛”的概率（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $