2026年中考数学二轮专题复习--面积问题（二次函数综合）

2026年中考数学二轮专题复习--面积问题（二次函数综合） 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 2．（24-25九年级上·河北廊坊·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点A和B．点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 4．（25-26九年级上·山西朔州·月考）已知二次函数的图像如图所示，对称轴为直线，该图像与轴负半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，则的值为（    ） A． B． C．3 D．4 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 7．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，二次函数与轴交于两点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点从点出发向点运动，点在上，且，则图中阴影部分面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且．点在抛物线上，的面积为4．将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为，抛物线与轴交于，两点，则的面积是（   ） A．2 B．4 C． D． 9．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于，两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，，记的面积为，的面积为，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 10．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，下列结论：正确的是（   ） ①点的坐标分别是和 ②点为，当时，． ③抛物线上存在点（除外），使得的面积与面积相等的点有3个． ④点是抛物线对称轴上一点，当是直角三角形时，点的纵坐标分别是． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．（25-26九年级上·福建莆田·期中）已知抛物线的顶点为P，A、B、C、D是抛物线上的四点，且线段都垂直于抛物线的对称轴．如果，那么的值等于 ． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为 ． 13．（25-26九年级上·上海浦东新·月考）如图所示，二次函数的图象与x轴分别交于A，D两点，与y轴交于点C，点E坐标，过点E且垂直x轴的直线交抛物线于点B，若，则 ． 14．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，将抛物线：沿x轴对称后，向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到抛物线，若抛物线的顶点为A，点P是抛物线上一点，则的面积的最小值为 ． 15．（25-26九年级上·山东德州·期中）如图，已知；函数与函数的交点为函数的顶点，阴影部分的面积为，则函数的解析式为 ． 三、解答题 16．（25-26九年级上·天津东丽·期末）已知：二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点P，使周长最小，求P点坐标； (3)Q为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； 17．（24-25九年级上·广东深圳·期中）已知二次函数的图象经过点，． (1)求二次函数的表达式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； (3)若点是二次函数的图象上一点，线段交轴于点，为原点，的面积是的面积的倍，则点的坐标为 ． 18．（25-26九年级上·贵州黔西·期末）已知二次函数的图象经过点和， (1)求该二次函数的解析式及对称轴； (2)若点是该二次函数图象与轴的交点，点是第四象限内二次函数上的点（不与、重合），连接、、，求面积的最大值． 19．（25-26九年级上·四川南充·期末）点在经过，，的抛物线上，且满足． (1)求抛物线的解析式． (2)求点的坐标． (3)如图2，点在直线上方拋物线上，是射线上一点，连接交抛物线于点，且，当四边形面积最大时，求的坐标． 20．（25-26九年级上·天津和平·期末）已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点．点为第一象限抛物线上的点，连接． (1)直接写出结果；_____，_____，_____； (2)在（1）中的抛物线上的第一象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若没有，请说明理由． (3)如图，点在轴负半轴上，，点为抛物线上一点，．点，分别为的边上的动点，且，记的最小值为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮专题复习--面积问题（二次函数综合）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C A A C B D C C 1．C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，根据题意求得S关于点P横坐标的函数关系式是解题的关键．先求得点A和B的坐标，由于点P是线段上一点，不妨设P的坐标为，从而可知，，再由点A和B的坐标可知m的取值范围，然后由面积公式得到S关于m的函数关系式，最后由二次函数的性质即可求出S的范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点A和B， ∴， 解得或， 即，， ∵点P是线段上一点， ∴不妨设点P的坐标为，且， ∴，， ∴ ∵，， ∴当时，S取得最大值，最大值为2， 当或时，S取得最小值，最小值为， ∴S的取值范围为； 故选：C． 3．C 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 4．A 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数图像的对称轴确定点的坐标，易得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该二次函数的图像的对称轴为直线，且与轴负半轴交于点， 则与轴正半轴的交点的坐标为， ∴， ∴． 故选：A． 5．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则 ， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 7．B 【分析】先证明四边形是正方形，将绕点顺时针旋转，得到进而证得，当最短时，的面积最小，进而即可求得阴影部分的面积最小值． 【详解】解：如图， 由题意，令， 解得， ∴， 令， 解得， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴、、共线， ∴， ∵， ∴， 作的外接圆，作于， 设， ∴， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选： B． 【点睛】本题考查了二次函数的总和问题，正方形的性质与判定，旋转的性质，三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．D 【分析】本题考查了二次函数图象平移的性质，掌握函数图象平移规律，求根公式计算出两根，系数的关系，二次函数与轴两交点的距离是解题的关键． 根据，可得，由，令，用求根公式得到两个交点横坐标的值，由此可得，则，再根据平移的性质可得，即点到轴的距离为2，根据函数图象平移得到平移后的二次函数，令，可得，由此可得，结合图形面积公式计算，由此即可求解． 【详解】解：已知．点在抛物线上，的面积为4， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵点在二次函数图象上， ∴，则， ∴二次函数解析式为：， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴，设， ∴，则， ∴， 整理得，， ∵将该抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位后，点的对应点为， ∴， ∴设平移后的二次函数解析式为， ∴， 设平移后二次函数与轴的两个交点为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 9．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 先将转化为，再过点作轴的平行线交的延长线于点，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，． 过点作轴的平行线交的延长线于点， 轴， ∴， ， ． 当，则， 解方程得， ，， 点坐标为，点坐标为， ． 将代入得， ， 点的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， 直线的函数解析式为． 令点坐标为， 则， ， 则， ， 则当时， 有最大值为：， 则有最大值， 即的最大值为． 故选：C． 10．C 【分析】本题主要考查二次函数的性质、解一元二次方程和勾股定理得应用，①由题意得，即可求得点的坐标；②由题意求得、和，设时，求得，结合，可得或；③由点，可知点E的纵坐标为，解方程即可求得；④根据题意得对称轴为，设点，则、和，分、和，求解即可． 【详解】解：①由抛物线与轴交于点，则，解得，，则点的坐标分别是和，故①正确； ②由点，和，则，，， 当时，，则，解得， ∵， ∴或，故②错误； ③由抛物线与轴交于点，则， ∴， 使得的面积与面积相等，则点E的纵坐标为， 当，解得，， 当，解得，， 则除外，还有3个点使得的面积与面积相等；故③正确； ④由于抛物线的对称轴为， 设点，则，，， 当，则，解得； 当，则，解得； 当，则，解得； 故④正确； 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查抛物线的顶点式、对称轴性质，以及几何图形中三角形面积的计算，解题的关键在于理解线段与对称轴垂直的几何意义，进而确定点的坐标，计算面积比． 先根据抛物线的顶点式确定顶点坐标为和对称轴为直线，再根据对称轴性质设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，进而求得的纵坐标，以及，的纵坐标，再利用底和高的关系，求出面积比． 【详解】解：∵抛物线方程为， ∴顶点为，对称轴为直线， ∵线段、都垂直于抛物线的对称轴， ∴线段、为水平方向，中点在对称轴上， ∴设点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∴的纵坐标：， 的纵坐标为：， ∴的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， 的面积：底为，高为顶点到的垂直距离，面积为， ∴面积比为， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式以及解直角三角形，根据平移的性质得出平移后的抛物线的解析式以及求得点的坐标是解答本题的关键． 首先求得平移后的解析式，进而求得顶点的坐标，先根据点P所在的直线与抛物线只有一个交点求出点P所在直线的解析式，进而求出点的坐标，然后根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：， ∴顶点为， 将抛物线沿x轴对称后的抛物线的顶点为， 沿x轴对称后的抛物线的解析式为， 向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到抛物线 ， 设直线为，则， ∴， 直线为， 要使的面积最小，则点在平行于直线的直线上，且与抛物线只有一个交点， 设平行于直线，且与抛物线只有一个交点的直线为， 解， 整理得， ， ， ， ， 解，得， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题得关键． 依据题意，设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过点作轴于，连接，，由函数为，可得对称轴是直线，顶点为，又，，结合抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形，故利用对称性可得阴影部分的面积，则，又顶点在图象上，可得，进而求出的值，又，从而可得的值，即可求得解析式． 【详解】解：设函数的顶点为，图象与轴的另一交点为，过点作轴于，连接，， ∵函数为， ∴对称轴是直线，顶点为， ∴，， 又∵抛物线关于直线对称，函数图象也是轴对称图形， ∴利用对称性可得，阴影部分的面积， ∴， 又∵顶点为在图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴函数的解析式为：． 故答案为：． 16．(1) (2)点P (3) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质. （1）由待定系数法即可求解； （2）点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，则点P为所求点，然后求出点P的坐标即可； （3）过点Q作轴交于点H，求出直线的表达式为：，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：把代入得：， ∴， ∵， ∴点D关于抛物线的对称轴的对称点为点C，连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图所示： 则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， 则点P为所求点， 设直线的函数表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得，， 即点； （3）解：过点Q作轴交于点H，如图所示： 令， 解得：，， ∴点， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 17．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数表达式、画二次函数图象，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键 （1）利用待定系数法求二次函数解析式； （2）先确定抛物线的顶点坐标，然后利用描点法画出二次函数的图象； （3）设，利用三角形面积公式可得到点到轴的距离等于点到轴的倍，则，然后解方程可确定点坐标． 【详解】（1）解：将点，代入 得 解得： ∴二次函数的表达式为 （2）∵， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图， （3）设， 的面积是的面积的倍， 点到轴的距离等于点到轴的倍， ， 解得， 点坐标为或 ． 故答案为：或． 18．(1)，直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）将，代入二次函数求解即可； （2）先求出，进而求出直线解析式为，过E作轴交x轴于C，交直线于F，设，则，求出解析式，可知当时，有最大值，求出的面积，可知当最大时，的面积最大，即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：将，代入二次函数，得： ，解得：， 二次函数的解析式为， ∴对称轴为：直线； （2）解：当时，， 即， 设直线解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 即直线解析式为， 如图，过E作轴交x轴于C，交直线于F， 设，则， ∴， 可知当时，有最大值， ∵， ∴当最大时，的面积最大， 此时． 19．(1) (2) (3)当四边形面积最大时，点Q的坐标为 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，，得出，连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，证明，求出，从而得出，得出，再求出直线的解析式为，联立，求出点P的坐标即可； （3）求出直线的解析式为，得出，证明，根据，得出与间距离一定，根据为定值，得出的面积一定，说明当面积最大时，四边形的面积最大，过点T作轴，交于点N，设点T的坐标为，则点N的坐标为，得出，说明当时，的面积最大，即四边形的面积最大，求出点T的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，联立，求出点Q坐标即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，把，，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：把代入得： ， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点坐标，， ∴， 连接，过点A作于点D，延长，交x轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； （3）解：设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 根据解析（2）可知：直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴与间距离一定， ∵为定值， ∴的面积一定， ∵， ∴当面积最大时，四边形的面积最大， 过点T作轴，交于点N，如图所示： 设点T的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，即四边形的面积最大， 此时点T的坐标为：， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴当四边形面积最大时，点Q的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形的相关计算，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是数形结合，作出辅助线，熟练掌握二次函数的性质． 20．(1)，，； (2)存在， (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出、的值，得到抛物线解析式为，即可得到值，由可得，根据正切定义可求出； （2）过点作轴于点，可求直线，设，则，，再由可建立起关于的函数关系式，再由二次函数的性质求解最值； （3）作，且使，连接，证明得到，，，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 抛物线与轴交于、两点， ， ，， 在中，； 故答案为：，，； （2）解：存在， 过点作轴于点， 设直线， ∵点，， ∴， 解得， ∴直线， 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， 此时； （3）解：如图，作，且使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ，，共线时，的值最小， 作于点， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ∵，， ∴ ∴， ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与轴的交点、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $