1.7 正切函数的性质与图像（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

1.7 正切函数的性质与图像 题型一 利用定义求正切函数值 1．已知角的终边经过点，则（   ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由正切函数的定义计算即可. 【详解】由题意，得. 故选：B. 2．若点在角的终边上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据特殊角三角函数值求出点坐标,再应用任意角三角函数定义求出正切即可. 【详解】因为,所以 所以由三角函数定义可知 故选:. 3．如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数定义求解即可. 【详解】根据三角函数定义，. 故选：A 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义及终边上的点求函数值. 【详解】根据正切函数的定义知：. 故答案为： 5．若角的终边上有一点，，则的值是 . 【答案】 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】解：因为角的终边上有一点， 所以，， 所以， 故答案为： 题型二 利用正切函数的诱导公式进行化简 1．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可. 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则， 可得，. 故选：A. 2．的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简求解即可. 【详解】， 故选：A 3．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合诱导公式运算求解即可. 【详解】因为，即， 所以． 故选：A. 4．若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的诱导公式求出，然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简，最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值. 【详解】由，知， ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式， 又，且，联立两式可得， 所以原式. 故答案为：. 5．已知，则 ． 【答案】5 【分析】利用诱导公式得到. 【详解】． 故答案为：5 6．角的终边在第二象限，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据条件，利用诱导公式及平方关系可求出的值，再利用诱导公式及商数关系，即可求解. 【详解】因为，又角的终边在第二象限， 所以， 所以， 故答案为：. 7．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据切化弦结合诱导公式化简，再结合三角函数定义计算求解. 【详解】. 故答案为： 8．计算：． 【答案】. 【分析】结合诱导公式，化简后即可求解. 【详解】利用诱导公式得： . 题型三 正切（型）函数的周期 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】算出的最小正周期，再根据加绝对值后，函数之间的最小正周期关系得到的最小正周期． 【详解】对于，，因此它的最小正周期为， 加上绝对值后，图像会将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图所示，    由图可知，加上绝对值后，周期不变，所以的最小正周期与一致，均为． 故选：D． 2．若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】由题意可得的最小正周期，则，解得． 故选：C. 3．“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由正切函数的周期计算公式及充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】的最小正周期为，则，得， 故“”是“的最小正周期为”的充分不必要条件． 故选：A． 4．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】依题意可得的最小正周期，即可求出． 【详解】因为函数的图象与直线的两个相邻交点之间的距离为， 所以的最小正周期，又，所以． 故选：C． 5．已知函数，若的周期为，则 . 【答案】 【分析】利用周期求出可得的解析式，再求即可. 【详解】因为周期为，所以，， 则. 故答案为：. 6．函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 . 【答案】0 【分析】根据阴影部分的面积得到方程，，代入特殊点函数值得到，得到的解析式，进而求得. 【详解】由图可知， 则， 依题意，， 由于， 所以， 所以. 则. 故答案为：0 7．已知函数的最小正周期为，则 . 【答案】1 【分析】根据正切函数周期公式求解即可. 【详解】依题意， 整理得，解得. 故答案为：1. 题型四 正切（型）函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由，可求函数的定义域. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据正切函数的定义域，列式求解. 【详解】由题意可知，，， 所以. 故答案为： 5．（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】（1）利用正切函数的定义域可列式子解出答案， （2）利用正切函数与对数函数的定义域可列式子得出答案. 【详解】（1）由，得， 所以函数的定义域为. （2）由题意知，解得. 所以函数的定义域为. 故答案为：，. 题型五 正切（型）函数的单调性 1．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 2．函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 【答案】C 【详解】由可知，，所以的单调递减区间为． 3．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】由可得：. 故选：C. 4．函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 5．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据正切函数的定义域列式求解即可； （2）根据正切函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； （2）因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 6．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，没有单调递减区间 【分析】（1）由题意利用正切函数的定义域可得，求得的范围，可得函数的定义域. （2）根据题意利用正切函数的单调增区间可得，由此求得的范围，得到的单调递增区间. 【详解】（1）对于函数， 令，求得， 故函数的定义域为. （2）令，求得， 可得函数的单调递增区间为，没有单调递减区间 题型六 正切（型）函数的值域与最值 1．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的有界性与正切函数的单调性，即可求出函数的值域． 【详解】∵，∴. ∵在上是单调递增的． 即 ∴函数的值域为. 故选：C 2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，求得，然后根据正切函数在上递增，可求出函数的值域. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故选：A． 3．函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 4．函数的最小值为 . 【答案】2 【分析】配方，结合即可求解. 【详解】因为，由于，所以当时，函数取最小值2. 故答案为：2 5．求函数y＝tan，x∈的值域． 【答案】(1,]. 【分析】根据正切型复合函数的单调性，结合的范围即可求该函数的值域. 【详解】由得,从而 ,即, 所求函数的值域为(]. 6．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【答案】答案见解析. 【分析】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【详解】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 题型七 正切（型）函数的对称性 1．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由的图象关于点，得出值表达式，与比较即可. 【详解】由函数的图象关于点对称，可得， 解得. 设，则是的必要不充分条件，故B正确. 故选：B. 2．函数图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数性质计算即可得. 【详解】令，解得， 故函数图象的对称中心的坐标为. 故选：A. 3．“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为，， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件. 故选：C． 4．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的对称中心进行求解即可. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， ，C不满足要求． 故选：D 5．已知函数，则的对称中心为 ． 【答案】 【分析】由正切函数对称中心公式列式计算即可. 【详解】令，则， 故的对称中心为，. 故答案为：，. 6．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为 ． 【答案】， 【分析】由函数图象变换法则得函数的解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，即可求解. 【详解】由题意可知：函数， 令，，解得，，所以函数的图象的对称中心为，. 故答案为：，. 7．函数的对称中心为 ； 【答案】 【分析】解方程，由此可解得函数的对称中心坐标. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心是. 故答案为：. 8．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间；对称中心为 【分析】（1）求解出所给方程从而求出即可求出解析式； （2）根据正切型函数的性质分别求出单调区间及对称中心即可. 【详解】（1），则，得或， 又为三角形内角，所以，故， 则. （2）令，解得， 即函数的单调递减区间为，无单调递增区间， 令，得， 故的图象的对称中心为． 9．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）由已知求得，则，根据正切型函数的性质求定义域； （2）由正切函数的性质，应用整体法求单调区间和对称中心. 【详解】（1），则，得或， 又为三角形内角，所以，故， 则． 令，得， 即函数的定义域为； （2）令，解得， 即函数的单调递减区间为，无单调递增区间， 令，得，故的图象的对称中心为. 10．已知函数， （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间及对称中心． 【答案】（1），；（2）单调区间是，，；对称中心，，． 【分析】（1）根据正切函数有意义的条件确定定义域； （2）根据正切函数的性质求解. 【详解】（1）函数， ，， 解得，， 函数的定义域，； （2）函数， 令，， 解得，， 的单调区间是，，， 令，， 解得，， 函数的对称中心是，，． 题型一 与正切函数有关的恒等式证明 1．（1）证明：. （2）已知，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析. 【分析】（1）利用诱导公式化简即可； （2）由已知可得（），代入等式左边，再利用三角函数的周期性和诱导公式推理即得. 【详解】（1）左边，原等式成立； （2）由，得（）， 则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 2．证明:. 【答案】证明见解析 【分析】根据同角三角函数的基本关系和诱导公式化简证明. 【详解】左边= = 右边，故原等式成立. 3．已知角的终边在第三象限，，证明：． 【答案】证明见解析. 【分析】求出，，即得证. 【详解】由题可知 ． ． 为第三象限角，为第三或第四象限角． 又，为第四象限角， ． ． ． 所以得证. 4．求证：＝． 【答案】证明见解析 【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题. 【详解】左边 . 右边. ∴左边＝右边，故原等式成立． 题型二 利用正切（型）函数的单调性求参数 1．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案. 【详解】由函数，因为，可得， 又因为在上单调递增，可得， 解得， 因为，所以，可得，所以的最大值为． 故选：B． 2．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数单调性、复合函数单调性可列不等式即可求解. 【详解】当时，，由在区间上单调递增， 得，解得. 故选：C. 4．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的图像与性质，直接求解即可. 【详解】， 当时，， 当时，， 当时，，单调递增， 且函数不单调，结合, ，， 故选：D 5．若函数在上单调递增，则 . 【答案】 【分析】根据正切函数的单调性以及周期性分析求解即可. 【详解】因为，则， 且，则，， 若函数在上单调递增， 注意到函数的最小正周期，且， 则，解得. 故答案为：. 6．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用命题为真命题由正切函数单调性即可求得，可知为假命题时实数的取值范围是. 【详解】若命题“，”是真命题，可得即可； 易知在上单调递增， 所以，可得； 又因为该命题是假命题，所以可得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 7．直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为 ． 【答案】1 【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出，得到，进而求出的范围，进而可求出的范围. 【详解】因为直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴，∴，∴．由，得，∴在上单调递增，故，解得，又，∴m的最大值为1． 故答案为：1 8．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)函数的定义域为：，单调递增区间为： (2) 【分析】（1）由，解得，再利用正切函数定义域及单调性列式求解； （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）由题意可知，函数的最小正周期，则； ，即，所以函数的定义域为：； 令，化简得：， 所以函数的单调递增区间为：； （2）令，因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即，则有， 解得，又因为，所以或1， 则或，即的取值范围为． 9．已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把代入，利用正切函数定义域及周期公式列式求解. （2）利用正切函数的单调区间列出不等式求解即得. 【详解】（1）当时，，则函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的定义域为． （2）由，得， 由函数在区间内单调递增，得，解得，又， 所以的取值范围为． 10．已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 【答案】(1),,Z; (2) 【分析】（1）利用正切函数的周期性和对称性求解； （2）利用正切函数的单调性求出的范围. 【详解】（1）∵，∴函数的最小正周期为, 令,Z,解得，Z, ∴函数图象的对称中心为,Z. （2）∵在闭区间上是严格增函数， ∴， ∴，且ω为正实数，解得 题型三 解正切不等式 1．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据正切值以及充分、必要条件等知识确定正确答案. 【详解】因为，所以． 若，则，则，则，故充分性成立； 若，则，则， 此时未必有，故必要性不成立， 即“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4．不等式，的解集为 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合可得. 【详解】根据题意，作出函数的图象，如图所示，由，可得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5．已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据角的大小范围与角的正切值取值范围对应关系,结合正切函数图象即可求解. 【详解】因为角A是的一个内角， 所以，又， 所以由正切函数图象可得. 故答案为：. 6．已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象过点，结合，可得，再利用正切型函数的单调性代入求解即可； （2）根据正切型函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵的图象过点， ∴，∵，∴，∴． 令，得， 即． ∴函数的单调递增区间为． （2）由（1）知，．由， 得，即． ∴不等式的解集为. 7．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由周期求出，再结合可得； （2）通过的范围求出的范围，进而求出的值域； （3）根据正切函数的图象解不等式即可. 【详解】（1）∵最小正周期为，∴，又∵，∴， 又∵，∴． （2）∵，∴当时，， ∴函数在上的值域为. （3）∵，∴， ∴，其中，∴， 即不等式的解集为． 题型四 利用正切（型）函数的对称性求参数 1．已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的对称性求解即可. 【详解】由于函数的对称轴为直线， 令，解得， 因为，取，可得，则的最小值为. 故选：A． 2．若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移后的图象的对称中心得到的对称中心，然后根据正切函数的对称性得到，然后求最小值即可. 【详解】由题意得关于对称，所以， 整理得， 因为，所以当时取得最小值，为. 故选：B. 3．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正切函数的图象对称性特征，建立方程求解即得. 【详解】依题意，，即， 又，故的最小值为. 故选：B. 4．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求得函数的对称中心的表达式，然后求得的最小值. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即． 故选：C 5．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用整体代换法可求得，结合题意可求出及，又在区间上至少有两个对称中心则可得在区间上至少有两解，从而可求解. 【详解】当，， 若函数（）在区间上有定义， 则，解得， 函数的对称中心满足，，整理得，， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则在区间上至少有两解， 整理得至少存在两个值使，， 故至少有两个取值，所以， 综上，的取值范围为. 故答案为:. 6．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】根据已知可得，结合图象平移及对称中心得，即可求参数最大值. 【详解】函数的最小正周期，则，得，则， 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象， 要使该图象关于对称，则，所以， 又，当时，取得最大值，为. 故答案为： 7．已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 【答案】(1)最大值为1 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合在区间上单调，列出不等式组，即可求解； （2）求得函数的对称中心满足，根据题意，得到图象在区间上至少有两个对称中心，确定的值，即可求解. 【详解】（1）当时，可得， 因为函数在区间上单调， 则满足，解得，故的最大值为1． （2）由函数， 可得图象的对称中心满足，整理得， 其图象在区间上至少有两个对称中心，则， 因为在区间上至少有两个不同的解，所以至少存在两个值使， 所以至少有两个取值，所以， 综上可得，的取值范围为． 8．已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）（ⅱ） 【分析】（1）根据正切型函数最小正周期的计算公式直接计算即可； （2）根据正切型函数的定义域与对称中心直接计算. 【详解】（1）当时，， 易得的最小正周期； （2）（i）当时，，， 若函数在区间上有定义，则， 解得，故的最大值为； （ii）函数的对称中心满足，， 解得，， 其图象至少有两个对称中心在区间上， 则在区间上至少有两解， 故至少存在两个值使， 故至少有，两个取值， 所以，综上，的取值范围为. 题型五 正切函数平移伸缩变换与性质综合 1．将函数的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】利用正切函数图象重合的相位条件，推导的表达式，结合范围确定的可能值，从而确定正确答案. 【详解】将的图象向左平移4个单位，得. 因所得图象与原图象重合，故对任意成立， 因此（），即. 由，得，解得（）， 所以的最大值是. 故选：D 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，再求即可. 【详解】由题知：. . 故选：A 3．将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移变换得到，然后根据正切函数的性质得，结合的范围即可求解. 【详解】依题意，函数的最小正周期为 由为奇函数，可得,即， 因为，所以当时，. 故选：D. 4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由题可知平移后的解析式为，根据与函数的图象重合可得即可求解. 【详解】将的图象向左平移个单位长度后得到 ， 又与函数的图象重合， 所以，解得， 又，所以的最小值为. 故答案为： 5．已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，向左平移个单位后， 得到， 所得函数为奇函数，所以， 故可取的一个值为. 故答案为：（答案不唯一） 6．已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正切型函数的周期和定点求，即可得函数解析式； （2）根据三角函数图像变换可得，结合，分析可得，运算求解即可. 【详解】（1）因为，且，解得， 又因为，则， 解得， 且，可得， 所以. （2）由题意可知：， 因为， 由，即， 可知，解得， 且，所以的最小值为． 7．已知函数，其中，． (1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心； (2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围． 【答案】(1)的单调增区间是，无单调递减区间；对称中心为， (2) 【分析】（1）由正切函数的单调区间和对称中心可得结果； （2）换元转化为在上恰有20个根，根据正切函数的图象列式可得结果. 【详解】（1）由于，，，∴， 由，解得， 所以的单调增区间是．无单调递减区间， 令，求得，，故的图象的对称中心为，． （2）由题意可知，当时， 即在上恰有20个根，所以，解得． 综上，的取值范围是 题型六 函数y=Atan(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 1．关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论： ① f(x)是偶函数;    ② f(x)在区间上单调递减; ③ f(x)是周期函数;  ④ f(x)图象关于对称 其中所有正确结论的编号是 A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】①用奇偶性定义证明为正确； ②化简去绝对值，可证为正确； ③ ④作出图像，可判断为不正确. 【详解】 为偶函数，①为正确; 单调递减，②为正确； 作出函数在的图像如下图： 可判断③ ④不正确. 故选:C 2．函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出函数的解析式，再根据正切函数性质研究即可. 【详解】由题意周期为，所以由图可得， 故，又，所以，故A错； 由A得，所以，故B错； 由函数与图像关系可知函数的对称轴为,即，所以存在使得，故C正确； 因为， 所以当时，，故D错. 故选：C. 3．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上不具有单调性 【答案】BCD 【分析】由正切函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，故A错误； 对于B的最小正周期为，结合题意可知即为函数最小正周期，故B正确； 对于C，当时，，所以点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，当时，，因为函数在处无意义， 再结合的图象特征可知在区间上不具有单调性，故D正确. 故选：BCD. 4．（多选）对于函数的性质，正确的有（    ） A．定义域为，周期为2 B．单调区间为， C．对称中心为， D．在定义域内，任意、且，，则最大值为1 【答案】ABD 【分析】对于ABC，利用正切函数的性质求解即可；对于D，利用转化法，结合正切函数的图像性质即得解. 【详解】对于A，因为， 所以由，，得，，， 则的定义域为，周期为2，故A正确； 对于B，令，得， 所以的单调递增区间为，，故B正确； 对于C，令，得， 所以的对称中心为，，故C错误； 对于D，令，则， 因为，即， 则恒成立， 记对应的点为，对应的点为，的中点为，如图，      显然，由梯形的中位线定理可得，所以上述不等式转化为恒成立， 显然结合的图像可知所在最大区间为， 所以，则，即， 所以最大值为1，故D正确. 故选：ABD. 5．已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】由已知条件先求出函数的表达式，探究出函数的对称性，分别画出函数与函数（且）的部分图象，利用函数的周期得到交点情况，从而求出结果. 【详解】依题意，因为函数的相邻两个对称中心的距离为， 则函数的最小正周期为，即，得， 则， 又，即， 所以， 因为，所以， 故， 又因为，所以关于中心对称， 而也关于中心对称， 作出两个函数在原点附近的部分图象， 在且内，函数的最小正周期为， 又和也关于对称，， 因为在的右边从第一个周期起两个函数的图象交点都在前半个周期内， 则函数的图像与函数的图象的交点有对， 设两图象的交点的横坐标由小到大为：， 若是交点，则也是交点，则， 所以，所有交点横坐标之和为. 故答案为：. 6．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【答案】(1)， ； (2)； (3)． 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质即得； （2）由题可得，进而即得； （3）根据正切函数的图象和性质可得b－a的最小值，然后结合条件可得，进而即得. 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； （2）因为在上是严格增函数， 所以， 所以，又， 所以； （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 所以， 所以． 7．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 1．在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出两个函数的图象，数形结合解决问题. 【详解】在同一坐标系中，和的图象如下所示：    令，，解得或，故， 则，也即在区间交点间的线段长的最大值为. 故选：A. 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正切函数的周期性及其图象，应用等面积法求得最小正周期为，结合图象所过的点求得参数，即可得的解析式，进而求函数值即可. 【详解】如图，由正切函数的周期性可知，①和②面积相等， 故阴影部分的面积即为矩形的面积，易知，    设函数的最小正周期为，则， 由题意得，解得，故，得，即. 的图象过点，即， ，，解得， 则， . 故选：C. 3．已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的最小正周期，可得出的值，然后利用三角函数图象变换可得出平移后所得函数的解析式，根据正切型函数的奇偶性可得出关于的等式，解出的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可知，函数的最小正周期为，所以， 所以， 将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称， 可得出函数为奇函数， 所以，，解得，A选项合乎题意. 故选：A. 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为， D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则函数是奇函数 【答案】AD 【分析】逐一验证各选项，通过求解定义域、判断周期、计算对称中心、分析平移后的函数奇偶性，确定正确选项. 【详解】选项A：令（），解得（）， 故的定义域为，A正确. 选项B：的周期为，的周期仍为； 的周期为，二者周期不同，B错误. 选项C：令（），解得（）， 故的对称中心为（），C错误. 选项D：将向左平移个单位，得. 的定义域关于原点对称，且，故是奇函数，D正确. 故选：AD 5．（多选）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A．在上单调递增 B．的对称中心是 C．点的纵坐标为 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得判断C；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间判断A；求得对称中心判断B；解不等式判断D. 【详解】最小正周期，故选项C正确； 由， 令， 当时，单调递增且，此时单调递增， 在上单调递增，故选项A正确； ， 所以函数的对称中心为，故选项B错误； ，故选项D正确. 故选：ACD. 6．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 【答案】/ 【分析】由题意，阴影部分的面积等于矩形的面积，利用面积即可求得参数值. 【详解】如图，结合函数图象的对称性，阴影部分的面积等于矩形的面积， 对于函数，定义域为， 令，则，即， 由图知，过点C垂直于x轴的直线为，又，则， 则，解得. 故答案为：. 7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据图象的平移得到，利用列方程，解方程得到，然后根据即可得到的最小值. 【详解】函数的图象向左平移t个单位长度，得到函数的图象，又，所以，解得，因为，所以当时，取最小值，． 故答案为：. 8．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期； （2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围； （3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为. （2）由，且，得， 若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，则， 则的范围为． （3）由关于的方程在区间上至少存在2024个根， 则关于的方程至少有2024个根， 则至少存在个使得， 因函数的最小正周期为， 故至少包含2023个周期，即 又在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，则， 得， 所以的取值范围为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.7正切函数的性质与图像 利用定义求正切函数的值 正切函数的定义 利用正切函数的诱导公式求值 正切函数的诱导公式 正切函数 利用正切函数的诱导公式进行化简与证明 正切函数的周期 正切函数的定义域与值域 正切函数的图像与性质 正切函数的单调性 正切函数的奇偶性与对称中心 A 基础达标题 题型一利用定义求正切函数值 1.B. 2.B 3.A 4.2 5.16 15 题型二利用正切函数的诱导公式进行化简 1.A 2.A 3.A 4.25 5.5 8.V5-1. 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 sin150°+cos330°sin(180°-30)+cos(360°-30) 【详解】利用诱导公式得： tan225°-sin300° tan(180°+45)-sin(360°-60) 1,5 sin30°+cos30° 22 1+5_+2-⑤=V5-1. tan45°+sin60° 1+V52+5(2+3)2-V5 题型三正切（型）函数的周期 1.D 2.C. 3.A. 4.C. 5.-5. 6.0 7.1. 题型四正切（型）函数的定义域 1.C 2.D 3.xx≠km+刀，k∈Z 6 4. +aez,{+号ez 题型五正切（型）函数的单调性 1.B. 2.C 3.C. 2k-3,2k+1(kEZ). 1 4. 2 5.(1)xx km+5π，keZ 212' (2)单调递减区间为 -π，+keZ,无单调递增区间 212'212 2/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(1)x|x≠kπ+ 痒调避塔区同为红-吾a+ 3,k∈Z,没有单调递减区间 【详解】1)对于函数=a-君) 令x-≠m+ 6 2,求得x≠m+ e2. 故函数的定义域为xx≠π+ (2》令a-受<x-君<a+受求得a-昏<x<a+子eZ, 6 可得函数)=amx-的单调递增区间为ka-,红+ 2π ,k∈Z,没有单调递减区间 6 31 3 题型六正切（型）函数的值域与最值 1.C 2.A. 3.[-5,0] 4.2 5.(1,5]. 6.【详解】解：令u=anx（x≠a+受keZ),则y=”-r++少-2“1-2业 u2+u+1u2+u+1 u2+u+1 当u=0时，y=1; 当u>0时，M+1≥2，当且仅当u=1,即M=1时，取等号， 1 u 所以少=1 u++13,所以x=a+平，大eZ时取到等号： 1 11 当u<0时，所以-u>0, -2,当且仅当-=-1 2 即4=-1时，所以少=1- -≤3 u+二+1 ,所以x=km- k∈Z时取到等号 所以，y的最小值为子此时x=饭+子，长∈Z:y的最大值为3，此时x=红-子keZ 4 所以当tanx=0时，y=I函数为常数函数； 3/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当ar=1时，函数取得最小值，自变量x的集合为=子+低大e乙， 当ax=-1时，函数取得最大值，自变量的集合为r=红-子ke乙 题型七正切（型)函数的对称性 1.B. 2.A. 3.C. 4.D 5. 0.kez. 6. 7. (k+E,2025(keZ). 615 8.()f6)=-tan2x-2 3 (2)单调递减区间为 kπ+正kπ+7π 212'2+12 ,k∈Z,无单调递增区间；对称中心为 +kπ，0，k∈Z 34 【详解】(1)2cos20-cos0-1=0,则(2cos0+1)(cos0-1)=0,得cos0=-5或cos0=1, 又0为三角形内角，所以cos6=-1, 3 则f(x)=tan -2x+2π）=-tan2x-2π 3 3 (2)令kπ- <2r-2<kr+,k∈Z,解得+<x<+7西，keZ, 3 212 212 即团故仙的单调送成汉板为告吕经+背}k:,无单时德时区间， 令2x_2πkπkEZ,得x=3+A,k∈Z, 32 故f(x)的图象的对称中心为 +k，0，keZ 34 (2)答案见解析. 【详解】(1)2c0s9-c0s0-1=0,则(2c0s0+1(c0s0-1=0,得c0s0=-或c0s0=1, 4/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又0为三角形内角，所以c0s0=弓，故0-2 1 3 则r=2+}-x-】 令2x-2≠m+kZ,得x++7,k∈Z, 3 212 即函数f(x)的定义域为r≠2+12 212 即函数四的单司造减区自为经音经得 ,k∈Z,无单调递增区间， 令2-经ez,得x-青+经女e1,故的图象的对称巾心为仔经0小eZ。 32 34 10.1)爱+经，e2:2)单调区间是受+气，受+经，keZ:对称中心侵+好， 84,0), k∈Z. 【详解】(1)：函数f)-an2x+孕， :2x+匹≠正+kr,keZ, 42 解得及+经te2 :函数f的定义域+爱+经，te2Z: (2):函数g)=fc-孕=an2x-孕， 42 令受+缸<2x-晋<g+m,keZ, 42 解得-及+红<x<江+红，keZ, 82 82 g)的单词区创是号经，誓+经，e2, 令2-音-经，e2 朝将+号，e2 函数国的对称中心是后+冬，k2 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 能力提升题 题型一与正切函数有关的恒等式证明 1.【详解】(1)左边-tanx-sinx).cosx-(-cosx sinx.sinr-cos2x-sin2 Y-COsx=sinr,原等式成立： cOSx -cosx·siny -slnx·cosx -sinx·cosx (2)由sin(a+B)=1,得a+B=2k+2 π (kEZ), 则a=2km+元-B(keZ), 2 图tn2a++明=22饭号月a8 =tan4kπ+π-2β+p)+tanβ=tan4kπ+π-β)+tanβ =tanπ-B）+tanp=-tanβ+tanf=0, 所以原等式成立， 2.【详解】左边=(cosa+sin2a)cos2a-sin2a) cos2a sin2a-2sina cosa _(cosa +sina)(cosa-sina)cosa+sina (cosa-sina)2 cosa-sina cosa sina =cosacosa cosa sina 1+tanc=右边，故原等式成立. 1-tana cosa cosa 3.【详解】由题可知cosa-106)=cos106°-a =cos[180-(74+a] =-cos74°+a sim(a-106）=-sin[180-(74+a)]=-sin(74+a). a为第三象限角，.74°+α为第三或第四象限角 又cos74+a)=?0,六74+a为第四象限角， 5 6/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 sma-106)=-sm74+a)-手 sina-106° 4 ∴.tana-106） cosa-106） 3 所以得证. 4.【详解】左边 2sin(0)(-sin0)-1-2sin0 cos0-1-2sin0 cos0-(sin+co0) 1-2sin20 1-2sin20 sin20+cos20-2sin20 -(sin0+cos0)2 sinθ+cosθ (cos0+sin)(cos0-sin0)sin0-cos0 sin0 +1 右边=anr+9)t!-am9+1-os日 sin0+cos0 tan(+0)-1 tan0-1 sin0 -1 sin0-cos0 cos0 .左边=右边，故原等式成立. 题型二利用正切（型）函数的单调性求参数 1.B. 2.A 3.C. 4.D 5.π 6 6.3,+0) 7.1 8.(1)函数f(x)的定义域为： xx≠km+T,k∈Z, 单调递增区间为： m-5元，k+,k∈Z 5 61 6 6 【详解】1)由题意可知，函数纠的最小正周期7-名=，则。=l八)=m+写》月 0 x+行≠版+受即x红+云，所以函数)的定义城为： 3 了xx≠m+T 6 令：-<x+行<红+号，化简得：血 5 π<x<k红+ π 2 3 6 7/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以函数∫(x)的单调递增区间为： 5 π kπ-二π，kπ+ ,k∈Z; 6 6 2)令1=0+骨因为xe(后引 ππ 所以+引 因为函数f(x在 ππ 6'3 上单调递增， 所以t∈ 0π，π0π，π） 】 —干，3—2”2人 ,k∈Z, Or+k+ 33 2 0s3+ 3k+≥6k-5 所以 ,即 2 ,则有 0≥6k-5 1 2 3k+2>0 解得-≤ 6 。，又因为k∈Z,所以k=0或1 则0<≤)或1≤w≤7 如的取值范围为0引[引 2 20, 【详解】(1当o写时，f八=2a(写+了，则函数f八的最小正周期T--3: 3 由+肾+机keZ,解得x++3eZ. 32 所以函数f(x)的定义域为xx≠无+3k红，k∈Z。 (2 2hca学.得or+e写号 ,π 一0+)， 由函数在区间@学内单调端培，等子0+骨经解得心行又o>0, 所以ω的取值范围为0，力。 4 10.1)5低元0，kez 2'(460 1 (2)0, 6 【详解】④）0-2，：函数的缺小正周期为7-高-子 令2x+骨号k2解得=年君 46 kEZ, 函装图象的对张中心为任04e2 (2):f(x)在闭区间[0，π上是严格增函数， 8/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 or+[后o+[引 .0π+ 32 且0为正实数，解得we号 题型三解正切不等式 1.D 2.A 3.A 5. 6.(1)- 8 sr≤+k,keZ 242 【详解】(1）：)=a2x+)的图象过点（零0 令-受+<2x+骨号+keZ,得a<2x<骨+akeZ 42 4 即-3+<x<g+,keZ. 82 82 :的数的单调递增区间为警+号爱+受》keZ (2)由1)知，f)=tam2x+》由-1≤am2x+到}5， 得-不+m≤2x+不s+m,keZ,即-不+sx≤+，k∈Z. 4 43 42 242 不等式-1s5的解维为1-晋经≤≤会+受e2 7.(1)0=2,0=3 2(-3V5,5 【详解】(1)：最小正周期为=元，0=2，又：f(0)=3tan0=33,∴tan0=V5, 02 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-2+引当，2 函数∫x在 名哥上的值城为-35， <m2x+写}1， 3 8k2x之x+,其中teZ,d 6 12 -<x<)元- 4 2 241 kπ 即不等式的解集为x5π一 24 <X<一π- 题型四利用正切（型)函数的对称性求参数 1.A. 2.B. 3.B. 4.C 5 【详解】当re引 36 x+∈-0+，0+】 -e- 33 3’63 若函数f(x)=tan(ωx+ 个 (>0)在区间) 上有定义， [_0元+- 则 332 ,解得0<0≤1， 0π，π元 6+3≤2 函数的称中心满起0+子经。质e7,整连得=以2引，E7, 60 其图象在区间(0，上至少有两个对称中心，则x=3k-2到还在区间(0，上至少有两解， 60 整理得至少存在两个k值使0<3k-2<60,k∈Z, 故至少有=1,2两个取值，所以0> 3 综上，心的取黄花为行 放答案为剖 10/18 1.7 正切函数的性质与图像 题型一 利用定义求正切函数值 1．已知角的终边经过点，则（   ） A．2 B．-2 C．1 D．-1 2．若点在角的终边上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 3．如图，角以为始边，它的终边与圆相交于点，点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则 ． 5．若角的终边上有一点，，则的值是 . 题型二 利用正切函数的诱导公式进行化简 1．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则的值是（   ） A．k B． C． D． 4．若为第二象限角，且，则 ． 5．已知，则 ． 6．角的终边在第二象限，，则 ． 7．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则 ． 8．计算：． 题型三 正切（型）函数的周期 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的最小正周期为，则（    ） A．8 B．2 C． D． 3．“”是“的最小正周期为”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．若函数的图象与直线的相邻两个交点的距离为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．已知函数，若的周期为，则 . 6．函数经过点，图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则 . 7．已知函数的最小正周期为，则 . 题型四 正切（型）函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为 ． 4．设，若函数的.定义域为，则的值为 ． 5．（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 题型五 正切（型）函数的单调性 1．若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的（   ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．单调递减区间是 D．单调递增区间是 3．函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间为 . 5．已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 6．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调区间. 题型六 正切（型）函数的值域与最值 1．函数的值域是（　　） A． B． C． D． 2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是 . 4．函数的最小值为 . 5．求函数y＝tan，x∈的值域． 6．求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 题型七 正切（型）函数的对称性 1．“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．函数图象的对称中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．“”是“函数的图象关于点对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的对称中心为 ． 6．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的图象的对称中心为 ． 7．函数的对称中心为 ； 8．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 9．已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的单调区间及图象的对称中心． 10．已知函数， （1）求函数的定义域； （2）求函数的单调区间及对称中心． 题型一 与正切函数有关的恒等式证明 1．（1）证明：. （2）已知，求证：. 2．证明:. 3．已知角的终边在第三象限，，证明：． 4．求证：＝． 题型二 利用正切（型）函数的单调性求参数 1．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知当时，函数不单调，其中，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调递增，则 . 6．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 7．直线与函数的图像的相邻两个交点的距离为．若在上单调递增，则m的最大值为 ． 8．已知函数． (1)若函数的最小正周期为，求的定义域及单调递增区间； (2)若函数在上单调递增，求的取值范围． 9．已知函数． (1)若，求函数的定义域及最小正周期； (2)若函数在区间内单调递增，求的取值范围． 10．已知函数，其中. (1)若，求函数的最小正周期以及函数图象的对称中心； (2)若在闭区间上是严格增函数，求正实数的取值范围. 题型三 解正切不等式 1．利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．不等式，的解集为 . 5．已知角A是的一个内角，若，则角A的取值范围是 ． 6．已知函数的图象过点． (1)求的单调递增区间； (2)求不等式的解集． 7．函数中，，最小正周期为，． (1)求； (2)求函数在上的值域； (3)求不等式组的解集． 题型四 利用正切（型）函数的对称性求参数 1．已知函数图象的对称轴为直线，其中，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 3．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．若点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上有定义，且其图象在区间上至少有两个对称中心，则的取值范围为 . 6．已知，，是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于对称，则的最大值为 . 7．已知函数在区间上单调． (1)求的最大值； (2)若曲线在区间上至少有两个对称中心，求的取值范围． 8．已知函数. (1)若，求的最小正周期； (2)若在区间上有定义. （i）求的最大值； （ⅱ）若曲线至少有两个对称中心在区间上，求的取值范围. 题型五 正切函数平移伸缩变换与性质综合 1．将函数的图象向左平移4个单位长度后，所得图象与原图象重合，则（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 3．将函数图象向左平移个单位后得到函数的图象.若为奇函数，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得函数的图象与曲线重合，则的最小值为 . 5．已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值 ． 6．已知函数的最小正周期为，且． (1)求函数的解析式； (2)函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到，若，求的最小值． 7．已知函数，其中，． (1)若，求函数的单调区间以及函数图象的对称中心； (2)将函数图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半，再向右平移个单位得到的图象，且满足方程在上恰有20个根，求正实数的取值范围． 题型六 函数y=Atan(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 1．关于函数f(x)＝tan|x|+|tanx|有下述四个结论： ① f(x)是偶函数;    ② f(x)在区间上单调递减; ③ f(x)是周期函数;  ④ f(x)图象关于对称 其中所有正确结论的编号是 A．①③ B．②③ C．①② D．③④ 2．函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A． B．的图象过点 C．函数的图象关于直线对称 D．若函数在区间上单调递增 3．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．若，且，则 C．点是图象的一个对称中心 D．在区间上不具有单调性 4．（多选）对于函数的性质，正确的有（    ） A．定义域为，周期为2 B．单调区间为， C．对称中心为， D．在定义域内，任意、且，，则最大值为1 5．已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图像与函数（且）的图象所有交点横坐标之和为 ． 6．已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 7．已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 1．在区间内，曲线和交点间的线段长的最大值为（    ） A． B． C． D．4 2．函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则（    ）    A． B． C． D． 3．已知、是函数的两个零点，且的最小值为，若将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的周期与函数的周期相同 C．函数图象的对称中心为， D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则函数是奇函数 5．（多选）如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（    ） A．在上单调递增 B．的对称中心是 C．点的纵坐标为 D．的解集为 6．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为8，则的值为 7．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值是 ． 8．已知函数． (1)若，求函数的最小正周期； (2)若函数在区间上为严格增函数，求的取值范围； (3)若函数在（且）上满足“关于x的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $