专题01 多边形与平行四边形（九大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01多边形与平行四边形 目录 典例讲解 类型一、多边形的内外角度计算 类型二、正多边形的角度计算 类型三、利用平行四边形的性质求角度或长度 类型四、平行四边形的折叠问题 类型五、平行四边形的旋转问题 类型六、平行四边形的添条件与判定 类型七、一次函数与平行四边形 类型八、平行四边形与多结论问题 类型九、平行四边形的性质与判定的综合 压轴专练 典例详解 类型一、多边形的内外角度计算 处理方式：牢记多边形核心公式一内角和为n-2×180°(m为边数)，外角和恒为360°。先根据题 意确定已知条件与所求，明确边数或未知角，代入公式计算，结合图形特征校验，确保结果符合多边 形角的取值规律。 【例1】一个凸九边形中有三个内角分别为75°，85°，95°，则它的其它内角的度数不可能为()， A.105° B.115° C.125 D.135° 【答案】A 【分析】 1/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9-2×180°=1260° 【详解】解：九边形内角和为 有三个内角之和为75+85+95=255°， ∴剩下六个角之和为1260-255=1005°， 设其中一个角为x°，则剩下五个角之和为1005°-°， “凸多边形每个内角都小于180°， .1005-X<180×5, 解得，x>105,只有选项A不满足. 故选：A. 【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°.求这个多边形的边数和总对角线条数. 【答案】这个多边形的边数是7，总对角线条数是14 【分析】 【详解】解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得m-2×180°=360×3-180 解得n=7,即这个多边形的边数为7. 7×7-3) 总对角线条数为2 =14 【变式1-1】如图∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的三个外角，若∠A+∠B=225°，则∠1+∠2+∠3= () 20 D B A.225° B.180° C.145o D.325° 【答案】A 【分析】 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：(5-2)×180°=540°， ∠1+∠2+∠3=(180°-∠BCD)+(I80°-∠CDE)+(180°-∠AED) =540°-（∠BCD+∠CDE+∠AED), 2/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCD+∠CDE+∠AED=540°-（∠A+∠B) ∠1+∠2+∠3=540°-(540°-225)=225° 故选：A. 【变式1-2】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上.若六边形的每个内角都相等，且∠1=19°， 则∠2= 【答案】41° 【分析】 【详解】解：如图，延长BA交GE于点H,则∠GAH=∠I=19°. B A 六边形 的每个内角都相等， 人2 G H ABCDEF ·其每个外角都相等， ∠AFH=∠FAH=360 6 =60°， :.∠AHF=180°-60°-60°=60° ∠AGH=∠AHF-∠GAH=41° AG∥MN, ∴.∠2=∠AGH=41° 故答案为：41° 【变式1-3】请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结 果为1440°：乙：甲的边数与我的边数之比为1：3 (1)求甲与乙的外角和相加的度数： (2)分别求出甲与乙的边数， 3/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)720° (2)甲的边数为3，乙的边数为9 【分析】 【详解】(1)解：：多边形外角和都为360度， ∴.甲与乙的外角和相加的度数为360°+360°=720°： (2)解：设甲的边数为1，则乙的边数为3n, 180n-2)+180(3n-2)=1440 由题意得， 解得n=3, .3n=9, 甲的边数为3，乙的边数为9. 今类型二、正多边形的角度计算 ,0+B 【例3】如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为() A.142° B.152° C.162° D.172° 【答案】C 【详解】解：如图， -3 4 21 由题意得，∠1=80文5=108°，2=90’ 5 ∠3+∠4=360°-∠1-∠2=360°-108°-90°=162°， 4/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=∠3∠B=∠4 ∠a+∠B=∠3+∠4=162° 故选：C 【例4】数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究. 图-1 图-2 (1)如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成 一个正多边形，则n=一· (2)如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ∠1+∠3-∠2= 【答案】 624°/24度 【分析】 【详解】解：(1)正六边形的每个外角为6 360°=60°，每个内角为180-60°=120°， ∴.n个正六边形围成一圈时，中间正多边形的一个内角为360°-2×120°=120°， 360° :中间的正多边形的边数为180-120°=6， .n=6: 故答案为：6： 60 608 (2)正三角形的内角为60°， 正方形的内角为90°， 正五边形的内角为180°-360 =1080 5/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 正六边形的内角为180°-360 =120° .∠1=120°-108°=12°，∠2=108°-90°=18°，∠3=90°-60°=30°， ∴.∠1+∠3-∠2=12°+30°-18°=24°. 故答案为：24° 【变式2-1】如图，正五边形ABCDE的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶 角（如∠CAD)的度数是一 D 【答案】36 【详解】解：五边形ABCDE是正五边形， &∠ABC=∠BAE=∠AED==108°，AB=BC=AE=DE, 5 ∠BCA=∠B4C=180°，108-=36°，∠EAD=∠BDA=180P,108 2 =36°， ,∠CAD=∠BAE-∠BAC-∠EAD=108°-36°-36°=36°， 即该正五角星的每个顶角的度数是36°， 故答案为：36°」 【变式2-2】已知，如图正五边形ABCDE,点M、N、P分别是边CD、DE、AE的中点，则∠MPN= M B 【答案】36°/36度 【分析】 【详解】解：如图，连接MN, 6/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N M B 正五边形ABCDE, ·∠D=∠E=5-2x180 =108°，CD=DE=AE' :点M、N、P分别是边CD、DE、AE的中点， DM-CD.DN-E-DE.EP-AF. .DM=DN=EN=EP, ∠EP=180P,2E=36,∠DNM=180°，ZD=36, 2 2 ∠PNM=180°-36°-36°=108°， 'DM=EP,∠D=∠E,DN=EN, △DMN≌EPN(SAS) .MN PN, ∠MPN=180°-∠PNM=36 故答案为：36°. 【变式2-3】如下图，已知正五边形ABCDE,AF∥CD,交DB的延长线于点F.求∠BAF的度数. E 【答案】36 【分析】 【详解】解：：五边形ABCDE是正五边形， 7/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴CD=CB' ∠ABC=∠DCB=(5-2x180 =108°， U ∠CDB=∠CBD=180°，108°=36， 2 ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=108°-36°=72°， AF∥CD, ∴.∠AFD=∠CDB=36° ∴.∠BAF=∠ABD-∠AFB=72°-36°=36° 类型三、利用平行四边形的性质求角度或线段 处理方式：紧扣平行四边形核心性质一对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。 结合已知条件，灵活运用这些性质转化所求，必要时联动平行线角度关系，逐步推导线段长度或角度大 小。 【例5】如图，EF过口ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F.若口ABCD的周长是36， OE=3,则四边形ABFE的周长为一· A E 【答案】24 【分析】 【详解】解：：四边形ABCD是平行四边形， ,AO=CO,AD∥BC, ∴.∠EAO=∠FCO 在△AOE和△COF中： ∠AOE=∠COF AO=CO ∠EAO=∠FCO .∴△AOE≌△COF(ASA0, ..OE=OF=3,AE=CF, 8/75 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EF=6 ABCD的周长是36， ,AB+BC=18, ∴四边形ABFE的周长=AB+BF+AE+EF=AB+BF+CF+EF=AB+BC+EF=I8+6=24. 故答案为：24. 【例6】如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O.若AB=4,AC=6,BD=10,则BC的长为 D 【答案】 2V13 【分析】 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， 0A-oc-4C=3,08=0n=D=5. 在△ABO中， AB=4,OA=3,OB=5, 4B+0A2=0B ·△AB0是直角三角形，且∠BAO=90°. 在Rt△ABC中， BC=VAB2+AC2=V42+62=2W13 故答案为： 213 【变式31】如图，点AQ是平行四边形BC0的边8、D上一点，且PC=C0,DR0 相交于R, 连接RC,且RC恰好平分∠DRD,若B=3B0=5 BO ,则点C到的距离为( 9/75 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D R 3 √6I A.2 B.2 c.4 D.2 【答案】D CE⊥BO CF⊥PD 【详解】解：如图所示，过点C作 于点E, 于点F, :Ro ∠BRD CE⊥BQCF⊥PD 平分 ..CF=CE: ,四边形ABCD是平行四边形，且点P、Q是平行四边形ABCD的边AB、AD上一点， S平行电58CS.D-2S年行6D,CD=AB=3' 1 S.BCO=2 S.uce=S.PCD PD-CF-BQ-CE. 1 PD=BO=5 PC=CD,CF⊥PD, DF-PD 2 CF=-VCD2-DF-= 2, CE=vil 2, ∴点C到BQ的距离为2， 故选：D. 10/75 专题01 多边形与平行四边形 目录 典例讲解 类型一、多边形的内外角度计算 类型二、正多边形的角度计算 类型三、利用平行四边形的性质求角度或长度 类型四、平行四边形的折叠问题 类型五、平行四边形的旋转问题 类型六、平行四边形的添条件与判定 类型七、一次函数与平行四边形 类型八、平行四边形与多结论问题 类型九、平行四边形的性质与判定的综合 压轴专练 类型一、多边形的内外角度计算 处理方式：牢记多边形核心公式——内角和为（n为边数），外角和恒为360°。先根据题意确定已知条件与所求，明确边数n或未知角，代入公式计算，结合图形特征校验，确保结果符合多边形角的取值规律。 【例1】一个凸九边形中有三个内角分别为，，，则它的其它内角的度数不可能为（   ）． A． B． C． D． 【例2】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少．求这个多边形的边数和总对角线条数． 【变式1-1】如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每个内角都相等，且，则 ． 【变式1-3】请根据下面甲与乙的对话解答下列问题：甲：我和乙都是多边形，我们俩的内角和相加的结果为；乙：甲的边数与我的边数之比为． (1)求甲与乙的外角和相加的度数； (2)分别求出甲与乙的边数． 类型二、正多边形的角度计算 【例3】如图，正五边形与正方形的两邻边相交，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【例4】数学小组就正多边形的拼接与重叠展开研究． （1）如图-1，用个全等的正六边形进行拼接，使相邻两个正六边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正多边形，则 ． （2）如图-2，平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边完全重叠在一起，则 ． 【变式2-1】如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），该正五角星的每个顶角（如）的度数是 ． 【变式2-2】已知，如图正五边形，点、、分别是边、、的中点，则 ． 【变式2-3】如下图，已知正五边形，，交的延长线于点．求的度数． 类型三、利用平行四边形的性质求角度或线段 处理方式：紧扣平行四边形核心性质 —— 对边平行且相等、对角相等、邻角互补、对角线互相平分。结合已知条件，灵活运用这些性质转化所求，必要时联动平行线角度关系，逐步推导线段长度或角度大小。 【例5】如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 【例6】如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【变式3-1】如图，点P、Q是平行四边形的边上一点，且，相交于R，连接，且恰好平分，若，则点C到的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【变式3-2】图①是小蒲周末学做的小蛋糕，每一块小蛋糕的上表面可看作是四边形ABCD，小蒲沿小蛋糕的对角线划了一个十字花（如图②）．已知AC与BD互相平分且交于点O，，，，则一块小蛋糕的上表面ABCD的面积为 ． 【变式3-3】如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为 ． 类型四、平行四边形的折叠问题 处理方式：抓住折叠全等特性，对应边、角相等。结合平行四边形对边平行且相等、对角相等的性质，转化已知条件，利用等腰三角形或直角三角形边角关系，推导求解线段长度或角度大小。 【例7】如图，在中，，，E，H分别为边，上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C．若，，则的长为 ． 【例8】将一个平行四边形纸片进行折叠，第一次折叠经过点A，使的两边重合，折痕交边于点E，第二次折叠经过点B，使的两边重合，折痕交边于点F，如图是一种折叠后的效果，当点，，，相邻两点间的距离相等时，若，则的长为（  ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或12 【变式4-1】如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ． 【变式4-2】如图，在中，，，E、H分别为边上一点，将沿翻折，使得的对应线段经过点C，若，，则的长度为 ． 【变式4-3】如图，将先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的A′处，C点落在E处，连结，．若恰有，则 ． 类型五、平行四边形的旋转问题 【例9】如图由个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点，，均在格点上，是与网格线的交点，将绕着点顺时针旋转．以下是嘉嘉和淇淇得出的结论，下列判断正确的是（    ）    嘉嘉：旋转后的三角形的三个顶点均在格点上； 淇淇：旋转前后两个三角形可形成平行四边形 A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对 【例10】如图，的顶点O是原点，A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和中心．将绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为(    )    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在中，，，将绕O点逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是 ． 【变式5-2】如图，绕点按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，和相交于点，则的度数是 ． 【变式5-3】如图，平行四边形中，，对角线相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．    (1)证明：当时，四边形是平行四边形； (2)试说明在旋转过程中，与总保持相等； (3)在旋转过程中，当首次时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数． 类型六、平行四边形的添条件与判定 【例11】如图，点，是平行四边形对角线上两点，在条件；；；中，添加一个条件，使四边形是平行四边形，可添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【例12】如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【变式6-1】如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【变式6-2】如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式6-3】如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 类型七、一次函数与平行四边形 【例13】如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【例14】如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数（）的图象，直线是一次函数（）的图象，点是两直线的交点，点、、、分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用、分别表示点、、的坐标，并求的度数． (2)若四边形的面积是，且，试求点的坐标，并求出直线与的函数表达式． (3)在（）的条件下，是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，一次函数的图象和正比例函数的图象平行，直线过点，且分别与x轴和y轴交于点A和点B．    (1)求一次函数的解析式． (2)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________． (3)在正比例函数的图象上是否存在一点P，使得以A，B，O，P四点构成的四边形为平行四边形，若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点是射线上的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点． (1)___________； (2)求的面积； (3)试探究射线上是否存在特定的点，使得四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式及该函数图象与轴的交点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求的取值范围； (3)已知点的坐标为，在平面直角坐标系中存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 类型八、平行四边形与多结论问题 【例15】如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别是点D，E，点F是边的中点，连接．则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，则下列结论中： ①； ②； ③； ④ 一定成立的有的结论有 ．（填正确结论的序号） 【变式8-1】如图，在中，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，过、两点作直线交于点，交于点、，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，四边形是平行四边形，点是边上一点，且，交于点，是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确结论的序号是 ．（把正确结论的序号都填上） 【变式8-3】如图，平行四边形中，，点O是和的平分线的交点，过点O作，分别交于E、F两点，连接．以下结论： ①； ②点O是的中点； ③四边形的周长是四边形的周长的2倍； ④． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 类型九、平行四边形的性质与判定的综合 【例17】如图，E是的边上的点，连接是的中点，连接并延长交于点F，连接与相交于点P，若，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【例18】如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【变式9-1】如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为 ． 【变式9-2】如图，已知中，，若，，点是边上的一个动点，以为折痕将折叠得到，与边交于点，当为直角三角形时，则的长为 ． 【变式9-3】如图，在中，，是的平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，沿射线方向以的速度运动．当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为． (1)求的长． (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 2．在中，为边的一点．动点从点出发以的速度，沿匀速运动，运动到点时停止．设点的运动时间为，线段的长为与的函数图像如图2所示，则的面积为（   ） A．3 B． C． D．4 3．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E， ，，，则的长为（　　） A．4.8 B． C． D． 4．已知四边形是平行四边形，，的平分线，分别交边于点E，F．若，，则的长为（　　） A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或7 5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 二、填空题 6．如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为 ． 7．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，，过点O作分别交于点E、F，若，则的长为 ． 8．如图，四边形是平行四边形，，，点是线段上一点，把沿折叠，点的对应点为，连接．若为等边三角形，则 ． 9．如图，已知与关于点O成中心对称，过点O作直线MN分别交AD，BC于点M，N．现有下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤和关于点O成中心对称．其中正确的有 （填序号）． 三、解答题 10．如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接． (1)将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形： (2)在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形． 11．如图，在四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 12．如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接． (1)完成填空：线段与的数量关系是___________； (2)当时， ①求的大小； ②若为的中点，连接，直接表示与的数量关系． 13．平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $