第09讲 倍角公式及三角恒等变换的应用（思维导图+4知识点+九大题型+过关检测）（寒假预习讲义）高一数学人教B版

第09讲 倍角公式及三角恒等变换的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：二倍角公式的正用】 【题型02：二倍角公式的逆用】 【题型03：二倍角公式的综合】 【题型04：辅助角公式及其应用】 【题型05：给值求值问题】 【题型06：给值求角问题】 【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】 【题型08：利用三角恒等变换化简证明】 【题型09：三角恒等变换的实际应用】 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：二倍角公式 （1） （2） （3） 知识点2：公式的常用变形 （1）降幂公式：；； （2）辅助角公式：，其中，， 【题型01：二倍角公式的正用】 1．已知，，则 ． 2．若，，则 . 3．已知满足，则 ． 4．已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D．2 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，则的值可能为（   ） A． B．0 C． D． 7．若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型02：二倍角公式的逆用】 8．计算 ． 9．（    ） A． B． C． D． 10．下列各式的值为的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则 . 12．化简 . 13．若是第三象限角，且，则 . 14．若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型03：二倍角公式的综合】 15．的值为（   ） A． B． C． D． 16．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 17．已知，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知，，且，则 ． 19．已知，. (1)求的值； (2)求的值. 20．若不在坐标轴上的点关于直线的对称点为，则（   ） A．0或2 B．2 C．0或 D． 21．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则 ． 【题型04：辅助角公式及其应用】 22．的值为（ ） A．1 B． C． D．2 23．“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 24．已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 25．函数的最大值为 ． 26．已知函数，，，则= ． 27．已知函数的最大值为3，则实数的值为 . 【题型05：给值求值问题】 28．已知，，则（   ） A． B． C． D． 29．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．已知，则（    ） A． B． C． D． 31．已知，则 . 32．若，则（　　） A． B． C． D． 33．已知，则 . 34．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型06：给值求角问题】 35．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 36．已知，，且，，求： (1)的值； (2)的值． 37．已知 (1)求的值； (2)求的值. 38．已知、，且，，求. 39．已知，，且. (1)求的值； (2)求的值. 【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】 40．在中，已知，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 41．在中，若，则的形状不可能是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．三个角都不相等的锐角三角形 42．在中，若，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不含角的等腰三角形 43．已知在中，，，则此三角形是 三角形． 44．在中，内角、满足，则为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【题型08：利用三角恒等变换化简证明】 45．求证：． 46．求证： (1). (2). 47．化简：． 48．已知，求证：． 49．求证： （1）； （2）. 【题型09：三角恒等变换的实际应用】 50．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    51．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（    ） A． B． C．5 D． 52．如图，正方形的边长为1，、分别是边、边上的点，那么当的周长为2时，（    ） A． B． C． D． 53．某工人要从一块圆心角为的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1m，求割出的长方形桌面的最大面积（如图）． 54．如图所示，某市政府计划在该扇形地域内建设图书馆，为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，要求该图书馆底面矩形CDEF的四个顶点都落在边界上．经过测量，扇形的半径为60m，，．记弧的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF，设． (1)求矩形CDEF的面积关于α的函数； (2)请说明F点向G靠近时矩形CDEF的面积变化情况； (3)求矩形CDEF的最大面积． 55．在校园美化、改造活动中，要在半径为、圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示．取的中点M，记． (1)写出矩形的面积S与角的函数关系式； (2)求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 一、单选题 1．已知，则（    ） A．-1 B．1 C． D． 2．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，记直角三角形中较大的锐角为，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b.若，则（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在射线上，则 10．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，则 ． 11．已知角满足，则的值为 ． 12．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递减区间； (2)求在区间上的最小值. 13．已知函数 (1)求的值； (2)若，，求的值. 14．已知向量． (1)若，且，求的取值集合； (2)设，若，且，求的值． 15．如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第09讲倍角公式及三角恒等变换的应用 风内容导航 —预习三步曲 第一步：学 析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型强知识：核心题型举一反三精准练 【题型01：二倍角公式的正用】 【题型02：二倍角公式的逆用】 【题型03：二倍角公式的综合】 【题型04：辅助角公式及其应用】 【题型05：给值求值问题】 【题型06：给值求角问题】 【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】 【题型08：利用三角恒等变换化简证明】 【题型9：三角恒等变换的实标应用】 第二步：记 串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 析教材学知识 ☑知识点1：二倍角公式 (1)sin 2a 2sina cosa (2)cos2a cos2 a-sin2 a =1-2 sin2 a 2 cos2a -1 (3)tan2a=2 tana (c≠k+且a++,keZ） 1-tan2a 2 24 ☑知识点2：公式的常用变形 2:cos'a=1+cos2a 1)降幂公式：sin'a=1-c0s2a, 1 -sina cosa =-sin 2a 2 (2)箱助角公式：asinx+bcosx=Va2+6sin(x+p）,其中 b C0S0= sin = Va2+b2 1/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 tan = a 02 练题型强知识 【题型01：二倍角公式的正用】 【题型02：二倍角公式的逆用】 【题型03：二倍角公式的综合】 【题型04：辅助角公式及其应用】 倍角公式及三角恒等 【题型05：给值求值问题】 变换的应用 【题型06：给值求角问题】 【题型07：利用三角恒等变换判断三角形形状】 【题型08：利用三角恒等变换化简证明】 【题型09：三角恒等变换的综合】 【题型01：二倍角公式的正用】 1 1.已知sina-cosa=3,ae(0,,则sin2a= 【答案 1 【详解】由已知，sina-cosa= 3, 1 两边平方可得，sin2a+cos2a-2sina·cosa= 9 8 又sina+cos2a=1,所以2sina·cosa= 所以sin2a=2sina-cosa=8 9 故答案为：9 2.若0<a<1,cosa=sSin2,则cosa 【答案)05 22,所以sing>0, 【详解】因为0<a<,所以0<g<元 < 2 cosa=sin号，又cosu=1-2sn号 ，解得sin9=1, 22 2/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以cosa=simg=J 22 故答案为： 3.己知u满足cosa- 2 c0sa,则cos2a= 33 【答案】 14 1 【详解】因为cosa-号cosa×2+sinax 52 所以sinax 6cosa,则tana=V V3 26 9 cos'a-sin'a 1-tana 1 则cos2a=cos2a-sin2a= -2713 114 cos'a +sin'a 1+tan'a 故答案为： 13 14 0 4.已知sin0-2cos0=2,0为第二象限角，则tan二=() A.-2 B.2 1 D.2 【答案】D 【详解】已知sin0-2cos0=2,且0为第二象限角， s-2c=2 设sin0=s,cos0=c,则有方程组 s2+c2=1' 消元得(2+2g2+c2=1→5c2+8c+3=0,解得c=-3或c:-1, 5 当c=时，8=当c=-1时0 4 由于O为第二象限角，需满足sin0>0,cos0<0,故舍去s=0的解， 4 3 因此sin6= 5’c0s0=- 5’ 44 利用倍角公式计 2 tan0=5 °2=tan 1+c0s61+2cos29-121 5=2 3= 2 55 故选：D 玉.已知casa-p1-分onaa明-石则s2a+20j=（) 3/37 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.D B9 c.日 17 D. 18 【答案】D 1 【详解】由cos(a-β)=cosa cos阝+sina sin B= ,cosacos=二可得， 2 6 snas血9。 所以cos(a+B)=cosacosB--sin sin B=L-}-1 636 所以cos(2a+2B)=cos[2(a+B)】]=2cos2(a+B)-1=2× 故选：D 6.(多选)已知3sin20=2cos20+2,则tan20的值可能为() 5 A.- B.0 12 D.5 【答案】BD 【详解】因为3sin20=2cos20+2, 所以6sin0cos0=2×2cos20,nn 所以c0s0=0或tan0=2 3 当cos9=0时，9=k机+2keZ 故20=2kr+元，k∈Z,tan20=tanπ=0； 2+2 当tan0=2时，tan20= 2tan0 =312 1-tan201- 45 9 故选：BD sina tan 2a 7.若sina≠0， √2 ,，则cosa=() -cosa 2 A.√2 B. 3 D.-② 2 4 【答案】D 【详解】由an2a= -cosa,海加2g。-2sia sina 即2 sina cosa v2sina 2 cos2a1-√2cosa 2cos2 a-1 1-2 cosa 因此 2sina cosa √2sina ,而sina≠0， (v2 cosa-1)(2 cosa+1)1-2 cosa 4/37 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则-2cosa=√2（√2cosa+1),所以cosa=- √2 故选：D 【题型02：二倍角公式的逆用】 8.计算sinco n12c0s12 【答案】0.25 4 π1 元111 【详解】sin,cos 故答案为：4 1 9.c0s2π -cos2 5n =() 8 A B. ② C.v3 2 3 D.3 2 【答案】B 【详解】解法一： cos23-cosa_1+c0s1+eo 4 -+os-)2c0 2 4=22 422 4 8 82 121 √22 2×2-2 22 解法二：cos25=cos+=sin 8 28 P 所以cos2 -cos2 5n P =c0s2 8 sin2 πV2 =cOS- 8 8 42 故选：B 10.下列各式的值为)的是() 2tan22.5 A.sin37.5°cos7.5°-cos37.5°cos97.5° B. 1-tan222.5 C. 2-cos220° D.cos-sin 3-sin 50 8 8 【答案】C 【详解】对于A选项，sin37.5°cos7.5°-cos37.5°cos97.5°=sin37.5°cos7.5°-cos37.5°cos90°+7.5) =sin37.5cos7.5+cos37.5sin7.5=sin(37.5°+7.5=sin45= ,A不满足； 对于B选项， 2tan22.5 1-tan222.5=an45=1,B不满足； 5/37 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1+cos40 对于C选项，2-cos220 2- 2 3-c0s40 3-cos90°-50) 三 3-sin50° 3-sin50° 23-sin50）23-sin50) 3-sin 50 1 2(3-sin50可2，C满足； 对于D法项，os骨in 2女之 8=cos- 号，D不满足 故选：C 2+sin 0 山.已知co0=弓x<0经，则n 【答案】2/0.4 【详解】：cos0=-3, ，元<O<21,sn0=-4 5 3 ..sin2 n8。o.0_1-cos0,1 1+ +sin-cos- 2 2 22 放答米为：号 12.化简c0sxc0s2xc0s4x= 【答案】sin8r 8sinx 【详解】cosxcos:2xcos4x= sin x cosxcos 2x cos4x sin 2xcos 2xcos4x sin4xcos4x sin8x sinx 2sinx 4sinx 8sinx sin8x 故答案为： 8sinx 13.若a是第三象限角，且sin(a+B)cosB-sinBeos(a+B)=- 13,则tang= 2 【答案】-5 【详解】sma+p)cop--+1=sm[a+-B]-smaf言 由于a是第三象限角，所以cosa=-V-sina=-12 13 1-cosa sin- 所以tan 2 吻3 2 2 1-cosa 12 13=-5 2 s2 sin 4 cos sina sina 1 5 2 22 13 故答案为：-5 4.若a0〉5cowa=m号则aa=（) 6/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-⑤ B. C.-22 D.2√2 3 3 【答案】D 【详解】5cosa=sn分，则3cosa=sm2%-1-cos0 2， 即6cos2a+cosa-1=0,即(3c0sa-1)(2cosa+1)=0, 解得cosa=。或cosa= 2π 1 因为a∈0 所以cosa= 3 1 则sina=V1-cos2a= 2√2 22 所以tana= sina 3=2√2 cosa 3 故选：D 【题型03：二倍角公式的综合】 15. sin25sin65 的值为() 2c0s220°-1 A.1 B.2 C.-1 D.1 2 【答案】B 【详解】由题意有： sin25sin65°_sin25sin(90°-25）sin25°cos25° 2c0s220°-1 cos 40 cos40 1 2 sin50 1sin90°-40）1cos40°1， cos 40" cos40 2c0s40°2 故选：B 16.化简 1-sina \1+sina +sina的结果是（) V1-sina 2 9 2sina A. c 2cosa 2sina D. cosa cosa sina cosa 【答案】D 1-2sin cos 【详解】由题 1-sina 1+sina 2 2 1+sina 11-sina 1+2sin。 cos 1-2sin -cos 2 2 7/37 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 、2 sin a -cos +cos sin- -cos sin +cos 2 2 2 2 、3 sin +cos sin -cos sin 2 2 sin +cos 2 2 -cos sin 2 2 (1-sin0）-(1+sina） 2sina 20 sin 2 a 2-cos2 a cosa 故选：D 1-tan 17.已知a∈(0，π)，3sina+cosa=1,则一 2=(） 1+tan 2 A.-2 B.2 c D. 【答案】C 【胖解】因aQ.小.则号e0引am号>0co>0 2 3sina+cosa=16sin coscos-sin=cos+sin 2 2 2 2 2 →6 sinco=2sin2g→6tang=2tan2g →tang=3 2 2 2 2 2 2 1-tan 则 2_1-31 n1+32 1+tan 2 故选：C 18.己知a∈ ,B∈0，，且ana=1+s2 0, 4 cos2B ,则a-B= 【答案】牙 【分析】 【详解】根据二倍角公式：sin2p=2 sin B cos B,cos2B=cos2B-sin2B. 又因为sin2B+cos2B=1, 1+sin B 所以ana-1+sn2_cosB+snB-cos6+mB_1+cosB-1+amB】 cos2β cos2B-sin'B cos B-sin B 1sin B 1-tan B' cosβ 所以tana(1-tanB）=l+tanB, 8/37 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 整理得ana-tanB=l+tan c tanB,所以tan(a-B)=ana-tanB =1, 1+tan a tan B 又因为u∈ B引则a-B(引所以u-B- 故答案为： 元一4 19.已知a∈ -2V5 2,πsina= 5 π 求s(2 +)的值： cosa+π) ②求m话-2a)的信 【答案】(1)2 235-4 10 【分析】 【详解】(1)因为a∈ sma-25,所以ma--ma:5 π 5 5 3π cos( 25 +a) 2 sina 5 所以 =2 cos(a+π) -cosa 5 (2)由(1)知sin2a=2 sina cosa=2× 25 5、 4 -×(- 5 5 c0os2a=2cos2a-1=2x52-1=-3. 5 5 又Cos 57」 π.π in-5, 1 6 s(2+3-sin3 co 之之 (23=cos 32’ 所以cos5 6 --2a)=cos SIc 6cos2a+sin 5s -sin 2a 6 6 ( 3+x=35-4 2x( = 52 5 10 20.若不在坐标轴上的点eos2a,万血)关于直线=r的对称点为An(B+母)4 in+2则 tan(a+B)=() A.0或2 B.2 C.0或号 D.2 【答案】D 9/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cos 2a =4 sin a cosa +2 【详解】由题意得 V2sin B=sinB+ 4 cos'a-sin'a-4sina cosa 1-tan'a-4tana=2 得 sin2a+cos2a tan2a+1 V2sin B=2 inB+ -cos B 2 2 解得 tana=-l或-1 3, tanβ=l 当tana=-1时，cos2a=0,A在y轴上，舍去 1 tana = 所以 ,放ma+-8-分 tanβ=1 故选：D 21.已知幂函数f(x)=x-2m(m∈Z),在区间(0，+o)上是单调减函数.若f(sina+cosa=5,a∈(0，π) ,则f(sina-cosa= 【笞案】 〔详解1由题意可得22m<0,解得0<m<2,又m€Z,所以m=1,所以/y号 1 1 f(sina+cosa)= =5，所以sina+c0sa=。 sina +cosa 所以(sina+cosa2=1+2 sinacosa= 24 →2 sina cosa= 25 25 所以1-2 sina cosa= ,即(sina-cosa)2= 49 25 24 圆为a∈0，元，2 sinco三sin2a=75<0,所以g9 所以sina>0,cosa<0,sina-cosa>0, 所以sina-cosa=5' 所以f(sina-cosa）= 7 故答案为：气 【题型04：辅助角公式及其应用】 22. cos10°-V5sin10°的值为() sin20° 10/37