1.6 函数y=Asin（ωx+φ）的性质与图像（题型专练）高一数学北师大版必修第二册

1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像 题型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【详解】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 2．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 3．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 4．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，， ． 【答案】. 【分析】根据三角函数的“五点法”作图的规则，令，即可求解. 【详解】用“五点法”画在一个周期内的简图时， 分别令，当，可得，此时， 所以五个点分别为，，，，. 故答案为：. 5．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的周期 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由最小正周期的公式计算即可得答案. 【详解】解：由正弦型函数的最小正周期公式得， 故选：D 2．已知，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（　　） A．0 B．505 C．1010 D．2020 【答案】A 【分析】先求函数周期，再计算一个周期函数值的和，最后将和转化到对应周期上的和，解得结果. 【详解】根据题意， ，其周期为5， 又由f（0）=sin0=0，f（1）=sin，f（2）=sin，f（3）=sin，f（4）=sin， 则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；又由函数f（x）的周期为5， 则f（5）=f（10）=……=f（2015）=f（0）， f（6）=f（11）+……+f（2016）=f（1）， f（7）=f（12）+……+f（2017）=f（2）， f（8）=f（13）+……+f（2018）=f（3）， f（9）=f（14）+……+f（2019）=f（4）， 则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=403×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0； 故选A． 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据最小正周期公式计算出正确结果. 【详解】依题意，函数的最小正周期为. 故选：B 4．函数的最小正周期为 . 【答案】1 【分析】利用三角函数周期的公式即可求得函数的最小正周期. 【详解】的最小正周期 故答案为：1 5．已知函数的最小正周期为，，则等于 . 【答案】2 【分析】根据周期得出，再根据结合，得出，最后代入计算求解. 【详解】，又因为得， 所以，即得， 又因为，所以， 因此，. 故答案为：2. 6．设，则 . 【答案】 【分析】确定的周期为4，且，计算得到答案. 【详解】，，， ，， ，的周期为4， 且， 所以. 故答案为： 7．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】按照三角函数的周期性，或者结合函数图像得出三角函数的周期. 【详解】（1）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （2）因为， 由周期函数的定义知，的周期为． （3）因为 ， 由周期函数的定义知，的周期为． （4）的图象如图（实线部分）所示， 由图象可知，的周期为． 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性 1．下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为的周期为， 当时，， 此时不单调递增，故A错误； 对于B，因为的周期为，且函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，因为的周期为，不满足题意，故C错误； 对于D，作出的部分图象，如图所示： 由此可得函数的周期为，在区间上单调递减，故D错误. 故选：B. 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式变形后，利用正弦函数的递减区间可得结果. 【详解】因为， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 故选：C. 3．已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据周期计算，再根据正弦函数单调性求单调递增区间. 【详解】根据已知得，得，则， 由不等式，解得， 所以函数的单调递增区间是． 故选：D. 4．函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的增区间，结合选项可得答案. 【详解】令，，得， 令可得，的一个增区间为，结合选项可得C符合题意. 故选：C 5．函数数在上的单调增区间为 . 【答案】和 【分析】首先根据余弦函数的性质求出函数的在上的单调递增区间，再与所给区间求交集即可； 【详解】解：因为，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，又因为，所以，，所以函数再在区间上的单调递增区间为和； 故答案为：和； 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦函数周期公式求解； （2）根据余弦函数的单调递减区间求解. 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 7．求函数的最小正周期及单调区间． 【答案】答案见详解 【分析】根据周期公式求最小正周期，以为整体，结合余弦函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：的最小正周期； 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 8．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)单调递增区间为递减区间为. (2)单调递增区间为，递减区间为. (3)单调递增区间为单调减区间为. (4)单调递增区间为，无减区间. 【分析】根据正弦、余弦、正切函数的单调性求解即可. 【详解】（1）由得 由得 即函数的单调递增区间为 递减区间为. （2）由得 由得 即函数的单调递增区间为 递减区间为. （3）由，得； 由，得； 故的单调递增区间为 单调减区间为. （4）由，得 即函数的单调递增区间为， 无减区间. 题型四 正弦（型）函数与余弦（型）函数的值域与最值 1．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的对称轴，利用正弦函数图象及性质可得区间的端点对应图象上的点关于对称轴对称使得最小，由此求出即可得答案. 【详解】函数中，由，解得， 因此函数的图象对称轴为，周期为， 由正弦函数图象性质知，要使在区间的最大值与最小值的差最小， 当且仅当图象上的点关于的图象对称轴对称， 由的任意性及函数的周期性，不妨取的图象对称轴和， 当对称轴为时，，，， ，； 当对称轴为时，，，， ，， 所以的最小值为. 故选：B 2．函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和可立即得到，再验证当时有，即可得到函数的最小值是. 【详解】①一方面，显然，，故. ②另一方面，当时，有. 综合①②两方面，可知的最小值是. 故选：C. 3．函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质求出最大值. 【详解】函数中，，所以当时，. 故选：B 4．函数在区间上的最小值是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解. 【详解】解：因为，所以， 所以当时，函数. 故答案为：. 5．函数的最大值为 . 【答案】1 【分析】先利用诱导公式把函数化成的形式，再结合正弦函数的值域求函数的最大值. 【详解】因为， 所以（当，即，取“”）. 故答案为：1 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用最小正周期公式求得； （2）令，由，可得，可用整体法求得函数的最大值. 【详解】（1）， 故的最小正周期为. （2）令 ，由 得： ， 又因为函数 在 单调递增， 所以. 7．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最小值为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据正弦型复合函数直接求单调区间即可； （2）利用正弦函数性质直接求解即可； （3）根据的范围，直接求解析式的最值，即可得到答案. 【详解】（1）令， 解得. 所以的递增区间. （2）由正弦函数性质知， 当时， 即，取得最大值为. （3）因为，所以， 则，且时取得最小值， 所以，则. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求的最小值及此时的值. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为， (2)时，的最小值为 【分析】（1）利用整体代入法求得函数的单调区间； （2）根据三角函数最值的求法求得的最小值及此时的值. 【详解】（1）令，， 得，， 令，， 得，， 故函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为，. （2）因为，所以， 所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为. 题型五 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称轴与对称中心 1．函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的对称轴公式进行求解判断即可. 【详解】因为函数图象的对称轴为直线， 令，得， 令，得，即函数图象的一条对称轴是． 故选：B． 2．关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数对称中心，再逐项检验即可求解. 【详解】令解得，故对称中心为， 经检验只有，符合题意. 故选：C 3．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 4．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，给出下列四个结论： ①的最小正周期可能是； ②在区间上有且仅有3条对称轴； ③的取值范围是； ④在区间上单调递减． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】③④ 【分析】求函数的对称中心，由条件确定的范围，再结合余弦型函数的性质判断各命题. 【详解】由，，可得，， 所以函数的对称中心为，， 令，可得，， 因为，函数在区间上有且仅有个对称中心， 所以， 所以，故的取值范围是，③正确， 因为，，所以，①错误； 由，，可得，， 所以函数的对称轴为，， 令可得，，， 所以当时，只有两条对称轴，②错误； 当时，， 由函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减．④正确. 故答案为：③④. 5．已知函数， (1)求函数的对称中心 (2)求函数的单调递减区间 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变形为，由，，求出对称中心横坐标，再结合此时，得到对称中心； （2）利用整体法求出函数单调递减区间. 【详解】（1）， 由，，得，， 当，时，， 所以函数的对称中心 （2）由函数为减函数，可知，， 解得， 故函数的单调递减区间为. 6．已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的对称轴方程和对称中心 (3)求的单调递增区间 【答案】(1) (2)对称轴，，对称中心， (3)单调递增区间， 【分析】（1）由最小正周期公式求解即可； （2）函数解析式化简为，用对称轴方程和对称中心公式求解即可； （3）利用复合函数单调性计算可得. 【详解】（1）由题可知， 故函数的最小正周期为：. （2）由得函数的对称轴方程为：， 由得， ∴对称中心为. （3）由复合函数单调性可知 求的增区间，即求的减区间， 由得， ∴函数的单调递增区间为：. 7．设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可求解对称，由周期的公式求解最小正周期， （2）利用整体法，即可求解， （3）将问题转化为，即可利用整体法求解. 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 题型六 三角函数图像的平移伸缩变换 1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决. 【详解】因为， 所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象. 故选：C 2．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件变换得到，再根据列式计算求出的值. 【详解】由已知得， 所以， 解得，又， 所以. 故选：D. 3．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合对函数图象的影响可得. 【详解】将函数的图象上各点向右平移个单位长度，得到函数即的图象， 再把函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半，就得到函数的图象， 然后再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的4倍，就得到函数的图象. 故选：A. 4．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则的解析式为 . 【答案】 【分析】将函数的图像向左平移个单位,根据图象变换规律，得到，写出解析式即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为. 5．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据余弦函数相位变换及诱导公式求得函数解析式，然后利用特殊角的余弦值求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为， 所以． 故答案为： 6．设函数的周期为，且图像过点. (1)求与的值； (2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； (3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 【答案】(1)， (2)作图见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据函数周期及函数图象过的点求解析式即可； （2）利用“五点法”求函数图象即可； （3）根据函数的图象变换求解即可. 【详解】（1）由函数的周期为，且， 知，解得； 将点的坐标代入中，有，且， 解得，故，. （2）用五点法列出四者的关系如下， 先描点，再作出在一个周期上的图像如图所示， （3）法1，把的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得的图像. 法2，将的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得的图像. 7．已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求图象的对称中心． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦型函数的周期性公式即可求解； （2）利用平移变换和伸缩变换求得新的函数解析式，再利用正弦函数的对称中心来求解即可. 【详解】（1）由题意，知，因为，所以． （2）由（1），知． 将函数的图象向左平移个单位长度后， 得到函数的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）， 得到函数的图象． 令，则． 故函数图象的对称中心为． 题型七 利用三角函数图像求A、ω、φ 1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求解即可. 【详解】依题意得，为偶函数， 则，即. 故选：B. 2．已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移可得，再利用函数是奇函数，得到，，即可求解. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度得到 ， 又是奇函数，所以， 得，，当时，. 故选：D. 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 4．将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为 . 【答案】 【解析】利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式． 【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为： ， 再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为： ， 所以. 故答案为：. 5．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过图像可以得到和之间的距离为周期的一半，利用周期公式得到的值，又图像过点，代入求解即可； （2）根据平移求出，由，求出的范围，再结合余弦函数的图像得到最大值和最小值，从而得到的值域. 【详解】（1）由图可知的最小正周期，则. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，， 当，即时，取得最大值，， 则，即在上的值域是. 6．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 【答案】(1)，对称中心为 (2)、 【分析】（1）由图象可求出的值以及函数的最小正周期的值，进而可得出的值，再由以及的取值范围可得出的值，由此可得出函数的解析式，再利用正弦型函数的对称性可求得函数的对称中心坐标； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，由可求出的取值范围，然后利用正弦型函数的单调性可得出关于的不等式，由此可求得函数在上的单调减区间. 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此，， 由得， 因此，函数的对称中心的坐标为. （2）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象， 则， 当时，， 由得，由得， 因此，函数在上的单调减区间为、. 7．已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】(1)；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）根据条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域. 【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 题型一 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性求参数 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的单调递增区间，根据是函数增区间的子集，可求的取值范围. 【详解】由于，则, 由，，. 由，，. 所以得：. 故选：B 2．已知，若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质可判断在上单调递减，即可根据分段函数的性质求解. 【详解】当时，，若在上单调，则在上单调递减，故，得； 若函数在上单调递减，则，且， 得. 故选:C. 3．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，进而可得，利用整体法求解函数的单调区间，根据，即可求解. 【详解】因为相邻两个对称轴之间的距离为， 则，即，则，则， 由，得， 所以在上是增函数，由，得. 故选：B 4．已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质求出的范围，即可求出的范围，依题意只需考虑存在，使得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时， ，得， 则 由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化， 因此只需考虑存在，使得， 则取非负整数，且，， 所以的取值区间是，选项中只有适合. 故选：D. 5．若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可. 【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为. 故选：A. 6．已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的单调性求出的单调递增区间，然后列不等式，按照、、分类讨论求解. 【详解】令，则， 因在区间上单调递增，则， 即且且， 若，则不等式组的解集为空集； 若，则； 若，则不等式组的解集为空集， 则的最大值为. 故答案为： 7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由条件求的范围，再求，的范围，根据正弦函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由，可得， 又是三角形的一个内角，所以， 故，， 因为函数在区间上单调递增， ，解得，又， 所以的取值范围为， 故答案为：. 8．函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用整体法即可结合正弦函数的性质求解. 【详解】时，则， 由于在区间上不单调，则，故， 故答案为： 9．已知为实数，为正整数，且定义在区间上的函数当且仅当在处取得最值，则 . 【答案】 【分析】由不是区间的端点，故必为的极值，且由于当且仅当在处取得最值，故不存在其它极值点.分别按照为的极大值点或极小值点讨论求解. 【详解】由于不是区间的端点，故必为的极值点， 且由于当且仅当在处取得最值，故不存在其它极值点. 若为的极大值点，则，解得，故， 则有，且其极值点满足， 即，，，， ，取最小值时，， ，，满足条件的至少有两个解， 故此时在上至少有两个极值点，与题设矛盾. 若为的极小值点，则13，解得，故， 则有且其极值点满足， 即，，，， 由题设，满足的正整数解有且只有一个解，故，， 故此时，则. 故答案为：. 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称性求参 1．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，确定对称轴处三角函数取最值的条件，进而求解的取值. 【详解】由，知是的对称轴， 故. 解得,结合，得. 故选：A 2．已知函数有两条相邻的对称轴和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相邻的对称轴得到最小正周期，求出，代入，得到方程，求出答案. 【详解】两条相邻的对称轴和， 故的最小正周期为，故， 故，， 故，解得， 因为，所以只有当时，满足要求，其他均不合要求. 故选：B 3．已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数的对称性及给定等式列式求出的表达式，进而求出最小值. 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或， 所以当时，. 故选：D 4．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于原点对称，则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据余弦函数图象的平移规则确定的解析式，然后根据求出的图象关于原点对称求出. 【详解】根据余弦函数图形平移规则，将向左平移个单位后， 得到的. 因为的图象关于原点对称，所以. 即. 根据余弦函数的性质，则有 . 化简可得，即. 当时，取最小值为. 故选：C. 5．已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 【答案】（答案不唯一，或都可以） 【分析】首先根据三角函数的对称性，列出关于的方程组，再根据的取值范围，即可求解. 【详解】题意可得，与的图象都关于直线对称， 则，，即， 因为，所以当，时，；当，时，； 当，时，，故，，. 故答案为： 6．若点关于x轴的对称点为，则的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一，只要符合均可） 【分析】根据点关于x轴对称点的特点及三角函数相等即可求解. 【详解】因为点关于x轴的对称点为， 所以， 所以，解得， 令，得，所以的值可为. 故答案为：，（答案不唯一，只要符合均可）. 7．如果函数的图像关于点（，0）中心对称，那么的最小值为 【答案】 【详解】解：因为函数的图像关于点（，0）中心对称， 那么的最小值为 8．已知的一条对称轴为直线，则 . 【答案】/0.5 【分析】由求得即可. 【详解】由于一条对称轴为，则， 又 得，即， 此时，， 即势函数的一条对称轴，检验符合题意. 故答案为：. 9．已知函数，若，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得或，整理得，，由此即可得解. 【详解】由题意等价于， 所以或， 解得，或， 所以，， 故所求范围为. 故答案为：. 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的图像变换与性质 1．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 【答案】D 【分析】先根据函数的平移变换得到，进而结合正弦函数的性质判断各选项即可. 【详解】将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得到函数的图象， 再向左平移个单位，可得的图象. 对于A，， 则直线不是函数的图象的一条对称轴，故A错误； 对于B，， 则点不是函数图象的对称中心，故B错误； 对于C，当时，， 因为函数在上有增有减， 所以函数在上有增有减，故C错误； 对于D，当时，， 则，即，故D正确. 故选：D 2．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 【答案】D 【分析】根据图像可得，然后逐项判断即可. 【详解】根据图像可得，，解得， 又，所以，故A错误； 又过点，， 由五点作图法可知，，周期，故B错误； ，， 又，所以函数在区间上不单调，故C错误； ， 解得，又， 所以，所以共有8100个零点，故D正确； 故选：D. 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件求出，利用图象平移规律得到函数，再根据的单调性可得答案. 【详解】由图知函数的最小正周期，所以. 由，得，即. 因为，所以，所以， 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则，解得， 又因为对，在上都不单调，所以，解得. 综上，. 故选：A. 4．已知函数相邻两零点的距离为，且，将图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数的图象．若存在非负实数使得，在内恰好有8个零点，则所有符合条件的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得和，得到，令且，得到，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】由函数相邻两零点的距离为，可得，可得， 则，因为，则， 所以，可得， 则， 令且，此时， 则且， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，不妨设， ①当时，，此时，无解， 对于在内有6个零点，内都有8个零点，内有10个零点，则或； ②当时，，此时，在内有6个零点，在内有8个零点，在内有9个零点，故； ③当时，，此时，令， 因为，则，故在内有6个零点，在内有8个零点，在内有10个零点，故， 综上可得，． 故答案为：. 5．已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是 . 【答案】② 【分析】借助图象可得解析式，结合正弦函数的单调性、最值、奇偶性等逐项判断即可得. 【详解】由图可得，，且，则，即， ，即， 又，故，即， 对①：，由时，函数取最大值， 故是函数的最大值，故①错误； 对②：， 则，故②正确； 对③：当时，， 由函数在上单调递增， 故函数在上不单调，故③错误. 故正确结论的序号是：②. 故答案为：②. 6．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 【答案】(1)， (2)，；，. 【分析】（1）根据正弦函数的图象识别，可得到正弦函数的周期、振幅，进而可求得函数的解析式和对称中心的坐标. （2）先根据正弦函数的平移和奇偶性求得的解析式，然后根据正弦函数的性质求出最值. 【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 7．已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图象关于直线 对称得到，得到关于的等式，再由在区间上单调得到关于的取值范围即可求解. （2）由有两个零点，得到，转化为函数与直线有两个交点，求出在区间的值域并作图求解即可. 【详解】（1）由题意可知,则 , 故， 又在区间上单调，则，即， 则，故或. 当时，在区间 上单调递增，符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 综上所述，. （2） 令，则， 由（1）可知 ，故当时，， 作出函数在区间上的大致图象如下所示，    因为，所以a的取值范围为 . 8．已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数图像过，代入可得，再由过可解得，结合周期可确定即可求解； （2）由双变量恒成立，即，易得，再利用换元令，则，接着分类讨论求解即可. 【详解】（1）由图知函数图像过，， ，即， ， ， ，即， ， 解得， 又，即， ，； （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，. 对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 9．已知. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对进行化简，得到的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间. （2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【详解】（1） ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. （2）时，，故． 即在上的值域为． （3），原不等式可化为对任意的恒成立 对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 题型四 利用三角函数图像与性质求ω的取值范围 1．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论． 【详解】∵，∴时，， ∵在区间内有最大值，但无最小值， 令，结合图象， ∴，解得． 故选：B． 2．已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用最值点的个数和锐角三角形列出限制条件可得答案. 【详解】，. 函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点， ，. 由三角函数图象的对称性知该三角形是个等腰三角形，且顶角为以最低点为顶点的角， 由这3个点可以组成一个锐角三角形知，且的周期为， 故，. 综上，. 故选：A. 3．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】由题可得在上单调递增，且，得，得解. 【详解】因为点在函数的图象上，所以， 由，则，且在上单调递减， 所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知， 所以，即，故. 故选：A. 4．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心，列式求的集合，再利用代入法求的范围，结合函数的图象，列式求解. 【详解】由条件可知，，得， 当时，， 由条件可知，，得，，且， 综上可知，的最小值为13. 故选：C 5．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 【答案】 1(满足且为正数即可） 7 【分析】根据余弦函数的对称性求出的取值集合，即可完成第一空，由余弦函数的对称中心求出的最小值. 【详解】因为直线为函数图象的一条对称轴， 所以，解得， 又，所以取（答案不唯一）； 若在区间上有零点，令，解得， 由，故且, 又所以，又因为，所以的最小值为； 故答案为：（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 6．已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是 . 【答案】6 【分析】根据正弦型函数的奇偶性得到，，，，进而有，再由区间无最小值得到，即得的范围，分类讨论并验证，即可得解. 【详解】由为奇函数，则，， 由为偶函数，则，， 所以，即，， 且，即，，又，则， 在上，，即在上没有最小值， 所以且，故， 当，则； 当时，则， 结合，， 当时， ，则为偶函数，不符， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； 当时， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； ，则为偶函数，不符； 当时， ，则为偶函数，不符； 即，故最大值为6. 故答案为：6. 题型五 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 1．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据图像确定，从而可求出，再代入一点求即可； （2）依据函数平移和伸缩变换的原则按步骤变换即可； （3）根据整体代入法求的单调递减区间即可； （4）根据确定的范围，解出的范围即可. 【详解】（1）由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． （2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． （3）因为 所以 所以的单调递减区间为． （4）因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． 2．已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由图形利用五点法求函数的解析式，再利用正弦函数的递增区间求解即可； （2）先由图象平移的性质求出，再利用正弦函数的值域结合题意可得. 【详解】（1）由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，， 所以. 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. （2）由题. 当，时，. 所以. 3．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)当时，求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域； ②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1) (2)①；②； 【分析】（1）根据奇偶性和周期性可得，再结合正弦函数的单调性分析求解； （2）根据图象变换可得.①以为整体，结合正弦函数有界性分析求解；②整理可得，结合正弦函数图象分析判断，再结合对称性运算求解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，则， 且，所以， 设的最小正周期为， 由题意可知：，即， 且，则，可得， 所以， 因为，则， 且在内单调递减，在内单调递增， 可得，即 所以的单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， ①因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为； ②令，则， 因为，则， 由图象可知：与在内有4个交点，所以， 且， 可得， 所以. 4．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； （2）由题意，将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 所以；，则，由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为；所以 所以函数在上的值域： （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 5．已知函数，． (1)求的对称轴方程，单调递增区间； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件； (3)将函数的图象横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求满足条件的实数的集合． 【答案】(1)对称轴方程为，单调递增区间为： (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用整体法可求得对称轴方程和单调递增区间； （2）令，换元后进行参变分离可得，再利用换元法结合基本不等式可求得实数所满足的条件； （3）先求得函数的解析式，利用函数的值域可得，进而分类讨论可求得满足条件的实数的集合． 【详解】（1）由，可得， 所以的对称轴方程为 由，得， 所以的单调递增区间为； 所以的对称轴方程为单调递增区间为： （2） 令，， ∴，，， ，， 令，， ∴，解得：； （3）∵横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的， 成立，在上的值域为，在上的值域为， ∴ 当时，，所以， 即（且） 当时， 由诱导公式可得， 即， 所以当时，； 当时， 6．已知函数，的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据题意得出最小正周期，即可求解； （2）先根据平移变换得出解析式，然后将括号内的看作整体即可求得值域； （3）结合函数图像，找到交点，根据对称性求出，，，，代入即可得出答案. 【详解】（1）由因相邻两对称轴间的距离，则，解得，故； （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 即得的图象. 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，则当时， 即时，取得最小值-2， 当时，即时，取得最大值，故函数的值域为； （3），由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象，    由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数图象的平移与伸缩变换求得的解析式，再由的范围求得的范围，结合在上的最大值为，分类求解得答案． 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象， 由上，得， 当，即时，则，求得， 当，即时，由题意可得， 作出函数与的图象如图： 由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点， 则有唯一解， 综上，的取值个数为2． 故选：B． 2．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图像变换规律推得的解析式，再根据三角函数的性质求出函数的单调增区间，再结合函数在区间和上均单调递增，列出关于的不等式组进行求解即可. 【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 . 根据函数的单调增区间满足，解得. 当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为. 若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得. 故选：A. 3．关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题： 甲：该函数在上单调递增； 乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图像的一个对称中心为. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案. 【详解】令，则函数的增区间为…①； 函数图象向右平移个单位长度得到…②； 令…③； 令…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意； 若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意. 综上：该命题是丁. 故选：D. 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示：    因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故选：D 5．（多选）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围是 B．若的图象关于点对称，则在上单调递增 C．在上的最小值可能为 D．若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 【答案】ABD 【分析】由题意可得，求得，即可判断A；利用三角函数的对称中心，结合求出，即可判断B；由和，结合三角函数的单调性即可判断C；由题意计算可得，画出函数与的图象计算即可判断D. 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，则有， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C错误． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 即有，故D正确. 故选：ABD. 6．（多选）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．是的一个对称中心 B．函数在上单调递增 C．函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D．若方程在区间上有两个不相等的实根，则 【答案】BC 【分析】根据三角函数图像性质分别判断各选项. 【详解】A选项：由，令，，解得，，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误； B选项：令，，解得，，即函数的单调递增区间为，，又，，B选项正确； C选项：由，向右平移可得，C选项正确； D选项：，即， 设，则， 即函数与函数在上有两个交点， 做出函数图像，如图所示， 所以可得，解得，D选项错误； 故选：BC. 7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ,实数m的取值范围是 . 【答案】 / 【分析】由题意利用函数的图象变换规律，得到的表达式，根据其对称中心可求得，再利用其单调区间，分类讨论，求出m的范围，即可确定答案. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的函数的图象关于点对称， ，即， 因为，则， 若，则， 在区间上单调递增，， 当，， ，且， 即，且，； 若，则， 在区间上单调递增，， 当，， ，且， 即且，故； 综上可得，，. 故答案为：； 8．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 【答案】4或10/10或4 【分析】根据可求出f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出ω的表达式和可能取值，结合y＝sinx的图像，根据在区间上有最小值无最大值判断ω的取值范围，从而判断ω的取值. 【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴， ∴，∴，k∈Z， ∵ω＞0，∴. 当时，， y＝sinx图像如图： 要使在区间上有最小值无最大值，则： 或， 此时ω＝4或10满足条件； 区间的长度为：， 当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件. 综上，ω＝4或10. 故答案为：4或10. 9．若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据图象可知，，即可得，再结合最值可得，即可得函数解析式； （2）利用周期得，以为整体，结合正弦函数图象分析求解即可； （3）根据题意结合正项函数值域可得，分类讨论，结合周期性和诱导公式运算求解. 【详解】（1）设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， （2）当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. （3）由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上的值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 10．已知函数，的最大值为，最小值为，，且. (1)求的值及函数的解析式； (2)已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据的最大值为，最小值为，则，且，求出，再根据，且，求出，进而得到函数的解析式； （2）求出函数在上的值域，再根据给定条件，借助集合的包含关系分类讨论求解. 【详解】（1）因为函数的最大值为1，最小值为，所以，且， ， ， ， 所以； （2）由（1）知，，当时，， 因此在上单调递增，函数值集合为值域为， 由有且只有一个实数，对于，使得， 得函数在上的值域包含，并且实数唯一､ ①当时，函数在[0，2]上单调递增，的值域为， 由，得， 解得，显然符合条件的实数不唯一； ②当时，函数的图象对称轴为，当，即时，在[0，2]上单调递增，的值域为， 于是，解得，显然，当且仅当时，且唯一､因此； ③当，即时，， 当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，必有，得，于是， 解得，当时，且，此时且唯一 并且当时，，实数不唯一､因此，所以实数的值是或. 11．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或; (2); (3) 【分析】（1）由，可求得函数的最小正周期，进而确定参数的值，再由整体代换即可求得对称中心； （2）由三角函数的平移变换求得的解析式，再由零点的定义确定参数的值，结合图象可得的最小值； （3）将所给条件转化为和的值域的包含关系，即可求得参数的取值范围． 【详解】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 12．已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)，；； (2) (3)或. 【分析】（1）根据所给图象求出函数的解析式，再列出关于x的不等式即可得解； （2）由（1）结合给定图象变换求出的解析式，再求出并作变形即可得解； （3）求出并令，将转化为关于t的一元二次方程，按根所在区间讨论得解. 【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像 题型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像 1．D． 2．B. 3．B. 4．. 5．(1) (2)，， (3)表格见解析 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的周期 1．D 2．A 又由f（0）=sin0=0，f（1）=sin，f（2）=sin，f（3）=sin，f（4）=sin， 则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0；又由函数f（x）的周期为5， 则f（5）=f（10）=……=f（2015）=f（0）， f（6）=f（11）+……+f（2016）=f（1）， f（7）=f（12）+……+f（2017）=f（2）， f（8）=f（13）+……+f（2018）=f（3）， f（9）=f（14）+……+f（2019）=f（4）， 则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=403×[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0； 故选A． 3．B 4．1 5．2. 6． 7．(1) (2) (3) (4) 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性 1．B. 2．C. 3．D. 4．C 5．和； 6．(1) (2) 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 7．【详解】由题意可知：的最小正周期； 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 8．(1)单调递增区间为递减区间为. (2)单调递增区间为，递减区间为. (3)单调递增区间为单调减区间为. (4)单调递增区间为，无减区间. 题型四 正弦（型）函数与余弦（型）函数的值域与最值 1．B 【详解】函数中，由，解得， 因此函数的图象对称轴为，周期为， 由正弦函数图象性质知，要使在区间的最大值与最小值的差最小， 当且仅当图象上的点关于的图象对称轴对称， 由的任意性及函数的周期性，不妨取的图象对称轴和， 当对称轴为时，，，， ，； 当对称轴为时，，，， ，， 所以的最小值为. 故选：B 2．C. 3．B 4．. 5．1 6．(1) (2) 【详解】（1）， 故的最小正周期为. （2）令 ，由 得： ， 又因为函数 在 单调递增， 所以. 7．(1) (2)， (3) 【详解】（1）令， 解得. 所以的递增区间. （2）由正弦函数性质知， 当时， 即，取得最大值为. （3）因为，所以， 则，且时取得最小值， 所以，则. 8．【详解】（1）令，， 得，， 令，， 得，， 故函数的单调递增区间为，， 单调递减区间为，. （2）因为，所以， 所以， 所以，所以的最小值为， 此时，解得， 所以时，的最小值为. 题型五 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称轴与对称中心 1．B． 2．C 3．D． 4．③④ 【详解】由，，可得，， 所以函数的对称中心为，， 令，可得，， 因为，函数在区间上有且仅有个对称中心， 所以， 所以，故的取值范围是，③正确， 因为，，所以，①错误； 由，，可得，， 所以函数的对称轴为，， 令可得，，， 所以当时，只有两条对称轴，②错误； 当时，， 由函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减．④正确. 故答案为：③④. 5．(1) (2) 6．(1) (2)对称轴，，对称中心， (3)单调递增区间， 7．(1)最小正周期为，对称轴方程为，对称中心为， (2) (3) 【详解】（1）的最小正周期为， 令，解得，故对称轴方程为， 令，解得，故对称中心为， （2），则，故， 因此，故值域为 （3）由可得，继而， 所以，解得， 故时，. 题型六 三角函数图像的平移伸缩变换 1．C 2．D. 3．A. 4．【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为. 5． 6．(1)， (2)作图见解析 (3)答案见解析 【详解】（1）由函数的周期为，且， 知，解得； 将点的坐标代入中，有，且， 解得，故，. （2）用五点法列出四者的关系如下， 先描点，再作出在一个周期上的图像如图所示， （3）法1，把的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；再把的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，得的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得的图像. 法2，将的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得的图像；再将的图像上所有的点向左平移个单位，得到的图像；最后把的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得的图像. 7．(1) (2) 题型七 利用三角函数图像求A、ω、φ 1．B. 2．D. 3．D． 4．. 5．【详解】（1）由图可知的最小正周期，则. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，， 当，即时，取得最大值，， 则，即在上的值域是. 6．(1)，对称中心为 (2)、 【详解】（1）由图象可知， 函数的最小正周期满足，故，所以， 所以， 因为，可得， 因为，故，所以，解得， 因此，， 由得， 因此，函数的对称中心的坐标为. （2）将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象， 则， 当时，， 由得，由得， 因此，函数在上的单调减区间为、. 7．(1)；单调递减区间为 (2) 【详解】（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. （2）把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 题型一 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性求参数 1．B 2．C. 3．B 4．D 【详解】由余弦函数的性质可知，当在上单调时， ，得， 则 由于选项中取，，1，2，其区间端点的前缀分别是，，，，区间角的终边呈周期性变化， 因此只需考虑存在，使得， 则取非负整数，且，， 所以的取值区间是，选项中只有适合. 故选：D. 5．A 【详解】易知将函数的图象向右平移得到函数的图象，则函数的增区间为，而函数又在上单调递增，所以，于是，即a的最大值为. 故选：A. 6． 7．. 8． 9． 【详解】由于不是区间的端点，故必为的极值点， 且由于当且仅当在处取得最值，故不存在其它极值点. 若为的极大值点，则，解得，故， 则有，且其极值点满足， 即，，，， ，取最小值时，， ，，满足条件的至少有两个解， 故此时在上至少有两个极值点，与题设矛盾. 若为的极小值点，则13，解得，故， 则有且其极值点满足， 即，，，， 由题设，满足的正整数解有且只有一个解，故，， 故此时，则. 故答案为：. 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称性求参 1．A 2．B 3．D 4．C. 5． 6．，（答案不唯一，只要符合均可）. 7． 8．. 9．. 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的图像变换与性质 1．D 2．D. 3．A. 4．. 5．②. 6．【详解】（1）根据图象知，，∴，∴，∴. 将点代入，即.又，∴，∴. 令，解得，∴的对称中心的坐标为. （2），∵为偶函数，∴， ∴.又∵，∴，∴， 所以函数，又∵，所以， 则，，于是. ∴，此时；，此时. 7．【详解】（1）由题意可知,则 , 故， 又在区间上单调，则，即， 则，故或. 当时，在区间 上单调递增，符合题意； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 综上所述，. （2） 令，则， 由（1）可知 ，故当时，， 作出函数在区间上的大致图象如下所示，    因为，所以a的取值范围为 . 8．【详解】（1）由图知函数图像过，， ，即， ， ， ，即， ， 解得， 又，即， ，； （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以， 所以，所以， ， 令，则，. 对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上. 9．【详解】（1） ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. （2）时，，故． 即在上的值域为． （3），原不等式可化为对任意的恒成立 对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 题型四 利用三角函数图像与性质求ω的取值范围 1．B． 2．A. 3．A. 4．C 5．（答案不唯一，满足且为正数即可）；. 6．6 【详解】由为奇函数，则，， 由为偶函数，则，， 所以，即，， 且，即，，又，则， 在上，，即在上没有最小值， 所以且，故， 当，则； 当时，则， 结合，， 当时， ，则为偶函数，不符， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； 当时， ，则为奇函数，为偶函数，且上，满足题设； ，则为偶函数，不符； 当时， ，则为偶函数，不符； 即，故最大值为6. 故答案为：6. 题型五 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 1．(1) (2)答案见解析 (3) (4) 【详解】（1）由已知图象得， ，则，所以， 因为，所以， 又因为，所以，即． （2）先将函数的图像上所有的点向右平移个单位， 就可得到的图像， 把图像上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，就可得到的图像， 把图像上所有点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，就可得到的图像． （3）因为 所以 所以的单调递减区间为． （4）因为，所以， 所以， 解得：， 所以不等式的解集是． 2．(1)， (2) 【详解】（1）由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，， 所以. 令，， 解得，， 所以的单调递增区间为，. （2）由题. 当，时，. 所以. 3．(1) (2)①；②； 【详解】（1）因为函数为奇函数，则， 且，所以， 设的最小正周期为， 由题意可知：，即， 且，则，可得， 所以， 因为，则， 且在内单调递减，在内单调递增， 可得，即 所以的单调递减区间为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得， 再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数， ①因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为； ②令，则， 因为，则， 由图象可知：与在内有4个交点，所以， 且， 可得， 所以. 4．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； （2）由题意，将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 所以；，则，由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为；所以 所以函数在上的值域： （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 5．(1)对称轴方程为，单调递增区间为： (2) (3)答案见解析 【详解】（1）由，可得， 所以的对称轴方程为 由，得， 所以的单调递增区间为； 所以的对称轴方程为单调递增区间为： （2） 令，， ∴，，， ，， 令，， ∴，解得：； （3）∵横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的， 成立，在上的值域为，在上的值域为， ∴ 当时，，所以， 即（且） 当时， 由诱导公式可得， 即， 所以当时，； 当时， 6．(1) (2) (3)， 【详解】（1）由因相邻两对称轴间的距离，则，解得，故； （2）函数的图象向右平移个单位长度即得， 再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变）， 即得的图象. 当时，，而函数在上单调递减， 在上单调递增，则当时， 即时，取得最小值-2， 当时，即时，取得最大值，故函数的值域为； （3），由可得， 设，则有，作出正弦函数的图象，    由图可知在有5个解，即， 其中，，，， 即，， ，， 整理得，，，， ， 综上：，. 1．B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象． 再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象， 由上，得， 当，即时，则，求得， 当，即时，由题意可得， 作出函数与的图象如图： 由图可知，此时函数与的图象在上有唯一交点， 则有唯一解， 综上，的取值个数为2． 故选：B． 2．A 【详解】根据题意，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 . 根据函数的单调增区间满足，解得. 当时，函数的增区间为，当时，函数的增区间为. 若满足函数在区间和上均单调递增，则 ，解得. 故选：A. 3．D 【详解】令，则函数的增区间为…①； 函数图象向右平移个单位长度得到…②； 令…③； 令…④. 若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令，由①，函数的增区间为，则甲正确，矛盾.令，由①，函数的增区间为，则甲错误，满足题意.由③，函数的对称轴方程为，时，，则丙正确.由④，函数的对称中心为，令，丁错误.不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心，由①，令，结合④，令，由函数的奇偶性，取k=0，，由③，，令，则丙错误.不合题意； 若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，由①，函数的增区间为，甲正确.取区间中点，则丁错误.不合题意； 若丁错误，则甲乙丙正确. 由②，由函数的奇偶性，令，由①，函数的增区间为，则甲错误，不合题意.令，，由①，函数的增区间为，甲正确.由③，.k=-2时，，则丙正确.由④，，令，④错误.满足题意. 综上：该命题是丁. 故选：D. 4．D 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示：    因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故选：D 5．ABD 【详解】对于A：因为的图象在上有且仅有两条对称轴， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，则有， 即，因为，所以， 当时，，则在上单调递增，故B正确； 对于C：当时，，因为， 所以，所以在上的最小值小于，故C错误． 对于D：因为的图象关于直线对称，则， 即，又，所以，所以， 令函数的根即为函数与的交点的横坐标， 作出图象如图所示，因为，， 要使有奇数个零点，则， 即有，故D正确. 故选：ABD. 6．BC 【详解】A选项：由，令，，解得，，所以其对称中心为，所以不是其对称中心，A选项错误； B选项：令，，解得，，即函数的单调递增区间为，，又，，B选项正确； C选项：由，向右平移可得，C选项正确； D选项：，即， 设，则， 即函数与函数在上有两个交点， 做出函数图像，如图所示， 所以可得，解得，D选项错误； 故选：BC. 7． / 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的函数的图象关于点对称， ，即， 因为，则， 若，则， 在区间上单调递增，， 当，， ，且， 即，且，； 若，则， 在区间上单调递增，， 当，， ，且， 即且，故； 综上可得，，. 故答案为：； 8．4或10/10或4 【详解】∵f(x)满足，∴是f(x)的一条对称轴， ∴，∴，k∈Z， ∵ω＞0，∴. 当时，， y＝sinx图像如图： 要使在区间上有最小值无最大值，则： 或， 此时ω＝4或10满足条件； 区间的长度为：， 当时，f(x)最小正周期，则f(x)在既有最大值也有最小值，故不满足条件. 综上，ω＝4或10. 故答案为：4或10. 9．(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）设的最小正周期为T，且， 由题图可得，且， 即，则，可得， 又因为，即， 且，则， 可得，即， 所以， （2）当时，利用周期等价于，则， 若，即， 则，解得， 所以实数t的取值范围为. （3）由题意可知：， 若存在非零常数λ，对任意，有成立， 因为在R上的值域为，则在R上的值域为， 可知，即， 当时，则，可知1为的一个周期， 即1为最小正周期的整数倍， 可得，则（且）， 当时，则， 可得， 由诱导公式可得，可得 综上所述：当时，且； 当时，． 10．(1)， (2)或 【详解】（1）因为函数的最大值为1，最小值为，所以，且， ， ， ， 所以； （2）由（1）知，，当时，， 因此在上单调递增，函数值集合为值域为， 由有且只有一个实数，对于，使得， 得函数在上的值域包含，并且实数唯一､ ①当时，函数在[0，2]上单调递增，的值域为， 由，得， 解得，显然符合条件的实数不唯一； ②当时，函数的图象对称轴为，当，即时，在[0，2]上单调递增，的值域为， 于是，解得，显然，当且仅当时，且唯一､因此； ③当，即时，， 当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，必有，得，于是， 解得，当时，且，此时且唯一 并且当时，，实数不唯一､因此，所以实数的值是或. 11．(1)或; (2); (3) 【详解】（1）∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时，， 由，的对称中心为； 当时，， 由，的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或. （2）∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴，又是的一个零点， ，即， ∴或， 解得或， 由可得， ∴，最小正周期. 令，则 即或，解得或，； 若函数在（且）上恰好有10个零点，必有， 要使最小，须、恰好为的零点，故. （3）由（2）知，对任意，存在，使得成立，则， 当时，， 当时，， 由可得，解得， 故实数的取值范围为. 12．(1)，；； (2) (3)或. 【详解】（1）观察图象得，最小正周期为T， ，则， 而，则，， 又，于是得， 所以， 由，，得，， 所以单调递减区间为，． （2）由题意得， ， 当，即时，取最小值， 所以的最小值为； （3）依题意，， 令，可得， 令，得， 由于，即方程必有两个不同的实数根，， 且，， 由知、异号，不妨设，， ①若，则，，无解， 而在内有四个零点，不符题意； ②若，则，在内有2个零点， 而在内有4个零点， 即在内有6个零点，符合题意， 此时，得； ③若，，在有4个零点， 则在内应恰有2个零点，必有， 此时，，解得， 综上所述有或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.6 函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图像 题型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 4．用“五点法”画在一个周期内的简图时，所描的五个点分别是，，，， ． 5．已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的周期 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．1 2．已知，则f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）=（　　） A．0 B．505 C．1010 D．2020 3．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期为 . 5．已知函数的最小正周期为，，则等于 . 6．设，则 . 7．求下列三角函数的周期． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性 1．下列四个函数，以为最小正周期且在区间上单调递增的函数是（   ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的最小正周期为，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．函数在下列哪个区间上单调递增（    ） A． B． C． D． 5．函数数在上的单调增区间为 . 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 7．求函数的最小正周期及单调区间． 8．求下列函数的单调区间： (1)； (2)； (3)； (4). 题型四 正弦（型）函数与余弦（型）函数的值域与最值 1．设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．函数的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．函数的最大值为（   ） A．4 B．7 C． D．15 4．函数在区间上的最小值是 . 5．函数的最大值为 . 6．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值． 7．已知（为常数）. (1)求的递增区间； (2)求的最大值及取得最大值时的集合； (3)若时，的最小值为，求的值. 8．已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)当时，求的最小值及此时的值. 题型五 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称轴与对称中心 1．函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．关于函数，下列选项中是对称中心的有（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 4．已知函数在区间上有且仅有个对称中心，给出下列四个结论： ①的最小正周期可能是； ②在区间上有且仅有3条对称轴； ③的取值范围是； ④在区间上单调递减． 其中所有正确结论的序号是 ． 5．已知函数， (1)求函数的对称中心 (2)求函数的单调递减区间 6．已知函数 (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的对称轴方程和对称中心 (3)求的单调递增区间 7．设函数. (1)求函数的最小正周期，及对称轴，对称中心. (2)求函数在区间上的值域. (3)求函数时，x的取值范围？ 题型六 三角函数图像的平移伸缩变换 1．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是（　　）. A． B． C． D． 4．将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则的解析式为 . 5．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则 ． 6．设函数的周期为，且图像过点. (1)求与的值； (2)用五点法作出函数在长度为一个周期的闭区间上的图像； (3)叙述函数的图像可由的图像经过怎样的变换而得到. 7．已知函数的最小正周期为． (1)求的值； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求图象的对称中心． 题型七 利用三角函数图像求A、ω、φ 1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．11 B．13 C．14 D．15 2．已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位长度得到的，若是奇函数，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 4．将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为 . 5．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 6．已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间. 7．已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. (1)求的解析式，并写出的单调递减区间； (2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 题型一 正弦（型）函数与余弦（型）函数的单调性求参数 1．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知，若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数相邻两个对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（    ） A． B． C．1 D．2 5．若在区间上单调递增，则实数a的最大值为（    ） A． B． C． D．π 6．已知函数，若在区间上单调递增，则的最大值为 . 7．若是三角形的一个内角，且函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 8．函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为 ． 9．已知为实数，为正整数，且定义在区间上的函数当且仅当在处取得最值，则 . 题型二 正弦（型）函数与余弦（型）函数的对称性求参 1．已知函数，且对任意，都有，则的取值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数有两条相邻的对称轴和，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于原点对称，则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象与曲线都关于直线对称，写出一个符合条件的m的值 . 6．若点关于x轴的对称点为，则的一个取值可以为 ． 7．如果函数的图像关于点（，0）中心对称，那么的最小值为 8．已知的一条对称轴为直线，则 . 9．已知函数，若，且，则的取值范围为 ． 题型三 正弦（型）函数与余弦（型）函数的图像变换与性质 1．将函数图象上的各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到的图象，下列说法正确的是（   ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．点是函数图象的对称中心 C．函数在上单调递减 D．函数在上的值域是 2．函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．在区间上共有8100个零点 3．已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数相邻两零点的距离为，且，将图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数的图象．若存在非负实数使得，在内恰好有8个零点，则所有符合条件的值组成的集合为 ． 5．已知函数（其中）的部分图象如图所示，有以下结论： ① ② ③在上单调递增 所有正确结论的序号是 . 6．已知函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标； (2)将函数的图象向右平移个单位，得到的函数为偶函数，求函数的最值及相应的值. 7．已知函数的图象关于直线 对称，且在区间上单调. (1)求ω的值; (2)若函数有两个零点，求的取值范围. 8．已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式； (2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 9．已知. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围. 题型四 利用三角函数图像与性质求ω的取值范围 1．已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的图象在上恰好有2个最高点，1个最低点，且这3个点可以组成一个锐角三角形，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 4．已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（   ） A．20 B．16 C．13 D．7 5．已知直线为函数图象的一条对称轴，则满足条件的一个的取值为 ；若在区间上有零点，则的最小值为 ． 6．已知函数（，），若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是 . 题型五 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质的综合应用 1．已知函数的部分图像如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)函数的图像经过怎样的变换能得到函数的图像； (3)求函数的单调递减区间； (4)求不等式的解集． 2．已知函数的图象如图所示.    (1)求函数的解析式及单调递增区间； (2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 3．已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为． (1)当时，求的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， ①当时，求函数的值域； ②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值． 4．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域； (3)若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 5．已知函数，． (1)求的对称轴方程，单调递增区间； (2)若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件； (3)将函数的图象横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求满足条件的实数的集合． 6．已知函数，的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)设，记方程在上的根从小到大依次为，若，试求与的值. 1．将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的得到函数的图象.若在上的最大值为，则的取值个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．关于函数y=sin（2x+φ）（）有如下四个命题： 甲：该函数在上单调递增； 乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为； 丁：该函数图像的一个对称中心为. 如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数的图象在上有且仅有两条对称轴，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围是 B．若的图象关于点对称，则在上单调递增 C．在上的最小值可能为 D．若的图象关于直线对称，且函数，有奇数个零点，则 6．（多选）关于函数，下列结论正确的是（    ） A．是的一个对称中心 B．函数在上单调递增 C．函数图像可由函数的图像向右平移个单位得到 D．若方程在区间上有两个不相等的实根，则 7．将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则 ,实数m的取值范围是 . 8．已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则 ． 9．若函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若当时，，求实数t的取值范围． (3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围． 10．已知函数，的最大值为，最小值为，，且. (1)求的值及函数的解析式； (2)已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值. 11．已知函数． (1)若对于任意都有，且，求的对称中心； (2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值； (3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 12．已知函数（，，）的图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的单调减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数在内恰有6个零点，求的值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $