1.8 三角函数的简单应用（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

1.8 三角函数的简单应用 题型一 A、ω、φ的概念与实际意义 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 2．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据频率的公式即可求解. 【详解】频率为， 故选：C 3．函数的周期，振幅，初相分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，2， 【答案】C 【解析】根据有关公式直接计算即可. 【详解】函数的周期为， 振幅为， 初相为. 故选C. 【点睛】一般地，()的周期，振幅为,初相为 4．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后即的振幅为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】由两角和的正弦函数公式先求得函数解析式，直接利用函数的性质，求出函数的振幅即可. 【详解】 利用函数的性质可得函数的振幅为： 故选： 【点睛】本题考查型函数的化简与振幅问题，属于基础题. 5．若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件得到四个顶点的坐标，然后列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】   令，，则，， 不妨取相邻四个最值所在的点分别为，，，，如图所示， 因为以为顶点的四边形恰好构成一个菱形， 所以，所以， 所以，即. 故答案为： 6．如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为 ．    【答案】 【分析】由频率确定周期，从而得到，再结合时，，即可求解. 【详解】因为频率，即，所以，故， 由已知可得当时，，解得，该函数的初相为． 故答案为： 7．函数的振幅是 ，图象最高点的坐标是 ． 【答案】 6 【分析】根据的性质求解即可． 【详解】由表达式知，振幅是6， 当，即时，函数取得最大值6． 故答案为：6 ；. 8．对于函数，其最值、周期分别与哪些参数有关？如果一个简谐运动，其解析式是，结合物理学知识，其振幅、周期、初相分别是多少？ 【答案】答案见解析 【详解】函数的最值与A有关，周期与ω有关； 对于简谐运动，其振幅等于3，周期是2，初相为. 9．已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位． 【答案】峰值是，周期是，频率是，初相位是． 【解析】根据题中所给函数关系，直接得出峰值，由周期公式，以及频率和初相位的概念，即可得出结果. 【详解】∵正弦交流电， ∴电流的峰值是， 周期是， 频率是， 初相位是． 题型二 已知模型图像解决实际问题 1．（多选）心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A． B．收缩压为 C．舒张压为 D．每分钟心跳80次 【答案】BCD 【分析】由正弦型函数的图像，即可求出周期与最值，进而求出频率，即可判断正误. 【详解】由题图知，，所以，可得，故选项A不正确； 所以，由题图知在一个周期内最大值为120，最小值为70， 所以收缩压为，舒张压为，故选项BC正确； 每分钟心跳数为频率，故选项D正确. 故选：BCD. 2．（多选）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．收缩压为120 C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次 【答案】BCD 【解析】由图象的周期可求出的值，可判断A，分别求最大值、最小值可判断选项B、C，计算频率可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】由图知：，所以，可得，故选项A不正确； 所以， 由图知在一个周期内最大值为，最小值为，所以收缩压为120，舒张压为70，故选项B、C正确； 每分钟心跳数为频率，故选项D正确， 故选：BCD. 3．如图为某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次? (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A算起呢? 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】根据周期的定义求解； 【详解】（1）由图像易知这个简谐运动从O点到D点往返一次，需要0.8 s； （2）如果从点O开始算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动，如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动. 综上，往返一次的时间是0.8s. 4．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？ 【答案】(1) (2)8小时 【分析】（1）由图易得和周期，由周期可求，然后代入最高点的坐标可求，从而求出解析式； （2）由题意可知，只要解此不等式即可得解. 【详解】（1）由图知，，，， 所以，将点代入得， 结合解得， 所以函数的解析式. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时货船可以停留在港口. 由得，得， 即， 当时，，当时，， 所以该船一天之内至多能在港口停留小时. 5．长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象． (1)根据图像，试求（，，）的表达式； (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！） 【答案】(1)， (2)应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时） 【分析】（1）结合函数图象，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解； （2）由（1）得到解析式，令求解. 【详解】（1）解：根据以上数据知，， 解得，； 由，解得， 所以； 由时，，即， 解得，即，； 所以，； 由，解得； 所以，； （2）令， 得， 即，； 解得，； 当时，， 所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售， 且单日室外销售时间最长不能超过（小时）． 题型三 已知模型解析式解决实际问题 1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期 故选：A. 2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 【答案】A 【分析】根据题意，当时求出即可. 【详解】由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期，当时，， 所以开始计时时该振子位移为，则该振子第一次到达位移最小点所用时间为． 故选：A. 3．电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的函数，代入求出函数值即可. 【详解】函数，当时，. 故选：A 4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是 m． 【答案】1 【分析】将代入函数解析式，即可得出答案. 【详解】解：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1， 即12点时潮水的高度是. 故答案为：1. 5．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式，其中的单位为，t的单位是，则12点时潮水的高度是 . 【答案】2 【分析】由实际问题的函数式，将直接代入求值即可. 【详解】由题意，将代入函数式，有. 故答案为：2. 6．如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 【答案】(1)位置在处，即平衡位置上方处； (2)最高、最低位置时的分别为2，； (3) (4)每秒钟小球能往复振动次. 【分析】（1）根据函数的解析式，即可作出其一个周期上的图象，令，即可求得小球在开始振动（即）时的位置在哪里. （2）根据函数的最大值和最小值，即可求得答案； （3）求出函数的周期，即得答案； （4）根据函数的频率为周期的倒数，即得答案. 【详解】（1）作出函数在一个周期的闭区间上的图象如图，    当时，，即小球在开始振动（即）时的位置在处，即平衡位置上方处； （2）的最大值为2，最小值为， 则小球的最高、最低位置时的分别为2，； （3）由于，故经过小球振动一次； （4）每秒钟小球能往复振动次. 题型一 几何中的三角函数模型 1．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】借助排除法，计算、可排除C、D，计算时的情况可得时图像不是线段，可排除A. 【详解】由题意可得，， 故，由此可排除C、D； 当时点在边上，，， 所以 ，可知时图像不是线段,可排除A，故选B． 故选：B. 2．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 【答案】D 【分析】根据题设可得且，结合图分析各项的正误. 【详解】如下图(OD与OP重合)，则阴影部分面积，且， 所以，A错； 由图知在旋转过程中阴影面积不断变大，不存在使得，B错； 当，则，C错； ，D对. 故选：D 3．（多选）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设动点与轴正方向夹角为，则求出，求出，求出每秒钟旋转的角度，证明时点纵坐标增大，，纵坐标减小，求出动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间. 【详解】 设与轴正方向夹角为， 则时，，故， 由于12秒旋转一周，所以每秒钟旋转， 在，，绕坐标原点沿逆时针方向旋转到位置， 所以点纵坐标增大，从旋转到时， ，，纵坐标减小， 在上，即从逆时针旋转至位置，动点纵坐标增大， 所以当时，纵坐标关于的函数的单调区间为和. 故选：AD. 4．（多选）如图，正方形的长为为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上为减函数 C． D．若为上的动点，且，则为定值 【答案】ACD 【分析】对于A选项，求出当时，函数的解析式，可判断选项的正误；对于B选项，利用的单调性可判断选项的正误；对于C选项，利用对称性可判断C选项的正误；对于D选项，结合旋转变换和全等知识可判断D选项正误． 【详解】对于选项，当时，设交于点， 所以，，A选项正确； 对于B选项，当时，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积显然逐渐增加，即函数在上单调递增，B选项错误； 对于选项，取的中点，连接， 设射线与正方形的边的交点为，作点关于直线的对称点， 则，所以，，    将射线绕点按顺时针方向旋转扫过正方形的面积为S， 由对称性可知，因为，即选项正确； 对于D选项，如图将三角形CBE绕C点顺时针至如图三角形CDF处， 注意到，，，则. 故， 又，则，故D正确.    故选：ACD． 5．如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 【答案】， 【分析】由题意，周期为2，秒钟后，旋转角为，求出点的横坐标，从而求出点到直线的距离. 【详解】设， 由题意得，所以，由起始位置得， 故点到直线的距离，. 故答案为：，. 6．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出一秒钟后的大小，利用三角函数知识可解决问题； （2）由（1）分析可表示出t秒钟后，点P的横坐标，然后可得答案. 【详解】（1）因运动速度为2秒一周，则每秒钟运动角度为. 初始位置为，与x轴正方向夹角为，则一秒后对应角度为. 则此时P的坐标为：，则横坐标为. （2）由（1）分析可得：t秒钟后，点P的横坐标为. 则t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式为：. 7．一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】(1)； (2)详见解析；元. 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 题型二 摩天轮（水车）模型 1．位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则 A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 【答案】C 【分析】根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作，．根据OE与OB的长度，求得的度数，即可得的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t． 【详解】根据题意，作，，如下图所示： 直径为，则， 所以 则 所以 ，即 所以 因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟 所以从A到B所需时间为分钟 所以选C 2．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 【答案】B 【分析】根据条件，求得或，再根据条件得或，利用的性质，即可求解. 【详解】因为中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即， 又，由，得到， 因为最低点到地面距离为，所以，得到， 又，则， 若，则， 由，得到， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 若，则， 由，得到，即， 所以，解得 令得到，又， 所以在摩天轮转动一圈内，点有分钟的时间距离地面超过， 故选：B. 3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的信息设出函数解析式，再逐一求出参数值即可. 【详解】依题意，设关于的函数解析式为， 由转盘半径为，得，由最低点距离地面高度为，得，解得， 由转一周大约需要，得，解得，又当时，， 即，而，解得， 因此，或，A正确，BCD错误. 故选：A 4．（多选）如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱P距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（   ）    A． B． C． D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为110米 【答案】AC 【分析】先由周期求出角速度 ，再利用初始位置（高度最小）确定相位 ，接着代入已知时间点的高度求出 ，最后验证各选项即可. 【详解】已知周期 分钟，故 ，选项A正确； 初始位置 时高度最小，代入 ，且 （），得 ， 即 ；代入 时 ， 得 ，解得 ，选项B错误； 当 时，，选项C正确； 最大高度为 米，选项D错误. 故选：AC 5．（多选）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（    ） A．摩天轮的轮盘直径为 B．关于的函数解析式为 C．关于的函数解析式为 D．游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过 【答案】ABD 【分析】根据已知及正弦型函数的性质求中的参数判断A、B、C，再解正弦不等式求离地面高度超过的时间范围判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面的高度为130m，最低点离地面的高度为10m， 所以摩天轮的轮盘直径为，故A正确； 对于B、C，因为，则， 令，则，由，解得， 所以，故B正确，C错误； 对于D，， 当离地面的高度超过40m时，即，则， 即，解得，又， 所以，所以游客有16min时间离地面的高度超过40m，故D正确. 故选：ABD 6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.    【答案】 或 【分析】根据条件，直接求出，即可求出解析式，再根据条件得到，利用的图象与性，可得到，即可求解. 【详解】摩天轮转一周需要分钟，所以周期，又，则，解得， 摩天轮最高点距离地面高度米，则，又转盘直径为120米， 所以摩天轮最低点距离地面高度为米，所以， 由，解得， 所以的函数解析式为， 因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，所以时，， 则，所以，又，所以， 则. 在摩天轮转动的一周内，距离地面超过米的时间，即，所以， 则，所以， 所以在摩天轮转动的一周内，有分钟距离地面超过米， 故答案为：或；. 7．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】根据给定条件，设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，借助对称性求出，再结合两个相邻座舱对应弧所对圆心角即可得解. 【详解】设乙家庭转动出现了两户家庭的座舱离地面高度一样，，只需考查旋转的第一周内即可， 而摩天轮的座舱每分钟转动，则乙家庭的座舱转过的弧度数为， 摩天轮的两个相邻座舱中点间的圆弧所对圆心角为，甲家庭的座舱转过的弧度数为， 依题意，甲乙两户家庭的座舱关于摩天轮垂直于地面的轴对称，则， 整理得，当且仅当时取等号， 所以的最小值是17. 故答案为：17 8．位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 【答案】(1)， (2)5分钟或25分钟 (3)当或25分钟时，h最大值为45米 【分析】（1）设，根据所给条件求出，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 9．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，设出与的函数关系式，再求出其中的待定系数作答； （2）确定水面位置，求出的正弦即可作答； （3）求出函数的周期，结合（1）的结论作答. 【详解】（1）由题意设（，，）， 则，，则， 由题意，是锐角，所以， 所以，又，解得， 所以与的函数解析式； （2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方， 在中，， 所以． （3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半， 即，所以， 所以与的函数解析式． 题型三 简谐振动模型 1．已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求出振幅、周期，再由过点求出初相即可得解. 【详解】由题意可知，， ， 则， ， . 因为过点， 由，得. ∵， ∴. 因此频率，初相为. 故选：A 2．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 3．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 【答案】ACD 【分析】利用已知求得可判断A；求得最小正周期，可求频率，进而可判断B，求得离开平平衡位置的最大距离判断C；求得可判断D. 【详解】因为该音叉在时的位移为，所以， 所以，所以，因为，所以，故A正确； 所以，所以最小正周期为， 所以频率为，所以该音叉每秒钟往复振动440次，故B错误； 当时，，所以该音叉离开平衡位置的最大距离为，故C正确； 当时，， 该音叉在时的位移为，故D正确. 故选：ACD. 4．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s． 【答案】 6 4 【分析】根据图象求得振幅以及最小正周期. 【详解】单摆作简谐振动的位移-时间图符合正弦型函数， 由图可知振幅为6，最小正周期为． 故答案为：； 5．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表： t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.3 -10 0 10.1 17.2 20.0 17.2 10.3 0 -10．1 -17.3 -20.0 (1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式； (2)画出该函数在的图象； (3)在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合． 【答案】(1) (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）设函数解析式为，，根据表格数据得出，，的值，即可得出这个振子的位移关于时间的函数解析式； （2）由五点作图法作图即可； （3）解方程，即可得出的取值集合. 【详解】（1）设函数解析式为，， 由表格可知：，，则，即． 由函数图象过点，得，即，可取． 则这个振子的位移关于时间的函数解析式为； （2）列表： t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0 y -20 0 20 0 -20 由表格数据知，，的图象如图所示．     ； （3）由题意得，即， 则或， 所以或． 又，所以或0.4． 所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为 题型四 交流电模型 1．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 【答案】D 【分析】通过函数的图象求出，然后利用周期公式求出，将点代入表达式，即可求出的值，得到函数解析式，代入秒，即可求出电流强度. 【详解】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10和，可得. 由周期得， 再将点代入，得， 所以. 因为，所以时， ，所以. 将代入得，. 故选：D. 2．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为 . 【答案】25 【分析】求出周期，利用周期与频率互为倒数可得． 【详解】因为， 所以0.5s内往复运动的次数为0.5×50＝25. 故答案为：25． 3．已知某交流电流随时间的变化规律可以用函数，表示．求这种交流电流在内往复运行的次数． 【答案】25 【分析】先求函数的最小正周期，结合题意分析求解. 【详解】由题意可知：函数的最小正周期为， 所以这种交流电流在内往复运行的次数为. 4．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：， （1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当，，，，（单位：）时，求电流. 【答案】（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）按照函数的周期、频率、振幅和初相的求法求解即可； （2）将，，，，分别代入函数关系中计算即可. 【详解】（1）周期：，频率：,振幅：，初相：； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 题型五 声音振动模型 1．声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 【答案】C 【分析】根据定义法证明即可判断A；根据验证法计算即可判断B；根据即可判断C；判断的最小正周期为，即可判断D. 【详解】A选项，易知的定义域为， 又 ，故是奇函数，A正确； B选项，时，， 故，在上都是增函数， 在上单调递增，B正确； C选项，由， 得的最大值，故的振幅必然大于的振幅， 即声音甲的响度一定大于纯音的响度，C错误； D选项，对于， 因为的最小正周期为，的最小正周期为， 所以的最小正周期为，其频率， 纯音的最小正周期为，其频率， 声音乙的频率更低，比低沉，D正确. 故选：C. 2．声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 【答案】C 【分析】根据题意可知：，可得，结合题意分析判断即可. 【详解】由题意可知：，可得， 则， 结合题意可知：只有“角”的频率为3的倍角， 所以小明弹奏的音是“角”. 故选：C. 3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶（公元年年）关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由图象可求得函数的最小正周期，可得出的值，然后代入点可求得的值. 【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，则， 所以，， 因为，且函数在附近单调递增， 所以，，则，，故. 故选：C. 4．（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意结合诱导公式可得出合乎题意的模型. 【详解】由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为，， 或，， AB选项满足题意， 故选：AB. 5．（多选）声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（    ） A．纯音乙的响度与ω无关 B．纯音乙的音调与ω无关 C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则 D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大 【答案】AC 【分析】对于A，判断纯音乙函数的最大值是否为定值即可；对于B，判断纯音乙函数的周期是否为定值即可；对于C，只需复合音甲函数的周期更大即可，列出不等式计算并判断；对于D，可以发现，但不能取等，由此即可判断. 【详解】由题意， 设的最小正周期为，则， 所以，故，故， 当时，有，从而的最小正周期为， 对于A，由于纯音乙的最大值，即其最大值不变，所以纯音乙的响度与ω无关，故A正确； 对于B，对于纯音乙函数而言，其周期满足，所以纯音乙的音调与ω有关，故B错误； 对于C，若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则复合音甲函数的周期要更大，即，解得，故C正确； 对于D，，但不能同时取等， 所以，即，所以复合音甲的响度比纯音乙的响度小，故D错误. 故选：AC. 6．在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 【答案】 低 【分析】（1）求出及正弦函数的对称中心即得；（2）求出函数的周期，结合频率的意义判断即得. 【详解】当时，时，函数的对称中心坐标为； 当时，，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为，，函数的最小正周期为， 因此函数的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为， 所以比的频率低，即合音的音调比纯音音调低． 故答案为：；低 7．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 【答案】 【分析】由，得到，求得，得到或，又由时，求得，此时是函数的一个周期，不符合图象，即可求解. 【详解】由函数， 因为，可得， 所以，可得， 所以，即， 又由函数的图象过点，可得， 即，可得，即，即， 因为，所以为的倍数，所以或， 当时，可得， 则， 此时是函数的一个周期，不符合图象； 当时，可得， 则 此时是函数的一个周期，符合函数的图象，所以. 故答案为：. 8．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气､固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面． （1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，甲､乙声波合成后的数学模型为．要使恒成立，则的最小值为 ． （2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的声波合成得到的，的数学模型分别记为和，满足．已知两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个． ①； ②； ③； ④． 则两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 【答案】 （1） ②④ 【分析】第一空利用余弦定理的和角公式展开，结合三角函数的性质计算即可；第二空结合图象确定周期为2，最大值低于3，依次组合分析即可. 【详解】要恒成立， 即对恒成立， 故，又； 根据周期的计算公式，对于①②③④四个函数其周期分别为：，由图象可知的最小正周期为2，故排除①，若③④组合，其周期为不符合题意， 故为②④组合. 故答案为：；②④ 题型六 潮汐现象模型 1．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 【答案】C 【分析】观察表中数据求出周期和最大最小值，然后可得，将表中最大值点坐标代入解析式可得，然后可得所求. 【详解】记时间为，水深值为， 设时间与水深值的函数关系式为， 由表中数据可知，， 所以，， 所以， 又时，，所以， 所以，即， 所以， ， 即13:00的水深值大约为. 故选：C 2．受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 【答案】C 【详解】由的最值，即可判断A，由周期即可判断B，由的值可得，代入计算，即可判断C，求解不等式，即可判断D. 【分析】由数据知，所以，A错误；，故B错误； 由，得，故C正确； 由，得，或，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误. 故选：C. 3．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深值 已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】B 【分析】由已知表格中数据求得,根据驶入港口大于等于6,离开时大于等于5，分析即可得答案. 【详解】由表格中的数据可知，，则. 由T=12，∴，故， 当x=3时，f(x)=7，则∴，即，得. ∴. 由，得， 即或 ∴或. 又该船计划在中午12点之后按规定驶入港口， ∴k=1时，x=13，即该船应在13点入港并开始卸货， 卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，卸完后的吃水深度为， 所以该货船需要的安全水深为3+2=5米，由，得， 即或 ∴或. 所以可以停留到18点，此时水深为5米，货船需要离港，则其在港口最多能停放5小时. 故选：B 4．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（    ） A． B．最高水位为10m C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4h 【答案】ABC 【分析】根据余弦函数的图象和性质解出判断AB，解不等式判断CD即可. 【详解】依题意，解得，A正确； 当时，，解得，所以最高水位为10m，B正确； 由上可知，令，即， 解得或， 所以从上午8点开始首次限制船只出入，一天内限制出入时长为8h，C正确，D错误， 故选：ABC 5．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）． 时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12 水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2 时刻（t） 14 16 18 20 22 24 水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0 用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数 ． 【答案】 【分析】由题知所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为，进而得，，再待定系数法求解即可. 【详解】解：由题知，所生潮的高的最大值为，最小值为，周期为 所以且，解得，， 故， 因为在零时，所生潮的高的最大值为， 所以，，解得， 所以. 故答案为： 6．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1) (2)①16个小时；②23时 【分析】（1）根据给定的数表作出散点图，确定函数关系，再结合“五点法”作图求出解析式. （2）①由（1）的结论，利用正弦函数性质解不等式即可；②求出吃水深度的函数关系，借助单调性求解不等式. 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 7．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【答案】(1)； (2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答. （2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答. 【详解】（1）观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 1．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【分析】根据最值求得求得函数解析式，根据正弦函数性质解不等式即可得解. 【详解】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时． 故选：C 2．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（    ） A． B．最高水位为12 C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【答案】AC 【分析】根据题意可求得，可知A正确；由12点时的水位为8m代入计算可得，即最高水位为10m，B选项错误；易知，解不等式利用三角函数单调性可得从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，即可判断C正确，D错误. 【详解】对于A，依题意，所以，故A正确； 对于B，当时，，解得， 所以最高水位为10m，故B错误； 对于CD，由上可知，令，解得或者， 所以从上午8点开始首次开放船只出入，一天内开放出入时长为8h，故C正确，D错误. 故选：AC. 3．海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 【答案】 【分析】根据函数周期性可得，令，结合正弦函数性质分析求解即可. 【详解】由题意可得：，则， 令，则， 可得，解得， 设该船到达港口时刻为，离开港口时刻为，可知， 则，即， 所以最多可停留时长为小时. 故答案为：. 4．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 【答案】(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【分析】（1）将代入解析式求出，利用正弦函数的性质求出最小正周期即可求解； （2）根据五点法列表，根据表格画出图象即可； （3）根据题意得，解出即可得到被这束光第3次照到时的值. 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 0 4 2 0 －2 0 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 5．我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象可得函数的最大值和最小值即可求解A和B，再由函数的周期公式求，然后代点的坐标求； （2）根据题意列出不等式，然后根据正弦函数的性质解不等式即可求解. 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 6．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求； （2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果； 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 7．“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为，由题意可求周期，进而可求函数解析式； （2）代入，即可求解． （3）根据和差角公式以及三角恒等变换，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， （2）由（1）知， 当时，， （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 8．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】(1).理由见解析 (2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【分析】（1）结合散点图即可判断； （2）结合散点图即可求解； （3）由（2）求解即可求解. 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.8 三角函数的简单应用 题型一 A、ω、φ的概念与实际意义 1．B 2．C 3．C. 4． 5． 6． 7．6 ；. 8．【详解】函数的最值与A有关，周期与ω有关； 对于简谐运动，其振幅等于3，周期是2，初相为. 9．峰值是，周期是，频率是，初相位是． 【详解】∵正弦交流电， ∴电流的峰值是， 周期是， 频率是， 初相位是． 题型二 已知模型图像解决实际问题 1．BCD. 2．BCD. 3．(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由图像易知这个简谐运动从O点到D点往返一次，需要0.8 s； （2）如果从点O开始算起，那么到曲线上的点D表示完成了一次往复运动，如果从点A开始算起，那么到曲线上的点E表示完成了一次往复运动. 综上，往返一次的时间是0.8s. 4．(1) (2)8小时 【详解】（1）由图知，，，， 所以，将点代入得， 结合解得， 所以函数的解析式. （2）货船需要的安全水深为米，所以当时货船可以停留在港口. 由得，得， 即， 当时，，当时，， 所以该船一天之内至多能在港口停留小时. 5．(1)， (2)应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时） 【详解】（1）解：根据以上数据知，， 解得，； 由，解得， 所以； 由时，，即， 解得，即，； 所以，； 由，解得； 所以，； （2）令， 得， 即，； 解得，； 当时，， 所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售， 且单日室外销售时间最长不能超过（小时）． 题型三 已知模型解析式解决实际问题 1．A. 2．A. 3．A 4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是 m． 【答案】1 【分析】将代入函数解析式，即可得出答案. 【详解】解：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1， 即12点时潮水的高度是. 故答案为：1. 5．2. 6．(1)位置在处，即平衡位置上方处； (2)最高、最低位置时的分别为2，； (3) (4)每秒钟小球能往复振动次. 题型一 几何中的三角函数模型 1．B. 2．D 3．AD. 4．ACD． 5．，. 6．(1) (2) 7．(1)； (2)详见解析；元. 【详解】（1）在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 （2）由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 题型二 摩天轮（水车）模型 1．C 2．B. 3．A 4．AC 5．ABD 6．或；. 7．17 8．(1)， (2)5分钟或25分钟 (3)当或25分钟时，h最大值为45米 【详解】（1）设． 由题意知． 又，故， ，，可取． ， 故解析式为，． （2）令，则，即， ，，或，解得或． 故游客甲坐上摩天轮后5分钟或25分钟时，距离地面的高度恰好为37.5米． （3）经过分钟后，甲距离地面的高度为， 乙与甲间隔的时间为分钟， 所以乙距离地面的高度，， 则两人的高度差 ，． 令，解得，， 又，所以当或25分钟时，h最大值为45米． 9．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意设（，，）， 则，，则， 由题意，是锐角，所以， 所以，又，解得， 所以与的函数解析式； （2）河水上涨米，水面仍在圆心的下方， 在中，， 所以． （3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半， 即，所以， 所以与的函数解析式． 题型三 简谐振动模型 1．A 2．D. 3．ACD. 4．； 5．(1) (2)图象见解析 (3) 【详解】（1）设函数解析式为，， 由表格可知：，，则，即． 由函数图象过点，得，即，可取． 则这个振子的位移关于时间的函数解析式为； （2）列表： t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0 y -20 0 20 0 -20 由表格数据知，，的图象如图所示．     ； （3）由题意得，即， 则或， 所以或． 又，所以或0.4． 所以在这次全振动过程中，位移为时t的取值集合为 题型四 交流电模型 1．D. 2．25． 3．25 4．（1）周期：，频率：,振幅：，初相：；（2）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，. 【详解】（1）周期：，频率：,振幅：，初相：； （2）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，. 题型五 声音振动模型 1．C. 2．C. 3．C. 4．AB. 5．AC. 6．. 8．（1） ②④ 【详解】要恒成立， 即对恒成立， 故，又； 根据周期的计算公式，对于①②③④四个函数其周期分别为：，由图象可知的最小正周期为2，故排除①，若③④组合，其周期为不符合题意， 故为②④组合. 故答案为：；②④ 题型六 潮汐现象模型 1．C 2．C. 3．B 4．ABC 5． 6．(1) (2)①16个小时；②23时 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得， 所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 7．(1)； (2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【详解】（1）观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 1.C 2.AC. 3.. 4.(1)，2 (2)图象见解析 (3)5 【详解】（1）由题意可知， 又，所以， 所以， 因为，所以每8秒钟点往复运动2次． （2）由取值列表如下， 图象如图所示： （3）点恰好被这束光第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标， 由，得， 则或， 解得或， 将方程的正根从小到大排列得，所以． 5.(1) (2) 【详解】（1）由图可知，解得由，得， 所以， 又函数图象过点， 所以，即， 所以，得， 又，所以，所以. （2）由题意得， 则，即， 令，画出的图象如图所示，    由图象可知，， 即，解得， 所以当时，，所以这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例为. 6.(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面， 所以，所以， 又因为转一周大约需要，所以， 所以， 又因为， 所以且，所以， 所以； （2）因为， 令，则， 又因为，则，所以， 所以，且， 故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果. 7.(1) (2) (3) 【详解】（1）设摩天轮转动分钟时游客的高度为， 设函数解析式为， 摩天轮旋转一周需要30分钟，即周期，则，所以， 由题意可得，， 所以，解得， 当时，，即，可取， 所以， （2）由（1）知， 当时，， （3）甲、乙两人的位置分别用点、表示，则， 经过后，乙距离地面的高度， 点相对于始终落后， 甲距离地面的高度为， 令，， 即，， 由，可得：， 经验证符合， 所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等. 8.(1).理由见解析 (2) (3)1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， （2）由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； （3）由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.8 三角函数的简单应用 题型一 A、ω、φ的概念与实际意义 1．已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（    ） A．振幅是3，初相是 B．振幅是3，初相是 C．振幅是4，初相是 D．振幅是4，初相是 2．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），表示纯音振动的振幅（对应音强）．已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为（    ） A． B． C． D． 3．函数的周期，振幅，初相分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，2， 4．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：，则这两个声波合成后即的振幅为（    ） A． B．8 C．4 D． 5．若以函数图像上相邻的四个最值所在的点为顶点恰好构成一个菱形，则 ． 6．如图为一个钟摆的示意图，其中是钟摆能向左摆动的最大位置，角为钟摆在运动过程中与的夹角，已知与时间（单位：s）满足函数关系式，且频率为，从最大处开始计时，则该函数的初相为 ．    7．函数的振幅是 ，图象最高点的坐标是 ． 8．对于函数，其最值、周期分别与哪些参数有关？如果一个简谐运动，其解析式是，结合物理学知识，其振幅、周期、初相分别是多少？ 9．已知正弦交流电（单位：）与时间（单位：）的函数关系为，求电流的峰值、周期、频率和初相位． 题型二 已知模型图像解决实际问题 1．（多选）心脏跳动时，血压在增加或减小血压的最大值和最小值分别称为收缩压和舒张压，健康成年人的收缩压和舒张压一般为和，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．记某人的血压满足函数式，其中为血压，t为时间，其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）． A． B．收缩压为 C．舒张压为 D．每分钟心跳80次 2．（多选）健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．收缩压为120 C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次 3．如图为某简谐运动的图像，试根据图像回答下列问题： (1)这个简谐运动需要多长时间往复一次? (2)从点O算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如果从点A算起呢? 4．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中为水深（单位：米），为时间（单位：小时），该函数图像如图所示. (1)求函数的解析式； (2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？ 5．长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象． (1)根据图像，试求（，，）的表达式； (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！） 题型三 已知模型解析式解决实际问题 1．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 2．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间满足关系式，则开始计时后，该振子第一次到达位移最小点所用的时间为（    ） A．0.6s B．0.5s C．0.4s D．0.3s 3．电流强度随时间变化的关系式是，当时，电流强度为（   ） A． B． C． D． 4．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是 m． 5．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式，其中的单位为，t的单位是，则12点时潮水的高度是 . 6．如图，挂在弹簧下方的小球做上下振动，小球在时间t（单位：s）时相对于平衡位置（即静止的位置）的高度为h（单位：cm），由下列关系式决定：，以横轴表示时间，纵轴表示高度，画出这个函数在一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题    (1)小球开始振动时的位置在哪里？ (2)小球位于最高、最低位置时h的值是多少？ (3)经过多长时间小球振动一次（即周期是多少）？ (4)小球每1s能往复振动多少次（即频率是多少）？ 题型一 几何中的三角函数模型 1．如图，长方形的边，，是的中点．点沿着边，与运动，记．将动点到两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   2．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发绕着点逆时针旋转，在此过程中，记，射线经过的单位圆内阴影部分的面积为，则对函数说法正确的是（   ） A．当时， B．，使得 C．对，都有 D．对，都有 3．（多选）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数递增的区间可以是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，正方形的长为为边中点，射线绕点按逆时针方向从射线旋转至射线，在旋转的过程中，记为，射线扫过的正方形内部的区域（阴影部分）的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上为减函数 C． D．若为上的动点，且，则为定值 5．如图，圆的半径为2，为圆外一条直线，圆心到直线的距离，为圆周上的点，，点从处开始以每圈2秒的速度在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动．秒后，点到直线的距离用表示为 ． 6．如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离为圆周上一点，且，点P从处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向做匀速圆周运动. (1)1秒钟后，求点P的横坐标； (2)t秒钟后，求点P到直线l的距离用t表示的函数关系式. 7．一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且．    (1)设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 题型二 摩天轮（水车）模型 1．位于潍坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则 A．16分钟 B．18分钟 C．20分钟 D．22分钟 2．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.在摩天轮转动一圈内，点距离地面超过有多长时间（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 3．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最低点距离地面高度为，转盘半径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．在运行一周的过程中，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，则关于的函数解析式为（    ）    A． B． C． D． 4．（多选）如图，以某摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度（单位：米）的函数关系式为（，），且开始转动分钟后，座舱P距离地面的高度为32米，转动7.5分钟后，座舱P距离地面的高度为H米，该摩天轮转动一圈的时间为20分钟，则（   ）    A． B． C． D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为110米 5．（多选）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到哈尔滨赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各种冰上项目，如大滑梯､摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面的高度为，最低点离地面的高度为，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周的时间约为.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面高度为与的关系可以用如下解析式体现：，则下列说法正确的是（    ） A．摩天轮的轮盘直径为 B．关于的函数解析式为 C．关于的函数解析式为 D．游客乘坐摩天轮一周的过程中，有离地面高度超过 6．某摩天轮最高点距离地面高度米，转盘直径为米，设置有个座舱，每相邻两个乘座舱与旋转中心所成的圆心角均相等，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要分钟，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，在后距离地面的高度，则的函数解析式为 ；在摩天轮转动的一周内，有 距离地面超过米.    7．摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里可从高处俯瞰四周景色．如图，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，均匀设置有48个座舱（按顺时针依次编号为1至48号），开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要30min．甲、乙两户家庭去坐摩天轮，甲家庭先坐上了1号座舱，乙家庭坐上了k号座舱，若从乙家庭坐进座舱开始计时，10min内（含10min）出现了两户家庭的座舱离地面高度一样的情况，则k的最小值是 ． 8．位于郑州海昌海洋旅游度假区内的“郑州之眼”摩天轮是目前中原地区最高的摩天轮．该摩天轮的最高点距离地面的高度约为105米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了60个座舱．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．    (1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为37.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔9个座舱，从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值及此时的时间t． 9．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（），设，水车逆时针旋转秒转动的角的大小记为．    (1)求与的函数解析式； (2)当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）； (3)若水车转速加快到原来的2倍，直接写出与的函数解析式．（参考数据：） 题型三 简谐振动模型 1．已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 3．（多选）在忽略阻尼等因素的理想情况下，音叉的振动是典型的简谐振动，某音叉发出的纯音振动可以近似用三角函数表达，其位移（单位：）随时间（单位：）的变化可以用函数（）来描述，已知该音叉在时的位移为.下列选项正确的是（   ） A． B．该音叉每秒钟往复振动880次 C．该音叉离开平衡位置的最大距离为 D．该音叉在时的位移为 4．一个单摆作简谐振动位移-时间图象如图所示，S表示离开O的位移（单位：cm），t表示振动的时间（单位：s），则该简谐振动的振幅为 cm，振动的最小正周期为 s． 5．弹簧振子的振动是简谐振动．某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间的对应数据记录如下表： t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.3 -10 0 10.1 17.2 20.0 17.2 10.3 0 -10．1 -17.3 -20.0 (1)试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式； (2)画出该函数在的图象； (3)在这次全振动过程中，求位移为10mm时t的取值集合． t 0 0.15 0.3 0.45 0.6 0 y -20 0 20 0 -20 题型四 交流电模型 1．交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替变化.电流强度（安）随时间（秒）变化的函数的图象如图所示，则当秒时，电流强度是（    ） A．安 B．5安 C．安 D．安 2．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5s内往复运动的次数为 . 3．已知某交流电流随时间的变化规律可以用函数，表示．求这种交流电流在内往复运行的次数． 4．在物理中，简谐运动中单摆对平衡位置的位移与时间的关系，交流电与时间的关系都是形如的函数.已知电流（单位：）随时间（单位：）变化的函数关系是：， （1）求电流变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当，，，，（单位：）时，求电流. 题型五 声音振动模型 1．声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.音有四要素：音调，响度，音长和音色，它们都与函数中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利.像我们平时听到声音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音函数是，结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中不正确的是（    ）. A．函数具有奇偶性 B．函数在区间上单调递增 C．若声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度不一定比纯音的响度大 D．若某声音乙对应函数近似为，则声音乙一定比纯音更低沉 2．声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率： 音 宫 商 角 徵 羽 频率 小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（    ） A．宫 B．商 C．角 D．徵 3．古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同.数学家傅里叶（公元年年）关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单声音的组合，而简单声音是可以用三角函数模型描述的.已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的图象，图象的解析式是，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（多选）声音源于物体振动所产生的、能够激发听觉的波动．为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率，振幅完全相同，但相位恰好相反（即相位差为的奇数倍）的声音，理论上就可以和噪声完全抵消．某一目标噪声的数学模型函数是，则可以作为降噪模拟声的数学函数模型有（   ） A． B． C． D． 5．（多选）声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为.设声音的函数为,音的响度与的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是，纯音乙的函数解析式是，则下列说法正确的有（    ） A．纯音乙的响度与ω无关 B．纯音乙的音调与ω无关 C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则 D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大 6．在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 7．声音是由物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是有纯音合成的，纯音的数学模型是函数．技术人员获取了某种声波，其数学模型记为，部分图像如图所示，图像过点．对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的纯音合成的，满足函数，其中，则 ． 8．声音是由物体振动而产生的声波通过介质（空气､固体或液体）传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象．在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面． （1）若甲声波的数学模型为，乙声波的数学模型为，甲､乙声波合成后的数学模型为．要使恒成立，则的最小值为 ． （2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为，其部分图象如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由两种不同的声波合成得到的，的数学模型分别记为和，满足．已知两种声波的数学模型源自于下列四个函数中的两个． ①； ②； ③； ④． 则两种声波的数学模型分别是 ．（填写序号） 题型六 潮汐现象模型 1．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节某天的时间与水深值（单位：）的部分记录表. 时间 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 水深值 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似的用三角函数来描述.试估计13：00的水深值为（    ） A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67 2．受潮汐影响，某港口一天的水深（单位：）与时刻的部分记录如下表： 时刻 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 若该天从与的关系可近似的用函数来表示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．时的水深约为 D．一天中水深低于的时间为4小时 3．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：）记录表 时刻 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00 15：00 18：00 21：00 24：00 水深值 已知港口的水的深度随时间变化符合函数，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），该船计划在中午点之后按规定驶入港口，并开始卸货，卸货时，其吃水深度以每小时的速度减小，小时卸完，则其在港口最多能停放（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 4．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为，其中（单位：m）为港口水深，（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为6h，且中午12点的水深为8m，为保证安全，当水深超过8m时，应限制船只出入，则（    ） A． B．最高水位为10m C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为4h 5．潮汐是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动习惯上把海面垂直方向涨落称为潮汐，而海水在水平方向的流动称为潮流．早先的人们为了表示生潮的时刻，把发生在早晨的最高的潮叫潮，发生在晚上的最高的潮叫汐，这是潮汐名称的由来．下表中给出了某市码头某一天水深与时间的关系（夜间零点开始计时）． 时刻（t） 0 2 4 6 8 10 12 水深（y）单位：米 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2 时刻（t） 14 16 18 20 22 24 水深（y）单位：米 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0 用函数模型来近似以地描述这些数据，则函数 ． 6．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？ ②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 7．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 1．由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（   ） A．12h B．14h C．16h D．18h 2．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象.某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（其中，），其中y（单位：）为港口水深，x（单位：）为时间，该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔最少为，且中午12点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法正确的是（    ） A． B．最高水位为12 C．该港口从上午8点开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 3．海洋潮汐是在太阳和月球的引力作用下，形成的具有周期性海面上升和下降的现象．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，停靠码头；在落潮时离开港口，返回海洋．已知某港口某天的水深（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式：，且当地潮汐变化的周期为．现有一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离）．若该船计划在当天下午到达港口，并在港口停靠一段时间后于当天离开，则它最多可停留 h． 4．如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点，则小球的运动可视为点在之间的上下运动．它在时相对于平衡位置（点）的高度（在点下方时，）（单位：）由关系式确定．若点在开始运动（即）时的位置位于平衡位置上方处． (1)求关于的解析式；每8秒钟点能往复运动多少次？ (2)在图中画出关于的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图． (3)当点开始运动时，轴的负半轴上点处连续发出一束光经过的中点，在时点恰好被这束光第3次照到，求的值． 0 4 2 0 －2 0 5．我国核电在建规模占全球核电在建规模的50%以上，是全球核电建设最活跃的国家.核电抗飞防爆结构是保障核电工程安全的重要基础设施，为此国家制定了一系列核电钢筋混凝土施工强制规范，连接技术全面采用HRB500高强钢筋替代HRB400及以下钢筋.某项目课题组针对HRB500高强钢筋的现场加工难题，对螺纹滚道几何成形机理进行了深入研究，研究中发现某型螺纹丝杠旋铣的滚道径向残留高度（单位：mm）关于滚道径向方位角（单位：rad）的函数近似地满足，其图象的一部分如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)为制造一批特殊钢筋混凝土，现需一批滚道径向残留高度不低于且不高于的钢筋，若这批钢筋由题中这种型螺纹丝杠旋铣制作，求这种型螺纹丝杠旋铣能制作出符合要求的钢筋的比例. 6．坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮.在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅.若已知摩天轮最高点距离地面高度为50米，转盘直径为40米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动（单位：分钟）后距离地面的高度为（单位：米），转一周大约需要15分钟. (1)已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客在距离地面至少40米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？ 7．“天津之眼”摩天轮将桥梁、摩天轮和商业设施建造在一起，形成了新的建筑造型，被评为“天津市十大标志性建筑”之一，是国家AAAA级旅游景区（如图1）．摩天轮的直径为110米，最高点距离地面达120米左右，约等于35层楼房的高度，在此高度可以俯瞰该区域40公里内的景色，摩天轮外挂装48个透明座舱，每个座舱面积可达到12平方米左右，可乘8个人．舱内舒适宽敞，有空调和风扇调节温度，可同时供384人观光．摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周约需要30分钟．如图2，游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点处进舱，分钟后距离地面的高度为（单位：米），求 (1)的解析式； (2)甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米？ (3)游客乙在甲后的第8个座舱进舱，乙进舱后多少分钟甲、乙两人距离地面高度相等？ 8．在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $