8.2.3 倍角公式（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步复习（人教B版）

必修第三册 数学B 8.2.3 倍角公式 课程标准 素养解读 1.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程 通过学习倍角的正弦、余弦、正切公式，提升数 2.能够灵活运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 学逻辑推理和数学运算素养 求值、证明 课前。预习学案 [情境引入] 3.你能用2a的余弦表示出sin2a、cos2a吗？ 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，若令α=B,你能 得出什么结论？ 2tan 4 a .2sin号cos,cos号-si 3 的结 [知识梳理] 1-tan2a [知识点] 二倍角的正弦、余弦、正切公式 果分别是什么？对二倍角中的“二倍”你如何 函数 公式 a=3 简记符号 理解？ 正弦 sin 2a= S+3 Si cos 2a= 余弦 C+ Cx 正切 tan 2a- T(a Toa [预习自测] ?思考1.在推导二倍角公式的过程中，二倍角的正 1.sin105°cos105的值为 弦、余弦、正切公式中的角α对于任意角均成 立吗？ A日 B子 c D.③ 4 2.计算1-2sin222.5°的结果等于 A号 B② 2.sin2a,cos2a,tan2a的公式中，2a是a的倍角，角 α一定为具体角吗？如何理解倍角的含义呢？ c 3.,tan82°-tan22 1+tan 82tan 22 ( A.√3 B. 3 C.1 D. 2 ·76· 第八章向量的数量积与三角恒等变换 课堂。互动学案 题型 给角求值 题型二 给值求值 [例1门求下列各式的值， [例2]若cos 求in22sin'二的值. (2) -c0s2 1-tan 89 汇思路点拨]化简所求式，使其出现角 (3)tan12 整体代入求解。 [思路点拨] 先分析式子结构特征，再变形运用 公式求值， 规律方法 解决给值求值问题的方法 给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的 联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明 朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使 规律方法 用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 对于给角求值问题，一般有两类 (3)注意几种公式的灵活应用，如： (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和 ①sin2x=cos(2-2）=c0s[2( 一x)] 同角三角函数的基本关系对已知式进行转化， 一般可以化为特殊角. =2c0s(-x)-1=1-2sim2(年-20： (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则 一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中， ②cos2x=sin(受-2x)=sin[2(-x)] 需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条 件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式 =2sin(元-x)cos(T-x). 的形式 ⊙[变式训练] ◇[变式训练] 2.(1)若sina= ，tan(a+)=l,且a是第二象限 3 1.(1)sin12cos12 角，则tan23的值为 2tan150° (2) 1-tan2150 (2)已知sinm(年-x)=员0<x<至，则 (3)若a∈（受，x),且3cos2a=sin(买-a),则 cos 22 一的值为 sin 2a- cos(+ 4 ·77· 必修第三册 数学B 题型 化简与证明 ◇[变式训练] 1 [例3]化简：1)-tan91+tan0 1+sin 4a-cos 4a=tan 2a. 3.求证：1十sin4a+cos4a (2)}+sin4a十cos4a 1+sin 4a-cos 4a [思路点拔统一角，化倍角为单角.4a=2X2a 规律方法 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法 ①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或 升幂；③-个重要结论：(sin0土cos0)2=1土 sin 20. (2)证明三角恒等式的方法 ①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比 较法，左边一右边=0，左边/右边=1；③分析法， 从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条 件. ● 随堂。步步夯实 1.1-2sin22.5°等于 ( 5.已知tana=2. A号 B号 1)求ana+)的值： (2)求 sin 2a 吗 的值. c. sin2 a+sinacos a-cos 2a-1 2.函数f(x)=sin xcos x的最小值是 A.1 B.-1 c日 3.(as危s加)(os意sm)的值为 C温馨提 4.已知sin0= 5sin0osf0,则sin20= 学习至此，请完成配套训练 ·78·3.A[由已知，得tanA+tanB=√3(tan Atan B-1),即 tan A+tan B -√5，∴.tan(A+B)=-√5， 1-tan Atan B ∴.tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=√3， C=牙] 4.解析：tan22°+tan23°(1+tan22°) =tan22°+tan23°+tan22°tan23° =tan(22°+23°)(1-tan22tan23°)+tan22°tan23°=tan45 (1-tan22°tan23)+tan22tan23°=1. 答案：1 5.解：由已知得tana+tang=-3√3， (tana·tan3=4, iana.an月均为负一空<a<0,-受<g0 2 ,∴.tan(a+B)= tan atanB -35=5. 1-tan atan B 1-4 -π<a+B<0,a十B= 2π 31 8.2.3倍角公式 课前预习学案 情境引入 提示：sin(a十a)=sin acos a-+cos asin a=2 sin acos a,即sin 2a=2sin acos a. cos (a+a)=cos acos a-sin asin a=cos2a-sin2a, cos 2a=cos a-sina. tan (a +a)= tana十tana= tan atan1-tan2。,即tan2a 2tan a 1-tan2a 知识梳理 2sin acosa cos2a sin2a 2cos2a -1 1 -2sin2a 2tan a 1-tan a [思考] 1.提示：sin2a,cos2a中a为任意角，tan2a中，2a≠kx十 2 即a≠经+至k∈Z 2.提示：角α不一定是具体角，也可为角的关系式，二倍角 只是相时的，如4a是2a的二倍，a是受的二倍，2a+号是 十石的二倍。 3.提示：由os2a=1-2sim2a得sin2a=1-cs24, 2 由c0s2a=2c0s2a-1得cos2a=1+c0s2e 2 4提示：三式的结果分别是n,m号an号二倍角中 的“二倍”是相对的，只要公式中两个角是二倍的关系即 可，并不限定为a,2a. 预习自测 1.B[sin105°cos105=7sin210°=7sin180°+30)= 2sin30°=-子] 2.B1-2sim22.5°=cos45°=9.] 21 3.A[tan82°-tan22 -1+tan82°tan22 =tan(82°-22)=tan60°=√3.] ·19 参考答案 课堂互动学案 2π [例1][解](1)原式=- 5 如登 1 1 sin (2)原式=- (2s'答-1）- =一 41 tam‘-1-20-tam8) (3)原式= an竞 2tan12 1 =-2· an(2x)】 =一2 =-25. an晋 变式训练 1.解析：(1)原式= (2)原式=tan(2×150)=tan300°=tan(360°-60) =-tan60°=-√5. (3)由3c0s2a=sin(至-a0. 可得3ams2a=号(cos。-Sn0. 即3(cos2a-sina)= 2 (cos a-sin a). ”a∈（受x)osa一sma≠0. 上式可化为sina十osa=巨， 6 两边平方可得1+sin2a=18 1 .'sin 2a=- 17 181 答案：1 2)-5(3)品 [例2][解] sin 2x-2sin2x 1+tan x 2sin x(cos x-sin x)cos x cos x+sin x -sin 2r(cos x-sin c) cos x+sin x =sin 2x iFtan x 1-tan x =n2am(径-t =os(受-2x小am(货-） -[2cos(T-）]小an(T-小片 必修第三册 又：s(受-x-告， ain(停-子m(任-小是 “原式=(2×号-)）×（是）=品 变式训练 2.(1)解析：由sina= ，且a是第二象限角，可得cosa 3 4 3 -5,所以tana=-， 所以tanB=tan[(a十3)-a] tan(a+3)-tan a 1-(-3) 4 =7, 1+tan(a+8tana 1+1x(-3) 所以tan2B= 2tan B 7 1-tanB 一24 答案：一员 (2)解析：0<<0<-< 又：sin(-x)= 5 4 “cos2x=sin(5-2x) 2 =2sin( 4 -cos(-） =2cs[受-（-x]cos( 、4 4 -x） =2os(+xc0s(-， .'.-cos 2.c cos(+) 答案得 [例3][解] (1)原式=+tan)--tan) (1-tan8)(1+tan8) 2tan =tan 20. 1-tan20 (2)原式= 1+2sin 2acos 2a+2cos22a-1 1+2sin 2acos 2a+2sin22a-1 2cos22a+2cos 2asin 2a 2sin22a+2sin 2acos 2a 2cos 2a(cos 2a+sin 2a) 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) = 1 tan 2a 变式训练 3.证明：法-：左边=+C0s4)+m4a (1-cos 4a)+sin 4a 2sin22a+2sin 2acos 2a 2cos22a+2sin 2acos 2a 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) =tan2a=右边. 数学B 法二：左边=1十sin4a-(1-2sin22a) 1+sin 4a+(2cos22a-1) 2sin 2acos 2a++2sin22a 2sin 2acos 2a+2cos22a 2sin 2a(sin 2a+cos 2a) =tan2a=右边， 2cos 2a(sin 2a+cos 2a) 随堂步步夯实 1.B[1-2sin222.5°=cos(2×22.5) 2.D[函数f(.x)=sin xcos c= 1 2 sin 2r, f(r)min=- 3解标：原式=o音竞=os吾- 21 答案号 4.解析：：sin0=4>0,sin0cos0<0,cos0<0. .∴.c0s0= -√1-sin0=- .·sin20=2sin0cos0= 3 24 25 答案：器 5.解：tam(e+） tana十tan4 .=tan a+1 1- tan atan 1-tan a =2+1-3. 1-2 (2) sin 2a sin2 a+sin acos a-cos 2a-1 2sin acos a sin2 a+sin acos a-(2cos2 a-1)-1 2sin acos a sin2 a+sin acos a -2cos2 a 2tan a tan2 a+tan a-2 2×2 = =1 22+2-2 8.2.4 三角恒等变换的应用 课前预习学案 情境引入 1.提示：根据倍角公式，sin2a= 2(1-cos2a), cos'a-(1+cos 2a),tancos 2a 1-cos 2a 2 1 .1 2.提示：sim号=合1-msa).s号=号1+osa,iam3 a1-cos a 21+cos a 知识梳理 知识点一，(1)二cos :1十cosa 1-cos a 2 2 1+cos a 知识点二、l.sin a cos3士cos asin B cos acos B干sin asin3 tana士tan3 2.2sin acos a cos2a-sin2a 1-2sin2a l干tan atan3 2cos2-1 2tan a 3.士 /1-cos a 1-tana 2 /1+cos a 1-cos a 入V1+cosa 122